第三十章 直线与圆的位置关系（单元自测卷·重庆专用）数学新教材人教版九年级上册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(重庆专用) 第三十章 直线与圆的位置关系 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若直线l与半径为5的相离，则圆心O与直线l的距离d为（     ） A． B． C． D． 2．如图，，是的切线，，为切点，连接，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．如图，是地球示意图，表示赤道，太阳光线、地平面与相切．某时刻某地纬度，太阳光直射纬度，则太阳高度角（太阳光线与地平面的夹角）的度数为（     ） A． B． C． D． 4．如图，是的外接圆，为的直径，与相切于点B．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．三角形内切圆的圆心为（   ） A．三条高的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 6．如图，在中，，，为的内切圆，且半径为，若的面积为，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 7．如图，中，，，，其内切圆分别于、、相切于点、、，则弦的长为（   ） A．1 B．2 C． D． 8．在中国传统文化中，“六”是一个吉祥的数字，六边形因此天然承载了美好的祝愿．如图，正六边形内接于，若正六边形的周长为，则的半径为（     ） A． B． C． D． 9.．如图，是的外接圆，且为的直径，点为的内心，的延长线交于点，连接．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 10．如图，正八边形的边长为，与正八边形的边和分别相切于点和点，则劣弧的长为（       ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．圆内接正六边形的半径为，则这个正六边形的周长为__________． 12．如图，点为中边上一点，以点为圆心、长为半径，作恰与边相切于点，若，则___________． 13．如图，在中，，半径为的是的内切圆，连接，分别交于点，则图中阴影部分的面积是___________． 14．如图，是的内切圆，、、为切点．若，，则的周长为______． 15．苯（分子式为）环状结构的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（图1）．如图2，已知点O为正六边形的中心，则其中心角的度数为_____________． 16．如图，以为直径的与相切于点，连接，以为边作菱形，点在边上，连接，，与交于点，与交于点．若，，则________，________． 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）如图，已知，请用尺规作图法作圆的内接正六边形（不写作法，保留作图痕迹）． 18．（8分）如图，直线经过上的点，且，，．求证：直线是的切线． 19．（10分）如图，在等腰中，，以为直径的与交于点D，，垂足为E，的延长线与的延长线交于点F． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，求的长． 20．（10分）如图，是的外接圆，是的直径，点D是的中点，点E是延长线上的一点，连接，． (1)求证：是的切线， (2)若，求的长． 21．（10分）如图，点是的内心，的延长线与的外接圆交于点，与交于点，延长，相交于点，的平分线交于点． (1)求证：． (2)求证：． 22（10分）．如图，正六边形内接于，半径为．    (1)求的长度； (2)若G为的中点，连接，求的长度． 23．（10分）如图，四边形内接于，是的直径，过点A作的切线，交的延长线于点E，且． (1)求证：平分； (2)已知，的半径为，求的长． 24．（10分）如图，在中，是的直径，过点D作的切线，点A是上一点，且，连接交于点B，点C是的中点，连接，，为的切线． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知的半径为1，求阴影部分的面积．（结果保留π） 25．（10分）已知在平行四边形中，，，过、、三点的圆与边相切于点，圆心为． (1)如图，连接并延长交于点，连接，交于点，连接． ①求证：； ②求线段的长． (2)如图，、分别是、上的动点，且，求的最小值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试卷 第1页（共4页） 试卷 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测（重庆专用) 第三十章直线与圆的位置关系（参考答案） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 题号 1 2 3 4 6 7 8 9 10 答案 B A D 0 C B 0 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.6a 12.20°/20度 14.12 15.60° 3V14 16. 2W6 14 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.解：如图，六边形ABCDEF即为所作。 F .8分 18.证明：连接OC 1/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠AOB=100°，∠OAB=40° ∴.∠OBA=180°-∠AOB-∠OAB=40° .∠OAB=∠OBA.3分 ..OA=OB AC=BC .OC1AB6分 点C在⊙0上， OC为半径， .直线AB是⊙0的切线.8分 19.(1) 证明：连接OD, E B D AB=AC, .∠ABC=∠ACB, .OB=OD. .∠ABC=∠ODB, ∴.∠ACB=∠ODB. ..ODI AC DE⊥AC, .DE⊥OD,即EF⊥OD, ,OD是⊙0的半径， .EF是⊙0的切线；5分 (2)解：连接AD, 2/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E AB是⊙O直径， AD⊥BC, DE⊥AC, .∠ADC=∠DEC. .∠C=∠C, ∴.ACDEACAD CD CE ·CACD .AB=AC, :DC=DB=2, ..AC=AB=5. 2 CE 5=2, 4 解得：CE= 5,.10分 20.(1) 证明：如图， 0 B 4B-4B .∠ADB=∠ACB 3/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,∠E=∠ADB, .∠E=∠ACB, .AC是⊙0的直径， .∠ABC=90°， ∴.∠BAC+∠ACB=90°， .∠BAC+∠E=90°」 .∠ACE=90°，即：AC⊥CE, OC是⊙0的半径， .CE是⊙0的切线，5分 (2)连接D0, :点D是4C的中点，AC是O0的直径， 4D=CD :∠40D=90°.4D=4W2 在RtAAOD中，设AO=DO=x, 由勾股定理可得：D=A02+D0°42=r+r 解得：x=4, .AC=2A0=8. ∠ACB=∠ADB=60°，∠ABC=90°， ÷∠C1B=30e,则有8C=)4C=)x8=4. 2 2 故BC的长为4.…10分 21.(1) 证明：，点I是△ABC的内心， .∠2=∠7. 4/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ● 4 7 B A G .DG平分∠ADF, 440, .∠ABC+∠ADC=180°， .∠ADF=∠ABC. .1=∠2， ∠3=∠2 .∠1=∠3， .DG∥AC:5分 (2) 证明：，点I是△ABC的内心， .∠5=∠6 .∠4=∠7+∠5=∠3+∠6， 即∠4=∠DAI, .AD=ID.10分 22.(1)解：连接OC,OD,如图： B D 六边形 是正六边形， E ABCDEF ·∠C0D=360 =60° 又：OC,OD是⊙0的半径，且半径为2cm, ∴.OC=OD=2cm, 5/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △COD是等边三角形， .CD=OC=2cm.5分 (2)连接AC,AD,如图： B 则AD为⊙0的直径， .AD=4cm,∠ACD=90°， 由(1)得：CD=2cm, 在RtAACD中，∠ACD=90°， ..AC=AD2-CD2=42-22=23cm G为CD的中点， cG=cD=lem】 在RtAACG中，∠ACG=90° 4G=√4C2+CG=v(23}+113cm.…10分 23.(1) 证明：连接OA, OA=OD, E 图1 .∠ODA=∠OAD, 6/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AE是⊙O的切线， OA⊥AE, ·AE⊥CD, .EC∥OA, ∴.∠OAD=∠EDA, ∴.∠ODA=∠EDA, .DA平分∠BDE;5分 (2)解：过点O作OF⊥CD,垂足为点F, .∠OAE=∠AED=∠OFD=90°， ∴.四边形AOFE是矩形， ∴OF=AE=4cm, D 图2 又.OF⊥CD,⊙0的半径为5cm 在RtAODF中，OD=VOr2+DP=5cm .DF=CD=3cm 即CD=6cm.10分 24.(1) 证明：如图，连接OB, E 与都是 的切线， D F..AD CB ⊙0 7/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠EDA=∠OBC=90°，CD=CB, AD=DE, .∠DAE=∠DEA=45°，3分 又点C为AD的中点， ∴.CD=CB=AC ∴.∠DAE=∠ABC=45° .∠ACB=90°， ∴.∠BCD=180°-90°=90° 四边形OBCD为矩形， .CB∥DO,且CB=DO, ∴CB∥OE,且CB=OE, ∴四边形BCOE是平行四边形：…7分 (2)解：由(1)知，四边形OBCD为矩形， 又.OB=OD ∴矩形OBCD为正方形， 阴影部分的面积是SSSm0B20:x0r买0分 360 25.(1) ①证明：OO与CD边相切于点D, ∴.∠EDC=90° 在ABCD中，ABIICD, ∠DEA=∠EDC=90°， 即DE⊥AB: ②BP=1&7 17;3分 ②解：如图，连接OA,过点B作BH⊥AC于点H, 8/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D p F B 2B=2 由垂径定理可得AE DE=AD2-AE2=V62-2=4V2.∠APB=2∠ADE, 设A0=D0=x,则OE=4N2-x, 在Rt△OAE中，OA=AE2+OE2, 2=2+42-, 解得公5】 ∠AOE=2∠ADE, .∠APB=∠AOE, 0∠APB=sin∠AOE二g :平行四边形ABCD, .AB∥CD, .ADEC△EFA, DF_CD-2, ·EFAE :.DF=2EF, .EF=IDE=4V2 3 3 9/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·AF=VAE2+EF2=217 3 4v2 ∴.sin∠FAE= EF BH 3BH AF=AB2174, 3 B1=95, BH 834 1 1817 .BP=- n☑HPB427；.6分 (2)解：如图，延长CD到点F,使得DF=DA,连接FN、BF,连接DO并延长交AB于点E,作 BH⊥DC于点H, D F.=-------- 平行四边形 ME B ABCD .AB//CD,AD=BC=6,AB=CD=4 ∴.∠FDN=∠DAM. 又DF=AD,DN=AM. ∴.△FDN≌ADAM(SAS) .FN DM, DM+BN=FN+BN≥BF, 当F、N、B三点共线时，FN+BN最小等于BF, 由①可知，DE⊥AB, :四边形DEBH是矩形，AE=BE=)AB=2 2 .DH BE=2=CH, 10/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..FH=DF+DH=AD+DH=8 BH=BC2-CH2=42 .BF=VFH2+BH2=V82+(4V2)2=46 DM+BN的最小值为 4W6 0.10分 11/11命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测（重庆专用） 第三十章直线与圆的位置关系 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.若直线1与半径为5的⊙0相离，则圆心0与直线1的距离d为() A.d<5 B.d>5 c.d=5 D.d≤5 【答案】B 【分析】一条直线与一个圆相离，那么该圆的圆心到该直线的距离大于该圆的半径，据此可得答案. 【详解】解：：直线I与半径为5的⊙0相离， ∴.圆心O与直线I的距离d>5. 2.如图，PA，,PB是⊙O的切线，A,B为切点，连接OP,若∠APB=52°，则∠APO的度数为() B A.26° B.30° C.38° D.52° 【答案】A 【分析】根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.据此 解答即可. 【详解】解：：PA,PB是⊙O的切线，A,B为切点，连接OP,∠APB=52°， ∴.OP平分∠APB, &∠AP0=)∠APB=)x52°=26 2 2 1/27 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.如图，O0是地球示意图，B表示赤道，太阳光线 /以、地平面与O0相切.某时刻某地纬度 1=32°，太阳光直射纬度∠2=23°，则太阳高度角（太阳光线与地平面的夹角）∠3的度数为() N 地平面 赤道 A.50° B.45° C.40° D.35° 【答案】D 【分析】先利用切线性质得到直角，再结合太阳光线平行的条件，通过角度的和差关系推导太阳高度角的 度数 【详解】如图，设切点为D,连接OD, 地平面 赤道 S :地平面与⊙O相切于D, ∠0DE=90°， 1∥12 ,太阳光线 .∠1+∠2+∠3+∠0DE=180°， ,1=32°，∠2=23°， .∠3=180°-90°-32°-23°=35° 4.如图，⊙0是△ABC的外接圆，AC为⊙0的直径，BD与⊙0相切于点B.若∠CBD=35°，则∠ACB的 2127 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 度数为() ○ D B A.25° B.35° C.45° D.55° 【答案】D 【分析】连接OB,根据切线的性质可得∠OBC+∠CBD=90°，从而得到LOBC=5S°，即可求解. 【详解】解：连接OB B :BD与OO相切于点B, ∴.OB⊥BD,即∠OBD=90°， ∴.∠OBC+∠CBD=90°， ∠CBD=35°， .∠0BC=55°， ..OB=OC, ∴∠ACB=∠OBC=550 5.三角形内切圆的圆心为() A.三条高的交点 B.三条边的垂直平分线的交点 C.三条角平分线的交点 D.三条中线的交点 【答案】C 【详解】解：，'三角形内切圆的圆心到三角形三条边的距离相等， 又，角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点. 3127 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6如图，在△1C中，4B=12.4C=6,00为△1BC的内切黑，且半径为7，若△M0C的面积为 14v7 ,则BC的长为() C B A.7 B.8 C.9 D.10 【答案】D 【分析】本题考查了切线的性质，过O分别作OD⊥AB、OE⊥AC、OF⊥BC,分别交AB、AC、BC 于D、E、F,连接O1、OB、OC,由切线的性质得OD=0B=0F=7, ,由三角形的面积求解即可。 【详解】解：过O分别作OD⊥AB、OE⊥AC、OF⊥BC,分别交AB、AC、BC于D、E、F,连接 OA、OB、OC 是 的内切圆，且半径为， D B.⊙O△ABC 万 :.OD=OE=OF=V万 ÷4B.oD+54C0F+50r-ac=147, 0 x12x7+6x万+xiac=i45. 解得BC=10. 故选：D 7.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5,BC=4,其内切圆分别于AB、BC、AC相切于点D、E、 F,则弦EF的长为() 4/27 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 9 E A.1 B.2 Cv② D V3 【答案】C 【详解】解：如图所示，连接OE,OF, D B ,内切圆分别于AB、BC、AC相切于点D、E、F, ·.∠OFC=∠OEC=∠C=90° ∴四边形OECF是矩形， :OE=OF, ∴四边形OECF是正方形， ∴.CE=CF=OF=OE, AB=5,BC=4, 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5,BC=4, AC=AB2-BC2=3 AF=AD,BE=BD,CE=CF,AB=AD+BD=AF+BE=AC-CF+BC-CE=AC+BC-2CF .OF-CF-AC+BC-AB=1 2 在RtCEF 中，BEF=VEC2+FC2=V2 5127 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故选：C 8.在中国传统文化中，“六”是一个吉祥的数字，六边形因此天然承载了美好的祝愿.如图，正六边形 ABCDEF ⊙0 ABCDEF .18cm⊙0 内接于，若正六边形 的周长为，则的半径为() B A.1.5cm B.3cm C.4cm D.6cm 【答案】B 【分析】连接OA、OB,根据正六边形的性质求出AB=3cm,∠AOB=60°，再证明△AOB为等边三角形， 即可得出结果。 【详解】解：如图，连接OA、OB, B E ,正六边形ABCDEF内接于⊙O,周长为l8cm, AB=18÷6=3Cm,∠A0B=360°÷6=60°， .OA=OB ·.△AOB为等边三角形 ∴.OA=OB=AB=3cm,即⊙0的半径为3cm 9.如图，⊙0是△ABC的外接圆，且AB为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，AE的延长线交O0于点 D,造接D.若B=5.5=而，则4D的长为() 6127 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E B.Vi0 C.25 D 2W10 【答案】C 【详解】解：如图，连接OD,交BC于点G,作DH⊥AB于点H, D B :点E为△ABC的内心， .AE是∠BAC的角平分线，BE是∠ABC的角平分线，即∠CAD=∠BAD,∠ABE=∠CBE, :CD=BD :.CG-BG-1BC 2 :AB是直径得出∠ADB=90°， ∠ADB=90°， :∠BED=∠BAE+∠ABE,∠DBE=∠CBE+∠CBD,∠CBD=∠CAD, .∠BED=∠DBE, .△BDE是等腰直角三角形， DE-BD-BE-5 2 :.AD=VAB2-BD2-V52-(5)=2W5 故选：C. 7127 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.如图，正八边形ABCDEFGH的边长为V2,⊙O与正八边形的边AH和EF分别相切于点A和点E, AE 则劣弧的长为() B D E 4 B. 25 13 C. A. D.2 【答案】D 【详解】解：如图所示，连接AO,EO,BE,延长EO交AB或其延长线于一点N. A B(N) H C D E :⊙O与正八边形的边AH和EF分别相切于点A和点E, .OA⊥AH,OE⊥EF. .∠OAH=∠OEF=90° :八边形ABCDEFGH为正八边形， ·∠H=∠G=∠F=(8-2x180 =135° 8 :六边形40ErGH的内角和-(6-2小x180°=720° .∠AOE=720°-∠OAH-∠OEF-∠H-∠G-∠F=135° ∴.∠A0N=180°-∠A0E=45°. ,八边形ABCDEFGH为正八边形， .BE⊥FE. 8127 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 又，NE⊥FE,同一平面内，过一点只有一条直线与已知直线垂直， ∴，直线BE与直线NE为同一条直线， ∴点B与点N重合. .∠AB0=90° A0==2 sin45° 劣孤征的张13001 135」 20 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.圆内接正六边形的半径为acm,则这个正六边形的周长为 cm 【答案】6a 【分析】利用圆内接正六边形的性质可知，正六边形的边长等于其外接圆的半径，先求出边长，再根据周 长公式计算即可. 360° 【详解】解：圆内接正六边形的中心角为6 =60° 正六边形的中心与各顶点的连线相等， 因此可将正六边形分为6个全等的等边三角形. 因此正六边形的边长等于外接圆的半径，即边长为aCm 因此正六边形的周长为6acm. 12.如图，点O为△ABC中AC边上一点，以点O为圆心、OA长为半径，作OO恰与BC边相切于点B, 若∠AB0=35°，则∠C= B 【答案】20°120度 【分析】根据OA=OB可得∠BOC=2∠AB0=70°，再根据切线的性质可得∠OBC=90°，利用三角形内角 9/27 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 和定理即可解答. 【详解】解：OA=OB, ∴.∠A=∠ABO ∴.∠BOC=2∠ABO=70° :⊙O恰与BC边相切于点B, ·∠0BC=90°， ∴.∠C=180°-∠BOC-∠OBC=20° 13.如图，在△ABC中，∠A=80°，半径为2Cm的⊙0是△ABC的内切圆，连接OB,OC,分别交⊙0于 点D,E,则图中阴影部分的面积是 cm2 D B 13 【答案】9π 【分析】本题考查了内切圆的性质，三角形的内角和定理，扇形面积；根据题意先求得∠BOC=130°，再根 据扇形面积公式，即可求解。 【详解】解：：⊙O是△ABC的内切圆， 、.OB,OC平分∠ABC,∠ACB 20Bc=Bc,∠20c8-4c0 ∠A=80° .∠ABC+∠ACB=180°-∠A=100° ∴∠B0C=180r-(L0BC+∠0CB）=180P-(∠ABc+∠ACB)=180°-x10=130° 130 .图中阴影部分的面积是360 8x2-号a(m） 13 故答案为：9 π 10/27 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 14.如图，⊙0是△ABC的内切圆，D、E、F为切点.若AD=1,BC=5,则△ABC的周长为一 D 【答案】12 【分析】本题考查三角形的内切圆，切线长定理，根据切线长定理，得到AD=AE,CE=CF,BD=BF,进 而推出△ABC的周长等于 2(AD+BC) 即可得出结果. 【详解】解：⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F为切点， .AD=AE,CE=CF,BD=BF, ∴.△ABC的周长=AD+AE+BD+BF+CE+CF=2AD+2BF+2CF=2AD+2BC, :AD=1,BC=5, ∴.△ABC的周长=2×1+2×5=12： 故答案为：12。 15.苯（分子式 C,H)环状结构的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（图1）·如图2，己知点0 为正六边形ABCDEF的中心，则其中心角的度数为 ⊙ D 图1 图2 【答案】60° 【分析】根据正多边形各边所对中心角相等且等于360°除以边数即可解答. 【详解】解：：点O为正六边形ABCDEF的中心， 11/27 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 六边形各边所对中心角相等， 其中心角的度数为360°÷6=60° 16.如图，以AB为直径的⊙0与BC相切于点B,连接AC,以AC为边作菱形ACDE,点B在边CD上， 连接BE.D.BE与D交于点F,与o0交于点G.若40=5,4C=6,则4D=, FG= D 3v14 【答案】 26 14 【详解】解：如图，连接AG, 四边形 为菱形， ACDE AC=6 ∴.AE∥CD,AE=CD=AC=6 :以AB为直径的⊙O与BC相切于点B, AB⊥CD, .AB⊥CE, :A0=V5 :AB=25 在R△ABC中，BC=NAC-AB=6-(25=4, ∴.BD=CD-BC=6-4=2. 12127 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在Rt4BD中，AD=VAB2+BD=25+22=2V6, 在Rt△ABE中，BE=VAB2+AE=25+6=24. :AE∥BD .△BDESAEAF, BF BD 2 1 EF EA63 r-账=x2- 4 2, ~AB为⊙0的直径， .∠AGB=90° :∠ABG=∠EBA,∠AGB=∠EAB, ∴.△BAG∽△BEA BG AB AB BE' BG 25 即2√5214， BG= 解得 7, .FG-BG-BF=54_3 7 2 14. 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(8分)如图，已知⊙0，请用尺规作图法作圆的内接正六边形（不写作法，保留作图痕迹）· 13/27 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :点C在⊙0上， .OC为半径， ∴直线AB是⊙O的切线 19.(10分)如图，在等腰△ABC中，AB=AC,以AB为直径的O0与BC交于点D,DE⊥AC,垂足 为E,ED的延长线与AB的延长线交于点F, (1)求证：EF是⊙O的切线： (2)若⊙0的半径为2.5，BD=2,求CE的长. 【答案】(1) 证明：连接OD, .AB=AC. ,∠ABC=∠ACB. ..OB=OD. ∴.∠ABC=∠ODB .∠ACB=∠ODB, .ODI AC. 15/27 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,DE⊥AC, ·DE⊥OD,即EF⊥OD, :OD是OO的半径， EF是OO的切线： 4 2)5 【详解】(1)略 (2)解：连接AD, :AB是⊙0直径， ∴AD⊥BC, :DE⊥AC, ·∠ADC=∠DEC, .∠C=∠C, .△CDEACAD, CD CE :CA CD' AB=AC, .'DC=DB=2. .AC=AB=5. ,2_CE ·52 解得：CE- 16/27 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20.(10分)如图， O0是△MBC的外接圆，AC是O0的直径，点D是4C的中点，点B是4B延长线上 的一点，连接CE,∠E=∠ADB D ⊙ (1)求证：CE是⊙0的切线， (2若∠ADB=60,4D=4N2 尖BC 的长 【答案】(1) 证明：如图， D c 0 :6=6 ·.∠ADB=∠ACB, ,∠E=∠ADB, ∴∠E=∠ACB. ,AC是⊙O的直径， ∴.∠ABC=90°. .∠BAC+∠ACB=90°， ∴∠BAC+∠E=90°， ∴.∠ACE=90°，即：AC⊥CE, .OC是⊙0的半径， 17/27 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴CE是⊙0的切线， (2)4 【详解】(1)略 (2)连接D0 点D是4C的中点，4C是⊙0 的直径， :A0=Cò :∠40D=90°.AD=42 在RtAAOD中，设AO=DO=x, 由勾股定理可得： AD2=A02+D02(4W2)2=x2+x2 解得：x=4, .AC=240=8. ∠ACB=∠ADB=60°，∠ABC=90°， ∠CAB=30,则有BC=)4C= 2 ×8=4. 故BC的长为4 【点睛】此题考查了切线的证明，勾股定理，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点 21.(10分)如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D,与AC交于点E, 延长CD,BA相交于点F,∠ADF的平分线交AF于点G. C D 0 B A (I)求证：DG∥AC (2)求证：AD=ID. 18/27 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1) 证明：：点I是△ABC的内心， ∠2=∠7， C D 4 X75 G DG平分∠ADF, AI=)∠ADF 2 :∠ABC+∠ADC=180°， ∴.∠ADF=∠ABC. ∴.1=∠2， ∠3=∠2， .∠1=∠3， DG∥AC: (2) 证明：，点I是△ABC的内心， ∠5=∠6， :∠4=∠7+∠5=∠3+∠6， 即∠4=∠DAI, :AD=ID 22(10分).如图，正六边形ABCDEF内接于⊙0，半径为2cm 19/27 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求CD的长度： (2)若G为CD的中点，连接AG,求AG的长度， 【答案】(1)2cm ②vi3cm 【详解】(1)解：连接OC,OD,如图： B 六边形 是正六边形， ABCDEF ÷∠C0D=360° 60° 6 又：OC,OD是⊙0的半径，且半径为2cm, ∴.OC=OD=2cm △COD是等边三角形， ∴.CD=OC=2cm, (2)连接AC,AD,如图： B 则AD为⊙O的直径， .AD=4cm,∠ACD=90°， 由(1)得：CD=2cm, 在RtAACD中，∠ACD=90°， ·.AC=VAD2-CD2=V42-22=2√3cm :G为CD的中点， 20/27 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.CG=CD-lem, 在RtAACG中，∠ACG=90° .4G=4C2+CG2=(23)2+12=13cm 23.(10分)如图，四边形ABCD内接于⊙O,BD是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AE,交CD的延 长线于点E,且AE⊥CD B (I)求证：DA平分∠BDE: (2)已知AE=4cm,⊙0的半径为5cm,求CD的长. 【答案】(1) 证明：连接OA, .OA=OD A 图1 ∠ODA=LOAD, ,AE是⊙O的切线， OA⊥AE ,AE⊥CD .EC∥OA, ∴.∠OAD=∠EDA. 21127 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ODA=∠EDA, 六DA平分∠BDE: (2)6cm 【分析】(1)连接OA,利用等腰三角形的性质，平行线的判定和性质证明即可： (2)过点O作OF⊥CD,垂足为点F,根据矩形的判定和性质，垂径定理，勾股定理解答即可. 【详解】(1)略 (2)解：过点O作OF⊥CD,垂足为点F, ,∠OAE=∠AED=∠OFD=90°， ∴四边形AOFE是矩形， ∴.OF=AE=4cm, 图2 又，OF⊥CD,⊙0的半径为5cm. 在RtODF中，OD=VOF+DF2=5cm, :.DF=CD-3cm, 2 即CD=6cm」 24.(10分)如图，在⊙0中，DE是⊙0的直径，过点D作⊙0的切线DF,点A是DF上一点，且 MD=DE,连接4交OO于点B,点C是MD的中点，连接心，，为的切线. 、AE.⊙O AD CB OC CB OO 22/27 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (I)求证：四边形BCOE是平行四边形： (2)已知⊙0的半径为1，求阴影部分的面积.（结果保留π） 【答案】(1) 证明：如图，连接OB, ⊙ 与都是 的切线， D F.AD CB ⊙0 ∴.∠EDA=∠OBC=90°，CD=CB, .AD=DE. .∠DAE=∠DEA=45°. 又点C为AD的中点， ..CD=CB=AC, .∠DAE=∠ABC=45°， ∴.∠ACB=90°， ∴.∠BCD=180°-90°=90°， ∴四边形OBCD为矩形， ∴.CB∥DO,且CB=DO ∴CB∥OE,且CB=OE, .四边形BCOE是平行四边形； @1- 【详解】(1)略 23127 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：由(1)知，四边形OBCD为矩形， 又：OB=OD, ∴矩形OBCD为正方形， 阴影部分的面积是S影=S方0an-S0=0B2_90-京-0B。 360 1小 4 25.(10分)己知在平行四边形ABCD中，AD=6,AB=4,过A、B、D三点的圆与CD边相切于点 D,圆心为O D O M 图1 图2 (I)如图1，连接DO并延长交AB于点E,连接AC,交⊙O于点P,连接BP, ①求证：DE⊥AB; ②求线段BP的长. (2)如图2，M、N分别是AB、AD上的动点，且AM=DN,求DM+BN的最小值. 【答案】(1) ①证明：⊙O与CD边相切于点D, ∠EDC=90°， 在oABCD中，AB‖CD ∠DEA=LEDC=90°， 即DE⊥AB: ②Bp=187 17: ②AV6 【详解】(1)①证明：略 24127 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②解：如图，连接OA,过点B作BH⊥AC于点H, D B 由垂径定理可得1证=)B=2, 21 DE=√AD2-AE2=V6-22=4V2∠APB=2LADE 设A0=D0=x,则OE=4W2-x, 在Rt△OAE中，O=AE2+OE2, 2=2+42-, 解得=4 :o4_9N2oE=2 4 ∠AOE=2∠ADE, ∠APB=∠AOE, sin2APB=sinLAOE=992 4 ·平行四边形ABCD AB∥CD .△DFCOAEFA. DF CD EF AE =2, :DF=2EF, EF=号DE=42 3 3· 25/27 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AF=AR2+ER2217 3 42 ·sin∠FAE=EF、BH 3 BH AF AB 217 4, 3 明号网 BH 834 1817 ∴.BP= -1 sin∠HIPB 17: (2)解：如图，延长CD到点F,使得DF=DA,连接FN、BF,连接DO并延长交AB于点E,作 BH⊥DC于点H, 0 H F.s=---- 平行四边形 ME ABCD .AB//CD.AD=BC=6.AB=CD=4 ∠FDN=∠DAM, 又'DF=AD,DN=AM, .△FDN≌ADAM(SAS) .FN=DM. .DM+BN=FN+B≥BF, 当F、N、B三点共线时，FN+BN最小等于BF, 由①可知，DE⊥AB, :四边形DEBH是矩形，ME=BE=)AB=2, 2 ∴.DH=BE=2=CH. 26/27 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴，FH=DF+DH=AD+DH=8BH=VBC2-CH=4V2 .BF=VFH+BH2=V82+(42)2=4V6 ∴.DM+B 的最小值为46. 27/27 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(重庆专用) 第三十章 直线与圆的位置关系 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若直线l与半径为5的相离，则圆心O与直线l的距离d为（     ） A． B． C． D． 2．如图，，是的切线，，为切点，连接，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．如图，是地球示意图，表示赤道，太阳光线、地平面与相切．某时刻某地纬度，太阳光直射纬度，则太阳高度角（太阳光线与地平面的夹角）的度数为（     ） A． B． C． D． 4．如图，是的外接圆，为的直径，与相切于点B．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．三角形内切圆的圆心为（   ） A．三条高的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 6．如图，在中，，，为的内切圆，且半径为，若的面积为，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 7．如图，中，，，，其内切圆分别于、、相切于点、、，则弦的长为（   ） A．1 B．2 C． D． 8．在中国传统文化中，“六”是一个吉祥的数字，六边形因此天然承载了美好的祝愿．如图，正六边形内接于，若正六边形的周长为，则的半径为（     ） A． B． C． D． 9.．如图，是的外接圆，且为的直径，点为的内心，的延长线交于点，连接．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 10．如图，正八边形的边长为，与正八边形的边和分别相切于点和点，则劣弧的长为（       ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．圆内接正六边形的半径为，则这个正六边形的周长为__________． 12．如图，点为中边上一点，以点为圆心、长为半径，作恰与边相切于点，若，则___________． 13．如图，在中，，半径为的是的内切圆，连接，分别交于点，则图中阴影部分的面积是___________． 14．如图，是的内切圆，、、为切点．若，，则的周长为______． 15．苯（分子式为）环状结构的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（图1）．如图2，已知点O为正六边形的中心，则其中心角的度数为_____________． 16．如图，以为直径的与相切于点，连接，以为边作菱形，点在边上，连接，，与交于点，与交于点．若，，则________，________． 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）如图，已知，请用尺规作图法作圆的内接正六边形（不写作法，保留作图痕迹）． 18．（8分）如图，直线经过上的点，且，，．求证：直线是的切线． 19．（10分）如图，在等腰中，，以为直径的与交于点D，，垂足为E，的延长线与的延长线交于点F． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，求的长． 20．（10分）如图，是的外接圆，是的直径，点D是的中点，点E是延长线上的一点，连接，． (1)求证：是的切线， (2)若，求的长． 21．（10分）如图，点是的内心，的延长线与的外接圆交于点，与交于点，延长，相交于点，的平分线交于点． (1)求证：． (2)求证：． 22（10分）．如图，正六边形内接于，半径为．    (1)求的长度； (2)若G为的中点，连接，求的长度． 23．（10分）如图，四边形内接于，是的直径，过点A作的切线，交的延长线于点E，且． (1)求证：平分； (2)已知，的半径为，求的长． 24．（10分）如图，在中，是的直径，过点D作的切线，点A是上一点，且，连接交于点B，点C是的中点，连接，，为的切线． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知的半径为1，求阴影部分的面积．（结果保留π） 25．（10分）已知在平行四边形中，，，过、、三点的圆与边相切于点，圆心为． (1)如图，连接并延长交于点，连接，交于点，连接． ①求证：； ②求线段的长． (2)如图，、分别是、上的动点，且，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $