第二十五章 一元二次方程 素养检测-【宝典训练】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂（人教版·新教材）

第二十五章《一元二次方程》素养检测 考试时间：120分钟 总分：120分 一 、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1.将方程x(x十4)=0化成一元二次方程的一般形式，其二次项系数、一次项系数和常数项分 别是 ( ) A.0,4,0 B.-1,4,0 C.1,1,4 D.1,4,0 I 拟 紧 2.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是 ( A.2x=7 B.x2+y=5 C.x=1+1 D.x2+x=4 3.用配方法解方程x2十2x一1=0，下列配方正确的是 A.(x+1)2=1 B.(x十1)2=2 C.(x-1)2=2 D.(x-1)2=1 4.某店销售一批户外帐篷，经调查，每顶帐篷利润为200元时，平均每天可售出60顶；单价每 尽 降价10元，每天可多售出4顶.已知该店要想平均每天盈利12160元，可列方程为 (200-x)(60+号×4=12160，则下列表述正确的是 ( ) A.每顶帐篷单价为x元 B.降价后平均每天可出售(200一x)顶 C.每顶帐篷单价应降价x元 D,降价后每顶帐篷利润为(60+&×4元 5.要设计一座2高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比等于下部 分 与全部（全身）的高度比，雕像的下部应设计为多高？设雕像的下部高为x,则所列方 程为 ) A.x2=2(2-x) B.2x=2(2-x) C.(2-x)2=2x D.x2=2-x 6.如图，琪琪的爸爸用一段12m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长6.5m)的矩形鸡舍 ABCD,其面积为212.在鸡舍的AB边中间位置留一个1m宽的门（由其他材料制成）， 则BC的长为 ( A.6m或7m B.3m或3.5m C.3.5m D.6m 第二十五章《一元二次方程》素养检测第1页（共8页） 7.俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看.”其意思 是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘.假设每天“遗忘” 的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：√2≈ 1.414) ( A.20.3% B.25.2% C.29.3% D.50% 8.设12是一元二次方程x2-2x-1=0的两根，则上+1 ( x1 2 A合 B- C.2 D.-2 9.某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，第一季 度共获利42万元，已知二月份和三月份利润的月增长率相同.设二、三月份利润的月增长 率是x,那么x满足的方程为 ( A.10(1+x)2=42 B.10+10(1+x)2=42 C.10+10(1+x)+10(1+2x)=42 D.10+10(1+x)+10(1+x)2=42 10.如图，在一块长为30m,宽为24m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的小路，其 余部分建成花园，已知小路的占地面积为53，那么小路的宽为 A.1m B.1.5m C.2 m D.2.5m 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）】 11.已知a是方程x2十2x=3的一个根，则代数式a2+2a十2025的值为 12.若x=1是一元二次方程x2十ax一1=0的一个根，则a的值是 13.若关于x的方程x2一4x十m=0有两个相等的实数根，则实数m的值为 14.利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方 法.如图1，BD是矩形ABCD的对角线，将△BCD分割成两对全等的 直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若a=4,b =2,则矩形ABCD的面积是 图1 图2 15.对于任意实数a,b,我们定义新运算“￥”：a*b=a2十2ab一b,例如3*5=32十2×3×5 52=14.若m,n是方程(x十2)*3=0的两根，则”+m的值为 m 第二十五章《一元二次方程》素养检测第2页（共8页） 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16.解方程：x2十8x-9=0. 17.解方程：(x-3)2=4x(x-3). 第二十五章《一元二次方程》素养检测第3页（共8页） 18.在人群密集的场所，信息传播很快，某居委会有3人同时得知一则喜讯，经过两轮传播后， 使得这则喜讯在共有864人的居民小区中的知晓率达50%，那么每轮传播中平均一人传 播了多少人？ 我 些 烯 & 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19.已知关于x的方程mx2一x一1=0有两个不相等的实数根. (1)求m的取值范围； (2)若方程的一个根是1，求方程的另一个根及m的值. 第二十五章《一元二次方程》素养检测第4页（共8页） 20.为改善生态环境，建设美丽乡村，某村规划将一块长18米，宽10米的矩形场地建设成绿 化广场，如图，内部修建三条宽相等的小路，其中一条路与广场的长平行，另两条路与广场 的宽平行，其余区域种植绿化，使绿化区域的面积为广场总面积的80%. (1)求该广场绿化区域的面积； (2)求广场中间小路的宽. % 点 热 !! 1 第二十五章《一元二次方程》素养检测第5页（共8页） 21.如图，已知A,B,C,D为矩形的四个顶点，AB=16厘米，AD=6厘米.动点P,Q分别从 A,C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向点D移 动，当点P到达点B时，两动点同时停止.问： (1)两动点经过几秒时，使得BP=CQ; (2)两动点经过几秒时，使得四边形PBCQ面积是矩形ABCD面积的2： 5 (3)连接BQ,两动点经过几秒，使得△BQP是等腰三角形（直接写出答案）. 第二十五章《一元二次方程》素养检测第6页（共8页） 五、解答题（三）（本大题共2小题，其中第22题13分，第23题14分，共27分） 22.综合与实践：阅读材料，并解决以下问题 (1)学习研究：北师大版教材九年级上册介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图 注》中关于一元二次方程的几何解法：以x2+2x一35=0为例，求解过程如下： ①变形：将方程x2+2x一35=0变形为x(x+2)=35; ②构图：画四个长为x十2，宽为x的矩形，按如图1所示构造一个“空心”大正方形； ③解答：则图中大正方形的面积从整体看可表示为(x十x十2)2，从局部看还可表示为 四个矩形与中间小正方形面积之和，即4x(x+2)十22=4×35十4=144，因此，可得新 的一元二次方程(x十x十2)2=144. .x表示边长，.2x十2=12，即x=5. 这种数形结合方法虽然只能得到原方程的其中一个正根，但是从新方程(x十x十2)2= 144可以得到原方程的另一个根是 x+2 x+2 x+2 x+2 图1 图2 图3 (2)类比迁移：根据赵爽的几何解法求方程x2一3x一4=0的一个正根（写出完整的求解过 程，并在图2中画出示意图、标明各边长). (3)拓展应用：一般地，对于形如x2十ax十b=0的一元二次方程，可以构造图3来解，已知 图3是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么α=，b ,方程的一个正根为 第二十五章《一元二次方程》素养检测第7页（共8页） 23.配方法是数学中重要的一种思想方法.它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为 完全平方式或几个完全平方式的和的方法.这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非 负数的意义来解决一些问题， 比如x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x十2)2+1. 因为(x十2)2≥0， 所以当x=一2时，(x十2)2的值最小，最小值是0. 國 所以(x十2)2+1≥1. 所以当(x十2)2=0时，即x=一2时，(x十2)2十1的值最小，最小值是1. 即x2十4x十5的最小值是1. 定义：一个正整数能表示成a2十b(a,b是正整数)的形式，则称这个数为“完美数”.例如，5 是“完美数”，理由：因为5=22+12，所以5是“完美数” 【解决问题】 烯 (1)①已知13是“完美数”，请将它写成a2+b2(a,b是正整数)的形式： ②配方：x2-6x十=(x一)2； 【探究问题】 ☒ (2)①求代数式x2一6x+10的最小值； ②若y=一x2+2x十3，直接写出y的最大值， 燕 【拓展结论】 哦 (3)若矩形周长为20，求面积最大值 第二十五章《一元二次方程》素养检测第8页（共8页）第47课时圆心角 1.D2.B3.C4.70°5.806.√5 第48课时圆周角(1) 1.D2.C3.C4.C5.30°6.D 第49课时圆周角(2) 1.C2.C3.C4.D5.C6.B 第50课时弧长和扇形面积(1) 1.A2.B3.C4.D5.B 第51课时弧长和扇形面积(2) 1.D2.A3.A4.B5.C 第52课时《圆》单元复习 1.D2.D3.C4.A5.3π6.3 第三十章直线与圆的位置关系 第53课时直线与圆相离、相切、相交 1.A2.A3.A4.A5.号6.2icm 第54课时圆的切线(1)一切线的性质 1.C2.B3.C4.A5.D 第55课时圆的切线(1)一切线的判定 1.D 2.证明：，∠CAB=30°，CA=CD, ∠CDA=∠CAB=30. 如答图，连接OC, ,OA=OC,∠CAB=∠ACO, ∠CAB+∠ACO=∠BOC, .∠BOC=2∠CAB=60° ∴.∠BOC+∠CDA=90°. .∠OCD=90° 答图 ∴.OC⊥CE 又，点C在⊙O上， .CE是⊙O的切线. 3.A 第56课时圆的切线(2)一切线长定理 1.B2.763.164.D5.B 第57课时三角形的内切圆 1.D2.D3.D4.1305.26.2√10-27.A 第58课时正多边形与圆(1) 1.B2.C3.A4.B5.A 第59课时正多边形与圆(2) 1.D2.(2-1)a 3.解：如答图，正方形ABCD即为所求 B 答图 4.D 第60课时《直线与圆的位置关系》单元复习 1.C2.B3.A4.C5.120°6.65° 参考咨案 素养检测答案 第二十五章 《一元二次方程》素养检测 1.D2.D3.B4.C5.A6.D7.C8.D9.D10.A 1.202812.013.4141615.9 16.解：(x十9)(x-1)=0,x十9=0，或x一1=0， 所以x1=一9，x2=1. 17.解：(x-3)2-4x(x-3)=0, (x-3)[(x-3)-4x]=0,(x-3)(-3x-3)=0, x一3=0或-3x一3=0，所以01=3，x2=一1. 18.解：设每轮传播中平均一人传播了x人， 根据题意，得3+3x+(3十3x)x=864×50%, 整理，得x+2x-143=0, 解得x=11或x=一13（舍去） 答：每轮传播中平均一人传播了11人. 19.解：1D由题意可知△=1+4m>0∴m>- :m≠0，∴m>-号且m≠0. (2)将x=1代入mx2-x-1=0, .m-1-1=0,.m=2. 设该方程的另外一个根为x, 由根与系数的关系可知1Xx=一2，心x=一2 20.解：(1)18×10×80%=144（平方米） 答：该广场绿化区域的面积为144平方米。 (2)设广场中间小路的宽为x米， 依题意，得(18-2x)(10-x)=144, 整理，得x2-19x十18=0， 解得x1=1,x2=18(不合题意，舍去). 答：广场中间小路的宽为1米。 21.解：(1)设两动点经过t秒时，使得BP=CQ,则16-2t=t, 解得=9 答：两动点经过秒时，使得BP=CQ, (2)设两动点经过x秒时，使得四边形PBCQ面积是矩形 ABCD面积的是则2(CQ+BP)·BC=是AB·AD, 即号×(x+16-2)×6=最×16×6，解得x=号 答：两动点经过号秒时，使得四边形PBCQ面积是矩形 ABCD面积的2： 5 (3)两动点经过(0≤k≤8)秒，使得△BQP是等腰三角形. ①当BP=QP时，如答图，过点Q作QH⊥BP于点H. 则PQ=√(BP-CQ)2+HQ, 所以16-2k=√(16-2k-k)2+62, 整理，得52-32十36=0， 解得-16+2，k,=16-2四 5 5 ②当BP=BQ时，BQ=V√BC+CQ. 则16-2k=√/62+， 答图 整理，得3k2-64k十220=0. 解得k=32-2I(舍)或32+？工（舍）： 3 3 39 数学九年级上册(RJ) ③当QP=BQ时，√(BP-CQ)2+HQ=√BC+CQ, 即√(16-2k-)2+6=√6+， 整理，得(16一3)2=， 解得，=4，k,=8(与点B重合，舍去) 综上所述，当两动点经过16+2四秒或16-2√四秒或4 5 5 秒时，使得△BQP是等腰三角形， 22.解：(1)-7 (2)将方程x2-3x-4=0变形为x(x一3)=4， 画四个长为x,宽为x一3的矩形，如答图所示，构造一个” 空心”大正方形， 则图中大正方形的面积从整体看可表示 x.3 为(x十x一3)”，从局部看还可表示为四 个矩形与中间小正方形面积之和，即4x (x一3)+32=4×4十9=25，因此，可得x-3 新的一元二次方程(x+x一3)”=25. x-3 答图 ,x及x一3表示边长， .2x-3=5,即x=4. (3)2-3x=1 23.解：(1)①2+32②93 (2)①x2-6x+10=(x-3)2+1,最小值为1； ②y=一x2+2x十3最大值为4. (3)解：设长为x,宽10一x, 面积S=x(10-x)=一x2+10x=-(x-5)2+25 -(x-5)2≤0，.最大值为25. 第二十六章《二次函数》素养检测 1.C2.C3.A4.A5.A6.C7.D8.A9.C10.A 11.<-112.x<-4或x>213.314.615.18 16.解：设抛物线的解析式为y=a(x十1)2-2， 把(0，一3)代入解析式，得a=一1， ∴y=-(x十1)2-2=-x2-2x-3, .抛物线的解析式为y=一x2-2x一3. 17.解：抛物线整理，得y=(一x2十4x一4)十4十7， ∴.y=-(x-2)2+11. ,a=一1<0，.抛物线开口向下，对称轴为直线x=2, 抛物线的顶点坐标为(2,11). 18.证明：根据二次函数与一元二次方程的关系， 函数y=x+2mx十m-1的图象与x轴有两个公共点相当 于一元二次方程x2十2m.x十m-1=0有两个不相等的实数 根，此方程中△=(2m)2-4(m-1)=4m2一4m十4= 4(m-)广+3>0， .不论m取何值，一元二次方程x2十2mx十m一1=0总有 两个不相等的实数根， 即不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点 19.解：.AB=CD=xm,.BC=(40-2x)m. 根据题意，得S=x(40-2x)=-2x2+40x. .S=-2x2+40x=-2(x-10)2+200, ∴.当x=10m时，S有最大值，S大=200m2, 即当x=10,围成的菜园的面积最大，最大面积是200m. 20.解：(1)W与x的函数关系式为 W=(60-40-x)(100+8x)=(20一x)(100+8x)=一8x2 +60x+2000(0<x≤20). (2)由(1)知，W=-8x2+60x+2000 =-8(x-5)》广+212.5 一8<0，且x为整数， ∴.当x=4时，W最大，最大值为2112. .此时定价为60一4=56（元）， 即当定价为56元时，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润 最大，最大利润是2112元， 21.解：(1)设抛物线的函数表达式为y=一0.1x2+bx十c, 由题意可知，点(0,1)和(6,1)都在该抛物线上， ix+6+c1.解得.6 .抛物线的函数表达式为y=一0.1x2十0.6x十1. (2)y=-0.1x2+0.6x+1=-0.1(x-3)2+1.9, .当x=1时，y=-0.1(1-3)2+1.9=1.5,1.5<1.63, .小梦头顶会碰到绳子. 令1.63=-0.1x+0.6x+1,解得x=3±33@ 10 六她至少府要向乙移动8-3®-1=(2-3四)米才 10 不会碰到绳子. 22.解：(1)把(0，-3)，(-6，-3)代入y=-x2+bx+c, 得b=-6,c=-3. (2)由(1)知y=-x2-6.x-3=-(x十3)2+6. 又一4≤x≤0，当x=一3时，y有最大值为6. (3)①当一3<m≤0时，当x=0时，y有最小值为一3， 当x=m时，y有最大值为-m2-6m-3, .-m2-6m-3+(-3)=2, ..m=-2或m=-4(舍去). ②当m≤一3时，当x=一3时y有最大值为6. y的最大值与最小值之和为2，.y的最小值为一4， .-(m十3)2+6=-4， .∴.m=-3-√/10或m=-3+√/10（舍去）. 综上所述，m=一2或一3一√10. 23.解：(1)把x=2,y=0.25代入y=a(x-1)2+0.45, 得(2-1)2a十0.45=0.25，解得a=-0.2. .y=-0.2(x-1)2+0.45. (2)根据题意，得BG=CG=合BC=1.37(m, .OG=OB+BG=0.03+1.37=1.4(m). 当x=1.4时，y=-0.2×0.4+0.45=0.418(m) ·乒乓球位于球网正上方时，乒乓球到球网顶端H的距离 为0.418-0.15=0.268(m). (3)①(2.5,0)②0.730.45 第二十七章《反比例函数》素养检测 1.D2.D3.C4.C5.B6.B7.C8.D9.C10.B 11.±612.413.2.514.415.52 16.解：将(m,2)代入y=2x-4,得2m-4=2,解得m=3, 点A的坐标为3,2.将点A3,2》代入y=冬得=6. “反比例函数的表达式为)= 17.解：(1)由图象得，反比例函数图象经过点(4,32)， 设)与x的函数关系式是y= 冬=32，解得=128， y与x的函数关系式是y=128 (②)当=80时，128=80，解得x=1.6 y≥80时，x=128≤1.6.c最大值为1.6. y .钢丝的横截面积最多为1.6mm2.