第25章 一元二次方程 提优小练习-2026-2027学年人教版数学九年级上册

第25章一元二次方程提优小练习-2026-2027学年数学九年级上册人教版 一、选择题 1．在下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．2（x-3）=x B．x-3y+1=0 C． D． 2．若关于x的一元二次方程有一根是3，则m的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 3．把一元二次方程( 化为一般形式，正确的是(　　) A． B． C． D． 4．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 5．用配方法解一元二次方程 ，下列配方正确的是（　　） A． B． C． D． 6．关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的值可能是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 7．为鼓励师生阅读，某校图书馆开展阅读活动，自活动开展以来，进馆阅读人数逐月增加，第一个月进馆阅读人数为150人，第三个月进馆阅读人数为384人.若进馆阅读人数的月增长率相同，设月增长率为x，依题意可列方程为（　　） A． B．150(1+2x)=384 C． D． 8．对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为，则方程的正数解是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 二、填空题 9．把一元二次方程化为一般形式，结果是　 　． 10．关于x的一元二次方程.有两个相等的实数根，则m的值是　 　。 11．已知矩形的两条边长分别是一元二次方程的两个根，则该矩形的对角线长为　 　. 12．如图，利用一面墙(墙长20米) ，用总长度为43米的篱笆(图中实线部分)围成一个矩形鸡舍，且中间共留两个1米的小门，若矩形鸡舍的面积为150平方米，设篱笆的长为x，则可列方程为　 　 ． 13．若一元二次方程的两个根为，则的值为　 　． 14．对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号Max{a，b}表示a，b中的较大值，如：Max{2，4}=4，按照这个规定，方程Max{x，-x}=x2-2的解为　 　. 三、解答题 15．解方程： （1）； （2）． 16． （1） 解方程： （2） 计算： 17．“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高.某市参加健身运动的人数逐年增多，从2022年的万人增加到2024年的万人． （1）求该市近两年参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，某社区决定从A公司购买某种套装健身器材.该公司规定：若购买量不超过套，每套售价为元；若购买量超过套，则购买量每增加套，每套售价可降低元，但每套最低售价不得少于元．已知社区向该公司支付货款万元，求购买的这种健身器材的套数． 18．已知关于x的一元二次方程 （1）判断方程根的情况； （2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两根，第三边BC的长为5，当k为何值时，△ABC是直角三角形，并求出△ABC的面积. 19．阅读下列材料： 配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来求某些代数式的最值. 我们可以通过以下方法求代数式 的最小值. 解： ∴当x=-3时， 有最小值-4. 请根据上述方法，解答下列问题： （1）若 则a=　 　， b=　 　； （2）求代数式 的最值； （3）若代数式 的最大值为8，求k的值. 20．我们给出定义：若关于x的一元二次方程 的两个实数根为x1，x2(x1≤x2)，分别以x1，x2为横坐标和纵坐标得到点M(x1，x2)，则称点M为该一元二次方程的衍生点. （1）若方程为 则该方程的衍生点 M 的坐标为　 　； （2）若关于x的一元二次方程： 的衍生点为 M，过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值； （3）是否存在b，c，使得不论k(k≠0)为何值，关于x的方程 的衍生点M始终在直线y= kx+2(k+3)上? 若存在， 请求出b， c的值， 若不存在， 请说明理由. 答案解析部分 1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】C 4．【答案】D 5．【答案】B 6．【答案】A 7．【答案】C 8．【答案】A 9．【答案】 10．【答案】-4 11．【答案】 12．【答案】 13．【答案】 14．【答案】2或-2 15．【答案】（1）解：， ，，， ， ， 即，； （2）， 移项，得， 所以， 所以或， 解得：，． 16．【答案】（1）解：因为a＝1， b＝－3， c＝1， 所以 所以 （2）解：原式 17．【答案】（1）解：设该市近两年参加健身运动人数的年均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该市近两年参加健身运动人数的年均增长率为； （2）解：∵元， ∴购买的这种健身器材的套数大于50套， 设购买的这种健身器材的套数为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，售价元（不符合题意，故舍去）， 答：购买的这种健身器材的套数为100套． 18．【答案】（1）解：∵在方程中， ∴方程有两个不相等的实数根 （2）解： 不妨设AB=k+1，AC=k+2， ①当BC=5为斜边时，有，即 解得：（舍去）.此时AB=3，AC=4 则直角三角形的面积为： ②当AC=k+2为斜边时，有即 解得：k=11.此时AB=12，AC=13 则直角三角形的面积为： 综上， k=2时，△ABC面积为6； k=11时，△ABC面积为30 19．【答案】（1）2；1 （2）解： ∴当x=-1时， 有最小值-3，无最大值. （3）解： 7. ∴该代数式有最大值 ∵代数式 的最大值为8， 解得k=±2. 20．【答案】（1）(1， 2) （2）解：方程 的解为x=1或x=5m， 由题意，得|5m|=1， 即m的值为或 ​​​​​​​ （3）解： 存在. ∵y= kx+2(k+3)= kx+2k+6=k(x+2)+6， ∴直线y= kx+2(k+3)经过点(-2， 6). ∴方程 的衍生点M的坐标为(-2，6). ∴方程 的两根为−2和 6. 解得 ​​​​​​​ 学科网（北京）股份有限公司 $