第三十章 第54课时 圆的切线(1)——切线的性质-【宝典训练】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂（人教版·新教材）

数学·九年级·上册（人教版） 第54课时 圆的切线 A基础巩固●● 落实课标 1.如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点 A,∠ABC=25°，OC的延长线交PA于点P, 则∠P的度数是 A.25° B.35 C.40° D.50 (第1题图) (第2题图) 2.如图，P为⊙O外一点，PT与⊙O相切于点T, OP=10,∠OPT=30°，则PT长为( A.5√3 B.5 C.8 D.9 3.（2025·浙江模拟)如图，AB是⊙O的直径， AC与⊙O相切，A为切点，连接BC.已知 ∠ACB=50°，则∠B的度数为 D B 0 (第3题图) (第4题图) (第5题图) 4.如图，△ABC内接于⊙O,AB是直径，过点A 作⊙O的切线AD.若∠B=35°，则∠DAC的 度数是 度 5.(2025·徐州模拟)如图，AB是⊙O的直径，点 C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D, 若∠C=20°，则∠CAD= B能力提升●。· 灵活应用 6.(2025秋·蜀山区期末)如图， P是⊙O外一点，PA是⊙O的 切线，A为切点，PO交⊙O于 点B,C是优弧AB上一点，若PA=√3，PO= 2,则∠BCA的度数为 ●>142 (1) 切线的性质 7.（(2021秋·镇江期末)如图，AB是⊙O的弦， AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心. 若BC=9,AC=3,求⊙O的半径 8.(2025秋·商洛期末)如图，AB是⊙O的直 径，OD⊥AB交⊙O于点D,点C为AB上方 ⊙O上一点，连接AC,CD,CD与AB交于点 E,过点C作⊙O的切线CF交AB的延长线 于点F (1)求证∠FCE=∠OED; (2)若CF=4,BF=2,求OF的长. 第三十章直线与圆的位置关系 C拓展应用●。 深度思考 10.(2025·西宁模拟)如图，PA,PB是⊙O的切 线，A,B为切点，连接OA,OB,过点O作 9.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的 OC∥PA交PB于点C,过点C作CD⊥AP, 直径，点D在⊙O上，AC=CD,连接AD,延 垂足为D. 长DB交过点C的切线于点E. (1)求证OC=AD; (1)求证∠ABC=∠CAD; (2)若⊙O的半径是3，PA=9,求OC的长. (2)求证BE⊥CE. ●>1430放圆维的底面圆的半径为2经-1 所以圆锥的高为√52一1=2√6， 该圆维的体积是号×xX1X26-26 π. 11.解：(1)设∠BAC=n°. :元·DE=mrAD,AD=2DE,m=90. 180 .∠BAC=90°. (2)∠BAC=90°，AB=AC △ABC是等腰直角三角形. .'AD=2DE=10 cm,.'.BC=2AD=20 cm. Sa=2·Bc·AD-Saae=合X20X10-90800 360 =(100-25π)(cm). 微专题12求不规则图形面积 1.B2.D3.D4.B5号x657.2x8 9.D10.A1.C12.D13.-514.2+3E 15.8x16.号17.(9元-18)18.D 第二十九章《圆》易错疑难集训 1.B2.(1)0<a≤10(2)63.200.964.3：4 5.C6.√/107.C8.20°9.9410.2011.7 12.解：四边形ABCD内接于⊙O, ∴.∠BAE+∠DCB=180°， ,∠BAE=40°，∴.∠DCB=140°， CE=CD,∴∠E=∠CDE, 又.∠DCB=∠E+∠CDE=140°， .∠CDE=70. 13.(1)证明：AB是⊙O的直径，OD⊥BC, ,BD=CD,即点D为BC的中点. (2)解：：AB是⊙O的直径，OD⊥BC, .BE=EC=4,.'.BC=BE+CE=8, ,AB是⊙O的直径，∴.∠ACB=90°， .AC=6,..AB-AC+BC=10, ∴.OD=OB=5,∴.OE=VOB2-BE=3, ∴.DE=OD-OE=5-3=2. 14.解：如答图，过点O作OC⊥AB于点C,连接OA, ∠AC0=90°，AC=号AB, 0.8m .AB=0.8m, .AC=0.4m, 直径为1.2m, .OA=0.6m,在Rt△AC0中， 答图 根据勾股定理，可得 0C=V0m-AC=√0.6-0.平=5≈0.4m, .OA+OC≈0.6+0.4=1.0(m), .水的最大深度为1.0m. 15.D16.D17.4 第52课时《圆》单元复习 1.A2.C3.C4.A5.A 6.30°7.12π8.60π9.510.120 11.解：由题意得，圆锥的母线长为√2+7=√(2√2)2+1= 3(cm), ∴.圆锥的侧面积为π×1×3=3π(cm) 答：圆锥的侧面积为3πcm. 参考咨案 12.(1)证明：，FP=FD,∴.∠P=∠FDP, ∠P=∠C,∴∠C=∠FDP,.PD∥CB. (2)解：如答图，连接OC, ,AB是直径，AB⊥CD, ∴E为CD的中点， AB=26,CD=24, ∴.OC=OB=13,CE=12, ∴.OE=√0C-CE=√/132-122=5， .BE=OB-OE=13-5=8. 13.(1)证明：：AC是Rt△OAB斜边上的高， 答图 .∠OAB=90°=∠ACB, OA=OD,.∠OAD=∠ODA, ∴.90°-∠OAD=90°-∠ODA, ∴∠CAD=∠BAD,∴.AD平分∠BAC. ②解：AC=6,anB-瓷是 ..BC=8,..AB=AC+BC=10, 如答图，过点D作DM⊥AB于 点M, :AD平分∠BAC, .DC=DM, tan∠CAD=tan∠BAD, 器器 答图 ..AC=AM=6,..BM=AB-AM=4, nB-8器子∴DM=3, ∴.BD=W√DM+BM=5. 第三十章直线与圆的位置关系 第53课时直线与圆相离、相切、相交 1.B2.A3.C4.B5.C6.相切 7.A8.B9.D10.C 11.解：直线BC与⊙D相切. 证明：如答图，过点D作DF⊥BC于点F, ∴∠CFD=∠CAD=90°. CD平分∠ACB, .DF=DA. DA为半径， .直线BC与⊙D相切. 答图 12.解：如答图，作AD⊥BC于点D. .AB=AC=10, AD⊥BC,BC=12, .BD=6. 在Rt△ABD中，根据勾股定理得 AD=√/AB-BD=√/102-62=8， 故圆心A到直线BC的距离d为8. 答图 (1)当r=6时，即d>r,则直线BC与⊙A相离. (2)当r=8时，即d=r,则直线BC与⊙A相切. (3)当r=12时，即d<r,则直线BC与⊙A相交. 第54课时圆的切线(1)一切线的性质 1.C2.A3.40°4.355.356.30 7.解：如答图，连接OA. AC是⊙O的切线，.∠OAC=90°. .BC=9,∴.OC=9-OA. .OA2+AC=OC, .OA2+32=(9-OA)2 .OA=4.故⊙O的半径为4. 答图 5 数学九年级上册(RJ) 8.(1)证明：如答图，连接OC,则OC=OD, .∠OCD=∠D CF与⊙O相切于点C,.CF⊥OC ,OD⊥AB,∴.∠OCF=∠DOB=90° ∴.∠FCE+∠OCD=90°， ∠OED+∠D=90°. .∠FCE=∠OED. (2)解：∠OCF=90°，CF=4,BF=2, ∴.OC+CF=OF,且OC=OB=OF-2. ∴.(OF-2)2+42=OF,解得OF=5. .OF的长是5. 9.证明：(1)，AC=CD,.∠CAD=∠ADC '∠ABC=∠ADC,.∠ABC=∠CAD. (2)如答图，连接OC. ,CE与⊙O相切于点C, ∴.∠OCE=90° 四边形ADBC是圆内接四边形， .∠CAD+∠DBC=180° ∠DBC+∠CBE=180°， .∠CAD=∠CBE. ∠ABC=∠CAD,.∠CBE=∠ABC. .OB=OC,.∠OCB=∠ABC .∠OCB=∠CBE.∴.OC∥BE. ∴.∠E=180°-∠OCE=90°..BE⊥CE 10.(1)证明：，PA,PB是⊙O的切线，OA,OB是⊙O的半径， .OA⊥PA,OB⊥PB. .OC∥PA,CD⊥AP,∴.CD⊥OC .∠OAD=∠CDA=∠OCD=90° .四边形OADC是矩形..OC=AD (2)解：设OC=AD=x. :四边形OADC是矩形，⊙O的半径是3，PA=9, ..OA=OB=CD=3,PD=PA-AD=9-. .OC∥PA,∴.∠OCB=∠P. .'OB⊥PB,CD⊥AP,∴.∠OBC=∠CDP=90° ∠OBC=∠CDP=90°， 在△OCB和△CPD中， ∠OCB=∠P, LOB=CD, .△OCB≌△CPD(AAS), ∴BC=PD=9-x 在Rt△OCB中，由勾股定理得OC=OB十BC心， 即x2=32十(9一x)2,解得x=5, .0C=x=5. 第55课时圆的切线(1)一切线的判定 1.25 2.证明：如答图，过点O作OE⊥AC,垂足为E O为∠BAC平分线上一点， OD⊥AB于点D, ..OE=OD. ,OE⊥AC .⊙O与AC相切 答图 3.证明：DB与⊙O相切于点B, .DB⊥OB.∴.∠OBD=90°. AC=BC,.∠AOC=∠BOC ,OA=OB,∠AOD=∠BOD,OD=OD, ∴.△AOD≌△BOD(SAS). .∠OAD=∠OBD=90° OA是⊙O的半径，且OA⊥AD, ∴.AD为⊙O的切线. 4.证明：如答图，连接OC .OC=OB,∴.∠B=∠BCO. .∠AOC=∠B+∠BCO=2∠B. ,AB⊥CD,∴.∠CEO=90° .∠COE+∠OCE=90° ∠FCD=2∠B,∠FCD=∠COE. 答图 .∠FCD+∠OCE=90° ∴.∠OCF=90°. OC是⊙O的半径，.CF是⊙O的切线。 5.证明：如答图，连接OE .EF⊥AC,∴.∠EFD=∠EFC=90° ,AB=AC,.∠B=∠C .'OB=OE,.∠B=∠OEB. ∠OEB=∠C.∴.OE∥AC .∠OEF=∠EFC=90 :OE是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线。 6.(1)解：如答图，连接OC AB是⊙O的直径，点C为AB的中点， .∠BOC=90°. :∠A=2∠B0C,·∠A=45 (2)证明：OA=OB,AC=CD, .OC∥BD.∴∠BOC+∠ABD=180. 答图 .∠ABD=180°-∠BOC=90°..OB⊥BD 点B在⊙O上，.BD与⊙O相切. 7.(1)证明：如答图，连接OD :BD平分∠ABC, ∴.∠ABD=∠DBC .OB=OD,.∠ABD=∠ODB .∠ODB=∠DBC..OD∥BE DE⊥BE,OD⊥DE 答图 .DE是⊙O的切线. (2)解：如答图，连接AC ,AB是⊙O的直径，.∠FCB=90°. .∠FCE=90° ∠FDE=90°，∠DEC=90°， ∴.四边形FDEC是矩形. .DE=CE=2,AF=FC=DE=4. 设⊙0的半径为r, 在Rt△OAF中，由勾股定理得(r-2)2+4=2, .r=5.故⊙0的半径是5. 8.(1)证明：如答图，连接OC,BD ,四边形ABCD内接于⊙O, ∴.∠ABC+∠ADC=∠ADC+∠CDE =180°. ∴.∠ABC=∠CDE. ∠ABC+∠DCE=90°， .∠DCE+∠CDE=90° ∴.∠CED=90° ,AB为⊙O的直径，.∠ADB=90° ∴.∠CED=∠ADB.∴.BD∥CE. 点C是DB的中点，∴.OC⊥BD.∴.OC CE. OC是⊙O的半径，.CE为⊙O的切线。 (2)解：如答图，设OC与BD交于点G. 由(1)知∠E=∠GDE=∠GCE=90°， .四边形EDGC是矩形. ∴.GC=DE=2,CE=DG=4. ..BG=DG=4. .OA=OB,.OG是△ABD的中位线.∴.AD=2OG.