第二十九章 第46课时 垂直于弦的直径-【宝典训练】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂（人教版·新教材）

数学·九年级·上册（人教版） 第46课时 垂直于弦的直径 A基础巩固 ●● 落实课标 6.小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块 碎片如图所示，若要去店里配到一块与原来大 1.(2025·长沙)如图，在⊙O中，弦AB的长为 小一样的圆形镜子，应该带去店里的碎片是 8,圆心O到AB的距离OE=4,则⊙O的半径 长为 ) A.① A.4 B.4√2 C.5 D.5√2 B.② C.③ ③ D.均不可能 7.(2025秋·北京期末)石拱桥是中国传统桥梁 B (第1题图) (第2题图) (第3题图) 四大基本形式之一，如图，某石拱桥的桥拱是 2.如图，AB是⊙O的弦，直径CD平分AB,交 圆弧形.如果桥顶到水面的距离CD=8m,桥 AB于点H,连接OA,若∠A=45°，AB=2,则 拱的半径OC=5m.求此时水面的宽AB长. DH的长度为 A.1 B.√2-1 C.22-1 D.3 3.(2025·新疆)如图，AB是⊙O的直径，CD是 ⊙O的弦，AB⊥CD,垂足为E.若CD=8, OD=5,则BE的长为 ( A.1 B.2 C.3 D.4 B能力提升 灵活应用 4.如图，A,B,C是⊙O上的点，OC⊥AB,垂足为 D,且D为OC的中点，若OA=7,则BC的长 为 (第4题图) (第5题图) 5.如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC,垂 足为D,若⊙O的半径为2，则弦AB的长为 ●120●. 第二十九章圆 C拓展应用●●。· 深度思考 (2)求这座石拱桥主桥拱的半径（精确 8.如图，在⊙O中，AB是弦，∠E=30°，半径为 到1m). 4,OE=6,则AB的长为 A.√7 B.√5 C.27 D.25 9.(2025秋·嵊州市期末)如图，⊙O的半径为 5,点C是弦AB上一点，若AB=8,设OC= x,则x的取值范围是 ( 11.(2025秋·浏阳市期末)已知⊙O的半径为 A.3≤x≤5 13,弦AB平行于CD,CD=10,AB=24,求 B.3<x≤5 AB和CD之间的距离. C.4≤x≤5 D.4<x≤5 10.石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶 (如图1)，隋代建造的赵州桥距今约有1400 年历史，是我国古代石拱桥的代表.如图2是 根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥 的主桥拱是圆弧形，表示为AB,桥的跨度（弧 所对的弦长)AB=26m.设AB所在圆的圆心 为O,半径OC⊥AB,垂足为D,拱高（弧的中 点到弦的距离)CD=5m,连接OB. 图 图2 (1)直接判断AD与BD的数量关系； ●>121(0：数学九年级上册(RJ) 2.C3.C4.D5.a=b=c 6.证明：如答图，连接OA,OC .OA=OB,.∠OAB=∠OBA :OC=OB,∴.∠OBC=∠OCB. BO平分∠ABC,∠OBC=∠OBA. .∠OAB=∠OCB. ,OB=OB,.△ABO≌△CBO ∴.BA=BC. 答图 7.证明：OA,OB是⊙O的两条半径，.OA=OB. C,D分别是半径OA,OB的中点，∴.OC=OD. 在△ODA和△OCB中，OA=OB,∠O=∠O,OD=OC, .△ODA≌△OCB(SAS)..AD=BC 8.解：CB=CD,∴.∠B=∠CDB. ,∠B+∠CDB+∠BCD=18O°， ÷∠B=2180°-∠BCD)=(180°-40)=70 ∠ACB=90°，∴∠A=90°-∠B=20°. 9.解：(1)AB=OC,OB=OC, ∴.AB=OB.∴.∠AOB=∠A=20° (2)∠OBE=∠A+∠AOB,.∠OBE=2∠A. OB=OE,.∠OBE=∠E. ∴.∠E=2∠A..∠DOE=∠A+∠E=3∠A=60° 10.解：如答图，连接OC. 四边形OBCD是矩形， ∴.∠OBC=90°， BD-OC=OA=10. ∴.OB=√OC2-BC2=√102-82=6， ∴.AB=OA-OB=4. 答图 11.解：(1)四边形ABCD是矩形. 理由：，AC,BD是⊙O的两条直径，.OA=OC,OB=OD. ∴.四边形ABCD是平行四边形. AC=BD..四边形ABCD是矩形 (2)四边形ABCD是矩形，.∠DAB=90° ∠AOB=120°，OA=OB,∠ABD=30. 在Rt△ABD中，BD=8,.AD=4,AB=4√3. ∴.四边形ABCD的周长为4+4十43+4√3=8十8√3，面 积为43×4=16√3. 第44课时过三点的圆(1) 1.同一直线上2.顶点圆心3.D4.D5.(2,0) 6.解：如答图，(1)在圆上取两条弦AB,AC; 答图 (2)分别作AB,AC的垂直平分线，交于一点O. 则点O就是所求的圆心， (3)连接OA,则OA就是这个圆的半径 7.D8.C9.C10.B 11.解：(1)该圆弧所在圆的圆心D点的位置如答图所示 y 024.6 答图 (2)(2,0) 如答图，连接DC,由勾股定理得DC=√2十4=2√5， .⊙D的半径长为25. 12.解：如答图， :0为外心，0D1BC,BD=2BC=12cm, 又OD=5cm,.由勾股定理，得 0B=√BD+0D=√122+5=13(cm), .△ABC的外接圆的半径是13cm. 13.解：(1)作图如下： y -- 答图 (2)由图可知：AC,AB的中垂线相交于点P(3,-3) 故△ABC的外接圆的圆心坐标是：(3，-3). 第45课时过三点的圆(2) 1.D2.B3.A4.C5.D6.∠A≤90° 7.一个五边形中，有4个内角为锐角8.A9.一11 10.直角三角形是完全三角形等腰直角三角形，是直角三角 形，但三边比是：1：1：√2，不是完全三角形 11.a∥b两直线平行，内错角相等∠1≠∠2 12.AB=AC∠B=∠C已知∠B≠∠CAB≠AC 13.证明：假设√2不是无理数，是有理数， 则2可以表示为名，且a,b互质，∴（名）2=（②， .b2=2a2,b为偶数，b为偶数， 设b=2k,则(2k)2=2a2, ∴.a2=2k2,∴.a2为偶数，.a为偶数， 这与a,b互质相矛盾，√2不是有理数，是无理数. 14.解：(1)用反证法证明命题：“三角形的三个内角中，至少有 一个内角大于或等于60° 先假设所求证的结论不成立，即三角形内角中全都小 于60°. 故答案为：三角形内角中全都小于60° (2)逆命题：“一次函数y=kx十b的图象不经过第二象限， 则>0，b>0,” 逆命题为假命题，反例：当b=0时，一次函数图象也不过第 二象限（不唯一）. 第46课时垂直于弦的直径 1.B2.B3.B4.75.2√36.A 7.解：如答图，连接OA, 则OA=OC=5m. :CDLAB,.AD=BD=合AB. 在Rt△ADO中， OD=CD-OC=8-5=3(m),∠AD0=90°， .AD=√OA-OD=√5-32=4(m). 答图 ∴.AB=2AD=8m. 故此时水面的宽AB长为8m. 8.C9.A 10.解：(1)OC⊥AB,.AD=BD. (2)设主桥拱半径为Rm, 由题意可知AB=26m,CD=5m, :0CLAB,∴BD=2AB=13m, OD=OC-CD=(R-5)m. ∠ODB=90°，∴.OD2+BD2=OB. .(R-5)2+132=R2, 解得R=19.4m≈19m. 答：这座石拱桥主桥拱的半径约为19m 11.解：如答图1，当⊙O的圆心O位于AB,CD之间时，作OE ⊥AB于点E,并延长EO,交CD于点F,连接AO,CO. AB∥CD,∴EF⊥CD. CD=10,AB=24, B AE-7AB-12,CF-2CD-5. ★0 F 在Rt△AEO中，由勾股定理得 D OE=√/OA2-AE=5; 答图1 在Rt△CFO中，由勾股定理得OF=√OC-CF=12. ∴.EF=OE+OF=5+12=17. ∴.AB和CD之间的距离为17 如答图2，当⊙O的圆心O不在两平行弦 AB,CD之间（即弦AB,CD在圆心O的同 侧)时， 同理可得OF=12,OE=5, ..EF=OF-OE=7. 答图2 .AB和CD之间的距离为7. 综上所述，AB和CD之间的距离为7或17 第47课时圆心角 1.A2.A3.D4.A 5.解：如答图，连接AB,BC,分别作AB,BC的垂直平分线，即 可得到圆心Q, 答图 由图可得：CQ=AQ=12+2=5,AC=12+32=10, .CQ+AQ=AC,故∠AQC=90°， 即AC所对的圆心角为90° 6.解：(1)∠AOC=∠BOD,理由如下： .∠AOD=∠AOC+∠COD ∠BOC=∠BOD+∠COD,∠AOD=∠BOC=90°， .∠AOC=∠BOD. (2),∠AOD=∠AOC+∠COD, ∠BOC=∠BOD+∠COD, ∠AOD=∠BOC=90°，∠COD=30°， ∠AOC=∠BOD=60°， ∴.∠AOB=∠AOC+∠COD+∠BOD =60°+30°+60°=150°. 7.解：如答图所示，连接OD, .CD-OA-OD-OE, ∠CEO=40°， ∴.∠ODE=∠E=2∠C=40°， .∠C=20°， ∴.∠BOE=∠C+∠E=60° 答图 2 参考咨案 8.解：如答图，连接OC,设OC=OE=m EMLCD,CM-MD-CD-3. .'OC=CM+OM, .2=32+(9-r2,r=5. .⊙0的半径为5. D 9.(1)证明：如答图，连接OC. 答图 :AC=BC,∠AOC=∠BOC. ,CD⊥OA,CE⊥OB, ..CD=CE. ∠COD=∠COE, 在△COD和△COE中，〈∠CDO=∠CEO, LOC=OC, .△COD≌△COE(AAS)..OD=OE 答图 .OA=OB,:.AD=BE. (2)解：AD=D0,0A=3AD=D0=号. CD.LOA.CD--OD-- 2 10.(1)证明：连接OA,OB,如答图所示. OA=OB,.∠A=∠B. AC=BD,∠AOE=∠BOF 在△AOE和△BOF中， ∠A=∠B, OA=OB, ∠AOE=∠BOF, 答图 ∴.△AOE≌△BOF(ASA)..AE=BF (2)解：OM=4.5. 第48课时圆周角(1) 1.B2.D3.A4.B5.346.757.18.D9.90 10.解：(1)BC=CD,.BC=CD. ∴·∠CBD=∠BAC=∠CAD. :∠CBD=36°，∴.∠BAC=∠CAD=36°. .∠BAD=36°+36°=72°. (2)CB=CE,∴.∠CBE=∠CEB. ∴，∠DBE+∠CBD=∠BAE+∠ABE. .∠CBD=∠BAC=∠BAE, ∴.∠ABE=∠DBE=24°. 11.(1)证明：D是BF的中点，∠ECG=∠ECB. CD⊥AB,∴.∠CEG=∠CEB=90° .∠CGE=∠CBE..CG=CB. CE⊥BG,∴GE=BE. (2)解：如答图，连接OC AG=6,BG=4,.AB=6+4=10. 0 0C=0B=7AB=5. ∴.OG=OB-BG=5-4=1 由（①）知GE=BE=合BG=2 答图 .OE=OG+GE=1+2=3. .CE=√OC-OB=√52-32=4. .ABLCD,..CD=2CE=2X4=8. 第49课时圆周角(2) 1.802.703.140 4.证明：.四边形ABCD内接于⊙O,.∠ADC十∠B=180°. .∠B=105°，.∠ADC=180°-105°=75°. :∠A0D=150,∠ACD=号∠A0D=75 ∴.∠ADC=∠ACD..AC=AD. 3