29.2.1 垂直于弦的直径-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（人教版·新教材）

29.2 圆的有关性质 @29.2.1 垂直于弦的直径 ①基础在线沙 :知识要，点分类练 知识点1圆的对称性 1.下列说法正确的是 A.直径是圆的对称轴 B.经过圆心的直线是圆的对称轴 知识点3垂径定理的推论 C.与圆相交的直线是圆的对称轴 5.如图，在⊙O中，点C是弦AB的中点，∠AOC D.与半径垂直的直线是圆的对称轴 =50°，则∠OAB的度数为 知识点2垂径定理 2.(中考·宜宾)如图，AB是⊙O的弦，半径OC ⊥AB于点D.若AB=8,OC=5,则OD的长 是 () A.3 B.2 C.6 D. 5 第5题图 第6题图 6.如图，⊙O的半径为5，弦AB=8,点C是AB 的中点，连接OC,则OC的长为 () 0 A.1 B.2 C.3 D.4 D D 知识点4垂径定理及其推论的应用 C 第2题图 第3题图 7.(安徽期末)球形烧瓶底部呈球状（如图①），在 3.(教材P125练习T2变式)（长沙月考）如图， 化学实验中的主要作用是盛放液体或作反应 AB,AC是⊙O两条互相垂直的弦，OD⊥AB 容器.图②是一球形烧瓶底部的截面图，瓶内 于点D,OE⊥AC于点E,连接DE.若AB=6, 液体的最大深度CD=3cm,液面所在的弦 AC=8,则DE的长为 AB=12cm,则其截面圆的半径为 () 4.(扬州月考)如图，OA=OB,AB交⊙O于点 A.6.5 cm B.7 cm C,D,OE是半径，且OE⊥AB于点F. C.7.2 cm D.7.5 cm (1)求证：AC=BD: (2)若CD=8,EF=1,求⊙O的半径. ←10* 罗B D 图① 图② 第7题图 第8题图 8.（中考·南京)一枚圆形古钱币的正中间是一 个正方形孔，它的部分尺寸（单位：mm)如图， 这枚古钱币的半径为 mm. 93探究在线 九年级数学（上） 9.(教材P125练习T3变式)（北京期末）如图， 圆形拱门的形状是以点O为圆心的圆的一部 分，如果D是⊙O中弦AB的中点，连接DO 并延长交⊙O于点C,且AB=2m,CD=3m, 则⊙O的半径为 14.(温州月考)如图，AB是⊙O的直径，AB= 10,点C,D在⊙O上，连接CD,BD,取CD, BD的中点E,F,连接OE,OF (1)若CD=4,求OE的长； (2)若BD∥OC,BD=6,求CD的长. 易错点混淆垂径定理中的相关概念而致错 10.下列说法正确的是 () A.过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧 B.弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但 不一定过圆心 C.过弦的中点的直径垂直于弦 D.平分弦所对的两条弧的直径平分弦 ②能力在线沙方法规律综合燃 11.(聊城期中)如图，在半圆ACB中，AB=6,将 半圆ACB沿弦BC所在的直线折叠，若弧 BC恰好过圆心O,则BC的长是 () A.3√3 B.元 C.3 D.4π 0 -240mm→ 第11题图 第12题图 12.(武汉月考)如图，直径为260mm的圆柱形 油槽内装有一些油，截面如图所示，油面宽 AB=240mm,若油面下降70mm后，截面上 有油部分的宽度是 3 拓展在线>培优拔尖提升练 A.50mm B.100 mm 15.（中考·南通)在平面直角坐标系中，以点 C.120 mm D.130 mm A(3,0)为圆心，√13为半径作⊙A.直线y= 13.(教材P143复习题T1(1)变式)如图所示，⊙0 的直径CD=6cm,AB是⊙O的弦，AM= x一3k十2与⊙A交于B,C两点，则BC的 最小值为 BM,OM:OC=2:3,则AB的长为 cm. 第二十九章94在Rt△OFG中，OG+FG=OF2, ∴.OF=√OB2-BF=√/52-32=4. 即(x十2)2十x2=20,解得x=2(负值已舍去). .BD∥OC, 故正方形ECGF的边长为2. ∴.∠OFD=∠DMO=∠FOC=90°. 拓展在线 ∴.四边形OFDM是矩形..OM=DF=3,DM=OF=4. 16.A '.CM=OC-OM=5-3=2. 29.1.2过三点的圆 ∴.CD=WD+CM=√4+22=2√5」 第1课时过三点的圆 拓展在线 基础在线 15.6 1.C2.33.A4.C 29.2.2圆心角 能力在线 基础在线 5.A6.D7.4或-2 1.C2.60°3.C4.D5.C 8.(1)圆心M如图所示. (3,2) 6..AB=CD,..ADB=CBD, (2)2√5 (3)外 ..ADB-BD=CBD-BD,AD=BC, .'.AD=BC. 拓展在线 7.,△AOC是等边三角形，∠AOC=60° 9.W5 .∠BOC=180°-∠A0C=120°. 第2课时反证法 基础在线 :D是BC的中点，∴BD=CD. 1.D2.C3合（答案不唯-） :∠BOD=∠C0D=∠B0C=60 4.∠1+∠2≠180°=≠∠3+∠2≠180°≠ ∠AOC=∠COD..AC=CD. 能力在线 8.C 5.D6.D 能力在线 7.连接DE.假设BD和CE互相平分，则 9.B10.B11.A12.C13.< 四边形EBCD是平行四边形. 14.(1)证明：：AD=BC,.AD=BC, ∴.BE∥CD. ∴AD+BD=BC+BD,即AB=CD, 在△ABC中，点D,E分别在AC, ..AB=CD. AB上， (2)连接OB,如图所示. ∴AB与AC不可能平行，与已知矛盾. :AB=CD=8,OE⊥AB, 故假设不成立，∴BD和CE不可能互相平分. ∴EB=4. 拓展在线 由勾股定理，得OE=√OB2一EB= 8.90 √52-4区=3. 29.2圆的有关性质 同理可得OH=√2I. 29.2.1垂直于弦的直径 基础在线 .OE+OH=3+√21. 1.B2.A3.5 15.(1)证明：AB=AC,.AB=AC 4.(1)证明：OE⊥AB,.CF=DF 半径OE,OF分别与弦AB,AC垂直， OA=OB,OE⊥AB,.AF=BF ..AE=BE,AF=CF. ..AF-CF=BF-DF...AC=BD. .AE=BE=AF=CF∠AOE=∠AOF. (2)如图，连接OC,设⊙O的半径是 (2)证明：：AM∥OF,AN∥OE, r,则OF=r-1. .四边形AMON为平行四边形 :OE⊥AB,CF=DF=2CD=4. ,半径OE,OF分别与弦AB,AC垂直， CO=CF+OF, ∴AG=2AB,AH=2AC r=华+（一1，解得，号⊙0的半径是号 17 .AB=AC,.'.AG=AH. S四边形MON=OM·AG=ON·AH,.OM=ON. 5 5.40°6.C7.D8.139.号m10.D .四边形AMON为菱形. 能力在线 (3):AB=16,AG=2AB=8. 11.A12.B13.2√5 在Rt△AOG中，由勾股定理，得OG=√OA-AG=6, 14.(1)AB是⊙0的直径，AB=10, 由(2)知，四边形AMON为菱形， 0A=0B=0C=合AB=号×10=5. .设OM=AM=x,则MG=OM-OG=x-6. CD=4,点E为CD的中点， 在Rt△AGM中，由勾股定理，得x2=82+(x一6)2，解得 CE-CD-2,OE1CD. 0M 3 拓展在线 ∴.OE=√OC-CE=√52-22=√21. 16.c (2)如图所示，过点D作DM⊥OC, 29.2.3圆周角 BD=6,点F是BD的中点， 第1课时圆周角定理及其推论 DF-BF-BD-3.OFLBD. 基础在线 1.C2.∠ACB,∠ADB,∠AEB∠ADB,∠AEB 26 一探究在线·力 3.B4.B5.C6.70°7.B8.2 ..OB-BD-DC=OC. 9.(1)△ABC是等腰直角三角形， .四边形OBDC是菱形. 证明：：AC为⊙O的直径， (2)如图，连接OA. ∴·∠ADC=∠ABC=90°， .OB=OA,∠ABO=15°， :∠ADB=∠CDB,,AB=BC .∠AOB=180°-2×15°=150° AB=BC..△ABC是等腰直角三角形. 由(1)知，∠B0C=120°， .∠A0C=360°-150°-120°=90°. (2)在Rt△ABC中，AB=BC=√2， .在Rt△AOC中，AC=√OA2+OC=2√2. ∴.AC=√AB+BC2=2. 4.85.5 在Rt△ADC中，AD=1,AC=2, 6.(1)50 ∴.CD=√AC-AD2=√3. (2)这艘轮船能顺利通过. 10.60°或120 如图，设拱桥所在圆的圆心为 能力在线 点E,连接DE,则点F在DE 11.B12.C13.13°14.50°<∠APB<1409 上.作MN⊥DE,交DE于点 15.(1)证明：，∠AOC=2∠ABC,∠DAB+2∠ABC=180°， C,连接EM ∴.∠DAB+∠AOC=180°. ∴.OC∥AD. 令MN=60,则MC=MN= ×60=30(m) (2)连接BD,交OC于点E. 由(1)，得EM=DE=50m. 由题意知，AB是⊙O的直径 .∴.EF=DE-DF=50-20=30(m). ∴.∠ADB=90°，即AD⊥BD. 在Rt△CEM中，CE=√EM-MC=40(m). OC∥AD,.OC⊥BD. ..CF=CE-EF=10(m) .点E为BD的中点， 10m>9m,.这艘轮船能顺利通过. 又，O是AB的中点， 7.25 ∴.OE是△ABD的中位线.∴OE= 2AD=1, 8.(1)证明：如图，连接AD 设半圆的半径为r,则CE=r一1. AB为⊙O的直径， 由勾股定理知，OB2-OE=BE=BC-CE, ∴.∠ADB=90°，∴.AD⊥BC 即-1=(2√3)2-(r-1)2, 又AB=AC, 解得n=3,r2=-2(舍去). ∴.BD=DC,∠BAD=∠CAD. .AB=2r=6. .BD=DE..'.BD=DE. 拓展在线 ∴.BD=DE=DC. 16.B (2)如图，连接BE 第2课时 圆内接四边形 AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90° 基础在线 DE=√5，AB=5, 1.D2.65°3.20 ∴.DC=BD=√5，AC=5.∴BC=2W5. 4.(1)(2)如图所示.（答案不唯一） 设AE=x,则CE=5-x, .AB2-AE2=BC2-CE2, .25-x2=(2√5)2-(5-x)2, 解得x=3,即AE的长为3. 9.B10.15° 11.如图，连接BE, 图 图② 5.30°或150 .AC=BC,OA=OB, 能力在线 .OC⊥AB. 6.80°7.3 ∴.∠AOE=90° 8.(1)证明：由题意知，∠BAE+∠BCD=180°. ÷∠ABE=?∠A0E=45, ,∠DCE+∠BCD=180°，∴∠BAE=∠DCE. ,四边形ABED是⊙O的内接四边形， .DC=DE,∴.∠DCE=∠E..∠BAE=∠E. .∠ADE=180°-∠ABE=180°-45°=135°， (2)2√2 29.3弧长和扇形面积 拓展在线 第1课时孤长和扇形面积 9.2 基础在线 微专题12与圆的基本性质有关的辅助线作法 1.C2.D 1.B2.A 3.(1)证明：由作图方法可得OM=ON,MC=NC, 3.(1)证明：如图，连接OD. 又.OC=OC,∴.△MOC≌△NOC(SSS). .∠BAC=60°， .∠MOC=∠NOC,即∠AOC=∠BOC. ∴.∠BOC=2∠BAC=120°. :AD平分∠BAC, (2):∠A0B=60,∴∠A0C-∠B0C=7∠A0B=30 ∴.∠BAD=∠CAD 又.OM=2, BD=CD,∠BOD=∠COD=60°. ÷0E的长为302=子 .OB=OD=OC, ∴.△BOD和△COD都是等边三角形， 4.2405.125x6. 年级数学（上）