第二十六章 微专题8 二次函数综合(4)(特殊四边形问题)-【宝典训练】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂（人教版·新教材）

数学·九年级·上册（人教版） 微专题8二次函数综合(4)（特殊四边形问题） A基础巩固 ●● 落实课标 2.如图，已知二次函数图象的顶点坐标为 C(一1,0)，直线y=一x十m与该二次函数的 1.如图，抛物线y=ax2+bx-2交x轴于A,B 图象交于A,B两点，与二次函数图象的对称 两点，交y轴于点C,且BO=3AO=3. 轴交于点D,其中A点的坐标为（一3,4），B (1)该抛物线解析式为 点在y轴上. (2)若点M为抛物线对称轴上的一点，点N为 (1)m= ,这个二次函数的解析式为 抛物线上的一点.请问是否存在以B,C, M,N为顶点的平行四边形，若存在，请直 (2)若P为直线AB上的一个动点（点P与 接写出点M的坐标；若不存在，请说明 A,B不重合)，过点P作y轴的平行线与 理由. 这个二次函数的图象交于点E,在直线 AB上是否存在点P,使得以点D,C,E,P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在， 请求出此时P点的坐标；若不存在，请说 明理由. VA C:O ●>70《● 第二十六章二次函数 B能力提升 ●● 灵活应用 C拓展应用●。● 深度思考 3.如图，已知抛物线y=ax2十bx十c(a=0)过点 4.在平面直角坐标系中，抛物线y=一x2+bx十 A(3,0),B(1,0),且与y轴交于点C(0,-3), c与x轴交于A(-3,0),B(1,0)两点，与y轴 点P是抛物线AC间的一动点，从点C沿抛物 交于点C. 线向点A运动（点P与A,C不重合），过点P (1)求抛物线的解析式. 作PD∥y轴，交AC于点D. (2)如图，点P为抛物线对称轴上一点，是否 (1)该抛物线的函数解析式为 存在P,Q两点使以点A,C,P,Q为顶点的 四边形是菱形？若存在，直接写出P点的 (2)当△ADP是直角三角形时，点P的坐标为 坐标；若不存在，请说明理由。 或 (3)直接写出线段PD的最大值和此时P点的 坐标， (4)在问题(3)的结论下，若点E在x轴上，点 F在抛物线上，问是否存在以A,P,E,F 为顶点的平行四边形？若存在，求点F的 坐标；若不存在，请说明理由. D ●>71令y=0得x=-1或x=5,.B(5,0),C(0,-5), 由抛物线的对称轴为直线x=2,设Q(2,t), .BC=50,BQ=9+t2,CQ=4+(t+5)2, ①当BC为斜边时，BQ十CQ=BC, ∴.9+t2+4+(t+5)2=50,解得t=-6或t=1, .此时点Q的坐标为(2，一6)或(2,1)： ②当BQ为斜边时，BC+CQ=BQ, .50+4+(t+5)2=9+2,解得t=-7, ∴此时点Q的坐标为(2，一7)； ③当CQ为斜边时，BC+BQ=CQ, ∴.50+9+t=4+(t+5)2,解得t=3, .此时点Q的坐标为(2,3).综上所述，点Q的坐标为(2,3) 或(2，-7)或(2,1)或(2，-6). 3.解：(1)y=一x2+2x+2(2)1 (3)y=-x2+2x+2=-(x-1)2+3,.C(1,3). 设点P(1,m),因为点A(3,-1),点C(1,3), 所以AC=20,PA2=4+(m十1)2，PC=(m-3)2, ①当AC=PA时，20=4十(m十1)2， 解得m=3(舍去)或-5，此时点P的坐标为(1，-5)； ②当AC=PC时，(m-3)2=20,解得m=3士2√5， 此时点P的坐标为(1,3十2√5)或(1,3一2√5)； ③当PA=PC时，4+(m十1)2=(m-3)2, 解得m=号，此时点P的坐标为(1，)） 综上所述，点P的坐标为(1，-5)或(1,3+25)或 (1,3-2⑤或(1，号）： 4.解：(1)y=x2+2x-3 (2)如答图，过点P作x轴的垂线，交AC于点N. 设直线AC的解析式为y=x+m, 由题意，得一3十m=0”解得=-1：3y=-工-3. （m=-3, m=-3, 设P(x,x2+2x-3),则N(x,-x-3), .PN=-(x2+2x-3)+(-x-3)=-x2-3x, :△PAC的面积为3，号PN,OA=3, 即2(-2-3x)X3=3,解得=-1,4=-2， .点P(-1,-4)或(-2，-3). (3)存在点M,其坐标为(0，号)或(0，-子)： 5.(1)y=-x+2x+3(2)(3厄-3，-62+12)或(，3） 微专题8二次函数综合(4)（特殊四边形问题） 1.解：1=号-亭x-2 (2)令x=0,y=一2，点C(0,一2)，对称轴为直线x=1, 设点M1,0,点N(,号i-专n-2) ①若CM为对角线，则BN与CM互相平分， 19,-#-奇。240 2 2,2 2 解得n=-2c=9∴点M(1,9): ②若BM为对角线，则BM与CN互相平分， 型9,0*号--2-2 2 2’2 2 解得a=4,6=音∴点M1,号)： 参考咨案 ③若BC为对角线，则BC与MN互相平分， :0+31+,2+0-+号--2 2 2’2 2 .n=2,c=0,.点M(1,0) 综上所述，点M的坐标为(1，)或(1，号)或(1,0). 2.解：(1)1y=x2+2x+1 (2):y=一x十1的图象与二次函数的图象的对称轴交于点 D,.D(-1,2), 点C(-1,0),.CD=2,.PE∥DC, 只要PE=DC=2,以D,C,E,P这四个点为顶点的四边形 就是平行四边形， 设P(x,-x十1)，则E(x,x2+2x十1)， .|x2+2x+1-(-x十1)1=2， 六r+3x=2或x+3x=-2,解得G=-3+☑ =-3,7,6=-1(舍去)，x,=-2, ∴点P的坐标为(3t正，5严)或(32区 5+)或(-2,3). 2 3.解：(1)y=-x2+4x-3(2)(1,0)(2,1) (3)PD的最大值为是，P(号，)， (4)①当AE是平行四边形的对角线时，则△APE≌△EFA, ∴w=|m=是且F在x轴下方， 点F的纵坐标为-子， (生豆，-)或豆，-)： ②当AE为平行四边形的边时，F点与P点关于抛物线的对 称轴对称F(停，子)， ∴点(7，-）或，-)或(，) 4.解：(1).A(一3,0)，B(1,0)两点在抛物线上， 0=一（-3)2-36十c'解得b=一’ 0=-12+b+c, y=-x2-2x+3. (2)存在，理由如下： 抛物线y=一x2一2x十3的对称轴为x=一1， 设P(-1,t),Q(m,),A(-3,0),C(0,3), 则AC=(-3)2+32=18, AP2=(-1+3)2+2=2+4, PC=(-1)2+(t-3)2=t2-6t+10, ,四边形ACPQ是菱形， ①以AP为对角线时，则CP=CA, .t2-6t+10=18,解得t=3士w17, .P(-1,3-/17),P2(-1,3+√17)； ②以AC为对角线时，则PC=AP, ∴.t-6t+10=t+4,解得t=1,∴.P3(-1,1); ③以CP为对角线时，则AP=AC, .t2+4=18,解得t=士√/14， .P4(-1,14,P(-1,-√14) 综上所述，符合条件的点P的坐标为(-1,3-√/17)或(-1， 3+√17)或(-1,1)或(-1,14)或(-1，-/14). 3