培优专题 第26章 二次函数的实际应用2026-2027学年人教版数学九年级上册

山西九年级数学培优——二次函数压轴题 1．综合与实践 【问题情境】厨房中的锅具设计常利用抛物线的特性，实现锅身的弧度与锅盖的贴合，某款锅的纵截面轮廓近似为两条抛物线，技术人员通过建立二次函数模型，分析锅具的使用情境． 【素材一】以锅口中心为坐标原点，锅口水平方向为x轴，锅的竖直对称轴为y轴建立平面直角坐标系．锅身曲线为抛物线，开口向上，锅身的最低点离锅口是，锅口水平跨度为；锅盖曲线为抛物线，可由基础抛物线上下平移得到，初始状态刚好严实盖住锅口． 【素材二】锅口上方设有一个抽油烟机的进风口，进风口表达式为． 【任务一】如图1，建立基础模型 (1)求抛物线． (2)初始状态下的函数表达式为______． 【任务二】如图2，调整锅盖位置 在保持锅身抛物线不变、锅口位置不变的前提下，在锅口上放上高的小蒸笼（支架纵截面为矩形），需将锅盖向上平移，保证锅盖刚好严实盖住蒸笼． (3)平移后抛物线的函数表达式为____________． 【任务三】 (4)在任务二确定的锅盖抛物线轨迹下，如图3，点P是锅盖上任意一点，平行于y轴交进风口于点Q，小明说：存在，使得线段，请你判断小明的说法是否正确，并说明理由．（线段的长度等于Q点纵坐标减去P点纵坐标） 2．综合与实践． 项目名称 为广场三层叠泉喷泉景观设计抛物线形水流轨迹 问题情境 如图1，某广场计划修建一个三层叠泉喷泉景观，喷泉的水流轨迹可以用抛物线来刻画．喷头位于最高点，距地面，已知从上往下数，第一层圆形水池水面距地面的高度为，其半径为，第二层圆形水池水面距地面的高度为，其半径为． 收集信息 ①调整喷头流速时，水流最高点距离立柱的水平距离始终为；②喷泉底部围挡高度为． 抽象模型 图2为喷泉单侧示意图，以地面所在直线为轴，喷泉中心立柱为轴，建立平面直角坐标系．点为喷头，为第一层水池半径，为第二层水池半径． (1)若喷头喷出的水流最高点离地面的高度为，求抛物线的函数解析式． (2)为了形成“叠泉”效果，要求喷头喷出的水流能落在第二层水池的水面上，通过适当调整喷头的流速，使水流最高点距离立柱的水平距离始终为，求该抛物线二次项系数的取值范围． (3)在任务二的基础上，现计划在第二层水面边缘加装若干同样效果的喷头装置，第二层加装的喷头和喷头喷出的水流形状始终相同，直接写出喷泉底部圆形水池的半径的最小值． 3．综合实践与探究——新能源汽车刹车性能研究 【设计实验方案】 某探究小组围绕新能源汽车水平路面刹车过程中，速度、路程随刹车时间的变化规律开展探究． 设计实验：让新能源汽车在平直水平路面匀速行驶至点时启动刹车，从汽车到达点开始，用测速仪、计时器测量并记录汽车刹车后的运动时间、瞬时速度、刹车路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 瞬时速度 12 10 8 6 4 2 … 刹车路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 (1)【猜想和验证】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想： ①v与t之间的关系可以近似看作 函数表示．（填：“一次”或“二次”），v与t的函数关系式为 ． ②y与t之间的关系可以近似看作 函数表示．（填：“一次”或“二次”），y与t之间的函数关系式为 ． (2)【拓展与运用】 ①若某段水平测试路面的长度为，通过计算判断这辆新能源汽车在刹车过程中是否会超出该路面范围？ ②当新能源汽车到达水平路面A点时，前方B点处有另一辆电动车以的速度在匀速向前直线运动，若新能源汽车不能追尾电动车，那么AB的最小值是多少？ 4．根据以下素材，完成项目式探索任务： 素材1：如图是某农场计划建一个矩形饲养室，其中一边靠现有旧墙（墙长不限），需再建三面新墙，建筑材料可建新墙的总长为20米． 素材2： 实际需求：1．想改造为两间矩形饲养室并安装两个门；饲养室的一面靠现有旧墙（旧墙长16米），中间用一道新墙隔开，建筑材料可建新墙的总长仍为20米，开2个门，且门宽均为1米（如图所示）．2．总费用（新增的建筑费用与门的价格和）不高于6400元，2个门要求同一型号，有关门的采购信息如表． 型号 ① ② ③ 规格（门宽） 1米 1.2米 1.5米 单价（元） 250 280 300 素材3：与现有墙平行方向的墙建筑费用为400元/米，与现有墙垂直方向的墙建筑费用为200元/米 (1)根据素材1，设垂直于墙的一边米，怎样围成面积为48平方米的饲养室？ (2)根据素材、，设米，矩形的面积为S，求S关于x的函数解析式． (3)在任务2条件下确定设计方案我的设计方案是选型号______门，当______米，______米时，S有最大值，最大值为______平方米． 5．【实践与探究】九（9）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践一一应用一一探究的过程： (1)实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得隧道的路面宽为，隧道顶部最高处距地面，并画出了隧道截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，则该抛物线的解析式为_________________． (2)应用：按规定，机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为．为了确保安全，问该隧道能否让最宽、最高的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车之间的空隙）？ (3)探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，提出了下面问题，请予解答： 如图2，过原点作一条的直线，交抛物线于点M，交抛物线对称轴于点N，P为直线上一动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q．问：在线段上是否存在点P，使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．某城市建设调研小组发现，我市部分公交停车场的遮阳棚在风雨天气下存在安全隐患与遮挡不足的问题．为优化设计，该小组考察了某遮阳棚的结构，以下为该小组调研报告的部分记录，请认真阅读，并解决问题． 发现问题确定目标 遮阳棚抗风加固 公交车安全停靠 模型抽象与图形表示 遮阳棚横截面示意图，棚顶可视为抛物线的一部分如图2所示，棚顶最高点为抛物线的顶点． 公交车停靠示意图如图3所示（忽略公交车车顶的实际弧度、空调装置等微小起伏，假设车顶顶部在车辆全长范围内是完全平坦且水平的．） 条件与规范整理 如图4当风力较大时，需在棚内侧安装钢架（为线段）加固，且在棚顶与钢架之间安装一根垂直钢架（在棚顶，在上，轴）． 车身完全覆盖要求： 公交车需完全停入遮阳棚下方，即车辆整体（包括车厢最高点）均位于遮阳棚的横向覆盖范围内． 垂直安全间隙要求： 车厢最高点与棚顶之间需保持一定的安全间隙，以避免因车辆振动、负载或路面不平等因素发生碰撞． 实测数据采集 棚顶最高点（抛物线顶点）到地面距离为4米，棚顶与立柱交点到地面距离为2米，两点水平距离为12米． 已知车身长约8米，公交车厢最高点距地面约2.5米，车身宽度与站台停靠相匹配，不考虑宽度影响． 问题解决： (1)如图2，以地面为轴，过点的竖直线为轴建立平面直角坐标系，求抛物线解析式； (2)如图3，请通过计算说明钢架加固前该公交车能否完全停入遮阳棚正下方； (3)如图4，根据安全规范，垂直钢架的长度不低于米．请问钢架加固后遮阳棚是否存在安全隐患或遮挡不足的问题． 7．投壶是由古代“射礼”演变而来的一项传统礼仪活动和游戏，与君子六艺中的“射”密切相关．学校在趣味运动会开展传统文化体验活动，某同学在一次投壶练习中，利用视频分析软件研究箭头离手后的运动轨迹，以箭头离手时箭头所在位置的正下方为原点建立平面直角坐标系，其中表示箭头距原点的水平距离，（）表示箭头距地面的高度．记录的部分数据如下： 0 0.5 1.0 1.5 1.5 1.4 1.2 0.9 通过分析数据，发现可以用二次函数近似刻画与之间的关系． (1)求关于的函数表达式； (2)箭头在所研究的运动过程中距地面的最大高度为__________； (3)本次活动所用投壶的壶口中心距地面，壶口内径为，在箭头运动方向所在的竖直平面内，可将壶口近似看作一条长的水平线段，设箭头可视为质点，当箭头经过壶口所在水平线段，即视为投入．投壶的位置始终不变，每次投壶的出手高度、方向及箭头的运动轨迹与投壶练习中的一样，第一次投掷时，壶口中心与箭头出手位置的水平距离为，箭头未投入壶中，第二次投掷时，若以壶口中心为参照，为确保箭头成功投入壶中，出手点到壶口中心的水平距离由变为，忽略箭的粗细，则的取值范围是__________． 8．综合与实践： 随着人工智能技术与劳动教育的深度融合，某学校计划在校园内建设一座“智慧农场”，用于学生开展智能化种植实践．其中一块矩形种植区采用智能生态设计：一面利用学校的智能温控墙（墙的最大可用长度为，可实时调节温度与湿度），用总长为的智能感应篱笆（可自动报警防入侵）围成中间隔有一道智能感应篱笆的矩形种植区．数学兴趣小组设计了以下两种方案．设的长为，该矩形种植区的面积为S． 方案一 方案二 设计方法 智能感应篱笆垂直于墙体，，上各有一个宽为的智能感应门． 智能感应篱笆平行于墙体，，上各有一个宽为的智能感应门． 图示       (1)分别求出两种方案下，S与x的函数关系式（不要求写x的取值范围）． (2)对于方案一，若矩形种植区的面积为，求此时x的值． (3)若要使矩形种植区的面积S的值最大，应选择哪个方案？请你写出探究过程． 9．篮球课上，小源和小宸在距离篮筐中心水平距离的位置处，正对篮筐进行定点投篮练习，篮筐距离地面的高度约为，篮球出手后，在空中的运动路线可以看作抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，篮球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系． (1)小源某次定点投篮练习时，篮球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离/ 竖直高度/ ①直接写出篮球的竖直高度的最大值是________； ②篮球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系（），求的值； ③小源本次投篮能否将篮球投进篮筐，请说明理由； (2)小宸进行定点投篮练习时，篮球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，篮球出手时竖直高度满足，若小宸将篮球投进篮筐中心，直接写出的取值范围． 10．某城市公园计划建造一座“彩虹门”喷泉景观．喷泉由两侧对称的水柱组成，水柱呈抛物线形，在最高点相遇形成完整的“彩虹门”．公园设计团队需要对喷泉进行精确设计． (1)任务一：建立模型 如图1，设计团队测得喷泉场地宽度米，在，处各安装一个喷水装置，将出水口高度，都设为1米，调整出水速度与角度，使喷出的两条抛物线水柱形状相同，并在抛物线顶点处相遇，组成一条完整的抛物线形“彩虹门”，且点到地面的距离为5米．以线段所在的直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，请求出“彩虹门”喷泉中抛物线的解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)任务二：游客通道设计 如图2，设计团队计划在“彩虹门”下方地面上建造一条与垂直的笔直游客通道，并在游客通道上绘制5条平行的地面标志线，每两条标志线之间的间距相等，为了避免游客被淋湿，团队需要在所在直线与标志线交点处安装挡雨伞，伞的顶端离地面的距离保持3米．为保证“彩虹门”的水柱不被破坏，要求最外侧挡雨伞顶端与水柱间的竖直高度为1米．请你求出每相邻两条标志线的间距应为多少米； (3)任务三：灯光设计 设计团队通过进一步分析发现，为使下一次“彩虹门”的设计更具创意，首先将两个喷水装置同时向外侧移动米（在所在直线上），此时两个水柱（水柱形状不变）的交点相应向下移动1米，接着在两个喷水装置的外侧各安装一盏射灯（在所在直线上左右对称安装），每盏射灯与同侧喷水装置底端的水平距离均为米（左右相同），射灯射出的光线与地面的夹角为且两条光线相交于一点，若光线与水柱之间的最小竖直距离为2米，求，的值． 11．【综合与实践】 【项目背景】 小麦是我省北部农村主要农作物，班级同学今年秋天前往种粮大户李叔叔家开展综合实践活动． 【预备知识】 根据李叔叔今年的种粮经验发现：种植品种小麦获得利润（万元）与投资金额（万元）成一次函数关系，种植品种小麦获得利润（万元）与投资金额（万元）成二次函数关系（如图所示）．已知函数，的图象交点为，，函数的图象与轴交于点． 【知识应用】 (1)求，的函数表达式； (2)观察图象，分析比较分别单独种植，两种小麦获得利润的大小； (3)若李叔叔准备明年共投资万元同时种植，两种小麦，怎样分配资金，可获得最大利润？最大利润是多少？ 12．在学习了二次函数的相关知识后，某同学开展了一项综合实践活动，下面是他尚未完成的活动报告． 主题 探究生活中的抛物线 研究内容 如图1是一座拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，水面的宽度为，桥洞顶部与水面的最大竖直距离是，其中为桥洞与水面的接触点，为抛物线的顶点，夏季暴雨频繁，现要根据降水量计算水面宽度．    研究方法 根据拱桥桥洞上沿所在的抛物线建立适当的平面直角坐标系，有图2-图4三个不同的方案（其中方案一点均在轴上，且关于轴对称，方案二点与原点重合，且点在轴上，方案三顶点与原点重合）． 方案一 方案二 方案三 方案设计          实践成果 ．．．．．． (1)根据方案设计，你选择的方案是___________（填“方案一”“方案二”或“方案三”）．则点的坐标为___________； (2)根据（1）所选的方案，求出拱桥桥洞上沿所在抛物线的解析式； (3)因夏季暴雨水位上升，求出此时水面的宽度（结果保留根号）． 13．踢足球是同学们喜爱的一项运动．如图，甲同学站在球门正前方的点处练习射门，他离球门的距离；身高的乙同学站在球门前的点处充当守门员，且他只做上下起跳防守，最大起跳高度为；点，，在一条直线上，，足球球门高度为，以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，足球飞行路线可看成抛物线的一部分． (1)甲射门时，球离点的水平距离与离地高度的部分数据如下表所示，求关于的函数解析式； 0 5 10 15 16 … 0 3 4 3 2．56 … (2)在（1）的条件下，若乙防守，通过计算判断甲的这次射门能否成功； (3)甲改变射门的角度再次射门，使球的最大高度发生改变，但保持球达到最大高度时与点的水平距离不变，若在乙防守的前提下甲这次射门能成功，求的取值范围． 14．【生活观察】小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，网前吊球这种击球的运动路线可以近似抽象成如下路线，如图1所示． 【数学建模】小明发现网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面如图2所示，从点击球，击球点是抛物线的最高点，点到地面的距离，球网的上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设击球路线经过点正上方处的点，网前吊球的落点为点． (1)请在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求出击球路线的函数表达式． 【模型应用】 (2)网前吊球的落点到球网的距离 ； (3)甲在处网前吊球，乙站在球网右侧，只有当羽毛球离地高度不小于时，乙才能成功接球，求乙能接到球时拍面距离球网的水平距离的取值范围． 15．综合实践：怎样才能命中篮筐． 【活动背景】学校组织班级间篮球比赛，九年级同学向阳发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮的图片，并测量相应的数据进行研究． 【模型建立】如图所示，以向阳的起跳点为坐标原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系；篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 信息整理 素材1 篮球出手时离地面的高度为米，篮筐中心离地面的高度米，篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米． 素材2 当篮球恰好经过篮筐中心点时，我们称此次进球为“空心球”；由于篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（米）满足时，篮球即可命中篮筐；篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，向阳在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 【解决问题】在初次投篮时，小组测得相关数据为：米，米，米，米． (1)向阳初次投篮时______命中篮筐；（填写：“能”或“不能”） (2)该班数学兴趣小组同学对向阳的初次投篮数据进行研究后，让向阳同学在原来位置向前走了米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求的值（保留根号）． (3)在比赛过程中，向阳在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮，若保持初次投篮时的出手高度，向阳此次能否命中篮筐？请说明理由．如果不能命中，在不改变向阳离篮筐中心的水平距离、投篮方向及出手速度的前提下，该如何调整向阳的投篮策略才能命中呢？ 16．如图，杂技团进行杂技表演，演员要从跷跷板右端处弹跳，越过最高点后恰好落在人梯的顶端处，其身体（看成一点）的路径是一条抛物线．现测量出如下的数据，设演员身体距起跳点水平距离为米时，距地面的高度为米． （米） … 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 … （米） … 4.15 4.60 4.75 4.60 4.15 … 请你解决以下问题： (1)在下边网格中建立适当平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接； (2)直接写出演员身体距离地面的最大高度； (3)求起跳点距离地面的高度； (4)在一次表演中，已知人梯到起跳点的水平距离是米，人梯的高度是米，演员弹跳后未能恰好落到人梯的顶端处．为使演出成功，结合所画的图象，分别设计以下两种调整方案： 方案一：将起跳点距离地面的高度调整为 米（结果精确到）； 方案二：保持起跳点高度不变，将人梯到起跳点的水平距离调整为 米（结果精确到）． 17．爱思考的小丽在观看排球比赛时发现一个有趣的现象：排球被垫起后，沿弧线运动，运动轨迹类似抛物线的一部分，于是她和同学小宛一起进行实验探究． 【素材】经实地测量可知，排球场地长为，球网在场地中央且高度为．建立如图所示的平面直角坐标系，发球时，排球的击球高度为． 水平距离 0 2 4 6 8 11 12 竖直高度 2.00 2.44 2.71 2.80 2.71 2.24 2.00 测得小宛某次发球时排球运动过程中的竖直高度y与水平距离x的几组数据如上表，并在平面直角坐标系中，描出了各组数值的对应点． 【解决问题】 (1)①请在下图坐标系中画出表示排球运行的轨迹； ②根据表格数据和所画轨迹形状，求排球运动过程中的竖直高度y与水平距离x近似满足的函数关系式； (2)通过计算，判断小宛这次发球能否过网，是否出界，并说明理由． 18．综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题． 【研究条件】 条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量（单位：辆）之间成正比例关系如表： 1 2 3 4 5 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与充电汽车数量之间满足：． 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： (1)根据如表数据，求与的函数关系式，并计算当时，该充电站的收入为多少元？ (2)当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时的值． 【模型应用】 (3)由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益=收入-成本）取得最大值，请求出符合条件的值，并说明理由． 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策． 19．综合与实践 “踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． (1)如图，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与点水平距离的处达到最高，高度为． ①以点为坐标原点，以地面为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为，求关于的函数表达式； ②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． (2)乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是，丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点，求丙的平均速度． 20．综合与实践——丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励． 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动． 【活动过程】 活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）． 活动2：应用模型 (1)如图，小红丢沙包时的出手高度为，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为．沙包在距离出手点的水平距离为时达到最高点，最高点距离地面．请通过计算说明沙包能否正好命中靶心． (2)若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面． 小红出手高度仍为，出手点与靶心的水平距离仍为．小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心．求沙包达到最高点时距离地面多少米． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1) (2) (3) (4)解：小明的说法正确，理由： 设， 则 ， 是m的二次函数， ， 开口向上， 对称轴为直线， 当时，， 当时，， ， 小明的说法正确． 【分析】（1）先求出顶点坐标，设顶点式，利用待定系数法求解； （2）设初始状态下抛物线的解析式为，将B点坐标代入即可求解； （3）在锅口上放上高的蒸笼时，抛物线向上平移，由此可解； （4）设出P，Q坐标，列出关于m的二次函数，结合m的取值范围求出的最小值和最大值，即可判断． 【详解】（1）解：由题意知，，， ，， 为抛物线的顶点， 设抛物线的解析式为， 将代入，得：， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：抛物线可由基础抛物线上下平移得到， 设初始状态下抛物线的解析式为， 将代入，得：， 解得， 初始状态下的函数表达式为； （3）解：由题意知，平移后抛物线的函数表达式为：． （4）略 2．(1) (2) (3)． 【分析】（1）根据题意得到抛物线顶点坐标，进而设抛物线顶点式为，求解即可； （2）根据已知条件设抛物线顶点式为，得到，根据对称性可知无论a取何负值，水流均能经过第一层水池，进而根据喷头喷出的水流能落在第二层水池的水面上得到当时，，将代入求出a的值，根据“的绝对值越大开口越小”可知a的范围； （3）根据题意求出（2）中抛物线解析式，根据二次函数的平移规律求出第二层喷头的抛物线解析式，将代入求解即可． 【详解】（1）解：由题意，水流最高点距立柱（y轴）水平距离为，高度为， 因此抛物线顶点坐标为． 设抛物线顶点式为， 又喷头A在y轴上、距地面，即抛物线过点， 将代入解析式：， 解得， 因此抛物线解析式为； （2）解：已知抛物线顶点横坐标恒为1，且过喷头， 设抛物线顶点式为，代入得， 即， 因此抛物线解析式可整理为：， ∵顶点横坐标恒为1，且过喷头， ∴水流过，在C点上方，即无论a取何负值，水流均能经过第一层水池； ∵喷头喷出的水流能落在第二层水池的水面上， ∴当时，， 当时，，解得， ∴； （3）解：底部围挡高度为，要求水流刚好落到围挡高度处时，水池半径最小，即求水流落点最远处距y轴的距离． 第二层边缘加装的喷头与A喷头水流形状完全相同，当（2）中取最大值时，抛物线开口最大，水流落点最远． 此时（2）中抛物线解析式为， ∵，， ∴将A向右移动3个单位，再向下移动个单位得到E， ∵第二层和喷头喷出的水流形状始终相同， ∴第二层喷头的抛物线解析式为， 将代入抛物线解析式得， 解得：（舍去） 因此底部圆形水池的最小半径为． 3．(1) ①一次 ，②二次， (2)①不会超出测试路面范围② 【分析】（1）①观察图象可知，随的变化而均匀变化，所以是一次函数，再用待定系数法设，代入和，求函数表达式即可； ②观察图象可知，随的变化而变化，但不是均匀变化，近似于二次函数．再用待定系数法设二次函数，求函数表达式即可； （2）①汽车停止时，即，解得时间值，把时间值代入，再将求出的值与测试路面的长度为进行比较即可； ②两车速度相等时，是刚好不追尾的临界时刻，令，即，解得，再回代分别算出电动车行驶路程和新能源汽车行驶路程，它们的差值即为AB的最小值． 【详解】（1）解：平面直角坐标系中描点、连线、作图略． ①观察图象可知，随的变化而均匀变化，所以是一次函数． 设，代入和得 ，解得， ∴； ②观察图象可知，随的变化而变化，但不是均匀变化，近似于二次函数． 设二次函数，代入和得 ，解得， ∴； （2）①汽车停止时，即，解得， 把代入，得， 即刹车总距离， ∴不会超出测试路面范围； ②电动车的速度为 ，电动车的行驶路程为：， 新能源汽车速度为， ∵两车速度相等时，是刚好不追尾的临界时刻， ∴令，即， 解得， 此时电动车行驶路程为， 新能源汽车行驶路程为， ∴AB的最小值为：． 4．(1)当长米、长米或长米、长米时，围成面积为48平方米的饲养室 (2) (3)①，，， 【分析】（1）设垂直于墙的一边米，则平行于墙的一边的长为米，根据长方形的面积公式列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果； （2）设米，则米，米，米，再根据矩形的面积公式计算即可得出结果，由求出； （3）由（2）可得米，则米，米，米，表示出与现有墙垂直方向的墙建筑费用为元，与现有墙平行方向的墙建筑费用为元，分别求出两扇门的总费用，再分情况计算即可得出结果． 【详解】（1）解：设垂直于墙的一边米，则平行于墙的一边的长为米， 由题意可得， 整理可得， 解得，， 当时，米，符合要求； 当时，米，符合要求； ∴当长米、长米或长米、长米时，围成面积为48平方米的饲养室； （2）解：设米，则米，米， ∴米， ∵矩形的面积为S， ∴， ∵, ∴， ∴， ∴； （3）解：由（2）可得米，则米，米，米， 与现有墙垂直方向的建筑材料的总长度为米，故与现有墙垂直方向的墙建筑费用为元， 与现有墙平行方向的建筑材料的总长度为米，故与现有墙平行方向的墙建筑费用为元， 两扇门的总费用为：型号①：（元）； 型号②：（元）； 型号③：（元）； ∵总费用（新增的建筑费用与门的价格和）不高于6400元， ∴当门选择型号①时，， 解得； 当门选择型号②时，， 解得； 当门选择型号③时，， 解得； 由（2）可得， ∵， ∴函数图象开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴当时，面积S有最大值，此时米，米，的最大值为平方米， 综上所述，我的设计方案是选型号①门，当米，米时，S有最大值，最大值为平方米． 5．(1) (2)该隧道能让最宽、最高的两辆厢式货车居中并列行驶 (3)P点的坐标为或． 【分析】（1）利用待定系数法求解析式； （2）将车宽转化为横坐标，将横坐标代入解析式求解，判断，即可解题； （3）因为三角形为等腰直角三角形，需分类讨论，再根据等腰直角三角形的性质和函数解析式，即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：由图设抛物线的解析式为， 则， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）∵车宽、高， ∴当时，， ∵，满足车顶部与隧道在竖直方向上的高度差至少为， ∴该隧道能让最宽、最高的两辆厢式货车居中并列行驶． （3）存在， ∵M为与的交点， 则有，解得，， ∴， ∵三角形为等腰直角三角形，需分类讨论， ①当，时， ∵N为直线与对称轴的交点， ∴， 取点，，则， ∴，即， ∴点Q为与抛物线的交点， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点Q为与的交点， 则有，解得（舍），， ∴， ∴； ②当，时，因为轴，所以该情况不存在； ③当，时， ∵， ∴轴， ∵， ∴Q点的纵坐标为5，则，解得（舍），， ∴ 综上，P点的坐标为或． 【点睛】此题考查用待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性质和数形结合思想，能够将题干条件转化为数学知识解决问题是解题的关键． 6．(1) (2)解：∵公交车厢最高点距地面约2.5米， ∴令得， 整理得：， 解得，， 由题意知，， ∴， ∵车身长约8米， ∴， ∴公交车能完全停入遮阳棚正下方； (3)解：设直线解析式为， 将，代入得， 解得， ∴， ∵点在棚顶，点在上，轴， ∴设，， ∴的长度为：， ， 当时，的长度最大，为， ∵， ∴钢架加固后遮阳棚不存在安全隐患或遮挡不足的问题． 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式； （2），解一元二次方程，结合实际意义确定，比较与的大小确定结果； （3）利用待定系数法求直线解析式，确定点、点的坐标，表示出线段的长度，根据二次函数的性质求出长度的最大值，再与比较大小，确定结果． 【详解】（1）解：由题意知，，， 设抛物线解析式为， 由顶点可知，，， ∴， 将点代入得， 解得：， ∴； （2）略 （3）略 7．(1) (2) (3) 【分析】（1）设关于的函数表达式为，从表格中任取三组对应值代入，解方程组即可； （2）由（1）得关于的函数表达式为，结合二次函数的性质及问题的实际意义确定箭头在所研究的运动过程中距地面的最大高度； （3）令，求得符合题意的的值，再建立关于的方程求出临界值即可求得的取值范围． 【详解】（1）解：设关于的函数表达式为， 将，，代入， 得， 解得， 关于的函数表达式为； （2）解：由（1）得关于的函数表达式为， ， ， 当时，随的增大而增大， ， 当时，的值最大，为， 故箭头在所研究的运动过程中距地面的最大高度为； （3）解：当时， ， 解得（负值舍去）， ∵壶口内径为， 当时，； 当时，； ． 8．(1)方案一：，方案二： (2) (3)方案一，． ， ∴当时，S的值最大，最大值为147． 对于方案二，． ，， ， ， ∴当时，S的值最大，最大值为． ， ∴要使矩形种植区的面积S的值最大，应选择方案一 【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）设，根据方案一可知，然后可得面积S，再根据方案二可得，最后求出S即可； （2）根据（1）可进行求解； （3）根据二次函数的性质分别得出方案一和方案二的最大值，然后问题可求解． 【详解】（1）解：设． 对于方案一，可知， ， ． 对于方案二，可知， ， ． （2）解：由（1）可令， 解得，． 由题意可知，即， ． （3）略． 9．(1)①；②； ③能，理由如下： 由②知：， ∴当时，， 故小源本次投篮能将篮球投进篮筐； (2) 【分析】（1）①根据对称性确定顶点坐标，即可得出结果；②待定系数法求出函数解析式即可；③求出时的函数值，进行判断即可； （2）根据题意抛物线过点，分别求出抛物线过点和点时的函数解析式，即可得出结果. 【详解】（1）解：①由表格可知，和的函数值相同， 故抛物线的对称轴为直线， 由表格可知，当时，，即篮球的竖直高度的最大值是； ②由①可知，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得； ③略 （2）解：由题意，抛物线过点， 当抛物线过点时，则， 解得； 当抛物线过点时，则， 解得； ∴. 10．(1) (2)米 (3)， 【分析】（1）根据已知条件，抛物线顶点在，且经过，利用顶点式求解解析式． （2）根据挡雨伞顶端的高度和与水柱的垂直高度，求出水柱在该点的高度，代入解析式求出横坐标，再根据5条标志线的间距相等，计算间距． （3）根据喷水装置移动后的位置和顶点移动的情况，设出新的抛物线解析式，利用交点向下移动1米的条件求出的值；再根据射灯的位置和光线的夹角，求出光线的解析式，通过抛物线上的点与直线上对应点的坐标差求出最小距离，进而求出的值． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线顶点为，且过点， 设抛物线解析式为， 将代入得：， 即，解得， 故抛物线解析式为； （2）解：由题意，挡雨伞顶端离地面3米，最外侧挡雨伞顶端与水柱的垂直高度为米， 水柱在该位置的纵坐标为， 将代入抛物线解析式得：，解得， 最外侧挡雨伞的水平位置为米， 由于5条标志线将到的距离平均分为4段， 则每段间距为米， 故每相邻两条标志线的间距为米； （3）解：由题意，左侧新抛物线顶点为，形状不变， 设解析式为， 将代入解析式，得在轴上的纵坐标． ∵交点向下移动1米， ∴，解得(舍去负值)． 此时，左侧抛物线解析式为， 则左侧喷水装置位置为即，左侧射灯位置为， 光线与地面夹角为， 故左侧射灯光线方程为． 在左侧抛物线上任取一点，其中，， 直线上取正上方的点，则， ∴， 这是关于的二次函数，开口向上， ∴当时，得最小纵坐标差为， ∴，解得． 综上，，． 11．(1)； (2)当时，种植种小麦获利较大； 当时，种植这两种小麦获利一样大； 当时，种植种小麦获利较大； (3)种植种小麦的投资金额为万元，种植种小麦的投资金额为万元时，获得利润最大，最大利润为万元． 【分析】（1）将点代入一次函数，使用待定系数法求解；将点，点分别代入二次函数，使用待定系数法求解； （2）根据图象进行比较，图象在上方的函数表示获利较大，交点处表示获利一样大； （3）设种植种小麦的投资金额为万元，则种植种小麦的投资金额为万元，根据，两种小麦获得利润与投资金额的函数关系式，，列出总利润的函数关系式，化简后，使用配方法即可求出最大利润和资金分配方案． 【详解】（1）解：由题意可设， 当时，， ， 解得， 即． 由题意可设， 当时，，当时，， ， 解得， 即． （2）略 （3）解：设李叔叔明年种植，两种小麦获取的总利润为万元，其中种植种小麦的投资金额为万元，则种植种小麦的投资金额为万元， 由题意得， 整理得， 配方得， 答：种植种小麦的投资金额为万元，种植种小麦的投资金额为万元时，获得利润最大，最大利润为万元． 12．(1)方案一，；方案二，；方案三， (2)选方案一，解析式为；选方案二，解析式为；选方案三，解析式为； (3) 【分析】（1）根据水面的宽度为，桥洞与水面的最大距离是，求出点坐标； （2）三种方案中抛物线开口都向下，故抛物线解析式二次项系数为负，根据题意先求出顶点坐标，设解析式为顶点式，再代入（1）中点B坐标，即可求出抛物线解析式； （3）任意选择三种方案中的一种，根据暴雨水位上升代入对应抛物线解析式，求解即可． 【详解】（1）解：选择方案一： 由题意得， ； 选择方案二： 由题意得， ； 选择方案三： 由对称性可知点与点关于轴对称，， ， 又桥洞与水面的最大距离是， ， ； （2）解：选择方案一：由题意得抛物线顶点坐标为， 抛物线开口向下，故设抛物线解析式为， 代入，得， 解得， 抛物线解析式为； 选择方案二：由题意得抛物线顶点坐标为， 抛物线开口向下，故设抛物线解析式为， 代入，得， 解得， 抛物线解析式为； 选择方案三：由题意得抛物线顶点坐标为， 抛物线开口向下，故设抛物线解析式为， 代入，得， 解得， 抛物线解析式为； （3）解：选择方案一中的解析式， ， 暴雨水位上升后，代入，得， 解得或， 水面宽为； 选择方案二中的解析式， ， 暴雨水位上升后，代入，得， 解得或， 水面宽为； 选择方案三中的解析式， ， 暴雨水位上升后，代入，得， 解得或， 水面宽为． 13．(1) (2)解：乙防守时甲这次射门不成功，判断如下： ∵，， ∴， ∵乙防守， ∴乙可达最高为， 当时， ， ∴乙防守时甲这次射门不成功； (3) 【分析】（1）先求出顶点坐标，再利用待定系数法即可求出答案； （2）先求出乙可达的最大高度，再求出当时的函数值，比较后即可得到结论； （3）依题意得，求出，由时，，由时，，分别求出的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：由表格可得，当和时，y的值相等， ∴对称轴为， ∴顶点为， ∴； 将代入得， 解得， ∴； （2）略 （3）解：依题意得，且经过， ∴ 解得， ∴， 当时，足球要超过乙跳起来的最大高度，即， ∴ 解得； 当时，足球要低于门框的最大高度，即， ∴ 得， ∴． 14．(1)直角坐标系如图所示： 击球路线的函数表达式为 (2) (3) 【详解】（1）解：以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系略； 连接， 设抛物线解析式为， ， ， ，， ， ， ， 把，代入函数解析式得， 解得， ； （2）解：把代入抛物线解析式得， 解得，， ， ； （3）解：把代入抛物线解析式得， 解得，， 乙站在球网右侧， ， 羽毛球离地高度不小于， ， ， ， 乙站在球网右侧， 的取值范围为． 15．(1)不能 (2) (3)不能命中篮筐，若要命中，则的取值范围是． 【分析】（1）先根据顶点和出手点求出抛物线解析式，再把篮筐的横坐标代入算出对应高度，对比命中高度区间，得出不能命中篮筐； （2）向前走t米相当于抛物线向右平移，写出平移后的抛物线，把篮筐中心点代入方程求解，结合向前走舍去不满足条件的，得到t的值； （3）保持抛物线形状与出手高度不变，把篮筐水平位置代入解析式算出篮球高度，将算出的高度和的范围对比，判断无法命中；设改变出手高度后的抛物线解析式，再根据命中条件求出m的取值范围，把出手点坐标代入抛物线解析式中，得到的取值范围，即可命中． 【详解】（1）解：由题意，篮球运动轨迹为抛物线，顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 代入出手点， 可得， 解得． 所以抛物线解析式为， 当时，， 因为，不满足， 答：不能命中篮筐． （2）解：已知向阳向前走了t米， 则抛物线向右平移t米解析式变为， 此时篮球恰好经过篮筐中心点， 代入得， 整理得，即， 解得， 当时，顶点横坐标为， 不符合“向前走”的实际情境，舍去． 答：的值为． （3）解：在离篮筐中心水平距离5米处起跳，即出手点横坐标为， 已知保持出手高度米， 则抛物线顶点横坐标为， 所以解析式为． 当时，， 因为，不满足命中条件， 所以不能命中篮筐． 设改变出手高度后，抛物线解析式为， 当时，， 当篮球的高度（米）满足时，篮球即可命中篮筐， 则，即， 出手点坐标为，代入解析式， 所以， 答：不能命中篮筐，若要命中，则的取值范围是． 16．(1) (2)演员身体距离地面的最大高度为米 (3)起跳点距离地面的高度为米 (4)； 【分析】（1）以点C为坐标原点，所在直线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，将表格中的点描在坐标系内，再用一条平滑的曲线依次连接即可； （2）根据表格中的数据或函数图象分析的最大值即可； （3）利用待定系数法求出函数的解析式，令，求； （4）方案一：计算当时的取值，进而确定函数图象应整体向下平移米，进而得解；方案二：计算当时的取值，再结合“越过最高点后恰好落在人梯的顶端处”确定符合题意的解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由图象可知，演员身体距离地面的最大高度为米． （3）解：设抛物线的表达式为 ， 将点代入，得， 解得， 该抛物线为， 当时，， 起跳点距离地面的高度为米； （4）解：方案一：当时，（米）， 人梯的高度是米， 需要整体向下平移（米）， 原来的起跳点距离地面的高度为米， 应将起跳点距离地面的高度调整为（米）； 方案二：令，即， 整理得， 解得或（不合题意，舍去）． 应将人梯到起跳点的水平距离调整为米． 17．(1)①如图所示： ②； (2) 这次发球能过网，不会出界，理由如下： 小宛这次发球是站在点， 发球点到球网水平距离为， 当时，， 当时，， 解得或（舍去）， ， 这次发球能过网，不会出界． 【分析】（1）①根据图中描的点进行连线即可作出图象；②根据题意，设与的函数关系式为，将代入计算即可得到答案； （2）将代入抛物线解析式，求得值与比较，令解出与比较，然后可得到答案； 【详解】（1）①略 ②根据题意，设与的函数关系式为， 将代入，得， 解得，即， 将下表中数据： 水平距离 0 2 4 6 8 11 12 竖直高度 2.00 2.44 2.71 2.80 2.71 2.24 2.00 代入检验，可知排球运动过程中的竖直高度与水平距离近似满足的函数关系式为； （2）略． 18．(1) 与的函数关系式为（，且为整数）；当时，该充电站的收入为2000元 (2) 收支平衡时的值为20或100 (3) 解：符合条件的值为60 理由如下： 设净收益为元，由题意得 ， ∵ ， ∴ 该二次函数开口向下，在顶点处取得最大值， ∵ 当时净收益取得最大值， ∴ 顶点横坐标为80，即， 解得. 【分析】（1）根据正比例函数定义设解析式，代入表格中一组对应值求出比例系数，再将代入解析式计算收入； （2）根据收入等于成本的等量关系列一元二次方程，求解得到符合实际意义的根； （3）先根据净收益的定义列出二次函数表达式，结合二次函数最大值在顶点处的性质，利用顶点横坐标列方程求解． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 将，代入得， 解得， ∴（，且为整数）， 当时，（元）. （2）解：由题意得，收支平衡时， 即， 整理得， 因式分解得， 解得，， 均为正整数，符合实际意义； （3）解：略． 19．(1)①；② (2)丙的平均速度为 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）①由题意易得抛物线的顶点C的坐标为，，则可设抛物线的解析式为，然后利用待定系数法进行求解即可； ②由题意可把，代入①中函数解析式进行求解即可； （2）由题意易得花枪落地所需的时间为，然后根据“速度=路程÷时间”进行求解即可． 【详解】（1）解：①由题意可知：抛物线的顶点C的坐标为，则可设抛物线的解析式为， ∴将点代入解析式得：， 解得：， ∴关于的函数表达式为； ②由题意可得：当时，则有， 解得：； 当时，则有， 解得：； ∵花枪在下落过程中，即， ∴当时，；当时，， ∴的取值范围为． （2）解：当花枪落地时，则有， ∴， 解得：（舍去）， ∴花枪落地所需的时间为， ∴丙的平均速度为； 答：丙的平均速度为． 20．(1)解：建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意可知，抛物线的顶点坐标是，且经过点， 设抛物线的解析式为，其中， 将点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴沙包不能正好命中靶心． (2)沙包达到最高点时距离地面米 【分析】（1）先建立平面直角坐标系，则可得抛物线的顶点坐标是，且经过点，再求出抛物线的解析式，求出时，的值，由此即可得； （2）先建立平面直角坐标系，则可得抛物线经过点，，且它的顶点的横坐标为4，再求出抛物线的解析式，求出其最大值即可． 【详解】（1）略． （2）解：建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意可知，抛物线经过点，，且它的顶点的横坐标为4， 设抛物线的解析式为，其中， 将点，代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为， 即沙包达到最高点时距离地面米． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西九年级数学培优——二次函数压轴题 1．综合与实践 【问题情境】厨房中的锅具设计常利用抛物线的特性，实现锅身的弧度与锅盖的贴合，某款锅的纵截面轮廓近似为两条抛物线，技术人员通过建立二次函数模型，分析锅具的使用情境． 【素材一】以锅口中心为坐标原点，锅口水平方向为x轴，锅的竖直对称轴为y轴建立平面直角坐标系．锅身曲线为抛物线，开口向上，锅身的最低点离锅口是，锅口水平跨度为；锅盖曲线为抛物线，可由基础抛物线上下平移得到，初始状态刚好严实盖住锅口． 【素材二】锅口上方设有一个抽油烟机的进风口，进风口表达式为． 【任务一】如图1，建立基础模型 (1)求抛物线． (2)初始状态下的函数表达式为______． 【任务二】如图2，调整锅盖位置 在保持锅身抛物线不变、锅口位置不变的前提下，在锅口上放上高的小蒸笼（支架纵截面为矩形），需将锅盖向上平移，保证锅盖刚好严实盖住蒸笼． (3)平移后抛物线的函数表达式为____________． 【任务三】 (4)在任务二确定的锅盖抛物线轨迹下，如图3，点P是锅盖上任意一点，平行于y轴交进风口于点Q，小明说：存在，使得线段，请你判断小明的说法是否正确，并说明理由．（线段的长度等于Q点纵坐标减去P点纵坐标） 2．综合与实践． 项目名称 为广场三层叠泉喷泉景观设计抛物线形水流轨迹 问题情境 如图1，某广场计划修建一个三层叠泉喷泉景观，喷泉的水流轨迹可以用抛物线来刻画．喷头位于最高点，距地面，已知从上往下数，第一层圆形水池水面距地面的高度为，其半径为，第二层圆形水池水面距地面的高度为，其半径为． 收集信息 ①调整喷头流速时，水流最高点距离立柱的水平距离始终为；②喷泉底部围挡高度为． 抽象模型 图2为喷泉单侧示意图，以地面所在直线为轴，喷泉中心立柱为轴，建立平面直角坐标系．点为喷头，为第一层水池半径，为第二层水池半径． (1)若喷头喷出的水流最高点离地面的高度为，求抛物线的函数解析式． (2)为了形成“叠泉”效果，要求喷头喷出的水流能落在第二层水池的水面上，通过适当调整喷头的流速，使水流最高点距离立柱的水平距离始终为，求该抛物线二次项系数的取值范围． (3)在任务二的基础上，现计划在第二层水面边缘加装若干同样效果的喷头装置，第二层加装的喷头和喷头喷出的水流形状始终相同，直接写出喷泉底部圆形水池的半径的最小值． 3．综合实践与探究——新能源汽车刹车性能研究 【设计实验方案】 某探究小组围绕新能源汽车水平路面刹车过程中，速度、路程随刹车时间的变化规律开展探究． 设计实验：让新能源汽车在平直水平路面匀速行驶至点时启动刹车，从汽车到达点开始，用测速仪、计时器测量并记录汽车刹车后的运动时间、瞬时速度、刹车路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 瞬时速度 12 10 8 6 4 2 … 刹车路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 (1)【猜想和验证】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想： ①v与t之间的关系可以近似看作 函数表示．（填：“一次”或“二次”），v与t的函数关系式为 ． ②y与t之间的关系可以近似看作 函数表示．（填：“一次”或“二次”），y与t之间的函数关系式为 ． (2)【拓展与运用】 ①若某段水平测试路面的长度为，通过计算判断这辆新能源汽车在刹车过程中是否会超出该路面范围？ ②当新能源汽车到达水平路面A点时，前方B点处有另一辆电动车以的速度在匀速向前直线运动，若新能源汽车不能追尾电动车，那么AB的最小值是多少？ 4．根据以下素材，完成项目式探索任务： 素材1：如图是某农场计划建一个矩形饲养室，其中一边靠现有旧墙（墙长不限），需再建三面新墙，建筑材料可建新墙的总长为20米． 素材2： 实际需求：1．想改造为两间矩形饲养室并安装两个门；饲养室的一面靠现有旧墙（旧墙长16米），中间用一道新墙隔开，建筑材料可建新墙的总长仍为20米，开2个门，且门宽均为1米（如图所示）．2．总费用（新增的建筑费用与门的价格和）不高于6400元，2个门要求同一型号，有关门的采购信息如表． 型号 ① ② ③ 规格（门宽） 1米 1.2米 1.5米 单价（元） 250 280 300 素材3：与现有墙平行方向的墙建筑费用为400元/米，与现有墙垂直方向的墙建筑费用为200元/米 (1)根据素材1，设垂直于墙的一边米，怎样围成面积为48平方米的饲养室？ (2)根据素材、，设米，矩形的面积为S，求S关于x的函数解析式． (3)在任务2条件下确定设计方案我的设计方案是选型号______门，当______米，______米时，S有最大值，最大值为______平方米． 5．【实践与探究】九（9）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践一一应用一一探究的过程： (1)实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得隧道的路面宽为，隧道顶部最高处距地面，并画出了隧道截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，则该抛物线的解析式为_________________． (2)应用：按规定，机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为．为了确保安全，问该隧道能否让最宽、最高的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车之间的空隙）？ (3)探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，提出了下面问题，请予解答： 如图2，过原点作一条的直线，交抛物线于点M，交抛物线对称轴于点N，P为直线上一动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q．问：在线段上是否存在点P，使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．某城市建设调研小组发现，我市部分公交停车场的遮阳棚在风雨天气下存在安全隐患与遮挡不足的问题．为优化设计，该小组考察了某遮阳棚的结构，以下为该小组调研报告的部分记录，请认真阅读，并解决问题． 发现问题确定目标 遮阳棚抗风加固 公交车安全停靠 模型抽象与图形表示 遮阳棚横截面示意图，棚顶可视为抛物线的一部分如图2所示，棚顶最高点为抛物线的顶点． 公交车停靠示意图如图3所示（忽略公交车车顶的实际弧度、空调装置等微小起伏，假设车顶顶部在车辆全长范围内是完全平坦且水平的．） 条件与规范整理 如图4当风力较大时，需在棚内侧安装钢架（为线段）加固，且在棚顶与钢架之间安装一根垂直钢架（在棚顶，在上，轴）． 车身完全覆盖要求： 公交车需完全停入遮阳棚下方，即车辆整体（包括车厢最高点）均位于遮阳棚的横向覆盖范围内． 垂直安全间隙要求： 车厢最高点与棚顶之间需保持一定的安全间隙，以避免因车辆振动、负载或路面不平等因素发生碰撞． 实测数据采集 棚顶最高点（抛物线顶点）到地面距离为4米，棚顶与立柱交点到地面距离为2米，两点水平距离为12米． 已知车身长约8米，公交车厢最高点距地面约2.5米，车身宽度与站台停靠相匹配，不考虑宽度影响． 问题解决： (1)如图2，以地面为轴，过点的竖直线为轴建立平面直角坐标系，求抛物线解析式； (2)如图3，请通过计算说明钢架加固前该公交车能否完全停入遮阳棚正下方； (3)如图4，根据安全规范，垂直钢架的长度不低于米．请问钢架加固后遮阳棚是否存在安全隐患或遮挡不足的问题． 7．投壶是由古代“射礼”演变而来的一项传统礼仪活动和游戏，与君子六艺中的“射”密切相关．学校在趣味运动会开展传统文化体验活动，某同学在一次投壶练习中，利用视频分析软件研究箭头离手后的运动轨迹，以箭头离手时箭头所在位置的正下方为原点建立平面直角坐标系，其中表示箭头距原点的水平距离，（）表示箭头距地面的高度．记录的部分数据如下： 0 0.5 1.0 1.5 1.5 1.4 1.2 0.9 通过分析数据，发现可以用二次函数近似刻画与之间的关系． (1)求关于的函数表达式； (2)箭头在所研究的运动过程中距地面的最大高度为__________； (3)本次活动所用投壶的壶口中心距地面，壶口内径为，在箭头运动方向所在的竖直平面内，可将壶口近似看作一条长的水平线段，设箭头可视为质点，当箭头经过壶口所在水平线段，即视为投入．投壶的位置始终不变，每次投壶的出手高度、方向及箭头的运动轨迹与投壶练习中的一样，第一次投掷时，壶口中心与箭头出手位置的水平距离为，箭头未投入壶中，第二次投掷时，若以壶口中心为参照，为确保箭头成功投入壶中，出手点到壶口中心的水平距离由变为，忽略箭的粗细，则的取值范围是__________． 8．综合与实践： 随着人工智能技术与劳动教育的深度融合，某学校计划在校园内建设一座“智慧农场”，用于学生开展智能化种植实践．其中一块矩形种植区采用智能生态设计：一面利用学校的智能温控墙（墙的最大可用长度为，可实时调节温度与湿度），用总长为的智能感应篱笆（可自动报警防入侵）围成中间隔有一道智能感应篱笆的矩形种植区．数学兴趣小组设计了以下两种方案．设的长为，该矩形种植区的面积为S． 方案一 方案二 设计方法 智能感应篱笆垂直于墙体，，上各有一个宽为的智能感应门． 智能感应篱笆平行于墙体，，上各有一个宽为的智能感应门． 图示       (1)分别求出两种方案下，S与x的函数关系式（不要求写x的取值范围）． (2)对于方案一，若矩形种植区的面积为，求此时x的值． (3)若要使矩形种植区的面积S的值最大，应选择哪个方案？请你写出探究过程． 9．篮球课上，小源和小宸在距离篮筐中心水平距离的位置处，正对篮筐进行定点投篮练习，篮筐距离地面的高度约为，篮球出手后，在空中的运动路线可以看作抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，篮球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系． (1)小源某次定点投篮练习时，篮球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离/ 竖直高度/ ①直接写出篮球的竖直高度的最大值是________； ②篮球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系（），求的值； ③小源本次投篮能否将篮球投进篮筐，请说明理由； (2)小宸进行定点投篮练习时，篮球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，篮球出手时竖直高度满足，若小宸将篮球投进篮筐中心，直接写出的取值范围． 10．某城市公园计划建造一座“彩虹门”喷泉景观．喷泉由两侧对称的水柱组成，水柱呈抛物线形，在最高点相遇形成完整的“彩虹门”．公园设计团队需要对喷泉进行精确设计． (1)任务一：建立模型 如图1，设计团队测得喷泉场地宽度米，在，处各安装一个喷水装置，将出水口高度，都设为1米，调整出水速度与角度，使喷出的两条抛物线水柱形状相同，并在抛物线顶点处相遇，组成一条完整的抛物线形“彩虹门”，且点到地面的距离为5米．以线段所在的直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，请求出“彩虹门”喷泉中抛物线的解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)任务二：游客通道设计 如图2，设计团队计划在“彩虹门”下方地面上建造一条与垂直的笔直游客通道，并在游客通道上绘制5条平行的地面标志线，每两条标志线之间的间距相等，为了避免游客被淋湿，团队需要在所在直线与标志线交点处安装挡雨伞，伞的顶端离地面的距离保持3米．为保证“彩虹门”的水柱不被破坏，要求最外侧挡雨伞顶端与水柱间的竖直高度为1米．请你求出每相邻两条标志线的间距应为多少米； (3)任务三：灯光设计 设计团队通过进一步分析发现，为使下一次“彩虹门”的设计更具创意，首先将两个喷水装置同时向外侧移动米（在所在直线上），此时两个水柱（水柱形状不变）的交点相应向下移动1米，接着在两个喷水装置的外侧各安装一盏射灯（在所在直线上左右对称安装），每盏射灯与同侧喷水装置底端的水平距离均为米（左右相同），射灯射出的光线与地面的夹角为且两条光线相交于一点，若光线与水柱之间的最小竖直距离为2米，求，的值． 11．【综合与实践】 【项目背景】 小麦是我省北部农村主要农作物，班级同学今年秋天前往种粮大户李叔叔家开展综合实践活动． 【预备知识】 根据李叔叔今年的种粮经验发现：种植品种小麦获得利润（万元）与投资金额（万元）成一次函数关系，种植品种小麦获得利润（万元）与投资金额（万元）成二次函数关系（如图所示）．已知函数，的图象交点为，，函数的图象与轴交于点． 【知识应用】 (1)求，的函数表达式； (2)观察图象，分析比较分别单独种植，两种小麦获得利润的大小； (3)若李叔叔准备明年共投资万元同时种植，两种小麦，怎样分配资金，可获得最大利润？最大利润是多少？ 12．在学习了二次函数的相关知识后，某同学开展了一项综合实践活动，下面是他尚未完成的活动报告． 主题 探究生活中的抛物线 研究内容 如图1是一座拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，水面的宽度为，桥洞顶部与水面的最大竖直距离是，其中为桥洞与水面的接触点，为抛物线的顶点，夏季暴雨频繁，现要根据降水量计算水面宽度．    研究方法 根据拱桥桥洞上沿所在的抛物线建立适当的平面直角坐标系，有图2-图4三个不同的方案（其中方案一点均在轴上，且关于轴对称，方案二点与原点重合，且点在轴上，方案三顶点与原点重合）． 方案一 方案二 方案三 方案设计          实践成果 ．．．．．． (1)根据方案设计，你选择的方案是___________（填“方案一”“方案二”或“方案三”）．则点的坐标为___________； (2)根据（1）所选的方案，求出拱桥桥洞上沿所在抛物线的解析式； (3)因夏季暴雨水位上升，求出此时水面的宽度（结果保留根号）． 13．踢足球是同学们喜爱的一项运动．如图，甲同学站在球门正前方的点处练习射门，他离球门的距离；身高的乙同学站在球门前的点处充当守门员，且他只做上下起跳防守，最大起跳高度为；点，，在一条直线上，，足球球门高度为，以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，足球飞行路线可看成抛物线的一部分． (1)甲射门时，球离点的水平距离与离地高度的部分数据如下表所示，求关于的函数解析式； 0 5 10 15 16 … 0 3 4 3 2．56 … (2)在（1）的条件下，若乙防守，通过计算判断甲的这次射门能否成功； (3)甲改变射门的角度再次射门，使球的最大高度发生改变，但保持球达到最大高度时与点的水平距离不变，若在乙防守的前提下甲这次射门能成功，求的取值范围． 14．【生活观察】小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，网前吊球这种击球的运动路线可以近似抽象成如下路线，如图1所示． 【数学建模】小明发现网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面如图2所示，从点击球，击球点是抛物线的最高点，点到地面的距离，球网的上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设击球路线经过点正上方处的点，网前吊球的落点为点． (1)请在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求出击球路线的函数表达式． 【模型应用】 (2)网前吊球的落点到球网的距离 ； (3)甲在处网前吊球，乙站在球网右侧，只有当羽毛球离地高度不小于时，乙才能成功接球，求乙能接到球时拍面距离球网的水平距离的取值范围． 15．综合实践：怎样才能命中篮筐． 【活动背景】学校组织班级间篮球比赛，九年级同学向阳发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮的图片，并测量相应的数据进行研究． 【模型建立】如图所示，以向阳的起跳点为坐标原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系；篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 信息整理 素材1 篮球出手时离地面的高度为米，篮筐中心离地面的高度米，篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米． 素材2 当篮球恰好经过篮筐中心点时，我们称此次进球为“空心球”；由于篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（米）满足时，篮球即可命中篮筐；篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，向阳在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 【解决问题】在初次投篮时，小组测得相关数据为：米，米，米，米． (1)向阳初次投篮时______命中篮筐；（填写：“能”或“不能”） (2)该班数学兴趣小组同学对向阳的初次投篮数据进行研究后，让向阳同学在原来位置向前走了米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求的值（保留根号）． (3)在比赛过程中，向阳在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮，若保持初次投篮时的出手高度，向阳此次能否命中篮筐？请说明理由．如果不能命中，在不改变向阳离篮筐中心的水平距离、投篮方向及出手速度的前提下，该如何调整向阳的投篮策略才能命中呢？ 16．如图，杂技团进行杂技表演，演员要从跷跷板右端处弹跳，越过最高点后恰好落在人梯的顶端处，其身体（看成一点）的路径是一条抛物线．现测量出如下的数据，设演员身体距起跳点水平距离为米时，距地面的高度为米． （米） … 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 … （米） … 4.15 4.60 4.75 4.60 4.15 … 请你解决以下问题： (1)在下边网格中建立适当平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接； (2)直接写出演员身体距离地面的最大高度； (3)求起跳点距离地面的高度； (4)在一次表演中，已知人梯到起跳点的水平距离是米，人梯的高度是米，演员弹跳后未能恰好落到人梯的顶端处．为使演出成功，结合所画的图象，分别设计以下两种调整方案： 方案一：将起跳点距离地面的高度调整为 米（结果精确到）； 方案二：保持起跳点高度不变，将人梯到起跳点的水平距离调整为 米（结果精确到）． 17．爱思考的小丽在观看排球比赛时发现一个有趣的现象：排球被垫起后，沿弧线运动，运动轨迹类似抛物线的一部分，于是她和同学小宛一起进行实验探究． 【素材】经实地测量可知，排球场地长为，球网在场地中央且高度为．建立如图所示的平面直角坐标系，发球时，排球的击球高度为． 水平距离 0 2 4 6 8 11 12 竖直高度 2.00 2.44 2.71 2.80 2.71 2.24 2.00 测得小宛某次发球时排球运动过程中的竖直高度y与水平距离x的几组数据如上表，并在平面直角坐标系中，描出了各组数值的对应点． 【解决问题】 (1)①请在下图坐标系中画出表示排球运行的轨迹； ②根据表格数据和所画轨迹形状，求排球运动过程中的竖直高度y与水平距离x近似满足的函数关系式； (2)通过计算，判断小宛这次发球能否过网，是否出界，并说明理由． 18．综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题． 【研究条件】 条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量（单位：辆）之间成正比例关系如表： 1 2 3 4 5 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与充电汽车数量之间满足：． 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： (1)根据如表数据，求与的函数关系式，并计算当时，该充电站的收入为多少元？ (2)当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时的值． 【模型应用】 (3)由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益=收入-成本）取得最大值，请求出符合条件的值，并说明理由． 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策． 19．综合与实践 “踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． (1)如图，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与点水平距离的处达到最高，高度为． ①以点为坐标原点，以地面为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为，求关于的函数表达式； ②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． (2)乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是，丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点，求丙的平均速度． 20．综合与实践——丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励． 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动． 【活动过程】 活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）． 活动2：应用模型 (1)如图，小红丢沙包时的出手高度为，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为．沙包在距离出手点的水平距离为时达到最高点，最高点距离地面．请通过计算说明沙包能否正好命中靶心． (2)若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面． 小红出手高度仍为，出手点与靶心的水平距离仍为．小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心．求沙包达到最高点时距离地面多少米． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $