第二十六章 微专题7 二次函数综合(3)(特殊三角形问题)-【宝典训练】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂（人教版·新教材）

数学·九年级·上册（人教版） 微专题7二次函数综合(3)（特殊三角形问题） A基础巩固·。 落实课标 2.如图，二次函数y=x2十bx十c的图象与x轴 交于A,B两点，与y轴交于点C,且A(一1， 1.如图，抛物线y=一x2十5x+n经过点 0),对称轴为直线x=2. A(1,0),与y轴交于点B. (1)该抛物线的解析式为 (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点Q,使 (2)已知P是y轴上一点， 得△BCQ是直角三角形？若存在，请直接 且△PAB是等腰三角 写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 形，试求点P的坐标. y A ●68 第二十六章二次函数 B能力提升 ●● 灵活应用 (3)设抛物线的顶点为D,DE⊥x轴于点E, 3.如图，抛物线y=一x2+bx十c的顶点为C,对 在y轴上是否存在点M,使△ADM是以 AD为直角边的直角三角形？若存在，请 称轴为直线x=1,且经过点A(3,-1),与y 直接写出点M的坐标；若不存在，请说明 轴交于点B. 理由. (1)该抛物线的解析式为 (2)连接OC,BC,则△OBC的面积为； (3)点P是抛物线对称轴上一点，若△ACP为 等腰三角形，请直接写出所有点P的坐标. A(3,-1) C拓展应用●。 深度思考 5.如图，二次函数y=一x2十bx十c的图象与x 轴相交于A,B两点，与y轴相交于点C,且点 B与点C的坐标分别为(3,0)，(0,3)，点M是 该图象的顶点. (1)该二次函数的解析式为 4.如图，抛物线y=ax2十bx十c经过点A(一3， (2)点P为线段MB上一个动点，过点P作 PD⊥x轴于点D,当△PCD为直角三角 0),B(1,0),C(0,-3) (1)该抛物线的解析式 形时，点P的坐标为 为 (2)若点P为第三象限内抛 物线上的一点，设 △PAC的面积为3，求点 P的坐标. ●>69数学九年级上册(RJ) 微专题5二次函数综合(1) (铅垂高、水平宽、面积最值问题) 1解：1Dy=7t-号x-2 (2)点C0,-2),点D(号，-)，连接0D, 则四边形ACDB的面积=S△c十S△oD十SaoD =×A0xc0+号×CXOH+-号×OBXDH =×1×2+×2×号+×4×- 3 2.解：(1)令y=x2-2x-3=0,解得x1=3,x2=-1. .A(3,0),B(-1,0). (2)存在.设点M的纵坐标为m, A(3,0),B(-1,0),.AB=3-(-1)=3+1=4, S8u=10,7-10,解得m=5, 当y=5时，5=x2-2x-3,解得x1=4,x2=-2, .点M的坐标为(4,5)或(-2,5). 3.解：(1)y=-x2+2x+3(2)y=-x+3 (3)设M(t,-t2+2t+3)(0<t<3), :MN∥y轴，∴.N(t,-t+3), .MN=-t+2t+3-(-t+3)=-t+3t =-(-)厂+， :当=2时，MN有最大值，最大值为是。 4.解：1y=名(x+2)2-8(2)y=-x-6 1 (3)设点P(m,2m+2m-6), :PE⊥x轴交AC于点E,∴E(m,-m-6), ∴PE=-m-6-(合+2m-6）=-合m-3m, :Sa-Saem+San-号×PEX6, =2×(-言m-3m）X6=-昌(m+3)+2 当m=-3时，Sm有最大值为号， 此时点P的坐标是（一3，-罗）， 5.(1)y=-d+2x+3(2)(3,-号) (3)(1+√/13，-9)(1-√/13，-9) 6.y=-合2+x+4(22,0 微专题6二次函数综合(2)（两段和、两段差问题） 1.解：(1)y=x2-4x+3 (2)如答图， b 一4 由（1)知对称轴为直线x一名2一2X1-2, 设点A关于对称轴x=2的对称点为点D,连接BD,则直线 BD与对称轴x=2的交点即为点P 设直线BD的解析式为y=kx+b, 代入点B(0,3)和点D(3,0), 得佰c，-0得31. 所以直线BD的解析式为y=一x十3. 当x=2时，y=一2+3=1， 所以点P(2,1). 答图 2解：10y=-}2-z+2 (2)IPA-PB|≤AB, ∴当A,B,P三点共线时，可得PA一PB的最大值，这个最 大值等于AB,此时点P是直线AB与x轴的交点. 设直线AB的解析式为y=kx十b,则 一2十6=，解得= b=2, 2’ (b=2. ∴直线AB的解析式为y=一之x+2, 当y=一弓x十2=0时，解得x=4, .当PA-PB最大时，点P的坐标是(4,0). 3.√10+3√2 4.解：(1)：二次函数的最小值为1,0>0,12a二=1，①. 4a 将点(2,3)代入y=a.x2+bx+3,得4a+2b+3=3,②， 联立①②，解得a=2,b=-4, ∴.该二次函数的解析式为y=2x2-4x十3； (2)由题意，得A(0,3),B(1,1),如答图，作点A关于x轴的 对称点A', .A'(0,一3)，连接AB交x轴于点P, 此时PA十PB的值最小，.AP=A'P, AB为定值， ∴.要使得△ABP周长最小，使得PA十PB 的值最小即可， 过点B作BD⊥y轴于点D, 点D坐标为(0,1)， .AD=2,A'D=4,BD=1, ∠ADB=∠A'DB=90°， A ∴AB=√AD+BD=√22+1F=√5， 答图 A'B=√AD+BD=W4+1平=√17， ∴.△ABP周长的最小值为AB十AP+BP=AB十A'B=√5 +√17. 5.解：(1)A(-4,0),B(1,0),C(0,3)；(2)(1,5)(4,1) (3)当P的坐标为1,0)或（一号，一号）时， |NP一BP|的值最大，此时最大值为√/I0. 微专题7二次函数综合(3)（特殊三角形问题） 1.解：(1)将点A的坐标代人得，0=一1十5十n, 解得n=一4，故y=一x2+5x-4. (2)设点P(0,m),点A(1,0),点B(0,一4)，则PA=1+m2, PB2=(m+4)2,AB2=1+16=17, ①当PA=PB时1十m=(m十4，解得m=号， 此时P点坐标为(0，-罗)： ②当PA=AB时，1十m2=17,解得m=4或一4（舍去）， 此时P点坐标为(0,4)； ③当PB=AB时，(m十4)2=17， 解得m=一4+√17或-4-√17， 此时P点坐标为(0，一4十√17)或(0，-4-√17).综上所 述，点P的坐标为(0，-号)或(0,4)或(0，-4十T)或0， -4-√17). 2.解：(1)y=x2-4x-5 （2)存在，理由如下： 在y=x2-4x-5中，令x=0得y=-5, 令y=0得x=-1或x=5,.B(5,0),C(0,-5), 由抛物线的对称轴为直线x=2,设Q(2,t), .BC=50,BQ=9+t2,CQ=4+(t+5)2, ①当BC为斜边时，BQ十CQ=BC, ∴.9+t2+4+(t+5)2=50,解得t=-6或t=1, .此时点Q的坐标为(2，一6)或(2,1)： ②当BQ为斜边时，BC+CQ=BQ, .50+4+(t+5)2=9+2,解得t=-7, ∴此时点Q的坐标为(2，一7)； ③当CQ为斜边时，BC+BQ=CQ, ∴.50+9+t=4+(t+5)2,解得t=3, .此时点Q的坐标为(2,3).综上所述，点Q的坐标为(2,3) 或(2，-7)或(2,1)或(2，-6). 3.解：(1)y=一x2+2x+2(2)1 (3)y=-x2+2x+2=-(x-1)2+3,.C(1,3). 设点P(1,m),因为点A(3,-1),点C(1,3), 所以AC=20,PA2=4+(m十1)2，PC=(m-3)2, ①当AC=PA时，20=4十(m十1)2， 解得m=3(舍去)或-5，此时点P的坐标为(1，-5)； ②当AC=PC时，(m-3)2=20,解得m=3士2√5， 此时点P的坐标为(1,3十2√5)或(1,3一2√5)； ③当PA=PC时，4+(m十1)2=(m-3)2, 解得m=号，此时点P的坐标为(1，)） 综上所述，点P的坐标为(1，-5)或(1,3+25)或 (1,3-2⑤或(1，号）： 4.解：(1)y=x2+2x-3 (2)如答图，过点P作x轴的垂线，交AC于点N. 设直线AC的解析式为y=x+m, 由题意，得一3十m=0”解得=-1：3y=-工-3. （m=-3, m=-3, 设P(x,x2+2x-3),则N(x,-x-3), .PN=-(x2+2x-3)+(-x-3)=-x2-3x, :△PAC的面积为3，号PN,OA=3, 即2(-2-3x)X3=3,解得=-1,4=-2， .点P(-1,-4)或(-2，-3). (3)存在点M,其坐标为(0，号)或(0，-子)： 5.(1)y=-x+2x+3(2)(3厄-3，-62+12)或(，3） 微专题8二次函数综合(4)（特殊四边形问题） 1.解：1=号-亭x-2 (2)令x=0,y=一2，点C(0,一2)，对称轴为直线x=1, 设点M1,0,点N(,号i-专n-2) ①若CM为对角线，则BN与CM互相平分， 19,-#-奇。240 2 2,2 2 解得n=-2c=9∴点M(1,9): ②若BM为对角线，则BM与CN互相平分， 型9,0*号--2-2 2 2’2 2 解得a=4,6=音∴点M1,号)： 参考咨案 ③若BC为对角线，则BC与MN互相平分， :0+31+,2+0-+号--2 2 2’2 2 .n=2,c=0,.点M(1,0) 综上所述，点M的坐标为(1，)或(1，号)或(1,0). 2.解：(1)1y=x2+2x+1 (2):y=一x十1的图象与二次函数的图象的对称轴交于点 D,.D(-1,2), 点C(-1,0),.CD=2,.PE∥DC, 只要PE=DC=2,以D,C,E,P这四个点为顶点的四边形 就是平行四边形， 设P(x,-x十1)，则E(x,x2+2x十1)， .|x2+2x+1-(-x十1)1=2， 六r+3x=2或x+3x=-2,解得G=-3+☑ =-3,7,6=-1(舍去)，x,=-2, ∴点P的坐标为(3t正，5严)或(32区 5+)或(-2,3). 2 3.解：(1)y=-x2+4x-3(2)(1,0)(2,1) (3)PD的最大值为是，P(号，)， (4)①当AE是平行四边形的对角线时，则△APE≌△EFA, ∴w=|m=是且F在x轴下方， 点F的纵坐标为-子， (生豆，-)或豆，-)： ②当AE为平行四边形的边时，F点与P点关于抛物线的对 称轴对称F(停，子)， ∴点(7，-）或，-)或(，) 4.解：(1).A(一3,0)，B(1,0)两点在抛物线上， 0=一（-3)2-36十c'解得b=一’ 0=-12+b+c, y=-x2-2x+3. (2)存在，理由如下： 抛物线y=一x2一2x十3的对称轴为x=一1， 设P(-1,t),Q(m,),A(-3,0),C(0,3), 则AC=(-3)2+32=18, AP2=(-1+3)2+2=2+4, PC=(-1)2+(t-3)2=t2-6t+10, ,四边形ACPQ是菱形， ①以AP为对角线时，则CP=CA, .t2-6t+10=18,解得t=3士w17, .P(-1,3-/17),P2(-1,3+√17)； ②以AC为对角线时，则PC=AP, ∴.t-6t+10=t+4,解得t=1,∴.P3(-1,1); ③以CP为对角线时，则AP=AC, .t2+4=18,解得t=士√/14， .P4(-1,14,P(-1,-√14) 综上所述，符合条件的点P的坐标为(-1,3-√/17)或(-1， 3+√17)或(-1,1)或(-1,14)或(-1，-/14). 3