第二十六章 第24课时 实际问题与二次函数(1)(最值问题)-【宝典训练】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂（人教版·新教材）

数学九年级上册(RJ) 图象与x轴相交于两点，观察图象，x1≈3.6，x2≈1.4. (2)作函数y=2x2一4x一5的图象如答图2： ty 54321 --6 个7 答图2 图象与x轴相交于两点，观察图象，x1≈2.9，x2≈一0.9. (3)作函数y=5x2+4x一3的图象如答图3： 5 -3 -2 65432其p12多456 答图3 图象与x轴相交于两点，观察图象，x1≈0.5，x2≈一1.3. 第23课时待定系数法求二次函数解析式 1.解：设函数的解析式是y=a(x十1)2一8， 把(0，一6)代入函数解析式，得a一8=一6，解得a=2, 则抛物线的解析式是y=2(x+1)2-8. 2.解：抛物线过点A(2,一9)，B(4,一5)， 818w56- 3.解：(1)把(-1,0)和(0,3)代入， 得二1-6+c=0 b=2, 解得 lc=3, .抛物线的解析式为y=一x2十2x十3. (2)由(1)知抛物线的对称轴为直线x=1,开口向下， .函数图象上离对称轴越近的点的y值越大， .1-0.15>1.25-1,∴.y2>y. 4.解：(1)把（一1,0），(0,3)分别代人y=a.x2+2x+c, 得{8十c=0解得a1, c=3, (c=3, 故抛物线的解析式为y=一x2十2x+3. (2)当x=3时，y=-x2+2x+3=-9+6十3=0： 所以m的值为0. 5.解：(1)：此二次函数图象的对称轴为直线x=1, -=1k=2, .二次函数的解析式为y=x2一2x一3. (2):二次函数的图象的对称轴为直线x=冬，a=1>0, ∴当x<冬时，y随x的增大而减小 :当≤1时，y随x增大而诚小，号≥1，≥2. 6.解：(1)：抛物线y=-2x2十bx十c经过点A(-1,-3)和点 B(2,3), 则仁0-粥得： b=4, 这条抛物线的函数解析式为y=一2x2+4x十3. b (2)x=一2a -4=1,a<0, 4 .当x>1时，y随x的增大而减小 ∴.当1≤x2<x1时，y<y2 7.解：(1)由题意，得2+2k-6=2且十2<0，解得=-4，所 以此二次函数的解析式为y=一2x2+8.当x=0时，y=8; 当y=0时，-2x2十8=0，解得x=士2，所以点A,B,C的坐标分 别为：(-2,0)，(2,0)，(0,8). (2)-24≤n≤8 (3)存在.设D点纵坐标为yD.由题意，得AB=4, Sm=合ABX%=2X4XD=8,所以%=4， 所以-2x2+8=4,解得x=土√2， 所以点D的坐标为（一√2,4）或（√2,4）. 8.解：(1)y=x2-2x-3(1,-4) (2)由题图可得当0<x<3时，一4≤y<0. (3).A(-1,0),B(3,0),∴AB=4. 设P(x,y),则Saa=2AB·y=2y=10,y=5, .y=士5. ①当y=5时，x2一2x一3=5，解得x1=2,x2=4, 此时点P的坐标为（一2,5）或(4,5)： ②当y=-5时，x2-2x-3=-5,方程无解. 综上所述，点P的坐标为（一2,5）或(4,5) 第24课时实际问题与二次函数(1)（最值问题） 1.解：设菜地垂直于墙的一边长是x米，则平行于墙的一边是 (10+1-2x)=(11-2x)米， .面积S=x(11一2x)=-2x2+11x, ,0<11-2x≤5，解得：3≤x<5.5, :-2<0,对称轴x一名-马-号 一441 .当x=3时，S最大=-2×32+11×3=15（平方米）， 答：矩形ABCD菜地的面积最大为15平方米. 2.解：(1)根据题意，得y=212-)x(0<x<12), 即y-号r+6z0<1<12. (2)由y=-号r+6x=-2(x-6)+18, 得函数图象的顶点坐标为(6,18). 则当x=6时，三角形的面积最大，最大面积为18cm2 3.解：(1)：四边形ABCD是矩形， .'CD=AB=x m,BC=(36-2x)m, .S=x(36-2x)=-2x2+36x. 自变量x的取值范围是0<x<12. (2)S=-2x2+36x=-2(x-9)2+162, 且x=9在0<x<12的范围内， ∴当AB边的长为9m时，S取最大值. 4.解：(1)根据题意，得，y=100+(80一x)×5=一5x+500, 即y与x的函数解析式是y=一5x+500. (2)根据题意，得， w=(x-40)(-5x+500)=-5(x-70)2+4500. 故当x=70时，w取得最大值，此时=4500， 即当销售单价为70元时，每分钟获得的利润最大，最大利润 是4500元. 5.解：(1)设剪去的正方形的边长为xcm, 则(10-2x)(8-2x)=48,即x2-9x十8=0， 10 解得x1=8(不合题意，舍去)，x2=1. 即剪去的正方形的边长为1cm. (2)有侧面积最大的情况 设正方形的边长为xcm,盒子的侧面积为ycm, .y与x的函数解析式为y=2(10一2x)x+2(8-2x)x, y--8r+3r=-8c-r+婴0<K0, 当x=2.25时，y最大，为40.5. 即当剪去的正方形的边长为2.25cm时，长方体盒子的侧面 积最大，为40.5cm2. 第25课时实际问题与二次函数(2)（抛物线形问题） 1.C2.203.3 4.解：(1)OA=5,OB=5,∴.A(0,5),B(5,0). 分别代入y=一x2+bx十c,得 1c=5, =25+56十c=0.解得6=4’ 故该抛物线的函数解析式为y=一x2+4x十5. (2)令y=2,则-x2+4x+5=2, 整理，得x2一4x一3=0， 解得x=2十√7，x2=2-√7（不合题意，舍去）， 故小明走出(2十√7)m时，头顶刚好碰到树枝 5.解：(1)根据题意，得E(20,6)和C(0,2), 设抛物线的解析式为y=a(x一20)2+6， 代入点C的坐标，得2=a(0-20)2+6, 解得a=-0.01, 故抛物线的解析式为y=一0.01(x一20)2+6. (2)当y=3时，3=一0.01(x-20)2+6, 解得x1=20+10√5，x2=20-10√3（舍去）. 答：点O到训练墙AB的距离OA的长度为(20+10√3)米. 6.解：(1)由题意知，抛物线的顶点坐标为(5,3.2)， 设抛物线的解析式为y=a(x一5)2十3.2， 将(0,0.7)代人，得0.7=25a十3.2，解得a=一10， y品x-5+3.2=-0r+x+0 即抛物线的解析式为)一一十x十品 (2②)当y=1.6时，-0+x+0-1.6, 1 解得x=1或x=9, .她与爸爸的水平距离为3-1=2(m)或9一3=6(m), 即当她的头顶恰好接触到水柱时，与爸爸的水平距离是2m 或6m. 7.解：(1)设抛物线的解析式为y=ax2,桥拱最高点O到水面 CD的距离为hm. 则D(5,-h),B(10,-h-3), 10a=--3,解得a 将C,D两点坐标代人，得25a=-h, h=1, 抛物线的解折式为y=一宏。 (2)根据题意，得船行驶到桥下的时间为35÷5=7(h), 水位上升的高度为0.25×7=1.75(m). 由(1)知，B(10,-4), 当A=-4+1.75=-225时，令-云=-2.25， 解得x=7.5或x=一7.5（不符合题意，舍去）， ∴.2x=15>10. .水面宽是15m,它能安全通过此桥. 参考咨案 第26课时实际问题与二次函数(3) (建立平面直角坐标系) 1.解：建立如答图所示的平面直角坐标系，设该同学所处的地 方本为点C,作CD⊥x轴交抛物线于点D. 0A=号×10=5(m, y个 0C=5-1=4(m), CD=1.8m, A ∴.A(5,0),C(4,0),D(4,1.8). -10m c1m成 :抛物线的顶点为大门的最高 点，B(0,h). 答图 设抛物线的解析式为y=ax2十h, 将A(5,0),D(4,1.8)代入y=ax2+h, 1 (25ah=0,。解得a=一方 得16a十h=1.8, h=5. 答：该大门的高h为5m. 2.解：(1)根据题意可得第一个拱所在的抛物线经过A(0,0),B (12,0),且最高点的纵坐标为4，设第一个拱所在的抛物线解 析式为y=a.x(x-12). y=ax(x-12)=a.x2-12ax=a(x-6)2-36a, .-36a=4,解得a=一9 故第一个拱所在的抛物线的解析式为)=一号+号。 1 (2)当水面离拱顶最大距离为1m时，水面与抛物线交点的 纵坐标为3. 在y=-日+号x中，令y=3, 4 得-日+号x=8,解得=3，西=0. 故9-3=6(m). 答：拱内水面的宽度为6m. 3.解：(1)如答图，分别以地面和墙面所在直线为x轴、y轴建 立平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+20, 3 个M 把点A(0,5)代人抛物线解析式，得a=一 5 3· 故抛物线的解析式为y=一号（。一1十号。 B 3 7777777 (2)当y=0时，五=-1（舍去），x=3. 答图 .'.OB=3 m. ∴水流下落点B离墙距离OB的长是3m. 4,解：以底部所在的直线为x轴，以线段AB的垂直平分线所 在的直线为y轴建立平面直角坐标系，如答图， 则C(一40,0)，D(40,0). 设外侧抛物线的解析式为 y=a(x+40)(x-40), 将(0,300)代入，得 1300m 225m 300=a(0+40)(0-40), 解得a=一。，放外侧抛物线的解析式为 C-8om→b 3 y=-6x+30. 答图 将y=25代入，得-是+30=25，解得x=士20， 故A(-20,225),B(20,225), ∴.AB=40m. 答：在内侧抛物线顶部处的外侧抛物线的水平宽度AB为 40m.数学·九年级·上册（人教版） 第24课时 实际问题与二次函数(1)（最值问题） A基础巩固。。· 落实课标 B能力提升。。· 灵活应用 1.为了深人推进劳动教育，开展劳动实践活动， 3.学校要围一个矩形花 AAA D 某校打算建一个如图所示的矩形ABCD菜 圃，花圃的一边利用足 花圃 地.菜地的一面利用学校边墙（墙长5m),其 够长的墙，另三边用总 他三面用栅栏围住，但要开一扇1m宽的进出 长为36m的篱笆恰好围成（如图所示）.设矩 口（不需要栅栏），已知栅栏的总长度为10m, 形的一边AB的长为xm(要求AB<AD),矩 求矩形ABCD菜地的面积最大为多少平方米 形ABCD的面积为Sm2, (栅栏的宽度忽略不计)？ (1)求S与x之间的函数解析式，并直接写出 自变量x的取值范围； (2)要想使花圃的面积最大，AB边的长应为 多少？ 2.一直角三角形的两直角边的和为12cm,若它 的一条直角边长为xcm,它的面积为ycm. (1)求y与x之间的函数解析式； (2)当x为何值时，三角形的面积最大？最大 面积为多少？ ●58 第二十六章二次函数 4.(2025秋·盱胎县期末)“我想把天空大海给 C拓展应用●●。· 深度思考 你，把大江大河给你，没办法，好的东西就是想 5.(2025秋·南沙区期末)如图，把一张长 分享于你”这是直播带货新平台“东方甄选”带 10cm,宽8cm的长方形硬纸板的四周各剪去 货王董宇辉在推销大米时的台词.所推销大米 一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的 成本为每袋40元，当售价为每袋80元时，每 长方体盒子（纸板的厚度忽略不计） 分钟可销售100袋.为了吸引更多顾客，“东方 (1)要使无盖长方体盒子的底面积为48cm, 甄选”采取降价措施.据市场调查反映：销售单 求剪去的正方形的边长， 价每降1元，则每分钟可多销售5袋，设每袋 (2)折合而成的无盖长方体盒子的侧面积有最 大米的售价为x元(x为正整数)，每分钟的销 大值吗？如果有，求出最大值；如果没有， 售量为y袋， 请说明理由。 (1)求出y与x的函数解析式； (2)设“东方甄选”每分钟获得的利润为心元， 当销售单价为多少元时，每分钟获得的利 润最大，最大利润是多少？ ●59