第二十五章 第8课时 实际问题与一元二次方程(1)(几何问题)-【宝典训练】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂（人教版·新教材）

数学九年级上册(RJ) 5.解：(x-2)(x-4)=0, ∴.x-2=0或x-4=0,∴.x1=2,x2=4. 6.解：3x2-4x-1=0, .a=3,b=一4，c=一1， .△=16-4×3×(-1)=28， 解得2，-27 3 31 7.C8.D 9.解：2(x十y)2-3(x十y)-2=0, 设x十y=,则2F-3-2=0,解得有=-号4=2， ∴x+y=-2或2 第7课时降次一解一元二次方程(6) 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）】 1.D2.A3.-54.-15.-56.-37.-28.0 9.解：(1)a=1,b=2,c=1,且2-4ac=4-4=0, 函十=-名=-2=台=1 (2):a=1,b=√2，c=-3,且62-4ac=2+12=14>0, 通十=-名=-E,西=合=-3 (3)方程化为5x2十x-3=0, .'a=5,b=1,c=-3,且b2-4ac=1+60=61>0, a (4)方程化为6x2-5x+1=0, .a=6,b=-5,c=1,且b2-4ac=25-24=1>0, 函十=-名-号=台-行 10.3111.202112.113.2314.10 15.解：(1)方程x2-x-1=0中，a=1,b=-1,c=-1, 函+4=--1，函==-1， 故答案为：1；-1. (2)x号+x2=(十x)2-2m1x2=12-2X(-1)=3. 16.解：把x=1代入方程x2+bx-3=0, 得：1+b-3=0,解得b=2, .原方程为x2+2x一3=0. 解得x1=1,x2=一3， b的值为2，方程的另一个根为x=一3. 17.解：根据题意，得十x2=2k十1，xx2=2k. x十2x=(x1十x2)2-2x1x2 .(2k+1)2-2×2k2=4k+1=5,解得k=1. 18.解：(1)：m,n是方程x2+x-1=0的实数根， ∴.m十n=-1,mn=-1. (2).m,n是方程x2十x一1=0的实数根， .m2+m-1=0,m+n=-1,mn=-1, ∴.m2十2m十n-mn=m2+m十m+n-mm =1-1-(-1)=1. 19.解：(1)关于x的一元二次方程x2+2(k一1)x+k一1= 有实数根， .△=[2(k-1)]2-4(k2-1)≥0. 即4(k一1)2-4(k2一1)≥0，解得k≤1. (2),方程的两个实数根分别为x1,x2, x1+x2=-2(k-1),x2=k2-1. (x1-1)(x2-1)=6,x1x2-(十x2)+1=6. .k2-1+2(k-1)+1=6. 解得=一4或=2， k≤1，.k=-4. 微专题3一元二次方程阶段复习 1.D2.B3.-34.20245.C6.C 7.解：x2-4x十1=0， 6-4ac=(-4)2-4X1X1=12,x=4±/厘， 2 x=2+3,x2=2-√3. 8.解：2(x-3)-3x(x-3)=0,(x-3)(2-3x)=0, x-3=0,2-3x=0,x1=3,x2=2 9.B10.A11.-312.x=2-√5 13.解：(2x+1)2-3(2x+1)=0, (2x+1)(2x+1-3)=0,2x+1=0或2x+1-3=0, .x1= Γ2=1. 5 14.解：根据题意得西十五=一2西五=一之 (①)原式=石-(a十)+1=-号+号+1=8， (2)原式=+立-国十)2-2x2 T1x2 T Tz (-)》°-2x(》 _29 2 15.解：x2-(2m+1)x+m(m+1)=0, (x-m)(x-m-1)=0,解得x1=m,x2=m十1， .BC=6,△ABC为等腰三角形， ∴.m=6或m+1=6,.m=6或m=5 m=6时，三边长为6,7,6，符合三角形三边关系； m=5时，三边长为5,6,6，符合三角形三边关系. 则当△ABC为等腰三角形时，m的值为6或5. 16.解：(1)△=[2(a-1)]2-4(a2-7a-4)=20a+20, 方程有两个实数根，.20a十20≥0，∴.a≥一1. (2)由题意得x1十x2=-2(a-1),1·x=a2-7a-4, x1x2-3x1-3x2-2=0, .a2-7a-4-3[-2(a-1)]-2=0, .a2-a-12=0,解得a=4或a=-3, a≥-1，.a=4. 17.(1)证明：：关于x的一元二次方程为 x2-2mx+m2-1=0,∴.△=(-2m)2-4(m2-1)=4>0, .该一元二次方程总有两个不相等的实数根 (2)解：由求根公式得x1=m十1，x2=m-1 ·该一元二次方程有一个根大于3，另一个根小于3， ∴.m-1<3且m+1>3,解得2<m<4. 第8课时实际问题与一元二次方程(1)（几何问题） 1.(7+2x)(5+2x)=2×7×52.13.24.C5.B 6.解：设小路的宽为x米，则矩形花园的长为(16一2x)米，宽为 (12一2x)米，根据题意，得 (16-2x)12-2x)=7×16×12, 整理，得x2一14x十24=0， 解得=2，x2=12(不符合题意，舍去). 答：小路的宽为2米， 7.解：(1)由题意得：BQ=2tcm,AP=tcm,PB=(5-t)cm, 故答案为：2t:(5-t). (2)存在，理由如下：由题意得：号×2×(5-)=4， 解得：t1=1,t2=4(不符合题意，舍去)， ∴.存在t的值，使得△PBQ的面积等于4cm,此时t的值 为1. 8.(20-x)(32-x)=5409.x(x+2)×1=25 10.解：栅栏总长度为18m,AB的长为xm, .BC的长为(18-2x)m. 根据题意，得x(18一2x)=36, 整理，得x2一9x十18=0，解得x1=3,x2=6. 当x=3时，18-2x=18一2×3=12>10，不符合题意， 舍去； 当x=6时，18-2x=18-2×6=6<10,符合题意， 答：此时的x的值为6. 11.解：(1)根据小亮的设计方案列方程 得(52-x)(48-x)=2300, 解得x1=2,x2=98(不合题意，舍去). 故小亮的设计方案中甬路的宽度为2m, (2)如答图，过点A作AI⊥CD,垂足为I. ,AB∥CD,∠1=60°， 52 .∠ADI=60°， .∠IAD=30°. ,BC∥AD, ∴.四边形ADCB为平行四边形， E .'BC=AD. AD(单位：m) 由(1)，得x=2, 答图 ∴.BC=HE=AD=2m. 在Rt△ADI中，AD=2m,∠IAD=30°， ID=1m,.AI=√3m. 故小颖的设计方案中四块绿地的总面积为52×48一52×2 -48×2+(5)=2299(m2). 第9课时实际问题与一元二次方程(2) (传播问题、增长率问题)】 1.C2.D3.2x(x-1)=214.125.66.67.6 8.解：设该公众号关注人数的月平均增长率为x, 根据题意，得5000(1十x)2=7200, 解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(舍去). 答：该公众号关注人数的月平均增长率为20%. 9.解：设每个月生产成本的下降率均为x, 根据题意，得1000(1一x)2=810, 解得=0.1=10%，x2=1.9(不合题意，舍去) 答：每个月生产成本的下降率均为10%. 10.解：(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 则开始时是1个人，第一轮传染x人，共计(x+1)人患了流 感，第二轮传染x(x十1)人，.1+x+x(x十1)=81， 则x2+2x+1=81,即(x+1)2=81, .x+1=9或x十1=-9， 解得x=8或x=一10（舍去）. 答：每轮传染中平均一个人传染了8个人. (2)经过第二轮传染后共计81人患了流感，则第三轮传染 81×8=648(人)， ∴经过三轮传染后，患流感人数为81+648=729（人）. 答：经过三轮传染后共有729个人会患流感. 11.20% 12.解：设十一月份销售额的下降率为x, 根据题意，得40(1一x)(1十2x)=45, 解这个方程，得x=子，40(1-)=30. 答：十一月份的销售额为30万元. 13.解：(1)设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，依 题意得：1+x十x2=111, 解得x=10或一11（舍去） 答：这个短信要求收到短信的人必须转发给10人. 参考苔案 (2)第三轮短信转发后，收到此短信的人数共有：1+1×10 +10×10+10×100=1111(人). 答：从小王开始计算，三轮后会有1111人有此短信 14.500+500(1+x)+500(1+x)2=182015.40%16.C 第10课时实际问题与一元二次方程(3) (互赠或握手问题) 1.C2.D3.54.75.66.号x(x-1)=21 7.x(x-1)=908.99.5 10.解：设参加这次会议的专家有x人，由题意得： 2x+分x(x-1)=14 整理得：x2十3x-28=0,解得：x1=4,x2=-7(舍去) 故参加这次会议的专家有4人. 11.解：设共有m支队伍参赛， 由题意得，m(D=3×145, 2 整理得：m2一m-870=0, 解得：m=-29(舍去)或m=30. 答：共有30支队伍参赛. 12.解：设有x支球队参赛，则每个队参加(x一1)场比赛， 则共有2x(x一1)场比赛， 由题意得(x,1=66,整理得：x-x-132=0, 2 即(x-12)(x+11)=0, 解得：x=12或x=一11（舍去）. 答：初中组共有12支球队参加比赛， 13.解：(1)由题意，得6个人需比赛的局数为6×(6-1卫-=15， 2 答：参赛者有6人，按赛制共进行了15场比赛； (2)小江说的有道理，理由如下： 设有x人报名参赛，由题意得(x)1)=40, 2 整理得2-x一80=0，解得工=1生32江，不为整数， 2 ∴.方程的解不符合实际，故小江说的有道理； (3)设有一人比赛了n场后退出比赛，由题意， 得x-1)x-2+n=40, 2 整理得x-3x+2m-78=0,解得x=3±V321-8m 2 当n=4时，x=317=10,是正整数，符合题意： 2 -317-一7不符合题意，舍去. 2 .共有10名参赛者报名本次比赛，n的值为4. 故答案为：4. 14.(1)①310②n(n-1D 2 (2)8(3)9 第11课时实际问题与一元二次方程(4)（营销问题） 1.20元2.133.(100-80-x)·(100+10x)=2250 4.解：设每千克水果应涨价x元， 根据题意，得(500一20x)(10十x)=6000, 整理，得x2一15x+50=0,解得x1=5,x2=10, 要使顾客得到实惠，应取x=5. 答：每千克水果应涨价5元. 5.解：(1)根据题意，得20+6×2=32（件）. 答：平均每天销售数量为32件. (2)设每件商品降价x元，则每件盈利(40一x)元，平均每天 可售出(20十2x)件，根据题意，得(40一x)(20十2x)=1200,数学·九年级·上册（人教版） 第8课时 实际问题与一) A基础巩固 ●● 落实课标 1.一份摄影作品[七寸照片（长7英寸，宽5英 寸)门]，现将照片贴在一张矩形衬纸的正中央， 照片四周外露出衬纸的宽度相同；矩形衬纸的 面积为照片面积的2倍.设照片四周外露衬纸 的宽度为x英寸（如图），则可列方程为 (第1题图) (第2题图)》 2.一农户家承包了一块矩形荒地，修建了三个草 莓种植大棚，其布局如图所示.已知矩形荒地 AD=60米，AB=17米，阴影部分为大棚，其 余部分是等宽的通道，大棚的总面积为870平 方米，则通道宽为米。 3.张大伯家有一块长8m,宽6m的矩形菜地，现 在将这块菜地长和宽都拓宽xm(如图所示)， 如果要使拓宽后的矩形菜地的面积是原面积 的号，那么x的值为 81m 6m xm (第3题图) (第4题图) 4.如图，在长为32m,宽为20m的长方形地面上 修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部 分种上草坪，要使草坪的面积为540m,则道路 的宽为 ( ) A.1m B.1.5m C.2 m D.2.5m 5.如图，某学校计划用26m的 围栏靠墙围成一个面积为 80m的矩形小花园（墙长为15m),则与墙垂 直的一边的长x为 ( A.10m或5m B.8m C.10m D.5m ●>22 二次方程(1)（几何问题） 6.如图，矩形ABCD是一块长16米、宽12米的 荒地，要在这块荒地上建造一个矩形花园EF GH,在花园的外围是宽度相等的小路.要使花 园所占面积为荒地面积的一半，则小路的宽为 多少米？ 7.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm, BC=6cm,点P从点A开始沿边AB向终点 B以1cm/s的速度移动.与此同时，点Q从点 B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移 动.点P,Q分别从点A,B同时出发，当点Q 移动到点C时，两点停止移动.设移动时间为 ts.(t>0) (1)填空：BQ= cm,PB= cm (用含t的代数式表示)； (2)是否存在t的值，使得△PBQ的面积为 4cm2？若存在请求出此时t的值；若不存 在，请说明理由. B能力提升 ●● 灵活应用 8.如图，在宽度为20m, 32m 长为32m的矩形地 20m 面上修筑同样宽的道 路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要 使草坪的面积为540m,求道路的宽.如果设 道路宽为xm,根据题意，所列方程 是 9.将一块矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为 1米的正方形后，剩下的部分刚好围成一个容 积为25立方米的无盖长方体水箱，且此长方体 水箱的底面长比宽多2米.求该矩形铁皮的长 和宽各是多少米.若设该矩形铁皮的宽是x米， 则根据题意可得方程为 10.如图，某农场计划建造一个矩形养殖场，为充 分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙 的长度为10m),另外三面用栅栏围成，已知 栅栏总长度为18m,设矩形垂直于墙的一 边，即AB的长为xm.若矩形养殖场的面积 为36m,求此时的x的值 10m ●> 2 第二十五章一元二次方程 C拓展应用●。· 深度思考 11.要在一块长52m、宽48m的矩形绿地上修 建同样宽的两条互相垂直的甬路.如图所示 的是小亮和小颖的设计方案， 小亮设计的方案如图①所示， 5 甬路的宽度均为xm,剩下的 四块绿地的面积共2300m2. 52 m G不 图①（单位：m) 48m x m 小颖设计的方案如图②所示， E BC-HE=x m,AB//CD,HGIIEF xm 图②（单位：m) AB⊥EF,∠1=60° (1)求小亮的设计方案中甬路的宽度； (2)求小颖的设计方案中四块绿地的总面积 (提示：小颖的设计方案中的x与小亮的 设计方案中的x的取值相同). 3《●