25.3 第1课时几何图形问题-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(人教版·新教材)

拔尖特训· 数学（人教版）九年级上 25.3实际问题与一元二次方程 第1课时几何图形问题 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.如图，某农家乐老板计划在一块长130m、宽60m的空地上开挖出两块形状、大小相同的垂钓鱼 塘，它们的面积之和为5750m,两块垂钓鱼塘之间及周边留有宽度相等的垂钓通道，则垂钓通 道的宽度为 A.4.5m B.5m C.5.5m D.6m 34米 130m 18米 (第1题) (第2题) (第3题) 2.教材变式题如图，在一块矩形的劳动基地中有三条宽度相同的道路，横向有一条，纵向有两条，除 道路外，剩下的是种植区域.已知该矩形基地的长为34米，宽为18米，种植区域的面积为480平 方米，则劳动基地中的道路的宽度为 () A.1米 B.1.5米 C.2米 D.2.5米 3.如图，张叔叔在一个长20米、宽12米的矩形花园中划分出4个小矩形（涂色部分），将其布置成 4个不同的景观，空白部分留成宽度相同的道路.已知布置景观的4个小矩形（涂色部分）的面积 总和为180平方米，则道路的宽度为 米 4.有一块长32cm、宽14cm的矩形铁皮， (1)如图①，如果在铁皮的四个角上裁去四个边长一样的小正方形后，将其折成底面积为280cm 的无盖长方体盒子，求裁去的小正方形的边长， (2)现计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，某学生设计了如图②所示的裁剪方 案，涂色部分为裁剪下来的边角料，其中左侧的两个涂色部分为小正方形，能否折出底面积为 180cm的有盖盒子？如果能，请求出盒子的体积；如果不能，请说明理由， ① ② (第4题) 12 第二十五章一元二次方程 扫二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 5.如图，线段AB的长为2，以AB为边在AB的下方作正方形ACDB,在边AB上取一点E,以AE 为边在AB的上方作正方形AENM,过点E作EF⊥CD,垂足为F,若正方形ACDB与四边形 MNFC的面积相等，则AE的长是 () A.-5-1 B.√5-1 C.-√5+1 D.√5+1 ② ① ③ ① ③ ⑦ ② ④ C ① ② (第5题) (第6题) 6,如图，将图①的正方形剪成四块，恰能拼成图@的矩形，则号 7.用总长680cm的木板制作矩形置物架ABCD(如图)，已知该置物架上面部分为正方形ABFE, 下面部分是两个全等的矩形DGMN和矩形CNMH,中间部分为矩形EFHG.已知DG= 60cm,设正方形的边AB=xcm. (1)当x=72时，EG的长为 cm (2)置物架ABCD的高AD的长为 cm(用含x的代数式表示)， (3)为了便于置放物品，EG的高度不小于22cm,若矩形ABCD的面积为12000cm,求x 的值. 4 (第7题) 微专题·围墙问题 1.[围墙中的单门问题]如图，琪琪的爸爸用一段12m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长6.5m) 的矩形鸡舍ABCD,其面积为21m2.在鸡舍的AB边中间位置留一个1m宽的门（由其他材 料制成)，则BC的长为 m. /LLLLLLLLLLLLL4LL (第1题) (第2题) 2.[围墙中的双门问题]如图，用长为34m的篱笆和一面墙（墙的最大可用长度为20m),围成中间 隔有一道篱笆的矩形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为 1m的两扇小门，当花圃垂直于墙的边AB的长为 m时，所围成的花圃面积为105m. “答案与解析”见P7 1310m十25=(m一5)2..对于任意实数m都有(m一5)2≥ 0,∴△≥0..无论m为何值，方程总有两个实数根 (2)边AB,AC的长是关于x的一元二次方程x2 (m+1)x+3(m-2)=0的两个实数根，.AB+AC m+1,AB·AC=3(m-2)(m>2..△ABC是以BC为 斜边的直角三角形，∴.BC2=AB2十AC2.∴.AB2十AC2= (AB+AC)2-2AB·AC=(m+1)2-2X3(m-2)= m2-4m十13=25..m=6或m=-2(不合题意，舍去) ∴.当m=6时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形 15.k>子由题意，得△=[-(2k-3)]2-4(2k-4)= 4k2-20k+25=(2k一5)2≥0，∴.无论k取何实数，方程都 有两个实数根.设该方程的两个根为xx2,则x1十x2 2k一3，x1x2=2k一4.：一根大于3，一根小于3，∴.不妨 设x1>3,x2<3..(x1-3)(x2-3)<0,即x1x2 3(x1+x2)+9<0..2k一4-3(2k一3)+90. 7 .k>2: 16.(1)x1=2,x2=-2,x3=3,x4=-3.(2):a≠ b,∴.a2≠b2或a2=b2(a=一b).①当a2≠b2时，令a2= m,b2=n,则2n2-7m十1=0,2n2-7n+1=0,m≠n. .m,n是方程2x2一7x十1=0的两个不相等的实数根， 7 六m十n=2m=2.a4+6=m2+n2=(m+n)2- 2m=华.@当a2=公(a=-b)时，易得a2=6 7±④，此时a+6=2a=2a)2=45±7y 4 .综上所 4 述a'+6的值为9或6+①或5-① 4 (3)令 m=a,-n=b,则a2+a-7=0,6+b-7=0.>0, -,即a≠b.∴.a,b是方程x2+x-7=0的两 不相等的实数根.a十b=-1,b=一7..1十m2 a2+b2=(a+b)2-2ab=15. 25.3实际问题与一元二次方程 第1课时几何图形问题 1.B设垂钓通道的宽度为xm,则两块垂钓鱼塘可合成 长为(130一3x)m、宽为(60一2x)m的矩形.根据题意，得 (130一3x)(60一2x)=5750,整理，得3x2一220x十 102%=0,部得，罗（不台题意，合去）=5垂的 通道的宽度为5m. 2.C设劳动基地中的道路的宽度为x米由题意，得(34一 2x)(18-x)=480,整理，得x2一35x十66=0，解得x1=2, x2=33(不合题意，舍去).∴.劳动基地中的道路的宽度为 2米 3.2设道路的宽度为x米.根据题意，得(20一x)(12一 x)=180,解得x1=2,x2=30(不合题意，舍去).∴.道路的 宽度为2米. 4.(1)设裁去的小正方形的边长为xcm.由题意，得(32- 2x)(14一2x)=280,解得x1=2,x2=21(不合题意，舍 去).∴.裁去的小正方形的边长为2cm.(2)能.设左侧 的小正方形的边长为ycm根据题意，得(14一2y)· 322y-180,解得1=1，y=22(不合题意，舍去).盒 2 于的体积为180×1=180(cm). 5.B:'四边形ACDB与四边形AENM都是正方形， ∴.AB=BD=2,∠M=∠N=∠B=∠D=90°..EF⊥ CD,∴.∠NFC=∠EFD=90°..四边形EFDB与四边 形MNFC都是矩形.：'正方形ACDB与四边形MNFC 的面积相等，∴.易得正方形AENM与矩形BDFE面积相 等.设AE=x,则BE=2-x.由题意，得x2=2(2-x),整 理，得x2十2x-4=0,解得x1=√5-1，x2=-5一1（不 合题意，舍去).∴.AE的长为5-1. 65-1 2 由题意，得(a十b)2=b(b+a十b),整理，得 a2+ab-b=0,方程两边同时除以b2,得（分）+（号）- 1=0号-5负值含去 2 7.(1)34.由题意，得DG=MN=CH=60cm,AB= AE=BF=EF=GH=CD=x cm,EG=FH,.'.EG= 680-6-3X60=(250-3x)cm..当x=72时，BG= 250-3×72=34(cm).(2)(310-2x).由题意，得AD= IC-680-AB-EF-GH-CD-MN_680-4z-60 2 2 (310-2x)cm.(3)由题意，得x(310-2x)=12000,整 理，得x2-155.x十6000=0，解得x1=75,x2=80.,EG 的高度不小于22cm,即250-3x≥22，∴.x≤76.∴.x2= 80不合题意，舍去.∴.x的值为75. 微专题·围墙问题 1.6设BC的长为产m,则AB=12+)-工m.根据题 2 意，得x.12+)-2=21,整理，得x-13x十42=0，解 2 得x1=6,x2=7.墙长6.5m,.x≤6.5，则x2=7不 合题意，舍去.∴.BC的长为6m 2.7设花圃垂直于墙的边AB的长为xm,则BC= 34-3x+2=(36-3x)m.由题意，得(36-3x)x=105, 整理，得x2-12x十35=0，解得x1=5,x2=7.当x=5 时，BC=36-3×5=21(m),21>20,不符合题意，故舍 去；当x=7时，BC=36-3×7=15(m),15<20,符合题 意，∴.当AB的长为7m时，所围成的花圃面积为105m2. 第2课时传播、平均变化率与握手等问题 1.C由题意，得1+m十m(1十m)=625,解得m1=24, m2=-26(不合题意，舍去). 2.10%设线上销售量占比的月平均增长率为x.由题 意，得25%(1十x)2=30.25%,解得x1=0.1=10%,x2= 一2.1（不合题意，舍去），∴.线上销售量占比的月平均增长 率为10%. 方法归纳 增长率（或降低率）问题的规律 设某数为a,平均增长率（或降低率）为x,则一次增 长或降低后的值为a(1士x),两次增长或降低后的值为 a(1士x)2,以此类推，n次增长或降低后的值为a(1土x)”. 3.12设这种植物的主根长出x个支根.由题意，得1十 x+号x·x+(1-号)x…2=109,解得x,=12, 号（不合题意，合去.这种植物的主根长出12个 支根 4(1)淇淇的说法正确，理由：根据题意，得2x(x一1)= 40,整理，得x2-7-80=0,解得x=1±32，均不为正 整数，∴.方程的解不符合实际，按这个赛制不应该是 40场.∴.淇淇的说法正确.(2)由题意，得 (x-1)(x一2+4=40，解得，=10，x2=-7(不合题意， 2 舍去)，∴.x的值为10. 5.D当n=4时，三角点阵中的点数之和是1+2十3十 4=10,故①正确。当1+2+…十m=300时，即(n+1) 2 300,解得n=24(负值舍去)，故②正确.当1十2+…十n= 600时，即(m,+1)-600,解得m=-1±y4801,均不为 2 2 正整数，故③正确.综上所述，正确的个数是3. 6.C一月份第一周的营业额为60万元，且第二、第三 周的平均增长率均为m,∴.第二周的营业额为60(1十m)万 元，第三周的营业额为60(1十m)2万元.根据题意，得60十 60(1十m)+60(1+m)2=218.4,整理，得25m2+75m一 16=0,解得m1=0.2=20%,m2=一3.2（不合题意，舍 去)，.m的值为20%. 7.144设最小数为x,则另外八个数分别为x十1，x十2， x十7，x十8，x十9，x十14，x+15,x十16.由题意，得x(x+ 16)=192,整理，得x2+16x一192=0，解得x1=8,x2 一24（不合题意，舍去），∴.这9个数的和为x十(x十1)十 (x+2)+(x+7)+(x+8)+(x+9)+(x+14)+(x+ 15)+(x+16)=9x+72=144. 8.9设每件商品降价x元.根据题意，得(200一x一155)· (20+2x)=1500,整理，得x2一35.x+300=0,解得x1= 15,x2=20.:要尽快减少库存，∴.每件商品降价20元. 200一20=0.9，.应将商品打9折出售。 200 9.(1)设该市这两年参加健身运动人数的年平均增长率 为x.由题意，得20(1十x)2=33.8,解得x1=0.3=30%, x2=一2.3（不合题意，舍去），∴.该市这两年参加健身运动 人数的年平均增长率为30%.(2)设该哑铃组每组应降 价m元.由题意，得(50-m一30)(150+10m)=3060,整 理，得m2-5m十6=0，解得m1=2,m2=3.:要尽可能多 地让利于顾客，∴.该哑铃组每组应降价3元. 10.(1)设每天增长的百分率为x.由题意，得5(1十x)2 7.2,解得x1=0.2=20%,x2=一2.2（不合题意，舍去）. ∴.每天增长的百分率为20%.(2)①设应该增加m条 生产线，则每条生产线的最大产能为(15一0.5m)万个/天. 由题意，得(1+m)(15-0.5m)=65,解得m1=4,m2=25. 在增加产能的同时又要节省投入，∴.m=4.∴.应该增 加4条生产线.②不能.理由：设增加a条生产线，则每 条生产线的最大产能为(15-0.5a)万个/天.由题意，得 (1+a)(15-0.5a)=150,整理，得a2-29a+270=0..△= (一29)2-4×1×270=-239<0，∴.该方程无实数根. ∴.不能增加生产线，使得每天生产口罩150万个。 专题特训二一元二次方程与动点问题 1.A设点P,Q分别从点A,B同时出发，xs后P,Q两