第二十五章 第7课时 降次——解一元二次方程(6)——一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)-【宝典训练】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂（人教版·新教材）

数学·九年级·上册（人教版） 第7课时降次 —解一元二次方程(6) 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） A基础巩固 ●● 落实课标 (3)2x2+3=7x2+x; 1.若x1,x2是一元二次方程x2一3x一5=0的两 个根，则x1x2的值是 ( A.3 B.-3 C.5 D.-5 2.若x1,x2是方程x2十x一6=0的两个根，则 ( A.x1十x2=-1 B.x1+x2=1 C.x1x2=6 D.x1x2=5 3.已知m和n是方程-x2-5x-3=0的两个实 数根，则n十m= (4)5x-5=6x2-4. 4.设一元二次方程x2一3x一1=0的两根为m, n,则mn= 5.实数a,b是一元二次方程x2一3x一2=0的两 个根，则多项式ab一a一b的值为 6.已知a,b是一元二次方程2x2-4x=3的两个 根，则a2b十ab2的值是 7.已知m,n是方程x2-2x一1=0的两个实数 根，则2+ m n 8.已知a,3是一元二次方程2x2+x一2=0的两 个实数根，则a3-2(a+B)的值是 B能力提升·。 灵活应用 9.不解方程，求下列各方程的两根之和与两根 10.若m,n是一元二次方程x2一5.x一2=0的两 之积： 个实数根，则m2十n2一mn的值是 (1)x2+2x+1=0: 11.已知a,b是一元二次方程x2十2x-2025=0 的两个根，则a2十4a+2b= 12.若m和n是关于x的一元二次方程x2 2025x-2026=0的两根，则代数式m2一 2026m-n的值是 13.已知一元二次方程x2一14x十46=0的两个 (2)x2+√2x-3=0; 根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面 积为 14.设x1,x2是方程2x2+4x一3=0的两个根，则 (x1一x2)2的值为 ●180 第二十五章一元二次方程 15.已知x1,x2是方程x2一x-1=0的两个实 C拓展应用●●。· 深度思考 数根： 18.已知m,n是方程x2十x-1=0的实数根. (1)填空：x1十x2= ；x1·x2= (1)求m+n,mn的值； (2)求代数式x+x的值. (2)求m2+2m十n-mn的值. 16.(2025秋·硚口区期末)若关于x的一元二 次方程x2十bx一3=0有一个根是x=1,求b 的值及方程的另一个根. 19.已知关于x的一元二次方程x2十2(k一1)x+ 2一1=0有实数根 (1)求实数k的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为x1,x2,若 (x1一1)(x2一1)=6，求的值 17.已知关于x的一元二次方程x2一(2k十1)x+ 2k2=0的两根x1,x2满足x+x号=5，求 的值 ●>19●数学九年级上册(RJ) 5.解：(x-2)(x-4)=0, ∴.x-2=0或x-4=0,∴.x1=2,x2=4. 6.解：3x2-4x-1=0, .a=3,b=一4，c=一1， .△=16-4×3×(-1)=28， 解得2，-27 3 31 7.C8.D 9.解：2(x十y)2-3(x十y)-2=0, 设x十y=,则2F-3-2=0,解得有=-号4=2， ∴x+y=-2或2 第7课时降次一解一元二次方程(6) 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）】 1.D2.A3.-54.-15.-56.-37.-28.0 9.解：(1)a=1,b=2,c=1,且2-4ac=4-4=0, 函十=-名=-2=台=1 (2):a=1,b=√2，c=-3,且62-4ac=2+12=14>0, 通十=-名=-E,西=合=-3 (3)方程化为5x2十x-3=0, .'a=5,b=1,c=-3,且b2-4ac=1+60=61>0, a (4)方程化为6x2-5x+1=0, .a=6,b=-5,c=1,且b2-4ac=25-24=1>0, 函十=-名-号=台-行 10.3111.202112.113.2314.10 15.解：(1)方程x2-x-1=0中，a=1,b=-1,c=-1, 函+4=--1，函==-1， 故答案为：1；-1. (2)x号+x2=(十x)2-2m1x2=12-2X(-1)=3. 16.解：把x=1代入方程x2+bx-3=0, 得：1+b-3=0,解得b=2, .原方程为x2+2x一3=0. 解得x1=1,x2=一3， b的值为2，方程的另一个根为x=一3. 17.解：根据题意，得十x2=2k十1，xx2=2k. x十2x=(x1十x2)2-2x1x2 .(2k+1)2-2×2k2=4k+1=5,解得k=1. 18.解：(1)：m,n是方程x2+x-1=0的实数根， ∴.m十n=-1,mn=-1. (2).m,n是方程x2十x一1=0的实数根， .m2+m-1=0,m+n=-1,mn=-1, ∴.m2十2m十n-mn=m2+m十m+n-mm =1-1-(-1)=1. 19.解：(1)关于x的一元二次方程x2+2(k一1)x+k一1= 有实数根， .△=[2(k-1)]2-4(k2-1)≥0. 即4(k一1)2-4(k2一1)≥0，解得k≤1. (2),方程的两个实数根分别为x1,x2, x1+x2=-2(k-1),x2=k2-1. (x1-1)(x2-1)=6,x1x2-(十x2)+1=6. .k2-1+2(k-1)+1=6. 解得=一4或=2， k≤1，.k=-4. 微专题3一元二次方程阶段复习 1.D2.B3.-34.20245.C6.C 7.解：x2-4x十1=0， 6-4ac=(-4)2-4X1X1=12,x=4±/厘， 2 x=2+3,x2=2-√3. 8.解：2(x-3)-3x(x-3)=0,(x-3)(2-3x)=0, x-3=0,2-3x=0,x1=3,x2=2 9.B10.A11.-312.x=2-√5 13.解：(2x+1)2-3(2x+1)=0, (2x+1)(2x+1-3)=0,2x+1=0或2x+1-3=0, .x1= Γ2=1. 5 14.解：根据题意得西十五=一2西五=一之 (①)原式=石-(a十)+1=-号+号+1=8， (2)原式=+立-国十)2-2x2 T1x2 T Tz (-)》°-2x(》 _29 2 15.解：x2-(2m+1)x+m(m+1)=0, (x-m)(x-m-1)=0,解得x1=m,x2=m十1， .BC=6,△ABC为等腰三角形， ∴.m=6或m+1=6,.m=6或m=5 m=6时，三边长为6,7,6，符合三角形三边关系； m=5时，三边长为5,6,6，符合三角形三边关系. 则当△ABC为等腰三角形时，m的值为6或5. 16.解：(1)△=[2(a-1)]2-4(a2-7a-4)=20a+20, 方程有两个实数根，.20a十20≥0，∴.a≥一1. (2)由题意得x1十x2=-2(a-1),1·x=a2-7a-4, x1x2-3x1-3x2-2=0, .a2-7a-4-3[-2(a-1)]-2=0, .a2-a-12=0,解得a=4或a=-3, a≥-1，.a=4. 17.(1)证明：：关于x的一元二次方程为 x2-2mx+m2-1=0,∴.△=(-2m)2-4(m2-1)=4>0, .该一元二次方程总有两个不相等的实数根 (2)解：由求根公式得x1=m十1，x2=m-1 ·该一元二次方程有一个根大于3，另一个根小于3， ∴.m-1<3且m+1>3,解得2<m<4. 第8课时实际问题与一元二次方程(1)（几何问题） 1.(7+2x)(5+2x)=2×7×52.13.24.C5.B 6.解：设小路的宽为x米，则矩形花园的长为(16一2x)米，宽为 (12一2x)米，根据题意，得 (16-2x)12-2x)=7×16×12, 整理，得x2一14x十24=0， 解得=2，x2=12(不符合题意，舍去). 答：小路的宽为2米， 7.解：(1)由题意得：BQ=2tcm,AP=tcm,PB=(5-t)cm, 故答案为：2t:(5-t). (2)存在，理由如下：由题意得：号×2×(5-)=4， 解得：t1=1,t2=4(不符合题意，舍去)， ∴.存在t的值，使得△PBQ的面积等于4cm,此时t的值 为1.