精品解析：陕西西安市师范大学附属中学2026-2027学年上学期八年级第一次学情自测数学试题

九年级数学限时训练 一、选择题（共10小题，每小题3分，合计30分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 某商场的休息椅如图所示，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图的识别，熟练掌握和运用三视图的识别方法是解决本题的关键． 根据从左侧看到的图形，即可判定． 【详解】解：此商场的休息椅的左视图为C， 故选：C． 2. 如果，下列等式中变形不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，需熟练掌握比例式的变形与交叉相乘法． 根据比例的基本性质，对每个选项进行变形验证，判断是否与已知条件一致． 【详解】解：∵， 对于A：，正确，不符合题意； 对于B：，正确，不符合题意； 对于C：，是原式的倒数，正确，不符合题意； 对于D：由 得 ，而 等价于 ，与已知矛盾，故不正确，符合题意； 故选：D． 3. 一个不透明的袋子中装有30个红球和若干个白球，这些球除了颜色外都相同．若小明每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回，经过多次重复试验，小明发现摸到白球的频率逐渐稳定于0.4，则小明估计袋子中白球的个数为（ ） A. 50 B. 45 C. 20 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】利用多次试验中频率的稳定值估计摸到白球的概率，设白球个数为未知数列方程求解． 【详解】设袋子中白球有个． ∵ 摸到白球的频率逐渐稳定于， ∴ 估计摸到白球的概率为， ∴ ， 解得， 经检验：得是方程的解． 4. 如图，四边形中，，，且，连接四边形各边中点得到四边形，下列说法正确的是（ ） A. 四边形是正方形 B. 四边形的面积是30 C. 四边形周长是11 D. 四边形的面积是15 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形中位线定理判断四边形的形状及边长，结合对角线垂直关系计算面积与周长并判断即可． 【详解】解：∵E，F，G，H分别是四边形各边的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，，， 同理：，，， ∴， ∴四边形是平行四边形 ∵，，，  ∴，即， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形不是正方形，故选项A错误； ∵， ∴四边形的面积为，故选项B错误； 四边形的周长为，故选项C正确； 四边形的面积，故选项D错误． 5. 一种商品原价200元，连续两次降价后售价为162元，若每次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据增长率（降价）模型列一元二次方程，解方程后结合实际意义舍去不合理的解，得到降价百分率． 【详解】解：设每次降价的百分率为，由题意可得： ， 解得或， ∵降价的百分率不能大于1， ∴． 6. 如图，在正方形中，点是延长线上一点，连接交于点，连接交于点，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题可先根据正方形对角线的长度求出边长，再利用相似三角形的性质来求解的长度．通过正方形性质得到相关线段和角的关系，进而找出相似三角形，建立比例式求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴．， ∴ ∴． 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴，， ∵，，， ∴． 在中，，， ∴是等腰直角三角形，． 过作于，则是等腰直角三角形， 设， ∴，． ∵， ∴，解得． 在中，，， ∴． 故选：D 【点睛】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理．解题的关键在于利用正方形的性质找出线段和角的关系，通过证明三角形相似得到线段比例关系，再结合勾股定理求出的长度． 7. 已知等腰的底边长为3，两腰长恰好是关于的一元二次方程的两根，则的周长为（ ） A. 6.5 B. 7 C. 6.5或7 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】由等腰三角形两腰相等，得一元二次方程有两个相等实数根，以此为突破口求解. 【详解】解：∵ 等腰的底边长为3，两腰长是方程的两根， ∴ 该方程有两个相等的实数根， ∴ ， 整理得， 解得， 将代入原方程，得， 解得， ∵ ，满足三角形三边关系， ∴ 的周长为. 8. 如图，在中，点在边上，若，，，则线段的长为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件可得，根据题意设，则，由相似三角形的性质可得，，即可求得的长． 【详解】解：∠ADC＝∠ACB，， ， ， AD：AB＝2：3， 设，则， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 9. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】本题利用一元二次方程根的定义对所求代数式降次，再结合根与系数的关系代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴，即， ∵，是方程的两个根， ∴由根与系数的关系可得，， ∴ ． 10. 如图，在平行四边形中，E为边上的点，若，交于F，则等于（ ） A. 1：9 B. 9：61 C. 9：110 D. 7：49 【答案】B 【解析】 【分析】设，利用，可求出，再利用来求出的面积，即可得，据此求解即可． 【详解】解：平行四边形中，， ∴． ∴， 设， ∴． 又∵， ∴． ∴，即可知， 而， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查的是利用相似形的性质求面积，把握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解决本题的重点． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， ∴， 故答案为：4． 12. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，且的周长为，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由得到，再根据相似三角形的周长比等于相似比即可求解． 【详解】解：，  ， 与是以点为位似中心的位似图形，  ， ，  的周长为， ∴． 13. 如果一个矩形的宽与长的比值为黄金分割数，那么称其为黄金矩形，如图，矩形为黄金矩形，点分别在边上，四边形为正方形，已知，那么_______________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了线段的黄金分割点，解题的关键是掌握黄金分割点． 假设，根据黄金分割点列出方程求解即可． 【详解】解：假设， ∵四边形为正方形， ∴， ∵矩形为黄金矩形， ∴， 解得， 故答案为：2． 14. 如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，准确找出等量关系列出一元二次方程是解题的关键； 设长为，则的长为，再根据长方形的面积计算公式建立方程求解即可． 【详解】解：设长为，则的长为， 根据题意得，， 整理得：， 解得或（舍去）， ∴长为． 故答案为：5． 15. 如图所示，在中，，有一内接正方形，连接交于点，，，则的长是__________． 【答案】2.4 【解析】 【分析】设正方形的边长为，证明，，求出的长，作差即可. 【详解】解：设正方形的边长为． 四边形是正方形， ， ， ． ，，正方形的边长为， ， 解得， ． 又由得， ， 即， 解得， ． 16. 如图，正方形边长为8，为中点，线段在边上从左向右以1个单位/秒的速度运动，，从点与点重合时开始计时，到点与点重合时停止，设运动时间为秒，连接、、，在运动过程中，下列3个结论：①只有当时以点，，构成的三角形与相似；②四边形的周长最小等于；③四边形的面积最大等于38．其中正确的有_________．（填序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质，列出比例式，即可判断①，用含t的代数式表示出，结合两点间的距离公式以及对称性，即可求出的最小值，进而即可判断②；用含t的代数式表示四边形的面积，结合，即可判断④． 【详解】解：∵， ∴当点，，构成的三角形与相似时，或， ∴或，解得：或无解，故①正确； ∵， ， ∴可以看作是点到点与点的距离之和， ∴的最小值为点与点的距离， ∴四边形的周长最小值，故②正确； ∵四边形的面积为 ， 由题意可知：， ∵， ∴随t的增大而增大， ∴当时，四边形的面积最大，最大值为，故③正确． 综上，正确的有①②③． 三、解答题（共7小题，共52分） 17. 用适当的方法解方程． （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）， （2） （3）， 【解析】 【分析】（）利用公式法解答即可； （）把方程整理成一般式，再利用因式分解法解答即可； （）把右边的项移到左边，再利用因式分解法解答即可． 【小问1详解】 解： ，，，  ∵，  ∴， 即，； 【小问2详解】 解：原方程整理，得， 因式分解，得， ∴； 【小问3详解】 解：移项，得， 因式分解，得， 即， ∴ 或 ， ∴，． 18. 如图，已知，，，请用尺规画图法，在边上找一点，使得（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】解：过点A作于点P， 则所示点P即为所求， 【解析】 【分析】过点A作于点P， 则，得，由，，，得，故，故； 【详解】略 19. 贵阳东高铁站开通后，旅客在网购车票时，系统是随机分配座位的，王某和李某打算购买从贵阳东到重庆西的高铁一等座车票（如图所示，一排中的座位编号为A，B，C，D，F）．假设系统已将两人的位置分配到同一排后，在同一排分配各个座位的机会是均等的． （1）“王某被分配到A 座位”的概率是 （2）利用画树状图或列表的方法，求系统分配给王某和李某相邻座位（过道两侧座位C，D不算相邻）的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式、列表法与树状图法等知识点，熟练掌握树状图或列表法求概率是解题的关键． （1）一排中的座位编号为A，B，C，D，F，然后根据概率的定义即可解答； （2）列出表格，得到系统分配给王某和李某相邻座位共有20种等可能的情况，其中相邻座位共有6种等可能情况，根据概率公式计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：一排中的座位编号为A，B，C，D，F，则王某分配座位有5种可能，所以“王某被分配到A 座位”的概率是． 故答案为：． 【小问2详解】 解：根据题意画树状图如下： 由树状图可知，共有20种等情况数，其中相邻座位的情况数有6种， 则系统分配给王某和李某相邻座位（过道两侧座位C，D不算相邻）的概率是． 20. 如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ． ∵， ∴， 即， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形； ∵ ， ∴， ∴四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）由四边形是菱形,得， ；由得；再由，得,四边形是平行四边形；又因为，即可得证四边形是矩形； （2）由四边形是菱形,得，因为所以，在和中根据勾股定理建立方程计算出，回代到三边关系即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∵，， ∴，， 在和中有：， 即， 解得， ∴． 21. 2023年12月6日，中央广播电视总台2024龙年春晚吉祥物“龙辰辰”正式发布亮相．其从我国历史出土文物中提取“龙”的要素作为设计特色，精美别致，充满了趣味和古韵．某批发商场在春节前以元的进价购进了一批龙辰辰玩偶，计划以每个元销售．春节来临之际，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售．已知玩偶销售量（单位：个）与每个玩偶的降价（单位：元）（）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求与之间的函数关系式； （2）若商场要想获利元，且让顾客获得更大实惠，这种玩偶每个应降价多少元？ 【答案】（1）（） （2） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法设与之间的函数关系式为（），根据图象，代入和，建立方程组，求解即可； （2）根据单件利润销量=总利润建立一元二次方程，解方程，再根据实际情况让顾客获得更大实惠取值即可求解． 【小问1详解】 解：已知玩偶销售量（单位：个）与每个玩偶的降价（单位：元）（）之间满足一次函数关系， ∴设与之间的函数关系式为（），根据图象，代入和，得 ， 解得， ∴与之间的函数关系式为：（）； 【小问2详解】 解：商场要想获利元，则根据题意得： ， 整理得， 即， 解得，， ∵为了让顾客获得更大实惠， ∴ 答：商场要想获利元，且让顾客获得更大实惠，这种玩偶每个应降价元． 22. 数学小组想利用所学知识测量一棵树的高度．在第一次测量中，小莉来回走动，走到点D时，其影子末端与树梢影子末端重合于点H，测得米．随后，组员在直线上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线上的对应位置为点G．镜子不动，小莉从点D沿着直线后退11米到B点时，恰好在镜子中看到顶端E的像与标记G重合，此时米．如图，已知，，，小莉的身高为1.6米（眼睛到头顶距离忽略不计，平面镜的厚度忽略不计）．根据以上信息，求树的高度． 【答案】 【解析】 【分析】设，，根据，可得关于的方程组，解方程组即可求得． 【详解】设 ，， ，，，， ，， ， 又， 即 ． 答：树的高度为米． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，根据题意找到相似三角形是解题的关键． 23. 某数学学习小组围绕“神奇的纸”开展主题学习活动．了解到纸张大小的设计不仅要有美感，还应具有实用性．纸是我们生活中常见的矩形打印纸，将纸沿它的一条对称轴折叠（如图①），展开后，折痕两侧的每个小矩形称为纸，它们与原来的矩形相似，以其中一个为例，可记为矩形矩形；将纸类似的对折，得到与之相似的纸．纸的大小设计能在纸张的剪裁中避免浪费，且方便缩放打印，可谓兼具强大的功能性与视觉美感． 【问题探究】 （1）如图①，纸的较长边与较短边的比值为_____________； 【基础应用】 （2）在（1）的条件下，如图②，继续折叠图①中的纸，使点落在边上的点处（所在直线仍是矩形的对称轴），折痕为，连接．求的值； 【拓展应用】 （3）受上面的折叠启发，学习小组中爱动脑筋的小聪设计了新的折纸方案．如图③，他取一张与图①中一样的纸，进行如下操作：先折叠该纸，使点落在边上的点处，折痕为（点在边上）；随后将纸展平，连接，并将沿翻折，得到，发现点恰好落在线段上，连接，再次展平纸．设折痕与相交于点，与相交于点．若已知，请直接写出的面积（用含的代数式表示）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质可得，根据相似多边形的性质可得，再根据矩形的性质等量代换即可求解； （2）连接交于点，交于点，由折叠知，，先证明，可得，可得，再证明，根据相似的性质结合折叠的性质设，可得，，最后根据的勾股定理可得，最后等量代换即可求解； （3）由（1）可知，可得，设，，再结合矩形的性质和折叠的性质得，，根据勾股定理求出，，、为等腰直角三角形，进而求出，然后根据平行求出，运用性质解出、，最后利用勾股定理推出，结合三角形的面积公式和，即可求解． 【小问1详解】 解：∵将纸沿它的一条对称轴折叠， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵矩形矩形， ∴，即， ∴， ∴， ∴（负值舍去）． 【小问2详解】 解：如图，连接交于点，交于点，由折叠知，， ∵四边形是矩形， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由折叠可知，， 设，则， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，即， ∴． 【小问3详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，，， 由（1）可知，， ∴， 设，， 由折叠可得，，，，，，， ∴， 在中，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学限时训练 一、选择题（共10小题，每小题3分，合计30分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 某商场的休息椅如图所示，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 如果，下列等式中变形不正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 一个不透明的袋子中装有30个红球和若干个白球，这些球除了颜色外都相同．若小明每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回，经过多次重复试验，小明发现摸到白球的频率逐渐稳定于0.4，则小明估计袋子中白球的个数为（ ） A. 50 B. 45 C. 20 D. 12 4. 如图，四边形中，，，且，连接四边形各边中点得到四边形，下列说法正确的是（ ） A. 四边形是正方形 B. 四边形的面积是30 C. 四边形周长是11 D. 四边形的面积是15 5. 一种商品原价200元，连续两次降价后售价为162元，若每次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方形中，点是延长线上一点，连接交于点，连接交于点，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 已知等腰的底边长为3，两腰长恰好是关于的一元二次方程的两根，则的周长为（ ） A. 6.5 B. 7 C. 6.5或7 D. 9 8. 如图，在中，点在边上，若，，，则线段的长为（ ） A. B. 2 C. D. 9. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 15 10. 如图，在平行四边形中，E为边上的点，若，交于F，则等于（ ） A. 1：9 B. 9：61 C. 9：110 D. 7：49 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为____________． 12. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，且的周长为，则的周长为______． 13. 如果一个矩形的宽与长的比值为黄金分割数，那么称其为黄金矩形，如图，矩形为黄金矩形，点分别在边上，四边形为正方形，已知，那么_______________． 14. 如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为______． 15. 如图所示，在中，，有一内接正方形，连接交于点，，，则的长是__________． 16. 如图，正方形边长为8，为中点，线段在边上从左向右以1个单位/秒的速度运动，，从点与点重合时开始计时，到点与点重合时停止，设运动时间为秒，连接、、，在运动过程中，下列3个结论：①只有当时以点，，构成的三角形与相似；②四边形的周长最小等于；③四边形的面积最大等于38．其中正确的有_________．（填序号） 三、解答题（共7小题，共52分） 17. 用适当的方法解方程． （1）； （2）； （3）． 18. 如图，已知，，，请用尺规画图法，在边上找一点，使得（保留作图痕迹，不写作法）． 19. 贵阳东高铁站开通后，旅客在网购车票时，系统是随机分配座位的，王某和李某打算购买从贵阳东到重庆西的高铁一等座车票（如图所示，一排中的座位编号为A，B，C，D，F）．假设系统已将两人的位置分配到同一排后，在同一排分配各个座位的机会是均等的． （1）“王某被分配到A 座位”的概率是 （2）利用画树状图或列表的方法，求系统分配给王某和李某相邻座位（过道两侧座位C，D不算相邻）的概率． 20. 如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 21. 2023年12月6日，中央广播电视总台2024龙年春晚吉祥物“龙辰辰”正式发布亮相．其从我国历史出土文物中提取“龙”的要素作为设计特色，精美别致，充满了趣味和古韵．某批发商场在春节前以元的进价购进了一批龙辰辰玩偶，计划以每个元销售．春节来临之际，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售．已知玩偶销售量（单位：个）与每个玩偶的降价（单位：元）（）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求与之间的函数关系式； （2）若商场要想获利元，且让顾客获得更大实惠，这种玩偶每个应降价多少元？ 22. 数学小组想利用所学知识测量一棵树的高度．在第一次测量中，小莉来回走动，走到点D时，其影子末端与树梢影子末端重合于点H，测得米．随后，组员在直线上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线上的对应位置为点G．镜子不动，小莉从点D沿着直线后退11米到B点时，恰好在镜子中看到顶端E的像与标记G重合，此时米．如图，已知，，，小莉的身高为1.6米（眼睛到头顶距离忽略不计，平面镜的厚度忽略不计）．根据以上信息，求树的高度． 23. 某数学学习小组围绕“神奇的纸”开展主题学习活动．了解到纸张大小的设计不仅要有美感，还应具有实用性．纸是我们生活中常见的矩形打印纸，将纸沿它的一条对称轴折叠（如图①），展开后，折痕两侧的每个小矩形称为纸，它们与原来的矩形相似，以其中一个为例，可记为矩形矩形；将纸类似的对折，得到与之相似的纸．纸的大小设计能在纸张的剪裁中避免浪费，且方便缩放打印，可谓兼具强大的功能性与视觉美感． 【问题探究】 （1）如图①，纸的较长边与较短边的比值为_____________； 【基础应用】 （2）在（1）的条件下，如图②，继续折叠图①中的纸，使点落在边上的点处（所在直线仍是矩形的对称轴），折痕为，连接．求的值； 【拓展应用】 （3）受上面的折叠启发，学习小组中爱动脑筋的小聪设计了新的折纸方案．如图③，他取一张与图①中一样的纸，进行如下操作：先折叠该纸，使点落在边上的点处，折痕为（点在边上）；随后将纸展平，连接，并将沿翻折，得到，发现点恰好落在线段上，连接，再次展平纸．设折痕与相交于点，与相交于点．若已知，请直接写出的面积（用含的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $