精品解析：江苏省天一中学2026-2027学年九年级上学期数学学情自测（第1-3章）

第1—3章练习题 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，经过一，三象限的反比例函数是（　　） A. y＝2x B. y＝ C. y＝﹣ D. y＝ 4. 已知的半径是3，，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在外 B. 点P在上 C. 点P在内 D. 不能确定 5. 在平面直角坐标系中，如果直线与双曲线有交点，那么和的关系是（ ） A. ， B. ， C. 、同号 D. 、异号 6. 已知圆锥的底面半径是4，母线长是5，则该圆锥的侧面积是（） A. 10π B. 15π C. 20π D. 25π 7. 有下列说法：（1）三个点确定一个圆；（2）相等的圆心角所对的弦相等；（3）等弧所对的圆心角相等；（4）三角形的外心到三角形三条边的距离相等；（5）外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形；其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 如图，点A、B、C在⊙O上，点D是AB延长线上一点，若∠CBD＝55°，则∠AOC的度数为（　　） A. 100° B. 105° C. 110° D. 125° 9. 如图，⊙O的半径为3，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与O重合，M、N分别是AB、FA的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，是直径，且，点D是上一点，点C是的中点，于点E，过点D的切线交的延长线于点G，连接，分别交、于点P、Q，连接．关于下列结论：①；②；③点P是的外心；④点P是的内心；⑤若，则．正确的有（　　） A. ①②③ B. ②③④ C. ②③⑤ D. ②③④⑤ 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 反比例函数的比例系数是______． 12. 已知在反比例函数的图象的每个分支上，y的值随着x的增大而减小，则k的取值范围是______． 13. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____． 14. 一个直角三角形的两条直角边长分别为，则它的外接圆的半径为_______． 15. 如图，在中，直径于点E，，则弦的长为______． 16. 如图，以AB为直径的半圆沿弦BC折叠后，AB与相交于点D．若＝，则∠B＝_____°． 17. 如图，反比例函数的图象与直线（）交于，两点（点在点左侧），过点作轴的垂线，垂足为点，连接，，图中阴影部分的面积为6，则的值为______． 18. 在中，，，M是的中点，则中线长度的最大值为_____． 三．解答题（本大题共10小题，共96分） 19. 用合适的方法解下列方程： （1）； （2）． 20. 已知关于x的一元二次方程有，两实数根． （1）若，求及的值； （2）是否存在实数，满足？若存在，求出求实数的值；若不存在，请说明理由． 21. 如图，直线与双曲线交于，两点． （1）求和直线的表达式； （2）根据函数图象直接写出不等式的解集； （3）若将直线向下平移个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求的值． 22. 某款吉祥物公仔从全运会开幕前天开始，其日销售量呈直线上升趋势，全运会期间热度增大，全运会结束后，日销售量与时间成反比例关系．日销售量（万件）随时间（天）变化的函数图象如图所示，全运会前为线段，全运会期间为线段，全运会后为曲线． （1）求线段和反比例函数的表达式，并写出自变量的取值范围； （2）已知日销售量不低于万件时为畅销期，则畅销期持续的天数为________天． 23. 如图，是的直径，是弦延长线上的一点，且，的延长线交于点，作于点． （1）求证：与相切； （2）若半径为，，求的长． 24. 如图，在中，，，． （1）请作出，使得分别与、都相切，并且圆心到点、的距离相等；（请用圆规和无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，的半径为_____． 25. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如方程的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． （1）方程________（填“是”或“否”）“三倍根方程”； （2）若关于的方程是“三倍根方程”，其中有一个根是1，试求与的值； （3）若是关于的“三倍根方程”，则代数式的值为________． 26. 太湖水域辽阔，水质清澈，水草丰茂，底栖生物丰富，在无锡、苏州等太湖沿岸城市，吃蟹是秋季最重要的民俗活动之一．某学校九年级利用国庆假期开展社会实践活动，调查螃蟹行情，帮某商家解决销售问题的同时为顾客谋实惠．调查发现，螃蟹的进价为元/千克．售价为元/千克时，每天可销售千克．售价每涨价元，每天少销售千克． （1）某天商家正好销售千克的螃蟹，则获利多少元？ （2）若商家一天销售螃蟹总利润为元，则当天螃蟹的售价为多少元/千克？ 27. （1）某冰激凌纸筒展开后得到半径为，弧长为的扇形，则该纸筒的侧面积为____； （2）如图①，某纸杯展开它的侧面得到扇环（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分），其中的长为的长为的长为．求扇环的面积： （3）如图②，梯形面积为，扇环面积为，且等于的长，等于的长，，则______（选填“”、“”或“”）． 28. 已知平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径的交y轴的正半轴于点P，小刚同学用手中的三角板（）进行了如下的实验操作： （1）如图1，将三角板的斜边放置于x轴上，边恰好与相切于点D，则切线长 ； （2）如图2，将三角板的顶点A在上滑动，直角顶点B恰好落在x轴的正半轴上，若边与相切于点M，求点B的坐标； （3）请在备用图上继续操作：将三角板的顶点A继续在上滑动，直角顶点B恰好落在上且在y轴右侧，边与y轴的正半轴交于点G，与的另一交点为H，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1—3章练习题 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数（元），且未知数的最高次数是2，且两边都是整式，这样的方程叫一元二次方程． 【详解】解：A. ，是一元一次方程，故该选项不正确，不符合题意； B. ，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意； C. ，含有2个未知数，不时一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； D. ，含有2个未知数，不时一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 2. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程-配方法，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 方程移项变形后，利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， 即， 故选：C． 3. 下列函数中，经过一，三象限的反比例函数是（　　） A. y＝2x B. y＝ C. y＝﹣ D. y＝ 【答案】B 【解析】 【分析】反比例函数 （k是常数，k≠0）的图象在第一，三象限，则k＞0，符合上述条件的k的值即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象在一、三象限， ∴k＞0， 只要是大于0的所有实数都可以． 观察选项，只有选项B符合题意． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了反比例函数图象的性质：（1）k＞0时，图象是位于一、三象限；（2）k＜0时，图象是位于二、四象限． 4. 已知的半径是3，，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在外 B. 点P在上 C. 点P在内 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系的判断方法是解题关键．将点到圆心的距离（即的长度）与的半径进行比较即可得． 【详解】解：∵的半径为，，且， ∴点在外， 故选：A． 5. 在平面直角坐标系中，如果直线与双曲线有交点，那么和的关系是（ ） A. ， B. ， C. 、同号 D. 、异号 【答案】C 【解析】 【分析】联立得：，再由直线与双曲线有交点，可得该方程有非零实数解，即可求解． 【详解】解：联立与，得：， ∵， ∴，即， ∵直线与双曲线有交点， ∴该方程有非零实数解， 又∵， ∴，即与同号． 6. 已知圆锥的底面半径是4，母线长是5，则该圆锥的侧面积是（） A. 10π B. 15π C. 20π D. 25π 【答案】C 【解析】 【分析】运用圆锥的侧面积就等于经母线长乘底面周长的一半解题． 【详解】圆锥的侧面积=5×8π÷2=20π． 故选C． 【点睛】查了圆锥的侧面积的计算公式．解题关键是运用圆锥的侧面积就等于经母线长乘底面周长的一半． 7. 有下列说法：（1）三个点确定一个圆；（2）相等的圆心角所对的弦相等；（3）等弧所对的圆心角相等；（4）三角形的外心到三角形三条边的距离相等；（5）外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形；其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了确定圆的条件，三角形外心的性质等知识， 根据确定圆的条件对①进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对②进行判断；根据圆周角定理对③进行判断；根据三角形外心的性质对④⑤进行判断． 【详解】解：（1）不共线的三个点确定一个圆，故错误； （2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故错误； （3）同弧或等弧所对的圆周角相等，故正确； （4）三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故错误； （5）外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形，故正确； 故选：B． 8. 如图，点A、B、C在⊙O上，点D是AB延长线上一点，若∠CBD＝55°，则∠AOC的度数为（　　） A. 100° B. 105° C. 110° D. 125° 【答案】C 【解析】 【分析】如图，设点E是优弧（不与A，C重合）上的一点，则，根据圆内接四边形的对角互补即可求得． 【详解】解：如图，设点E是优弧（不与A，C重合）上的一点，连接AE、CE， ∵∠CBD＝55°． ∴∠E＝180°﹣∠ABC＝＝55°． ∴∠AOC＝2∠E＝110°． 故选：C． 【点睛】本题考查的是圆的内接四边形的性质，圆周角定理，掌握以上知识是解题的关键． 9. 如图，⊙O的半径为3，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与O重合，M、N分别是AB、FA的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接OM，ON，设OM交AB于点P，ON交BC于点Q，得，根据求解即可 【详解】连接OM，ON，设OM交AB于点P，ON交BC于点Q，如图， 由割补法原理可知 又∵ ∴ ∵ 又∵ ∴ ∴ 故选：B 【点睛】本题考查了扇形面积的计算，正六边形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 10. 如图，在中，是直径，且，点D是上一点，点C是的中点，于点E，过点D的切线交的延长线于点G，连接，分别交、于点P、Q，连接．关于下列结论：①；②；③点P是的外心；④点P是的内心；⑤若，则．正确的有（　　） A. ①②③ B. ②③④ C. ②③⑤ D. ②③④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】①用反证法即可判断结论①；②通过证明即可判断结论②；③通过证明即可判断结论③；④说明与不一定相等，即可判断结论④；⑤证明是等边三角形，求出即可判断结论⑤． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， 即：、是的三等分点， 这显然不符合题意，故结论①错误； 如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故结论②正确； ∵是直径， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点是的外心，故结论③正确； ∵与不一定相等， ∴与不一定相等， ∴点不一定是的内心，故结论④错误； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴点P是的内心， ， ∴，故结论⑤正确； 综上所述，正确的结论有：； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了反证法，圆周角定理，切线的性质，直角三角形的两个锐角互余，等边对等角，直径所对的圆周角是直角，三角形外心内心的性质，等边三角形的判定，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 反比例函数的比例系数是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义及意义，对于反比例函数 (k≠0)，自变量是x，函数值是y，k则是比例系数，依此即可解答. 【详解】∵反比例函数=， ∴反比例函数的比例系数是. 故答案为. 【点睛】此题考查反比例函数的定义，解题关键在于掌握其定义. 12. 已知在反比例函数的图象的每个分支上，y的值随着x的增大而减小，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，对于反比例函数，当时，图象在每一个象限内，y随着x的增大而减小；当时，图象在每一个象限内，y随着x的增大而增大．据此解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象的每一支上，y的值随着x的增大而减小， ∴． 故答案为：． 13. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式，根据根的判别式即可解答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 且， ∴且． 故答案为：且 14. 一个直角三角形的两条直角边长分别为，则它的外接圆的半径为_______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心、勾股定理．先根据勾股定理求出斜边的长，然后根据直角三角形的外接圆半径为斜边边长的一半即可求解． 【详解】解：因为直角三角形两条直角边长分别为：， 所以直角三角形的斜边长为：， 则这个三角形的外接圆的半径=． 故答案为：5． 15. 如图，在中，直径于点E，，则弦的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键． 由垂径定理得，设的半径为，则，在中，由勾股定理得出方程，求出，即可得出，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ， 设的半径为，则， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， ， ， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 16. 如图，以AB为直径的半圆沿弦BC折叠后，AB与相交于点D．若＝，则∠B＝_____°． 【答案】18 【解析】 【分析】根据题意连接OC，首先证明＝，即可推出∠ AOC＝×180°＝36°解决问题. 【详解】解：如图，连接OC． ∵＝，＝， ∴＝， ∴＝， ∴∠AOC＝×180°＝36°， ∵OC＝OB， ∴∠OCB＝∠B， ∵∠AOC＝∠B+∠OCB， ∴∠B＝18°. 故答案是：18. 【点睛】本题考查圆周角定理以及翻折变换等知识，正确的作出辅助线是解题的关键，注意掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 17. 如图，反比例函数的图象与直线（）交于，两点（点在点左侧），过点作轴的垂线，垂足为点，连接，，图中阴影部分的面积为6，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先由已知得到S△BFG＝2S△OEC，从而可得A、B横坐标的关系，再设A、B坐标代入y＝−x＋m，即可求解． 【详解】解：过点A、B分别作y轴和x轴的垂线，垂足分别为R、F， 设点M是AB的中点， 由，整理得：x2−mx＋6＝0， 由题意可得x2−mx＋6＝0有两个不相等的实数根分别设为x1，x2， 则x1＋x2＝m，y1＋y2＝−x1＋m−x2＋m＝m， 则点M的坐标为（m，m）， 设直线AB交x轴于点G，交y轴于点H， 对于y＝−x＋m，令x＝0，则y＝m，令y＝0，则x＝m， ∴点G、H的坐标分别为（m，0）、（0，m）， 则点HG中点的坐标为（m，m）， 即点M也为GH的中点，故AH＝BG， ∵AR∥x轴， ∴∠HAR＝∠BGF， ∵∠HRA＝∠BFG＝90°， ∴△HRA≌△BFG（AAS）， ∴AR＝OC＝FG， ∴S△HRA＝S△BFG， ∵S△AEO＋S△OCE＋S△OCE＋S四边形ECFB＝|k|＋|k|＝6， 而阴影部分的面积＝S△AEO＋S四边形EBFC＋S△BFG＝6， ∴S△BFG＝2S△OEC， 即2××CO•EC＝×BF•FG， 而OC＝FG， ∴EC＝BF， 即EC是△OBF的中位线， 故设点A的坐标为（t， ），则点B（2t，）， 将点A、B的坐标代入一次函数表达式得：，解得（不合题意的值已舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题为反比例函数综合运用，考查反比例函数和一次函数的基本性质、中点公式的运用、三角形全等及面积问题，题目较难，解题的关键是得出A、B横坐标的关系． 18. 在中，，，M是的中点，则中线长度的最大值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、三角形的三边关系等知识点，根据题意、正确构造辅助圆是解题的关键． 如图，作的外接圆，连接，易得；取的中点E，点M在以E为圆心，以为直径的上运动，连接并延长交于，连接，进而得到当B、E、M三点共线时，最大，即；再根据圆周角定理可证明是等边三角形，进而利用等边三角形的性质以及勾股定理得到，，再求出即可解答． 【详解】解：如图，作的外接圆，连接， ∵M是的中点， ∴， 取的中点E，点M在以E为圆心，以为直径的上运动，连接并延长交于，连接， ∵， ∴当B、E、M三点共线时，最大，即， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵的中点E， ∴， ∴， ∴， ∴最大，即． 故答案为：． 三．解答题（本大题共10小题，共96分） 19. 用合适的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）根据公式法解一元二次方程，即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：，，， ， ， ， 【小问2详解】 解：， ∴， ∴或， 解得：，. 20. 已知关于x的一元二次方程有，两实数根． （1）若，求及的值； （2）是否存在实数，满足？若存在，求出求实数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据题意可得△＞0，再代入相应数值解不等式即可，再利用根与系数的关系求解即可； （2）根据根与系数的关系可得关于m的方程，整理后可即可解出m的值． 【详解】解：（1）由题意：Δ=(−6)2−4×1×(2m−1)>0， ∴m<5， 将x1=1代入原方程得：m=3， 又∵x1•x2=2m−1=5， ∴x2=5，m=3； （2）设存在实数m，满足，那么 有， 即， 整理得：， 解得或． 由（1）可知， ∴舍去，从而， 综上所述：存在符合题意． 【点睛】本题主要考查了根的判别式，以及根与系数的关系，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．以及根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，． 21. 如图，直线与双曲线交于，两点． （1）求和直线的表达式； （2）根据函数图象直接写出不等式的解集； （3）若将直线向下平移个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求的值． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）把代入求，得到反比例函数的解析式，把代入反比例函数的解析式，确定点B的坐标，再利用待定系数法，确定直线的表达式即可； （2）根据数形结合思想，解答即可； （3）先确定将直线向下平移个单位长度后的函数表达式为，与反比例函数的表达式联立，转化为一元二次方程，根据图象有且只有一个公共点，利用根的判别式等于零，求的值即可． 【小问1详解】 解：反比例函数经过点， ，解得， 故反比例函数的解析式为； 把代入，得， 根据题意，的解析式为， 根据题意，得， 解得， 的解析式为． 【小问2详解】 解：根据图象，得不等式的解集为． 【小问3详解】 解：根据题意，将直线向下平移个单位长度后的函数表达式为， 根据题意，得， 整理，得， 根据题意，两个函数的图象有且只有一个公共点， ， 或， 解得或， ，且，， 故n的值为或． 22. 某款吉祥物公仔从全运会开幕前天开始，其日销售量呈直线上升趋势，全运会期间热度增大，全运会结束后，日销售量与时间成反比例关系．日销售量（万件）随时间（天）变化的函数图象如图所示，全运会前为线段，全运会期间为线段，全运会后为曲线． （1）求线段和反比例函数的表达式，并写出自变量的取值范围； （2）已知日销售量不低于万件时为畅销期，则畅销期持续的天数为________天． 【答案】（1）线段的解析式为；反比例函数为 （2）18 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法即可求出线段和反比例函数的表达式，观察图像即可知道自变量取值范围． （2）将代入线段和反比例函数的表达式，即可求出对应的值，从而求出畅销持续的天数． 【小问1详解】 解：设线段的解析式为， ，， ，解得， 线段的解析式为． 设反比例函数的解析式为， 经过， ， ， ． 【小问2详解】 解：， 满足的函数有线段的解析式和反比例函数， 时，代入得， 时，代入得． 时，， 畅销期持续的天数为（天）． 23. 如图，是的直径，是弦延长线上的一点，且，的延长线交于点，作于点． （1）求证：与相切； （2）若半径为，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∴， 即， ∴与相切； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，由是的直径，得到，根据三角形中位线的性质得到，得到，于是得到结论； （2）连接，由勾股定理求出，根据三角形中位线的性质得，则，再由勾股定理可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ∴， ∵半径为，， ∴， 在中，，， ∴， ∵是的中位线， ∴， ∴， ∴在中，． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，三角形的中位线的性质，平行线的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 24. 如图，在中，，，． （1）请作出，使得分别与、都相切，并且圆心到点、的距离相等；（请用圆规和无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，的半径为_____． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意作出的角平分线和线段的垂直平分线，交点即为点，记线段的垂直平分线与交点为点，再以为圆心，为半径即可作圆； （2）先由勾股定理求出，过点作于点，则，设，则，由，求出，再由即可求解半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作于点， ∵，，， ∴ ∵平分， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴，即的半径为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了尺规作图---角平分线，线段的垂直平分线，直线与圆的位置关系，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识点，综合性强． 25. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如方程的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． （1）方程________（填“是”或“否”）“三倍根方程”； （2）若关于的方程是“三倍根方程”，其中有一个根是1，试求与的值； （3）若是关于的“三倍根方程”，则代数式的值为________． 【答案】（1）否 （2），或， （3） 【解析】 【分析】本题考查新定义下一元二次方程根与系数关系的应用，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键， （1）利用因式分解法解，再根据“三倍根方程”的定义即可判断； （2）根据“三倍根方程”的定义得到方程的另一个根为3或，分两种情况：当，时；当，时，再根据根与系数的关系即可求出与的值； （3）根据“三倍根方程”的定义，设的根为和，再利用根与系数的关系得到，，代入即可得到答案． 【小问1详解】 解：， 因式分解得：， 解得：，， 根据“三倍根方程”的定义， ∴方程不是“三倍根方程”； 故答案为：否． 【小问2详解】 解：∵方程是“三倍根方程”，其中有一个根是1， ∴另一根为：3或， 当，时，，， ∴，； 当，时，，， ∴，． 【小问3详解】 解：设的根为和， ∴，， ∴，， ∴． 26. 太湖水域辽阔，水质清澈，水草丰茂，底栖生物丰富，在无锡、苏州等太湖沿岸城市，吃蟹是秋季最重要的民俗活动之一．某学校九年级利用国庆假期开展社会实践活动，调查螃蟹行情，帮某商家解决销售问题的同时为顾客谋实惠．调查发现，螃蟹的进价为元/千克．售价为元/千克时，每天可销售千克．售价每涨价元，每天少销售千克． （1）某天商家正好销售千克的螃蟹，则获利多少元？ （2）若商家一天销售螃蟹总利润为元，则当天螃蟹的售价为多少元/千克？ 【答案】（1）1750元 （2）60元/千克或80元/千克 【解析】 【分析】（1）设螃蟹的售价为x元/千克，根据每涨价1元，每天少销售2千克，某天商家正好销售70千克的螃蟹，列出一元一次方程，解方程，即可解决问题； （2）设螃蟹的售价为y元/千克，根据商家一天销售螃蟹获总利润为1600元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设螃蟹的售价为x元/千克，根据题意得： ， 解得：， ∴元， 答：某天商家正好销售70千克的螃蟹，则获利1750元； 【小问2详解】 解：设螃蟹的售价为y元/千克，根据题意得： ， 整理得：， 解得：， 答：当天螃蟹的售价为60元/千克或80元/千克． 27. （1）某冰激凌纸筒展开后得到半径为，弧长为的扇形，则该纸筒的侧面积为____； （2）如图①，某纸杯展开它的侧面得到扇环（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分），其中的长为的长为的长为．求扇环的面积： （3）如图②，梯形面积为，扇环面积为，且等于的长，等于的长，，则______（选填“”、“”或“”）． 【答案】（1）54；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积，扇形面积计算公式为或（其中圆心角是，圆的半径为R的扇形面积为S，l为扇形的弧长）．也考查了弧长公式和梯形的面积公式． （1）直接利用扇形的面积公式计算即可； （2）设，根据弧长公式得到，进而求出，再利用扇形的面积公式得到扇环的面积，则可计算出扇环的面积； （3）设梯形的高为h，由（2）得，根据梯形的面积公式得到，然后利用，即可得到结论． 【详解】解：（1）该纸筒的侧面积为； 故答案为：54； （2）设， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴扇环的面积为 ， ∵， ∴扇环的面积为； （3）设图形的高为h， 由（2）得， ∵等于的长，等于的长， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 28. 已知平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径的交y轴的正半轴于点P，小刚同学用手中的三角板（）进行了如下的实验操作： （1）如图1，将三角板的斜边放置于x轴上，边恰好与相切于点D，则切线长 ； （2）如图2，将三角板的顶点A在上滑动，直角顶点B恰好落在x轴的正半轴上，若边与相切于点M，求点B的坐标； （3）请在备用图上继续操作：将三角板的顶点A继续在上滑动，直角顶点B恰好落在上且在y轴右侧，边与y轴的正半轴交于点G，与的另一交点为H，若，求的长． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）连接，得出，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求得的长； （2）连接，设线段交于点，过点作于，得出四边形是矩形，根据垂径定理以及矩形的性质得出，在中，勾股定理求得，中，勾股定理求得，即可求得点的坐标； （3）分类讨论，①当在点上方时，过点作于点，连接，根据90度角所对的弦是直径，得出是的直径，进而勾股定理求得，垂径定理求得，在中，得出，在中求得，继而根据即可求解；②当点在点下方时，过点作，同一法证明点重合，进而垂径定理即可求解． 【小问1详解】 如图，连接， ∵边恰好与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴中，,， ∴， ∴, 故答案为：； 【小问2详解】 如图，连接，设线段交于点，过点作于， ∵边与相切于点， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴, ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴, ∴， ∴中，, ∴， 【小问3详解】 解：①如图，当在点上方时，过点作于点，连接， ∵， ∴是的直径， ∴， ∵， 在中，， ∵， ∴, 在中，， ∵， ∴， 在中，， ， ∴； ②当点在点下方时，如图， ∵， ∴是的直径， ∴， ∵， 在中，， 过点作， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴，即点重合， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $