江苏省无锡市锡山区江苏省天一中学（实验学校）2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

天一2024—2025学年九年级10月份月考试卷 时间：120分钟 总分：150分 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的有（ ） ①；②；③；④；⑤． A. 1个； B. 2个； C. 3个； D. 4个． 2. 若一元二次方程的一个根为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 3. 如图，若点D是线段的黄金分割点（），，则的长是（ ） A. 3 B. C. D. 4. 方程配方后可化成的形式，则的值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 1 5. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 下列各组图形中，一定相似的是（ ） A. 两个平行四边形 B. 两个正方形 C. 两个矩形 D. 两个菱形 8. 如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 9. 《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？” 译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？” 若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，在边长为2的正方形中，是边上一动点（不含、两点），将沿直线翻折，点落在点处；在上有一点，使得将沿直线翻折后，点落在直线上的点处，直线交于点，连接，．则以下结论中正确的是．（ ） ①； ②的周长始终不变： ③当为中点时，为线段的中垂线； ④线段的最小值为： ⑤当时，． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（共8小题，每小题3分，第18题第1空1分，第2空2分，共24分） 11. 已知，则_______． 12. 关于的方程是一元二次方程，则的值为______． 13. 如果两个相似三角形的面积之比为，这两个三角形的周长的和是，那么较小的三角形的周长为______． 14. 若，是方程的两根，则的值为______． 15. 电脑病毒传播快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有121台电脑被感染，若每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，则__________． 16. 已知关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别为三边的长，如果方程有两个相等的实数根，则的形状为______． 17. 如图，，点D在线段上运动，P为线段DE的中点，在点D的运动过程中，的最小值是 _____． 18. 如图①②，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是横轴上的一点，点在轴上，且，． （1）如图①，当时，_______；（提示：过点作轴垂线，垂足为，交过点作轴的垂线于点） （2）连接，设的中点为，在点从这个时刻走到这个时刻的过程中，点所走过的路线长是_______． 三、解答题（共10小题，共96分） 19. 按要求解下列方程： （1）（配方法） （2） （3）（公式法） （4）． 20. 化简再求值：，其中是方程的根． 21. 已知关于的方程 （1）求证：无论取任何实数，方程总有实数根； （2）若等腰的一边，另两边长、恰好是这个方程的两个根，求的周长． 22. 如图，在6×10的方格纸ABCD中有一个格点△EFG，请按要求画线段． （1）在图1中，过点O画一条格点线段PQ（端点在格点上），使点P，Q分别落在边AD，BC上，且PQ与FG的一边垂直． （2）在图2中，仅用没有刻度的直尺找出EF上一点M，EG上一点N，连结MN，使△EMN和△EFG的相似比为2：5．（保留作图痕迹） 23. 如图，在平行四边形中，是边的延长线上一点，连接交于点，交对角线于点． （1）若，求 的值； （2）求证：． 24. 安阳市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 25. 材料1：法国数学家弗朗索瓦・韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根，有如下的关系（韦达定理）：，； 材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等实数根． 请根据上述材料解决下面问题： （1）①已知一元二次方程的两根分别为，，则_______，_______． ②已知实数，满足：，（），则_______． （2）已知实数、、满足：，，且，求的取值范围． 26. 每到三月就会让人想起那句：“西湖美景，三月天哪”，雷峰塔是杭州西湖的标志性景点，为了测出雷峰塔的高度，初三学生小白设计出了下面的测量方法：已知塔前有一米高的小树，发现水平地面上点、树顶和塔顶恰好在一条直线上，测得米，之间有一个花圃无法测量，然后在处放置一个平面镜，沿后退．退到处恰好在平面中看到树顶的像，此时米，测量者眼睛到地面的距离为米，求出塔高． 27. 阅读感悟： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则．所以． 把代入已知方程，得． 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”． 请用阅读材料提供的“换元法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式． 解决问题： （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1．则所求方程为：______； （2）方程的两个根与方程______的两个根互为倒数． （3）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，求关于的一元二次方程的两个实数根． 28. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，直线与轴、轴分别交于点、点，与相交于点，线段，的长是一元二次方程的两根（），，． （1）求点、点的坐标； （2）求直线的解析式； （3）在轴上是否存在一点，使以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 天一2024—2025学年九年级10月份月考试卷 时间：120分钟 总分：150分 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】D 【10题答案】 【答案】B 二、填空题（共8小题，每小题3分，第18题第1空1分，第2空2分，共24分） 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】-2 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】12 【15题答案】 【答案】10 【16题答案】 【答案】直角三角形 【17题答案】 【答案】2 【18题答案】 【答案】 ①. ②. 三、解答题（共10小题，共96分） 【19题答案】 【答案】（1） （2） （3） （4） 【20题答案】 【答案】， 【21题答案】 【答案】（1） 证明：， 无论取何值，， ∴， 无论取任何实数，方程总有实数根； （2）7或8 【22题答案】 【答案】（1） 如图所示，即为所求， （2） 如图所示，即为所求， 【23题答案】 【答案】（1） （2） 证明：由（1）知，则， 在平行四边形中，， ． 【24题答案】 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）该品牌头盔每个应涨价5元 【25题答案】 【答案】（1）①1.5，；② （2） 【26题答案】 【答案】塔高为米 【27题答案】 【答案】（1） （2） （3）2025和2022 【28题答案】 【答案】（1），；（2）；（3）存在，， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $