精品解析：北京市顺义区第三中学2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试题

初三数学月考试卷 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 1. 若，则下列比例式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例性质，熟练掌握比例式和等积式的互化是解题的关键．根据比例式和等积式的互化，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、由，得，与已知不符，故此选项比例式不成立，不符合题意； B、由，得，与已知相符，故此选项比例式成立，符合题意； C、由，得，与已知不符，故此选项比例式不成立，不符合题意； D、由，得，与已知不符，故此选项比例式不成立，不符合题意． 故选：B． 2. 把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，如图所示，细线与边重合，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查量角器的使用，直角三角形两锐角互余，先根据量角器得到，再根据直角三角形两锐角互余得到． 【详解】解：由量角器得， ∵， ∴， ∴． 故选B． 3. 实数a在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数b满足，则b的值可以是（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据数轴的定义得出a的取值范围，从而可得出b的取值范围，由此即可得． 【详解】解：由数轴的得：， ， ， 又， 到原点的距离一定大于1， ， ， 观察四个选项，只有选项D符合， 故选：D． 【点睛】本题考查了数轴，涉及相反数，实数大小比较等知识，数形结合是解题关键． 4. 如图，中，D、E分别为、边上的点，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先证明，再证明，可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，证明是解本题的关键． 5. 如图，每个小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上，则的值是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点A作于点D，根据勾股定理求出的长度，再根据正弦的定义即可求解． 【详解】解：如图：过点A作于点D， 在中，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和正切的定义，解题的关键是构建直角三角形，根据勾股定理求出的长度． 6. 如图，平行四边形中，点为中点，若的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形，平行四边形的性质，解题的关键是根据平行四边形的性质，得，则，，根据相似三角形的判定和性质，则，得到相似比，根据面积比是相似比的平方，即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴的面积为． 故选：C． 7. 鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，是的黄金分割点，若线段的长为4cm，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义可得据此求解即可． 【详解】解：∵P是AB的黄金分割点，， ∴； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了黄金分割比例，熟知黄金分割比例是解题的关键． 8. 设备每年都需要检修，该设备使用年数n（单位：年，n为正整数且）与第1年至第n年该设备检修支出的费用总和y（单位：万元）满足关系式，下列结论正确的是（ ） A. 从第2年起，每年的检修费用比上一年增加万元 B. 从第2年起，每年的检修费用比上一年减少万元 C. 第1年至第5年平均每年的检修费用为万元 D. 第6年至第10年平均每年的检修费用为万元 【答案】D 【解析】 【分析】本题根据设出连续三年总支出，再两两相减得到连续两年的差值即可知道连续两年的每年的检修费，再根据总支出得到平均每年检修费． 【详解】由题意得， 前n年支出总费用为万元， 前年支出总费用为：万元； 前年支出总费用为：万元； 易知，前n年和前年差值为万元，前年和年差值为万元， 故第二年起，每年检修费比上一年保持不变，故A , B错误； 第一到第五年总支出费用为万元， 故平均每年检修费用为万元， 故C错误． 年总支出为万元， 年总支出为万元， 所以年平均每年检测费用为万元，故D正确． 故选D． 【点睛】本题考查了一次函数的性质及基本不等式在实际生活中的应用，解题的关键是理解变量之间的关系． 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 函数中，自变量的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数． 【详解】依题意，得x-3≥0， 解得：x≥3． 【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 10. 分解因式：________ 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式进行二次分解即可． 【详解】解：原式 ． 11. 方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】去分母后将分式方程转化为一元一次方程，然后计算出结果． 【详解】 两边同乘得， 化简得， 解得， 经检验，当时，，所以是原分式方程的解， 故答案为：． 【点睛】解分式方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验，注意一定要进行检验． 12. 写出一个比3大且比4小的无理数：_____． 【答案】答案不是唯一， 【解析】 【分析】利用估算思想，确定无理数的被开方数范围是大于9小于16，从中确定一个整数，用算术平方根的形式表示出来即可． 【详解】设无理数的被开方数为x， ∵无理数比3大且比4小， ∴9＜x＜16， ∴其中的一个无理数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了无理数的估算思想，正确理解估算思想的意义是解题的关键． 13. 在中，，，，那么______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了余弦．熟练掌握：是解题的关键．根据，计算求解即可． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴，即，解得，， 故答案为：4． 14. 如图，中，，于，，，则的长为___． 【答案】2 【解析】 【分析】证明，得到，代入已知数据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）， 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 15. 如图，在中，，，平分，若，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意可得，再根据角平分线的定义得出，进而得出，即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了含的直角三角形，角所对的边是斜边的一半，以及角平分线的定义，解题的关键是掌握同高的三角形，面积比等于底的比． 16. 如图，在中 ，是上（不与B，C重合）一动点，，交于点E，下列结论：①；②；⑤当时，；④为直角三角形，为4或．其中正确的结论是_____．（把你认为正确结论序号都填上） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】如图1：在线段上取点F，使，连接，易证进而可得即可判定①；结合①的结论可得，再确定的范围为，进而得到，即②正确；分两种情况：当时，可证明结论正确，当时，结论不成立；故③错误；为直角三角形，可分两种情况或分别讨论求解即可④． 【详解】解：如图1，在线段上取点F，使，连接，则 ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即 ∴，故①正确； ∴， 当时，由勾股定理可得： ， ∴， ∴，即，故②正确； 如图2，作于H， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或，或， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 但与显然不是全等形，故③不正确； 如图3， ， ∴， ∴， ∴， 如图4，于D，于H， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴，故④正确． ∴正确的有①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查了直角三角形性质、勾股定理、全等三角形判定和性质、相似三角形判定和性质、动点问题和分类讨论思想等知识点；掌握动点问题和分类讨论思想是解题的关键． 二、解答题（本题共68分，第17-22题，每题5分；第23-26题，每题6分；第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先将绝对值、负整数幂、二次根式化简，将锐角三角函数转化为实数，再进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了特殊角度的锐角三角函数的混合运算，解题的关键是的熟练掌握特殊角度的锐角三角函数值，绝对值的定义，负整数幂的运算法则，以及二次根式的化简方法． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】先计算得，再根据得到，整体代入即可求解． 【详解】解： ∵， ∴， ∴原式． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，平方差公式，单项式乘以多项式等知识，正确进行计算，再整体代入是解题关键． 20. 已知：如图，在中，D为边的中点，连接，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，再根据相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：∵D为边的中点，， ∴， ∵，， ∴ ∴，即， 解得：（负值舍去）， 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握有两个角相等的两个三角形相似，相似三角形对应边成比例． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）如果方程有一个根为正数，求的取值范围． 【答案】（1）证明： 无论m取何值，， ∴方程总有两个实数根． （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式及完全平方式的非负性，即可证得结论； （2）首先解一元二次方程，再根据根的情况，利用不等式，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由原方程得：， 解得，， ∵方程有一个根为正数，， ， ． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根据根的情况求参数，完全平方式的非负性，熟练掌握和运用一元二次方程根的判别式及解方程的方法是解决本题的关键． 22. 如图，在正方形ABCD中，E为边AD上的点，点F在边CD上，∠BEF＝90°且CF＝3FD． （1）求证：△ABE∽△DEF； （2）若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求 CG的长． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠A＝∠D＝90°， ∴∠ABE+∠AEB＝90°， ∵∠BEF＝90°， ∴∠DEF+∠AEB＝90°， ∴∠ABE＝∠DEF， ∴△ABE∽△DEF； （2）CG＝6． 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得出∠A＝∠D＝90°，证出∠ABE＝∠DEF，即可得出△ABE∽△DEF； （2）求出DF＝1，CF＝3，由相似三角形的性质得出，解得DE＝2，证明△EDF∽△GCF，得出，求出CG＝6，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵AB＝BC＝CD＝AD＝4，CF＝3FD， ∴DF＝1，CF＝3， ∵△ABE∽△DEF， ∴，即， 解得：DE＝2， ∵AD∥BC， ∴△EDF∽△GCF， ∴，即， ∴CG＝6． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形相似是解题的关键． 23. 如图，在中，，平分交于点D，于点E．若，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，角平分线的性质； 先根据，求出的长度，即可根据勾股定理求出，再根据角平分线的性质可得，即可求出的长度，再根据，求出的长度，即可根据勾股定理求出． 【详解】解：∵，，， ∴在中，， 在中，根据勾股定理可得：， ∵平分， ，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学月考试卷 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 1. 若，则下列比例式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，如图所示，细线与边重合，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 实数a在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数b满足，则b的值可以是（ ） A. 1 B. 0 C. D. 4. 如图，中，D、E分别为、边上的点，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，每个小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上，则的值是（ ） A. 1 B. C. D. 6. 如图，平行四边形中，点为中点，若的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，是的黄金分割点，若线段的长为4cm，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 设备每年都需要检修，该设备使用年数n（单位：年，n为正整数且）与第1年至第n年该设备检修支出的费用总和y（单位：万元）满足关系式，下列结论正确的是（ ） A. 从第2年起，每年的检修费用比上一年增加万元 B. 从第2年起，每年的检修费用比上一年减少万元 C. 第1年至第5年平均每年的检修费用为万元 D. 第6年至第10年平均每年的检修费用为万元 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 函数中，自变量的取值范围是_______. 10. 分解因式：________ 11. 方程的解为______． 12. 写出一个比3大且比4小的无理数：_____． 13. 在中，，，，那么______． 14. 如图，中，，于，，，则的长为___． 15. 如图，在中，，，平分，若，则______． 16. 如图，在中 ，是上（不与B，C重合）一动点，，交于点E，下列结论：①；②；⑤当时，；④为直角三角形，为4或．其中正确的结论是_____．（把你认为正确结论序号都填上） 二、解答题（本题共68分，第17-22题，每题5分；第23-26题，每题6分；第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 已知，求代数式的值． 20. 已知：如图，在中，D为边的中点，连接，，，求的长． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）如果方程有一个根为正数，求的取值范围． 22. 如图，在正方形ABCD中，E为边AD上的点，点F在边CD上，∠BEF＝90°且CF＝3FD． （1）求证：△ABE∽△DEF； （2）若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求 CG的长． 23. 如图，在中，，平分交于点D，于点E．若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $