精品解析：北京市海淀区中国人民大学附属中学2026-2027学年上学期九年级10月学情自测数学试题

2026-2027学年度第一学期初三年级数学练习2 考生须知 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间110分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题（共16分，每题2分，第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个） 1. 2026年是中国工农红军长征胜利90周年，下列四幅图案是同学们创作的纪念长征的主题徽标，其中图案部分为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义判断即可．中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与原图形重合，那么这个图形是中心对称图形． 【详解】解：A、B、C图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以都不是中心对称图形，不符合题意； D图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意. 2. 将抛物线的图象向上平移1个单位，则平移后的抛物线的解析式为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，解题的关键掌握抛物线的平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移．根据二次函数图象的平移的特点解答即可． 【详解】解： 原抛物线的顶点为，向上平移1个单位，那么新抛物线的顶点为， 可设新抛物线的解析式为：，代入得：． 故选C． 3. 1849年，法国物理学家斐索用旋转齿轮法首次在地面上测出了光速．如图为某齿轮的示意图，齿轮边缘均匀分布着6个齿和6个齿隙．该齿轮绕其中心旋转一定角度后能与自身重合，则可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：， ∴该齿轮绕其中心每旋转后能与自身重合， ∴当为的整数倍时都满足题意， ∴只有C选项符合题意． 4. 已知二次函数（）的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】B 【解析】 【分析】根据开口方向确定a的正负，根据与y轴交点确定c的正负，再根据对称轴位置确定b的正负，根据与x轴交点的情况确定的正负情况． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴， 又∵对称轴， ∴， ∵抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴二次方程有两个不同的根，即． 5. 年月，人大附中初三年级研学团来到杭州未来科技城，开展社会实践．在小镇的产业展厅中，同学们了解到：杭州本土机器人企业宇树科技凭借四足机器人与人形机器人的技术突破，营业收入从年的亿元快速增长至年的亿元，设该企业营业收入从年到年的年平均增长率为，则下列所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意设年平均增长率为，再根据年营业收入为亿元列方程即可． 【详解】解：年营业收入为亿元，年平均增长率为， 年营业收入为亿元， 年营业收入为亿元， 根据年营业收入为亿元，列方程得． 6. 下表是代数式的部分值的情况，根据表格中的数据，则关于方程的一个正根的判断正确的是（ ） x A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：方程即求代数式的值为15时的值． 当时，； 当时，． 该方程的一个正根满足． 7. 清明前后，杭州西湖龙井茶区开始手工炒制新茶．按《西湖龙井茶手工炒制技术规程》，青锅的每锅投叶量“根据手的大小和个人习惯掌握”，特级、一级鲜叶每锅，二级、三级，辉锅每锅．某茶作坊当天采下的一批鲜叶，炒茶师傅估算：这批鲜叶若交给手掌大小不同、习惯不同的师傅炒制，每锅投叶量不同，炒完这批鲜叶所需的锅数也不同，记录如表： 每锅投叶量x（克） 100 121 150 181 200 241 需要锅数y（锅） 36 30 24 20 18 15 根据表中数据，y与x之间的函数关系最接近（ ） A. 正比例函数关系 B. 一次函数关系 C. 二次函数关系 D. 反比例函数关系 【答案】D 【解析】 【分析】结合总鲜叶量固定的实际背景，验证与的乘积是否近似为定值． 【详解】解：分别计算表中每组与的乘积： ． ． ． ． ． ． 与的乘积近似为定值，符合反比例函数关系． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数上一个动点，过点作坐标轴的垂线，轴上的垂足为点，轴上的垂足为点，函数的图象与线段交于点，与线段交于点（，不重合），连接，．将线段绕点逆时针旋转得到线段，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点，分别是点，的对应点）．给出下面四个结论： 四边形的面积可能为； 可能是等边三角形； 点一定在反比例函数的图象上； 连接点、、、所得到的四边形不可能是平行四边形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的比例系数的几何意义即可判断；设，则，，，，然后通过距离公式求出，，即可判断；设，则，，过作轴于点，由旋转的性质，全等三角形的判定与性质即可判断；设，则，，同理得，，由，则若点、、、所得到的四边形是平行四边形，一定有，即，从而求得无实数根，即可判断． 【详解】解：∵点在图象上，轴上的垂足为点，轴上的垂足为点， ∴四边形的面积为， ∵点在图象上， ∴的面积为，的面积为， ∴四边形的面积为，故错误； 设，则，， ∴，， ∴，， 若，即， 解得（负值已舍去）， 此时，， ∴，， ∴， ∴不可能是等边三角形，故错误； 设，则，， 如图，过作轴于点， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，，即， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点一定在反比例函数的图象上，故正确； 设，则，， ∴同理得，， ∵， ∴若点、、、所得到的四边形是平行四边形，一定有， 即， ∴， ∴无实数根， ∴连接点、、、所得到的四边形不可能是平行四边形，故正确， 综上可知：正确结论的序号是． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 在平面直角坐标系中，点（2，3）关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】（-2，-3） 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：点（2，3）关于原点对称的点的 坐标是（-2，-3）， 故答案为：（-2，-3）． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数是解题关键． 10. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实根，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据根的判别式的意义得到，然后解关于的方程即可． 【详解】解：有两个相等的实数根， ， 解得． 故答案为：． 11. 如果一元二次方程的两个根互为相反数，那么______________ 【答案】 【解析】 【分析】利用相反数的性质得到两根之和为0，结合一元二次方程根与系数的关系列式求解即可． 【详解】解：设一元二次方程的两根为，， ∵两根互为相反数， ∴， 该方程中，，根据根与系数的关系可得， 因此得， 解得． 当时， ，方程有两个实数根， ∴． 12. 为了让学生以更好的状态迎接体考，学校安排了模拟训练．小海参加了跳远测试，可以用二次函数描述他在某次跳跃时重心高度的变化（如图），若重心高度与起跳后时间的函数表达式为，当，，时，所对应的重心高度分别记为，，，则，，的大小关系为_______．（用“<”连接） 【答案】 【解析】 【分析】分别将，，代入二次函数表达式计算出对应的值，利用有理数大小比较法则即可得出结论． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，． ∵， ∴． 13. 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式实质上是同一个公式，即，其中，，表示三角形的三条边长，．现有某社区计划用一段长为的篱笆围成一个三角形的绿化区域，已知这个三角形的一条边长为，则围成的三角形绿化区域面积最大为_________． 【答案】12 【解析】 【分析】根据题意得，不妨取，则，再利用海伦公式，得到，设，利用二次函数的性质，求最值即可． 【详解】解：根据题意，，则， 不妨取，则，， 三角形的面积， ，解得, 设， 它是a的二次函数，开口向下，当时，y取最大值， 此时，面积S取最大值为． 14. 老北京的胡同里曾经水井遍布——“王府井”、“三眼井胡同”这些地名，都是从水井来的．井口上大多架着一副辘轳，老辈人做辘轳时，总要把摇柄留得长一些——这不是为了好看，而是为了省力．提水时，手在摇柄上施加的力F（单位：N）与摇柄的长度L（单位：m）成反比例，其图象如图所示．若把这副辘轳的摇柄长度增大到，提起同一桶水所施加的力是________N． 【答案】20 【解析】 【分析】设，把代入求出函数解析式，然后把代入求解即可． 【详解】解：设， 把代入，得， 解得， ∴， 把代入，得， 即把这副辘轳的摇柄长度增大到，提起同一桶水所施加的力是． 15. 如图，正方形与正方形边长分别为1和，一开始边落在边上，将正方形绕点A逆时针旋转，旋转角为（）．在旋转过程中，连接，，，，四边形面积的最大值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，相交于点H，与交于点K，根据正方形的性质可得，，，从而利用等式的性质可得，进而可证，然后利用全等三角形的性质可得，，从而可得，进而可得，最后根据四边形面积的面积的面积=，当取最大值时，四边形面积最大，进行计算即可解答． 【详解】解：连接，，相交于点H，与交于点K， ∵四边形，四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形面积的面积的面积 ， ∴当取最大值时，四边形面积最大， ∴当时，最大， ∴四边形面积的最大值. 16. 若正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点，且与一次函数的图像交于点，若，则的取值范围是___________． 【答案】 或 【解析】 【分析】由正比例函数和反比例函数的中心对称性得，因此所求式子的值等于，再根据推导的范围，进而得到的取值范围． 【详解】解：∵ 正比例函数和反比例函数都关于原点对称， ∴ 交点关于原点对称，得，即； ∴ ，只需计算的取值范围； 联立和，得，整理得，因此，且，保证两个交点存在； 联立和，得，因此，； 由条件，得，两边平方得； ∵ ，，两边同乘，不等号方向不变，得： ， 整理得， 因式分解得， 解得或， 结合分两种情况讨论： ①当时，，均为正数，取倒数后不等号反向，得，两边乘得，即； ②当时，，得，两边乘得，即； 综上，的取值范围是或． 三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20题6分，第21-24题，每题5分，第25题7分，第26题6分，第27-28题，每题7分） 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再用因式分解法求解． 【详解】解：， 移项得， 因式分解，得， ∴或， 解得：． 18. 【问题背景】如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，． （1）【发现问题】猜想线段与之间的数量关系，并说明理由； （2）【拓展应用】若，，，求四边形的面积． 【答案】（1），理由如下： 根据题意可知，，即， 三角形为等边三角形， ，，即， ， 在和中， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）利用旋转得、，结合等边三角形的性质，用证明，进而证得； （2）连接，过点作，先推出为等边三角形，算出其面积，再利用（1）的结论推出，通过勾股逆定理证明是直角三角形，算出它的面积，两个三角形面积相加得到四边形面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，过点作， 据（1）可知， ，， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ，， 在中，， 为直角三角形，， ， ． 19. 已知是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】7 【解析】 【分析】由题意易得，然后把代数式进行化简，最后整体代入求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解、乘法公式及代数式的值，熟练掌握一元二次方程的解、乘法公式及代数式的值是解题的关键． 20. 如图，已知二次函数（h，k为常数）的图象经过点，． （1）计算：__________，__________； （2）根据图象，当时，y的取值范围是__________； （3）当时，x的取值范围是__________． 【答案】（1）1；4 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先根据二次函数性质得到对称轴，然后再利用待定系数法求解即可； （2）根据二次函数性质求解即可； （3）分别求出当时和当时的取值，然后根据函数性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数（，为常数）的图象经过点，， ∴二次函数的对称轴为：， ∴， ∴二次函数为， 将点代入得到：， 解得； 【小问2详解】 解：∵二次函数的解析式为：， ∴二次函数的对称轴为，抛物线开口向下，顶点为， 在时，， 在时，， 在时，函数取到最大值， 故当时，的取值范围是； 【小问3详解】 解：当时，得到，解得：或， 当时，或， 又∵二次函数的对称轴为，抛物线开口向下， ∴当时，的取值范围是或． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论为何值，方程总有实数根； （2）若方程两根均不小于1，求的取值范围． 【答案】（1） 证明： ∵，， ∴， ∴无论m为何值，方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． （1）根据根的判别式求出的值，再进行判断即可； （2）解方程得到，，根据方程两根均不小于1，得到不等式，解不等式即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：原方程可化为，即 解得：，， ∵方程两根均不小于1， ∴， ∴． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，，． （1）若时． ①画出以点P为对称中心的图形； ②若直线l平分四边形的面积，写一个直线l的表达式__________； （2）点，的面积为S，若，则a的取值范围为__________． 【答案】（1）①；② （2）或 【解析】 【分析】（1）①先分别作出点关于点的对称点，再顺次连接可得； ②先判断四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质求解即可； （2）写出点的坐标，根据可求，结合已知得出，解不等式组即可． 【小问1详解】 解：①略； ②∵以点为对称中心的图形， ∴，， ∴四边形是平行四边形，对称中心为点P，即原点， ∵直线l平分四边形的面积， ∴直线l过原点， ∴直线l的表达式为（答案不唯一）； 【小问2详解】 解：关于成中心对称的点， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 当时，； 当时，， 综上，或. 23. 学校舞蹈艺术团在开学典礼上进行汇报演出．开场阶段，全体参演同学整齐排列，组成一个正方形方阵．随着音乐的推进，表演队形随之变化：首先有7名同学出列担任领舞，其余同学迅速调整站位，组成一个长方形方阵．已知该长方形方阵的列数比原正方形方阵每边人数的2倍少3，行数比原正方形方阵每边人数少5．演出谢幕时，指导老师计划让全体参演同学排成一个长方形方阵（每行和每列的人数都大于1且不相等）．问这个计划能否实现？若能，求出长方形方阵每行和每列的人数；若不能，说明理由． 【答案】 解：不能，理由如下： 设原正方形队列每行x人，总人数人，7名同学出列后有人，出列后其余同学组成的长方形队，共列，行， 根据题意得， ，（舍去，因为此时行数为负数，不符合实际意义） ∴总人数为121人，不能分解成两个大于1的不等正整数相乘，即这个计划不能实现． 【解析】 【分析】设原正方形队列每行x人，根据“长方形方阵的人数=总人数减去领舞人数”列方程求解，然后根据“每行和每列的人数都大于1且不相等”判断即可. 【详解】略 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点和点．记． （1）若，求a的值； （2）h是否存在最值，若存在，是最大值还是最小值，求出这个最值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）存在，h有最小值 【解析】 【分析】（1）当且得出，从而判定A、B关于对称轴对称，然后根据对称轴公式求解即可； （2）先求出h关于a的二次函数，然后根据二次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 解：抛物线对称轴为直线 ， 且 又抛物线（）经过点和点 与关于直线对称 【小问2详解】 解：当时，；当时， 是关于a的二次函数，且开口向上，对称轴为直线（满足的条件）， ∴当时，h有最小值 25. 小李在课后探究学习中遇到一个函数，类比二次函数和反比例函数对其进行探究，请回答下列问题： （1）函数的自变量x的取值范围是__________； （2）小李写出该函数x与y的部分对应值如下表： x … 1 2 4 8 … y … m 2 … ①m的值为__________； ②小李用软件画出了该函数在时的图象，请在平面直角坐标系中补全该函数的图象； （3）直接写出方程的根：__________； （4）当时，对于x的每一个值，一次函数（）的值都小于函数的值，则k的取值范围是__________． 【答案】（1） （2）①；② （3）， （4）或 【解析】 【分析】（1）根据分式有意义的条件即可求解； （2）①把代入解析式计算即可； ②根据表格中数据描点连线即可得出该函数图象； （3）利用图象求解即可； （4）利用图象求解即可. 【小问1详解】 解：根据题意，得， ∴， 即自变量x的取值范围是； 【小问2详解】 解：①当时，； ②略 【小问3详解】 解：如图， 由图可知：方程的根为，； 【小问4详解】 解：当时， 联立方程组， 整理得， ∴， 当时，方程存在正实根，不符合题意； 当时，方程无正实根，符合题意 解得， ∴； 当时，如图， 此时一次函数（）的图象与函数的图象无交点，故符合题意， ∴， 综上，或. 26. 在平面直角坐标系中，点M为直线（）上的一动点，抛物线C：的顶点为M，点M的横坐标为t． （1）若，则点M的坐标__________（用含a的式子表示）；抛物线C的表达式__________（用含a的式子表示）； （2）当时，抛物线C不经过原点O，求a的取值范围． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）把代入即可求出点M的坐标；根据顶点坐标写出抛物线C的表达式即可； （2）先求出抛物线C的表达式为，则可判断抛物线过点，此时常数项，根据二次函数的性质可得出当时，，结合抛物线C均不经原点O ，可得出或，则或，即可求解. 【小问1详解】 解：当时，， ∴； ∵是的顶点， ∴抛物线C的表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴， ∵点是的顶点， ∴抛物线C的表达式为， 当时，，即抛物线过点 此时常数项，即c是关于t的二次函数，且开口向上，对称轴为直线 时，c随t的增大而增大 又当时，；时， ∴当时， ∵当时，抛物线C不经原点O ∴当时，即或 或 或 27. 在中，，，（），以为腰构造等腰直角三角形，，，在的延长线上取点P，使得． （1）如图1，若，用等式表示与的数量关系，并证明； （2）如图2，延长至E，使得，过E作的平行线交于点F，过E作的垂线交的延长线于点G，下面有三个结论，其中所有正确结论的序号是__________，并对你选择的正确结论加以证明． ①的周长不变； ②线段与的长度和不变； ③的面积不变． 【答案】（1），证明如下： 过点A作于点，又 为等腰直角三角形 又 ∴在中， ∴在中， （2）①；证明如下： 过点A作于点，过点A作的垂线交的延长线于点H，过点A作的垂线交的延长线于点，连接， 由（1）得， 即为等腰直角三角形 ，又 又且 同理 又 ∴四边形为矩形 又 ∴矩形为正方形 【解析】 【分析】（1）过点 作 于点 ，由 、、 证得 ，得 ；再在 中由 ，用含 角的直角三角形的性质求出 与 的数量关系； （2）过点 作 于点 ，过点 分别作直线 、 的垂线，垂足 、 分别落在 、 的延长线上，连接 、；由 得 ，由 得 是等腰直角三角形，得 ；用 HL 证 、，得 、，从而证出四边形 是正方形；再把 的周长拆成 与 两段求和，即得 的周长；对 ②③，由 、 得 （），故 随 变化；过点 、 分别作 的垂线，由 得 ，再结合 的周长恒为 与勾股定理，求出 与 的面积关于 的表达式，即可说明②③ 都不成立． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①正确，证明略 由①的证明知，四边形 是边长为 的正方形， 的周长等于 ，与 无关； 是以 为腰的等腰直角三角形，； ，且点 在线段 上， ，由 得 ； ，，而 、、 三点共线， 是等腰直角三角形， ； 过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，则 与 都是等腰直角三角形， ，； 点 、、 都在直线 上， ， ，即 ， 去分母整理得 ； 设 ，则由 的周长为 得 ， ， ，而 ， ，解得 ， ，， 的面积 ； ②“线段 与 的长度和不变”、③“ 的面积不变”都是错误的． 28. 对于给定的不重合的两个点，，存在点，，，，使得点绕点旋转（）得到点，点绕点旋转（）得到点（，，不共线），连接，的中点为，若，，，四点共线，且点恰为的中点，则称点为点，的旋心，点为点，，的转心．在平面直角坐标系中， （1）如图1，，，点，的旋心为点，则点，，的转心的坐标为__________； （2）如图2，，当点，的旋心为点时，若点，，的转心落在线段上（不包含端点），直接写出点横坐标的取值范围__________； （3）已知，，点，均为点，的旋心，点、分别为点，，和点，，的转心，点，关于原点对称，且，若存在点，，，，使得为直角三角形，直接写出的取值范围__________． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由及为的中点得，由及为的中点得，从而，即转心是旋心在的垂直平分线上的垂足，作垂线即得转心的坐标； （2）由（1）得，而点落在线段上，故，据此设出点的坐标，再由在的垂直平分线上列出等式，求出的取值范围； （3）由（1）得、分别是、在的垂直平分线上的垂足；先证的直角顶点只能是，把它化为“点到的距离不超过”，再用、与的长表示这个距离，由的取值范围求出的范围． 【小问1详解】 解：点绕点旋转得到点， ，即点在线段的垂直平分线上； 为的中点， ； 点绕点旋转得到点， ； 点为的中点，且、、、四点共线， ，即； ，即转心就是旋心在的垂直平分线上的垂足； ，， ，的垂直平分线为轴； 不在直线（即直线）上，也不在轴上， 过点作轴的垂线，垂足为， 点，，的转心的坐标为（如图）． 【小问2详解】 解：由题图，，． 设点，点为线段的中点，直线为线段的垂直平分线． 由（1）所得的规律，转心是旋心在直线上的垂足，即； ， ； 点落在线段上（不包含端点），而、， 点在直线上，即、两点都在直线上， 与直线重合，从而； ， 从点到点是“水平方向向左个单位、竖直方向向上个单位”， 直线上，点的横坐标每减小，纵坐标就增大； ， 直线上，点的横坐标每减小，纵坐标也增大； 点在直线上， 把点的横坐标减小，纵坐标就增大，即直线上的点可以写成； 点与点不重合（否则线段不存在）， ，故设（）； 为的中点，、， ； 点在线段上，而直线上点的横坐标与纵坐标互为相反数， 可设，其中（时点与点重合，时点与点重合，都不合题意）； 点在直线上，； 直线上点的横坐标每减小、纵坐标就增大， 把直线的方向绕点旋转，就得到与它垂直的方向，即直线上点的横坐标每增大、纵坐标也增大， 由点沿直线到点，横坐标的增大量与纵坐标的增大量相等，即， 解得， ，即； ， ； 此时直线为，为，点既不在直线上，也不在上（由得，不在内），即点确实是点、的旋心（如图）． 【小问3详解】 解：设的中点为，的垂直平分线为，点为点在上的垂足； 由（1）所得的规律，是点在上的垂足，是点在上的垂足，故，； ，，， ； 点、关于原点对称， 点是线段的中点； 由平行线等分线段定理得点是线段的中点， ，从而（点在线段的垂直平分线上）； 是等腰三角形，若它是直角三角形，则直角顶点只能是； （若直角顶点为，则由得，与矛盾（除非与重合，此时也与重合，三点不能构成三角形）；同理直角顶点不能是．） ； 设，（），且为的中点， ，； 且， ，即， ，即； ，且点是的中点，； 点、分别是点、在上的垂足，而， 等于点到过点且平行于的直线的距离，从而； 反之，当时，在过点且平行于的直线的两侧取点，使且点到该直线的距离为，再取点为点关于原点的对称点， 点、分布在点的两侧且到点的距离都为，而，， ，即为直角三角形； 为直角三角形当且仅当； 为的中点，设点为点在直线上的垂足，、（如图）， ，， ，即； 设点对应的数为，点、对应的数分别为、，则、， ，即，而，点对应为， ； ，而点、都在直线上，且， ； ，而点、都在直线上，且， ； 四边形是矩形， ； 由得； 点、分别在以点为圆心、与为半径的圆上， 可以取到与之间的每一个值， 存在这样的点、等价于； 当时，由得，解得，结合得； 当时，由得，解得，结合得； 当时，而为的中点， ，即点在上，此时、都与点重合，不能构成三角形，舍去， 的取值范围是或． 【点睛】本题考查新定义“旋心”“转心”、旋转与线段的垂直平分线、等腰直角三角形的性质以及数形结合思想．关键是由、为的中点得，由、为的中点得，从而，即“转心是旋心在的垂直平分线上的垂足”．用这一规律，（1）中直接作垂线即得转心的坐标，（2）中得并求出的范围，（3）中先证明的直角顶点只能是，把“为直角三角形”化为“点到的垂直平分线的距离不超过”，再用、与的长表示该距离，由的取值范围求出的范围，注意时点、都与点重合． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期初三年级数学练习2 考生须知 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间110分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题（共16分，每题2分，第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个） 1. 2026年是中国工农红军长征胜利90周年，下列四幅图案是同学们创作的纪念长征的主题徽标，其中图案部分为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 将抛物线的图象向上平移1个单位，则平移后的抛物线的解析式为( ) A. B. C. D. 3. 1849年，法国物理学家斐索用旋转齿轮法首次在地面上测出了光速．如图为某齿轮的示意图，齿轮边缘均匀分布着6个齿和6个齿隙．该齿轮绕其中心旋转一定角度后能与自身重合，则可以为（ ） A. B. C. D. 4. 已知二次函数（）的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 5. 年月，人大附中初三年级研学团来到杭州未来科技城，开展社会实践．在小镇的产业展厅中，同学们了解到：杭州本土机器人企业宇树科技凭借四足机器人与人形机器人的技术突破，营业收入从年的亿元快速增长至年的亿元，设该企业营业收入从年到年的年平均增长率为，则下列所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下表是代数式的部分值的情况，根据表格中的数据，则关于方程的一个正根的判断正确的是（ ） x A. B. C. D. 7. 清明前后，杭州西湖龙井茶区开始手工炒制新茶．按《西湖龙井茶手工炒制技术规程》，青锅的每锅投叶量“根据手的大小和个人习惯掌握”，特级、一级鲜叶每锅，二级、三级，辉锅每锅．某茶作坊当天采下的一批鲜叶，炒茶师傅估算：这批鲜叶若交给手掌大小不同、习惯不同的师傅炒制，每锅投叶量不同，炒完这批鲜叶所需的锅数也不同，记录如表： 每锅投叶量x（克） 100 121 150 181 200 241 需要锅数y（锅） 36 30 24 20 18 15 根据表中数据，y与x之间的函数关系最接近（ ） A. 正比例函数关系 B. 一次函数关系 C. 二次函数关系 D. 反比例函数关系 8. 如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数上一个动点，过点作坐标轴的垂线，轴上的垂足为点，轴上的垂足为点，函数的图象与线段交于点，与线段交于点（，不重合），连接，．将线段绕点逆时针旋转得到线段，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点，分别是点，的对应点）．给出下面四个结论： 四边形的面积可能为； 可能是等边三角形； 点一定在反比例函数的图象上； 连接点、、、所得到的四边形不可能是平行四边形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 在平面直角坐标系中，点（2，3）关于原点对称的点的坐标是______． 10. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实根，则m的值为______． 11. 如果一元二次方程的两个根互为相反数，那么______________ 12. 为了让学生以更好的状态迎接体考，学校安排了模拟训练．小海参加了跳远测试，可以用二次函数描述他在某次跳跃时重心高度的变化（如图），若重心高度与起跳后时间的函数表达式为，当，，时，所对应的重心高度分别记为，，，则，，的大小关系为_______．（用“<”连接） 13. 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式实质上是同一个公式，即，其中，，表示三角形的三条边长，．现有某社区计划用一段长为的篱笆围成一个三角形的绿化区域，已知这个三角形的一条边长为，则围成的三角形绿化区域面积最大为_________． 14. 老北京的胡同里曾经水井遍布——“王府井”、“三眼井胡同”这些地名，都是从水井来的．井口上大多架着一副辘轳，老辈人做辘轳时，总要把摇柄留得长一些——这不是为了好看，而是为了省力．提水时，手在摇柄上施加的力F（单位：N）与摇柄的长度L（单位：m）成反比例，其图象如图所示．若把这副辘轳的摇柄长度增大到，提起同一桶水所施加的力是________N． 15. 如图，正方形与正方形边长分别为1和，一开始边落在边上，将正方形绕点A逆时针旋转，旋转角为（）．在旋转过程中，连接，，，，四边形面积的最大值是_________． 16. 若正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点，且与一次函数的图像交于点，若，则的取值范围是___________． 三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20题6分，第21-24题，每题5分，第25题7分，第26题6分，第27-28题，每题7分） 17. 解方程：． 18. 【问题背景】如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，． （1）【发现问题】猜想线段与之间的数量关系，并说明理由； （2）【拓展应用】若，，，求四边形的面积． 19. 已知是方程的一个根，求代数式的值． 20. 如图，已知二次函数（h，k为常数）的图象经过点，． （1）计算：__________，__________； （2）根据图象，当时，y的取值范围是__________； （3）当时，x的取值范围是__________． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论为何值，方程总有实数根； （2）若方程两根均不小于1，求的取值范围． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，，． （1）若时． ①画出以点P为对称中心的图形； ②若直线l平分四边形的面积，写一个直线l的表达式__________； （2）点，的面积为S，若，则a的取值范围为__________． 23. 学校舞蹈艺术团在开学典礼上进行汇报演出．开场阶段，全体参演同学整齐排列，组成一个正方形方阵．随着音乐的推进，表演队形随之变化：首先有7名同学出列担任领舞，其余同学迅速调整站位，组成一个长方形方阵．已知该长方形方阵的列数比原正方形方阵每边人数的2倍少3，行数比原正方形方阵每边人数少5．演出谢幕时，指导老师计划让全体参演同学排成一个长方形方阵（每行和每列的人数都大于1且不相等）．问这个计划能否实现？若能，求出长方形方阵每行和每列的人数；若不能，说明理由． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点和点．记． （1）若，求a的值； （2）h是否存在最值，若存在，是最大值还是最小值，求出这个最值；若不存在，说明理由． 25. 小李在课后探究学习中遇到一个函数，类比二次函数和反比例函数对其进行探究，请回答下列问题： （1）函数的自变量x的取值范围是__________； （2）小李写出该函数x与y的部分对应值如下表： x … 1 2 4 8 … y … m 2 … ①m的值为__________； ②小李用软件画出了该函数在时的图象，请在平面直角坐标系中补全该函数的图象； （3）直接写出方程的根：__________； （4）当时，对于x的每一个值，一次函数（）的值都小于函数的值，则k的取值范围是__________． 26. 在平面直角坐标系中，点M为直线（）上的一动点，抛物线C：的顶点为M，点M的横坐标为t． （1）若，则点M的坐标__________（用含a的式子表示）；抛物线C的表达式__________（用含a的式子表示）； （2）当时，抛物线C不经过原点O，求a的取值范围． 27. 在中，，，（），以为腰构造等腰直角三角形，，，在的延长线上取点P，使得． （1）如图1，若，用等式表示与的数量关系，并证明； （2）如图2，延长至E，使得，过E作的平行线交于点F，过E作的垂线交的延长线于点G，下面有三个结论，其中所有正确结论的序号是__________，并对你选择的正确结论加以证明． ①的周长不变； ②线段与的长度和不变； ③的面积不变． 28. 对于给定的不重合的两个点，，存在点，，，，使得点绕点旋转（）得到点，点绕点旋转（）得到点（，，不共线），连接，的中点为，若，，，四点共线，且点恰为的中点，则称点为点，的旋心，点为点，，的转心．在平面直角坐标系中， （1）如图1，，，点，的旋心为点，则点，，的转心的坐标为__________； （2）如图2，，当点，的旋心为点时，若点，，的转心落在线段上（不包含端点），直接写出点横坐标的取值范围__________； （3）已知，，点，均为点，的旋心，点、分别为点，，和点，，的转心，点，关于原点对称，且，若存在点，，，，使得为直角三角形，直接写出的取值范围__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $