29.3 弧长和扇形面积 查漏补缺 2026-2027学年人教版九年级数学上册

29.3 弧长和扇形面积 查漏补缺2026-2027学年人教版 九年级数学上册 一、单选题 1．若圆的半径为1，则的圆心角所对的弧长为（　　） A． B． C． D． 2．已知圆上一段弧长为，它所对的圆心角为，则该圆的半径为（　　） A． B． C． D． 3．一定滑轮的起重装置如图，滑轮半径为，当重物上升时，滑轮的一条半径按逆时针方向旋转的度数为（假设绳索与滑轮之间没有滑动）（　　） A． B． C． D． 4．如图，正五边形的边长为2，以A为圆心，2为半径作，则图中阴影部分面积为（   ） A． B． C． D．π 5．已知圆锥底面半径为1m，母线长为2m，则该圆锥的侧面积是（   ） A． B． C． D． 6．一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面圆半径是（   ） A． B． C． D．1 7．如图，已知圆锥的母线，底面半径，则该圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角为（    ）    A． B． C． D． 8．如图，等边三角形和正方形的边长都是a，在图形所在的平面内，将以点A为中心沿逆时针方向旋转，使与重合，如此继续以点B、C、D为中心将三角形进行旋转，只需使点P回到原来位置为止即可，则点P从开始到结束所经过路径的长为（   ） A． B． C． D． 9．如图，有一块半径为，圆心角为扇形铁皮，要把它做成一个圆锥体容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥体容器的高为（    ） A． B． C． D． 10．如图，将绕点逆时针旋转得到，阴影部分为线段扫过的区域，已知，，则阴影部分面积为（     ） A． B． C． D．9 二、填空题 11．如图，的半径为2，是的内接三角形，，则图中阴影部分的面积__________．    12．如图，是一个工件的三视图，则此工件的全面积是_____cm2． 13．如图，为内接于的直径，，为上一点，，劣弧的长为______ ． 14．如图，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，点的对应点恰好落在边上，若的长为，则的长为______． 15．如图所示，圆锥的母线长，P为母线的中点，为圆锥底面圆的直径，两条母线、形成的平面夹角，在圆锥的曲面上，从点B到点P的最短路径长是________． 三、解答题 16．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)画出绕点A逆时针旋转所得的，并直接写出的长； (2)直接写出在（1）的旋转过程中线段扫过区域的面积． 17．在如图所示的扇形中，，，扇形的弧长为，求扇形的面积． 18．已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面圆上一点，点P在上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿将圆锥侧面剪开并展平，请画出所得侧面展开图． 19．某水渠的横断面是以为直径的半圆O，图1表示水渠正好盛满了水，点D是水面上只能上下移动的浮漂，是垂直水面线的发光物体且从点B发出光线，测得、分别为，，已知． (1)求的长； (2)如图2，把水渠中的水放掉一部分，得到水面线为，若的长为，求的长． 20．追本溯源 （1）如图1，从一块直径是的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，求剪出的扇形的面积；如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，求圆锥底面圆的半径是多少？ 变式探究 （2）如图2，是一块直角三角形铁皮，其中，，，以点D为顶点剪出一个面积最大的扇形组成圆锥的侧面，求此圆锥底面圆的直径． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C A C B B C C B 1．【答案】D 【知识点】求弧长 【分析】本题主要考查了弧长公式，掌握弧长公式是解题的关键． 根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：根据题意得． 故选：D． 2．【答案】B 【知识点】求扇形半径 【分析】本题主要考查了弧长公式，设该圆的半径为，根据弧长公式计算，即可求解． 【详解】解：设该圆的半径为，根据题意得： ， 解得：， 即该圆的半径为． 故选：B 3．【答案】C 【知识点】求圆心角 【分析】本题考查了弧长公式，解题的关键是理解重物上升的长度就是弧长，然后利用弧长公式进行计算． 本题理解重物上升的长度就是弧长，然后利用弧长公式进行计算，然后即可求解． 【详解】解：重物上升即是弧长， 所以根据弧长公式可求得旋转的度数， ， 解得． 故选：C． 4．【答案】A 【知识点】正多边形的内角问题、求扇形面积 【分析】本题考查了扇形面积和正多边形内角和的计算，熟练掌握扇形面积公式和正多边形内角和公式是解题的关键． 根据正多边形内角和公式求出正五边形的内角和，再求出的度数，利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：正五边形的内角和为， ∴正五边形每个内角度数为， ∴图中阴影部分面积． 故选：A． 5．【答案】C 【知识点】求圆锥侧面积 【分析】本题考查圆锥侧面积的计算，熟练掌握圆锥侧面积公式是解题的关键． 圆锥侧面积公式为，其中为底面圆半径，为母线长度，直接代入即可． 【详解】解：，， 代入公式， 故选C． 6．【答案】B 【知识点】求圆锥底面半径 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图，利用了圆的周长公式，弧长公式求解．用到的等量关系为：圆锥侧面展开图的弧长=底面周长． 【详解】解：设底面半径为R，则底面周长， 半圆的弧长， ∴． 故选：B． 7．【答案】B 【知识点】求圆锥侧面展开图的圆心角 【分析】本题考查了求圆锥的侧面展开图的圆心角．先求得圆锥底面周长，再根据此周长即为圆锥侧面展开图的扇形弧长，根据弧长公式即可求得结果． 【详解】解：由题意得， 解得． 故选：B． 8．【答案】C 【知识点】等边三角形的性质、求某点的弧形运动路径长度、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查弧长的计算和等边三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质，此题难度不大． 首先作出图形，于是可得点P所经过的路径是半径为a、圆心角分别为和和的三段圆弧，根据弧长公式即可求出总长度． 【详解】解：作图如图 点P所经过的路径是半径为a、圆心角分别为和和的三段圆弧， 故总长度为． 故选：C． 9．【答案】C 【知识点】求圆锥的高 【分析】设做成圆锥之后的底面半径为r，可得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：设做成圆锥之后的底面半径为r， 则， 解得， ∴这个圆锥体容器的高为， 故选：C． 【点睛】本题考查圆锥的计算，求出圆锥的底面半径是解题的关键． 10．【答案】B 【知识点】求图形旋转后扫过的面积、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】利用勾股定理求出，根据旋转的性质得出，，根据，利用扇形面积公式即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴ ． 11．【答案】/ 【知识点】求弓形面积 【分析】连接OA，OB．得出OA2+OB2=AB2，则∠AOB=90°，根据扇形的面积公式和三角形的面积公式可得出答案． 【详解】解：连接OA，OB．    △OAB中，OA=OB=2，AB=2， ∴OA2+OB2=22+22=8，AB2＝(2)2=8， ∴OA2+OB2=AB2， ∴∠AOB=90°， ∴S扇形OAB=，S△OAB=×2×2=2， ∴S阴影=S扇形OAB-S△OAB=π-2． 【点睛】本题考查了扇形的面积，勾股定理的逆定理，求出∠AOB=90°，是解题的关键． 12．【答案】90π 【知识点】圆锥的实际问题、由三视图还原几何体 【分析】如图，首先得知这个几何体为一个圆锥，然后根据题意得出它的半径，高以及母线长，继而求出它的全面积． 【详解】解：由图可知这个几何体是个圆锥，且它的底面圆的直径是10cm，高12cm， 则底面圆的半径是5cm， 母线长==13cm， 它的全面积=侧面积+底面积=π×5×13+π×5×5=90π(cm2)． 故答案为：90π． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，可先根据三视图确定这个几何体的形状，然后根据其表面积计算方法进行计算． 13．【答案】 【知识点】圆周角定理、求弧长 【分析】如图，连接，求出圆心角，利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，连接， 是直径，， ， ， ， 的长． 14．【答案】2 【知识点】求扇形半径、根据矩形的性质求线段长、根据旋转的性质求解 【分析】连接，，由旋转可知，根据弧长公式得，得，在中，根据勾股定理得，即，即可求出． 【详解】解：如图，连接，， 由旋转可知 ∵的长为， ， ， 四边形是矩形， ，， ∴ ∴ 在中，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧长的计算，矩形的性质和旋转的性质，熟记公式是解题的关键． 15．【答案】 【知识点】圆锥侧面上最短路径问题 【分析】求出圆锥底面圆的周长，则以为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以为半径的扇形，根据弧长公式求出展开后扇形的圆心角，求出展开后，连接，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， 圆锥底面是以为直径的圆，圆的周长是， 以为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以为半径的扇形，弧长是， 设展开后的圆心角是，则， 解得：， ∴展开后， ，， 则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长就是展开后线段的长， 由勾股定理得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，平面展开-最短路线问题，勾股定理，弧长公式等知识点的应用，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 16．【答案】(1) 解：如图所示，即为所求； (2) 【知识点】已知两点坐标求两点距离、求图形旋转后扫过的面积、根据旋转的性质求解、画旋转图形 【分析】本题主要考查了坐标与图形变换—旋转，两点间的距离公式，求图形扫过的面积，正确画出对应的图形是解题的关键． （1）根据旋转方式和网格的特点找到的位置，描出，再顺次连接，利用两点间的距离公式求出的长，即可求出的长； （2）由题意得，线段扫过的区域即为扇形，据此结合扇形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由旋转的性质可得； （2）解：由题意得，线段扫过的区域即为扇形， ∵， ∴， 由旋转的性质可得， ∴线段扫过区域的面积为． 17．【答案】 【知识点】求圆心角、求扇形面积 【分析】本题考查了扇形的弧长，扇形的面积；由弧长公式可求，即可求解；掌握和是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， ． 18．【答案】 蜗牛绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段， 又因为蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行后，又回到起始点P处，那么如果将圆锥侧面展开图还原成圆锥后，位于母线OM上的点P应该能够与母线OM′上的点（P′）重合， 如图所示： ． 【知识点】圆锥侧面上最短路径问题 【分析】本题考查圆锥的性质，立意相对较新，考查了学生的空间想象能力，运用到两点间线段最短定理． 利用圆锥的性质，由题意蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短，就用到两点间线段最短定理． 【详解】略 19．【答案】(1)3 (2) 【知识点】利用垂径定理求值、求圆心角、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了解直角三角形，垂径定理，弧长公式，含的直角三角形的性质等知识，解题的关键是： （1）在中，利用正切定义求出，然后在中，利用含的直角三角形的性质求解即可； （2）连接，利用弧长公式求出的度数，进而求出的度数，过点O作于E点，在中，利用正切定义可得出，利用勾股定理可求出，由垂径定理求出，过D作于点，则可证四边形是平行四边形，可求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ， ∵， ∴； （2）解：连接，设， ∵， ∴， ∵， ∴， 过点O作于E点， ∴， ， ∴， ， ，， ， ， 过D作于点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ， 20．【答案】（1）剪出的扇形的面积为；圆锥底面圆的半径是；（2） 【知识点】求圆锥底面半径、求扇形面积、90度的圆周角所对的弦是直径、用勾股定理解三角形 【分析】（1）连接，根据圆周角定理可知为的直径，则，再根据等腰直角三角形的性质得到，再利用扇形的面积公式求出剪出的扇形的面积；再根据弧长公式即可求出圆锥底面圆的半径； （2）过点作于点，以点为圆心，的长为半径画弧，分别交，于点，则扇形为能剪出的面积最大的扇形，利用勾股定理求出的长，利用三角形的面积公式求出的长，再利用弧长公式即可求出圆锥底面圆的直径． 【详解】解：（1）如图1，连接． ， 为的直径，即， ， 是等腰直角三角形， ， ； 设圆锥底面圆的半径为， 则， 解得， 圆锥底面圆的半径是； 综上，剪出的扇形的面积为；圆锥底面圆的半径是； （2）如图2，过点作于点，以点为圆心，的长为半径画弧，分别交，于点，则扇形为能剪出的面积最大的扇形． 在中，，， 由勾股定理得， ， ， 设圆锥底面圆的直径为， ， 解得， 圆锥底面圆的直径是． 【点睛】本题考查了圆周角定理、求圆锥底面半径、扇形的面积、弧长公式、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $