精品解析：上海市华东师范大学松江实验高级中学2026-2027学年高二上学期10月教学评估数学试卷

华实高中2026学年第一学期高二年级教学评估（2026.10） 数学试卷 完卷时间120分钟，试卷分值：150分 命题：何慧君 黄贤 审核：徐素琳 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分 1. 直线的倾斜角为_________． 2. 若直线过点，且与向量垂直，则直线的点法式方程为______ 3. 已知三点在同一条直线上，则实数a的值为______ 4. 若双曲线的焦点在x轴上，焦距为10，则实数n的值是______ 5. 双曲线的两条渐近线的夹角大小是______（用反余弦表示） 6. 经过两直线与的交点，且与直线垂直的直线一般式方程为______ 7. 已知平面上两个定点、，动点P满足，则动点P的轨迹方程为______ 8. 已知圆与圆外离，则实数t的取值范围为______ 9. 直线被椭圆所截得的弦长为，则实数t＝______． 10. 已知直线与曲线有且只有一个公共点，则实数的取值范围为________ 11. 已知直线，给出以下命题：①直线的一个法向量是；②直线的斜率是；③对任意，直线都不过原点；④存在，使直线与坐标轴围成的三角形面积小于1，所有正确命题的序号是______． 12. 焦点在x轴上的椭圆，离心率为，点分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任一点，则的取值范围为______ 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，第13、14题选对得4分，第15、16题选对得5分，否则一律得零分． 13. 设，则“”是“直线与直线相交”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 直线被圆所截得的弦长为（ ） A. B. C. 3 D. 6 15. 若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 16. 已知、为椭圆方程：的左右焦点，点在椭圆上，动点、始终满足，，则的最大值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 已知a为实数，设直线：，：. （1）若，求a的值； （2）若，求与的距离. 18. 已知圆， （1）直线过点且与圆相切，求直线的方程； （2）已知直线，求直线被圆截得的最短弦长． 19. 已知椭圆，为Γ的左、右焦点，点A在椭圆Γ上 （1）求的周长； （2）求的取值范围 20. 已知圆A与圆关于点对称， （1）求圆A的方程； （2）过点的直线l与圆A相交于M，N两点，当时，求直线l的方程； （3）已知实数x，y满足圆A的方程，求的取值范围． 21. 已知点、分别是曲线的左、右焦点，动直线过点且不过点，它与交于点、． （1）求点、的坐标； （2）若，求直线的方程； （3）设直线过点且与垂直，直线与的交点为，求证：存在唯一的常数，使得点与的中心的连线平分线段，并求此时的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华实高中2026学年第一学期高二年级教学评估（2026.10） 数学试卷 完卷时间120分钟，试卷分值：150分 命题：何慧君 黄贤 审核：徐素琳 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分 1. 直线的倾斜角为_________． 【答案】 【解析】 【分析】求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角 【详解】，则，斜率为 则，解得 故答案为 【点睛】本题主要考查了直线的倾斜角，解题的关键是求出直线的斜率，属于基础题 2. 若直线过点，且与向量垂直，则直线的点法式方程为______ 【答案】 【解析】 【详解】已知直线过点，且为直线的法向量， 根据直线点法式方程：若直线过点，法向量为， 则直线方程为， 将代入公式，得， 故直线的点法式方程为. 3. 已知三点在同一条直线上，则实数a的值为______ 【答案】 或 【解析】 【详解】因为三点在同一条直线上，显然不等于5， 所以， 所以， 所以， 即， 解得或. 4. 若双曲线的焦点在x轴上，焦距为10，则实数n的值是______ 【答案】 18 【解析】 【分析】根据焦点在轴上的双曲线的标准方程特征、焦距定义求出半焦距，再利用双曲线中的关系求解. 【详解】因为双曲线的焦点在轴上，因此该双曲线的实半轴长平方，虚半轴长平方，且， 又双曲线的焦距为10，由焦距定义得，解得半焦距， 根据双曲线的基本性质，将、、代入得：  ，即， 解得，符合的要求, 5. 双曲线的两条渐近线的夹角大小是______（用反余弦表示） 【答案】 【解析】 【详解】双曲线的渐近线方程为. 设的倾斜角为，则， 所以. 设两条渐近线的夹角为，则，且. 所以， 解得，所以. 6. 经过两直线与的交点，且与直线垂直的直线一般式方程为______ 【答案】 【解析】 【详解】联立，得， 设与直线垂直的直线方程为， 将代入得，故直线方程为 7. 已知平面上两个定点、，动点P满足，则动点P的轨迹方程为______ 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得，， 所以动点P满足， 所以点的轨迹为线段， 所以动点P的轨迹方程为. 8. 已知圆与圆外离，则实数t的取值范围为______ 【答案】 【解析】 【详解】由，得， 所以圆的圆心为，半径为； 由，得， 所以，， 且圆的圆心为，半径为； 因为两圆外离，所以， ， 所以，解得. 所以实数t的取值范围为. 9. 直线被椭圆所截得的弦长为，则实数t＝______． 【答案】 【解析】 【详解】由，得， ， 所以. 设直线与椭圆的交点为， 则， 所以弦长， 整理得，， 解得. 10. 已知直线与曲线有且只有一个公共点，则实数的取值范围为________ 【答案】或 【解析】 【分析】结合曲线的图像，通过平移直线，即可求解. 【详解】曲线，即，表示一个半圆（单位圆位于轴及轴右侧的部分）． 如图，、、， 当直线经过点时，，求得； 当直线经过点、点时，，求得； 当直线和半圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径，可得，求得，或（舍去）， 故要求的实数的取值范围为或. 故答案为：或. 11. 已知直线，给出以下命题：①直线的一个法向量是；②直线的斜率是；③对任意，直线都不过原点；④存在，使直线与坐标轴围成的三角形面积小于1，所有正确命题的序号是______． 【答案】③ 【解析】 【分析】①根据直线方程即可得出法向量；②根据直线方程即可得出斜率；③将代入直线方程，得出等式不成立，即可得出结论；④求出三角形的面积表达式，即可得出面积的范围. 【详解】由题意， 在直线中， 直线的方向向量为，法向量为，①错误； 当时，，而不存在，故②错误； 当时，代入直线方程得，，显然不存在，故对任意，直线都不过原点，③正确； 当直线和两坐标轴都相交时，交点为 ， 它和坐标轴围成的三角形的面积为 ， ∴不存在，使直线与坐标轴围成的三角形面积小于1，④错误 故答案为：③. 12. 焦点在x轴上的椭圆，离心率为，点分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任一点，则的取值范围为______ 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，从而得，设，根据向量的数量积运算即可求得的取值范围. 【详解】由椭圆的焦点在x轴上，得， 由，解得， 所以椭圆的方程为，则. 设， 则 ， 由可得， 则的取值范围为. 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，第13、14题选对得4分，第15、16题选对得5分，否则一律得零分． 13. 设，则“”是“直线与直线相交”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 求出两直线相交的充要条件是，再判断即可. 【详解】解：直线与直线相交的充分条件是，即， 由于是的充分不必要条件， 故选：A. 【点睛】利用判断充分必要性，考查了直线相交的判断，基础题. 14. 直线被圆所截得的弦长为（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先求出圆心和半径，利用弦长与半径的关系可得答案. 【详解】圆化为标准方程为：,圆心为，； 圆心到直线的距离为，所以弦长为. 故选：B. 15. 若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意知，， 所以. 所以实数k的取值范围为. 16. 已知、为椭圆方程：的左右焦点，点在椭圆上，动点、始终满足，，则的最大值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】由，，可判断点，分别在以线段，为直径的圆上，可知两圆上点的最大距离等于圆心距加上两圆的半径. 【详解】解：由题意知，，，则，，， 由，则，所以点在以线段为直径的圆上， 同理，由，可得点在以线段为直径的圆上， 设以线段为直径的圆的圆心为，半径， 以线段为直径的圆的圆心为，半径， 所以，在中，为中位线，则， 因此，当，，，四点共线，且，位于两圆外侧时，最大， 即， 由椭圆定义可知，所以. 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 已知a为实数，设直线：，：. （1）若，求a的值； （2）若，求与的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两直线的位置关系求出即可； （2）根据两直线的位置关系求出，检验并利用两平行线间的距离公式计算即可求解. 【小问1详解】 由题意知，若， 则，解得. 【小问2详解】 若，则，即，解得或. 当时，，此时， 两平行线之间的距离为； 当时，，此时重合，不符合题意. 所以两平行线之间的距离为. 18. 已知圆， （1）直线过点且与圆相切，求直线的方程； （2）已知直线，求直线被圆截得的最短弦长． 【答案】（1） 直线的方程为和 （2） 最短弦长为 【解析】 【分析】（1）圆的圆心和半径，设直线的方程为：，根据直线过点且与圆相切结合点到直线的距离公式，求得直线的方程； （2）求得直线所过定点，分析知当直线与垂直时，弦长最短，并求得最短弦长. 【小问1详解】 圆的圆心为，半径. 设直线的方程为：， 因为过点，所以，. 因为直线与圆相切， 所以，即， 化简得，， 当时，，直线 的方程为，即； 当时，，，直线 的方程为，即. 所以直线的方程为和. 【小问2详解】 由，得， 由 ，得， 所以直线过定点. 易知，当时，圆心到直线的距离最大， 因为半径为定值，所以此时弦长最短， 因为， 最短弦长为. 19. 已知椭圆，为Γ的左、右焦点，点A在椭圆Γ上 （1）求的周长； （2）求的取值范围 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】利用椭圆定义得椭圆上点到两焦点距离之和为，结合焦距计算三角形周长；将两距离乘积转化为关于单段距离的二次函数，结合距离取值范围求值域. 【小问1详解】 由椭圆，得，，故，，因此焦距. 根据椭圆的定义，对任意椭圆上的点，有， 则的周长为： . 【小问2详解】  由，可得， 设，椭圆上点到焦点的距离满足，即. 令，该函数为开口向下的二次函数，对称轴为，属于区间： 当时，取最大值； 当时，取最小值. 因此，即的取值范围为. 20. 已知圆A与圆关于点对称， （1）求圆A的方程； （2）过点的直线l与圆A相交于M，N两点，当时，求直线l的方程； （3）已知实数x，y满足圆A的方程，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 或 （3） 【解析】 【分析】（1）先由中点坐标公式，求得点A的坐标，进而得到圆A的标准方程； （2）设直线的方程为，即，根据几何法，结合点到直线的距离公式求得，从而得到直线的方程； （3）根据的几何意义，将转化为圆A上的点到定点的距离的平方即可得其取值范围. 【小问1详解】 由，得， 所以圆的圆心为，半径. 设，则，解得， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 当直线的斜率为时，其方程为， 圆心到直线的距离为，直线与圆相离，不合题意； 所以直线的斜率不为. 设直线的方程为，即. 设圆心到直线的距离为， 则，化简得， 解得或. 所以直线l的方程为或， 即或. 【小问3详解】 设圆A上任意一点，， 点在圆A外部，，， 则， 即， 所以， 所以的取值范围是. 21. 已知点、分别是曲线的左、右焦点，动直线过点且不过点，它与交于点、． （1）求点、的坐标； （2）若，求直线的方程； （3）设直线过点且与垂直，直线与的交点为，求证：存在唯一的常数，使得点与的中心的连线平分线段，并求此时的最大值． 【答案】（1）、 （2）或． （3） 【解析】 【分析】（1）求出椭圆的半焦距，可得出点、的坐标； （2）设直线的方程为，设、，将该直线方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用平面向量数量积的坐标运算以及韦达定理可求得的值，即可得出直线的方程； （3）求出线段的中点的坐标，可得出直线的斜率，将代入直线的方程，可得出点的坐标，即可求出直线的斜率，结合题意可知直线、的斜率相等，可求出的值，再求出、，即可求得的最大值. 【小问1详解】 椭圆的半焦距，故、. 【小问2详解】 由题意可知直线不与轴重合，设直线的方程为，设、， 将代入，得，则， 故，， 又，， ，解得， 所以直线的方程为或． 【小问3详解】 设线段的中点为，由（2）知，， 直线的斜率， 易知直线的方程为， 将代入直线的方程，可得， 直线的斜率， 因为直线平分线段，则，所以对任意的实数恒成立， 则，解得， 故存在唯一的常数，使得平分线段． 此时， ，所以， 令，则，故（当且仅当时，）， 所以的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $