2026-2027学年高一上学期人教A版必修第一册数学期中模拟卷1（ 范围：集合与常用逻辑用语、 一元二次函数、方程与不等式、函数的概念与性质）

人教A版2026-2027高一数学期中考试模拟卷1 范围：集合与常用逻辑用语、 一元二次函数、方程与不等式、函数的概念与性质 本卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列给出的对象中，能组成集合的是（   ） A．π的近似值 B．比较小的数 C．与给定点A，B等距离的点 D．3班的高个子同学 2．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 3．若，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 4．已知，，，则M，N的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 5．已知，，，则 的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．5 6．如果关于x的一元二次方程有一正根一负根，那么m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．若函数，则（ ） A． B． C． D． 8．已知定义在上的函数满足，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（     ） A． B．0 C．6 D．2 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选择的得部分分，有选错的得0分） 9．下列选项中的两个集合相等的是（     ） A．是正方形，是两条对角线相等的菱形 B．， C．， D．， 10．下列说法正确的是（    ） A．集合的非空真子集的个数为6 B．命题，都有，则命题的否定：，使得 C．若，则 D．⫋ 11．已知偶函数与奇函数的定义域均为，且满足，，则下列关系式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知集合，，，则____． 13．正实数满足，则的最小值为_____. 14．已知函数，当时的单增区间是_________；若且，使得成立，则实数的取值范围为_________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤．） 15．已知集合. (1)若中至少有一个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围. 16．已知函数 (1)若，求不等式的解集； (2)若关于的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围； (3)求关于不等式：的解集. 17．已知集合，． (1)当时，求实数的范围； (2)设；，若是的必要不充分条件，求实数的范围． 18．已知定义在上的函数满足． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并利用单调性定义证明； (3)任意，对任意，，都有，求实数的取值范围． 19．已知幂函数是偶函数． (1)求的解析式； (2)设，求在区间上的最小值的解析式： (3)在（2）的条件下，若对任意的实数，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 《2026-2027高一数学期中考试卷检测卷1》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B A C D D A AB AC 题号 11 答案 ABD 1．C 【分析】根据集合的定义逐项判断. 【详解】对于A，描述的对象“的近似值”中，“近似值”没有给出精确度， 该对象不具有确定性，故A中的对象不能构成集合； 对于B，描述的对象“比较小的数”中，“比较小”没有明确的界定标准， 该对象不具有确定性，故B中的对象不能构成集合； 对于C，描述的对象“与给定点A，B等距离的点”确定，是线段的垂直平分线， 故C中的对象能构成集合； 对于D，描述的对象“班的高个子同学”中，“高个子”没有明确的界定标准， 该对象不具有确定性，故D中的对象不能构成集合. 2．B 【详解】根据并集的定义：由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，就是与的并集. 因为，， 所以． 3．B 【详解】或， 由“或”不能推出“”，即“”不能推出“”； 由“”可以推出“或”，即“”可以推出“”； 所以“”是“”的必要非充分条件. 4．A 【详解】， ，， 所以，即. 5．C 【详解】因为，，， 所以， 当且仅当即时取等号. 所以的最小值为6. 6．D 【详解】设两根为，，方程有一正根一负根，则，解得； 7．D 【详解】令，因为，所以，所以，且， 则，， 所以． 8．A 【分析】利用为奇函数，为偶函数，判断函数的周期，利用，可求、、的值，再用公式计算平方和，并利用周期将化简即可求解. 【详解】因为为奇函数，则函数关于点中心对称， 又因为偶函数，则函数关于直线轴对称，故函数有一个周期为4， 因，结合，可得， 又因，令得， 当时，，则有，解得， 即当时，， 根据恒等式：， 令， ， ， ， ， 左右两边分别相加得： ， 即， 所以 ， 所以， 因为除以周期4得余数为2， 则. 9．AB 【详解】对于A，因为两条对角线相等的菱形就是正方形，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，，，，故C错误； 对于D，因为集合是数集，集合是点集，所以，故D错误. 10．AC 【分析】求出集合的非空真子集的个数，即可判断A；由全称命题的否定为特称命题，可判断B；由集合、都表示由所有奇数组成的集合，即可判断C；由空集不能是空集的真子集，即可判断D. 【详解】对于A，因为集合有3个元素， 所以其子集共有个， 所以其非空真子集有个，故A正确； 对于B，由全称命题的否定为特称命题可知命题的否定为：，使得，故B错误； 对于C，由题意可知集合、都表示由所有奇数组成的集合，所以，故C正确； 对于D，因为， 而空集不能是空集的真子集，故D错误. 11．ABD 【分析】运用代入法，结合奇函数和偶函数的性质逐一判断即可. 【详解】对于选项A：由，所以本选项关系式一定成立； 对于选项B：由， 由， ，得，本选项关系式一定成立； 对于选项C：因为是定义域为的奇函数，所以， 而，故本选项关系式不成立； 对于选项D：，则，即. ，， ，即， 为偶函数，， ，， 所以，所以本选项关系式一定成立. 12． 【分析】根据交集的性质进行求解即可. 【详解】因为， 所以. 13． 【分析】根据题意，利用基本不等式即可求解. 【详解】因为， 所以 因为，则， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 14． 和 【分析】当时，利用分段函数的基本性质可求出函数的递增区间；对实数进行分类讨论，讨论与的大小关系，结合可得出关于的等式，综合可得出实数的取值范围． 【详解】①：当时，， ：是开口向下的二次函数，对称轴为，因此在上单调递增，在上单调递减； ：是斜率为正的一次函数，因此在上单调递增； 因此的单增区间为和； ②：若，则，则，合乎题意； 若时： 若，则，显然若， 由于函数在上单调，故； 若，由可得， 整理得，解得或， 所以，解得， 且，解得，合乎题意，此时且； 若，由可得， 整理得，因为，解得，此时， 则，合乎题意， 综上所述，实数的取值范围是． 15．(1) (2)或 【详解】（1）当时，方程为，解得，集合有 1 个元素，满足条件. 当时，方程是一元二次方程，，解得且. 综上，. （2）当时，方程，有 1 个根，满足至多 1 个元素. 当时，一元二次方程要求，解得. 综上，或. 16．(1) (2) (3)当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为. 【分析】（1）解不含参数的一元二次不等式可得答案； （2）令，可得，符合题意，即可得结果； （3）分类讨论，比较根的大小，解含参数的一元二次不等式. 【详解】（1）当时，， 由可得，解得， 所以不等式的解集为. （2）不等式不是空集，即有解， 当时，可得，即有解， 所以实数的取值范围为. （3）由可得，且，则， 当即时，不等式的解为或； 当即时，不等式的解为； 当即时，不等式的解为或. 综上：当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为. 17．(1) (2) 【详解】（1）当时，即. （2）由题可得是的真子集， 当时，则； 当时，，则（等号不同时成立），解得 综上，实数的范围为． 18．(1) (2)在单调递减，证明如下： 任意，设， ， 由，得，， ，且， ， 则，得， 则在单调递减． (3) 【分析】（1）根据解方程组法求解析式即可； （2）任意，设，计算，可得，根据单调性定义即可证明； （3）由（2）可知在上单调递减，同理可证在上单调递增，根据函数的单调性可得，，根据恒成立问题可得，所以，使得，再根据恒成立问题可得，求出最大值即可求解. 【详解】（1），得， 两式相加，得，得． （2）略 （3）由（2）可知在上单调递减，同理可证在上单调递增， ， ，， 任意，，都有， ， 所以，使得，， ，， 由在上单调递增可知， . 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用幂函数的定义及奇偶性求出解析式. （2）由（1）的结论求出，按分类并结合二次函数性质求出最小值. （3）求出当时，在上的最大值，进而建立不等式，利用恒成立求解. 【详解】（1）由幂函数，得，解得或， 当时，是奇函数，不符合题意；当时，是偶函数，符合题意， 所以的解析式为. （2）当时，由（1）得， 当，即时，在上单调递增，； 当，即时，若，则；； 若，则，； 当，即时，在上单调递增，在上单调递减 ，由，得， 当时，；当时，； 当时，在上单调递增，， 所以. （3）由（2）知，当时，在上单调递增，； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 而，， 因此当时，， 由对任意的实数，总存在，使得成立， 得对任意的实数，不等式恒成立， 而当时，，于是，解得， 所以实数的取值范围是. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $