高一数学上学期期中模拟卷（人教A版必修第一册第一章～第三章，高效培优·强化卷）

2026-2027学年高一数学上学期期中模拟卷 考试版 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第一册第一章~第三章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 2．已知集合，集合，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．已知为正数，且，则 （ ） A． B． C． D． 4．关于的不等式的解集有下列说法，其中正确的个数是（     ） ①不等式的解集可以是 ②不等式的解集可以是 ③不等式的解集可以是 ④不等式的解集可以是 A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知定义在上的偶函数，若对于任意不等实数都满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数的定义域为，且，，则（   ） A． B． C． D． 7．已知函数的定义域为，则实数的取值集合为（     ） A． B． C． D． 8．“兮”字是《离骚》中出现频率最高的字，在《离骚》中几乎每个上句句末都出现，起舒缓语气、调节节奏、增强咏叹感的作用. 帝高阳之苗裔兮，朕皇考曰伯庸. 摄提贞于孟陬兮，惟庚寅吾以降. 皇览揆余初度兮，肇锡余以嘉名. 名余曰正则兮，字余曰灵均. 纷吾既有此内美兮，又重之以修能. 扈江离与辟芷兮，纫秋兰以为佩. 汩余若将不及兮，恐年岁之不吾与. 朝搴阰之木兰兮，夕揽洲之宿莽. 上述这段选自《离骚》，共有8行，若从左到右数第行中的“兮”字是位于该行的第个字，则，例如：第1行“帝高阳之苗裔兮，朕皇考曰伯庸”中的“兮”字是位于该行的第7个字，所以.那么（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列各结论中正确的是（   ） A．“”是“”的充要条件 B．设，则“”是“函数图象在x轴上方”的充分不必要条件 C．设，则“”是“”的必要不充分条件 D．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 10．设正实数x，y满足，则（    ） A．有最大值为1 B．有最小值为4 C．有最小值为 D．有最大值为 11．已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则下列说法正确的是（     ） A．是函数的一个周期 B．的图象关于直线对称 C．在上单调递减 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．集合 满足 ，则集合的个数为________． 13．已知，，，则的最小值为_________． 14．若命题“，，使成立”为真命题，则实数a的取值范围为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）设全集，集合，． (1)，求实数a的取值范围; (2)若，求实数的取值范围． 16．（15分）已知函数． (1)若关于的不等式的解集是，求实数的取值范围； (2)求关于的不等式的解集． 17．（15分）已知函数，． (1)证明：对任意，； (2)根据定义证明在区间上单调递增； (3)求的解集． 18．（17分）某校要建造一个高为，底面积为，且一面靠墙的长方体形状的体育馆，其中背面利用原有墙体.甲工程队报价为：体育馆前面新建墙体的报价为每平方米300元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米500元，屋顶和地面以及其他报价共计18000元.设体育馆左墙的长度为，且. (1)当左墙的长度为多少时，甲工程队报价最低? (2)现有乙工程队也参与此体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（报价低的工程队竞标成功），求的取值范围. 19．（17分）已知定义在上的函数满足：①；②当时，． (1)求的值； (2)证明：在上单调递增； (3)解不等式． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第一册第一章~第三章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】含量词命题否定的改写规则为：改量词，否结论． 所以命题“”的否定是“”． 2．已知集合，集合，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，解得或， 因为，所以， 当时，，此时满足， 当时，令，解得， 此时得到，解得， 当时，令，解得， 可得，解得，综上可得，故B正确. 3．已知为正数，且，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，由于为正数，且，则，所以，故A错误； 对于B，由可得，则，当且仅当时取等号，故B错误； 对于C，由可得，则， 由选项A可知，，所以，，即，故C错误； 对于D，由可得，此时，当且仅当时取等号，所以，故D正确. 4．关于的不等式的解集有下列说法，其中正确的个数是（     ） ①不等式的解集可以是 ②不等式的解集可以是 ③不等式的解集可以是 ④不等式的解集可以是 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】①当且时，二次函数图象开口向上，与轴无交点，恒成立，解集为，①正确. ②若解集为，不等式只能是一次不等式，即， 不等式化为，解得，令，得，不等式为，解集为，②正确. ③若解集是空集，则要求对任意实数都不成立，即恒成立. 如果不可能恒成立；如果，二次函数要恒小于等于 0 必须， 此时二次函数最大值，但常数项为3，当时代入得，一定满足不等式，解集不可能为空集，③错误. ④若解集为，说明，方程两根为， 由根与系数的关系得，，解得，，得， 不等式，即，解集为，④正确. 综上，①②④正确，一共 3 个. 5．已知定义在上的偶函数，若对于任意不等实数都满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为对于任意不等实数都满足， 即当时，；时， 故在区间上单调递增． 因为是定义在上的偶函数，则， 所以不等式， 又，由在区间上单调递增， 则，即，解得或， 所以不等式的解集为. 6．已知函数的定义域为，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由， 则， 即， 所以函数为偶函数， 则， 又， 则， 则， 则， 则， 所以函数是周期为12的偶函数． 在中， 取，则， 又由，则， 所以． 7．已知函数的定义域为，则实数的取值集合为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数的定义域为，即对任意的，恒成立， 当时，则有，符合题意； 当时，则有，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 8．“兮”字是《离骚》中出现频率最高的字，在《离骚》中几乎每个上句句末都出现，起舒缓语气、调节节奏、增强咏叹感的作用. 帝高阳之苗裔兮，朕皇考曰伯庸. 摄提贞于孟陬兮，惟庚寅吾以降. 皇览揆余初度兮，肇锡余以嘉名. 名余曰正则兮，字余曰灵均. 纷吾既有此内美兮，又重之以修能. 扈江离与辟芷兮，纫秋兰以为佩. 汩余若将不及兮，恐年岁之不吾与. 朝搴阰之木兰兮，夕揽洲之宿莽. 上述这段选自《离骚》，共有8行，若从左到右数第行中的“兮”字是位于该行的第个字，则，例如：第1行“帝高阳之苗裔兮，朕皇考曰伯庸”中的“兮”字是位于该行的第7个字，所以.那么（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】因为第4行中的“兮”字是位于该行的第6个字，第6行中的“兮”字是位于该行的第7个字，所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列各结论中正确的是（   ） A．“”是“”的充要条件 B．设，则“”是“函数图象在x轴上方”的充分不必要条件 C．设，则“”是“”的必要不充分条件 D．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 【答案】AD 【详解】对于，充分性：由得或，故， 必要性：由得或，故， 所以“”是“”的充要条件，故A正确； 对于B，充分性：当且时， 函数的图象在x轴上方；充分性不成立 必要性：若,此时函数的图象在x轴上方，但，必要性不成立. 故“”是“函数的图象在x轴上方”的既不充分也不必要条件，故B错误； 对于C，充分性：当时，成立，充分性成立 必要性：当时，或，必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件，故C错误； 对于D，方程有一个正根和一个负根的充分必要条件为 且，解得. 因为， 所以“”是“方程x2+x+a=0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，故D正确. 10．设正实数x，y满足，则（    ） A．有最大值为1 B．有最小值为4 C．有最小值为 D．有最大值为 【答案】ACD 【详解】对于A，由基本不等式可得，因为，所以， 当且仅当时等号成立，此时有最大值为1，故A正确； 对于B，因为，所以， 根据选项A可知，所以，即， 当且仅当时等号成立，此时有最小值为2，故B错误； 对于C，因为，所以， 所以， 当且仅当，解得时等号成立， 此时有最小值为，故C正确； 对于D， 又因为，则， 即，所以， 当且仅当，即时等号成立， 此时有最大值为，故D正确. 11．已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则下列说法正确的是（     ） A．是函数的一个周期 B．的图象关于直线对称 C．在上单调递减 D． 【答案】ABD 【详解】对于A选项，对任意的，， 所以，故是函数的一个周期，A对； 对于B选项，因为定义在上的奇函数满足， 所以，故函数的图象关于直线对称，B对； 对于C选项，当时，， 此时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 故函数在上不单调，C错； 对于D选项，因为函数是定义在上的奇函数，所以， 由可得，， 当时，，则， 当时，，则， 所以， 因为是函数的一个周期，且， 故 ，D对. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．集合 满足 ，则集合的个数为________． 【答案】 【详解】因为， 所以集合必包含，再加中至少一个， 则集合的个数为集合的非空子集个数. 13．已知，，，则的最小值为_________． 【答案】2 【详解】令，，则． 由题设等式两边同乘，得． 因为，所以，从而． 当、时，，，且，故满足题设条件并有． 因此的最小值为． 14．若命题“，，使成立”为真命题，则实数a的取值范围为_______. 【答案】 【详解】令，， 则，当且仅当，即时，等号成立， 又，， 所以当时，. 若命题“，，使成立”为真命题， 只需，恒成立，即，恒成立. 令，则需在上恒成立. 二次函数的图象开口向上，对称轴为. 当，即时，， 则，解得，故此时无解. 当，即时，， 则，整理得，解得，故此时. 当，即时，， 则，解得，故此时. 综上，. 故实数a的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）设全集，集合，． (1)，求实数a的取值范围; (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)​ (2)​ 【详解】（1）因为，所以． 方程可化为，所以． 由，得，解不等式组，得． （2）由，等价于，中至少一个属于，即或． 解得或，合并得． 16．（15分）已知函数． (1)若关于的不等式的解集是，求实数的取值范围； (2)求关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2)当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为． 【详解】（1）不等式． 若即，不等式可化为，恒成立； 若，即，由得解集为， 所以，解得． 综上，，即实数的取值范围为． （2）由 若，则不等式可化为； 若，则不等式可化为； 若，则不等式可化为． 当，即时，不等式的解为或； 当，即时，不等式的解为； 当，即时，不等式的解为或 综上：当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为． 17．（15分）已知函数，． (1)证明：对任意，； (2)根据定义证明在区间上单调递增； (3)求的解集． 【答案】(1)因为，所以，所以， 所以． (2)证明：任取，且， 则， 因为，，，所以， 所以，即在上单调递增． (3)． 【详解】(1)因为，所以，所以， 所以． (2)证明：任取，且， 则， 因为，，，所以， 所以，即在上单调递增． （3）因为，所以． 由（2）知在上单调递增，所以，解得， 故不等式的解集为． 18．（17分）某校要建造一个高为，底面积为，且一面靠墙的长方体形状的体育馆，其中背面利用原有墙体.甲工程队报价为：体育馆前面新建墙体的报价为每平方米300元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米500元，屋顶和地面以及其他报价共计18000元.设体育馆左墙的长度为，且. (1)当左墙的长度为多少时，甲工程队报价最低? (2)现有乙工程队也参与此体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（报价低的工程队竞标成功），求的取值范围. 【答案】(1)米 (2) 【详解】（1）设甲工程队的总造价为元， 由左墙的长度为，得前面新建墙体长为， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故当左墙的长度为米时，甲工程队的报价最低. （2）由题意得，对任意恒成立， 即对任意恒成立，所以. 因为， 当且仅当，，即时，取得最小值， 所以，故的取值范围是. 19．（17分）已知定义在上的函数满足：①；②当时，． (1)求的值； (2)证明：在上单调递增； (3)解不等式． 【答案】(1) (2)对任意，． 若存在使，则，与矛盾， 故． 任取，，且，则，所以． 又． 因为，且，所以， 因此在上单调递增． (3)或． 【详解】（1）令， 所以或者． 若，则对任意，有， 这与题设②矛盾，因此． (2)对任意，． 若存在使，则，与矛盾， 故． 任取，，且，则，所以． 又． 因为，且，所以， 因此在上单调递增． （3）由（2）知，， 即， 解得或， 故原不等式的解集为或． 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学上学期期中模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D B D C D A D B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AD ACD ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．2 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）因为，所以． 方程可化为，所以． 由，得，解不等式组，得．（7分） （2）由，等价于，中至少一个属于，即或． 解得或，合并得．（13分） 16．（15分） 【解析】（1）不等式． 若即，不等式可化为，恒成立； 若，即，由得解集为， 所以，解得． 综上，，即实数的取值范围为．（4分） （2）由 若，则不等式可化为； 若，则不等式可化为； 若，则不等式可化为． 当，即时，不等式的解为或； 当，即时，不等式的解为； 当，即时，不等式的解为或（12分） 综上：当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为．（15分） 17．（15分） 【解析】(1)因为，所以，所以， 所以．（4分） (2)证明：任取，且， 则， 因为，，，所以， 所以，即在上单调递增．（10分） （3）因为，所以． 由（2）知在上单调递增，所以，解得， 故不等式的解集为．（15分） 18．（17分） 【解析】（1）设甲工程队的总造价为元， 由左墙的长度为，得前面新建墙体长为， 所以（4分） ， 当且仅当，即时，等号成立， 故当左墙的长度为米时，甲工程队的报价最低.（9分） （2）由题意得，对任意恒成立， 即对任意恒成立，所以. 因为， 当且仅当，，即时，取得最小值， 所以，故的取值范围是.（17分） 19．（17分） 【解析】（1）令， 所以或者． 若，则对任意，有， 这与题设②矛盾，因此．（4分） (2)对任意，． 若存在使，则，与矛盾， 故．（7分） 任取，，且，则，所以． 又． 因为，且，所以， 因此在上单调递增．（12分） （3）由（2）知，， 即， 解得或， 故原不等式的解集为或．（17分） 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $