2026-2027学年高一上学期数学人教A版期中模拟卷2 （第1-2章+3.1）

《2026-2027学年度高中数学期中考试模拟卷2》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D D D D B D ABD BCD 题号 11 答案 BC 1．B 【详解】由，可得，所以，又， 根据交集的定义，是由所有既属于集合又属于集合的元素构成的集合， 因此需满足不等式组，取两个解集的公共部分，可得， 即． 2．C 【详解】由，得；由，得， 所以“”是“”的充要条件. 3．D 【详解】A.根据等式的性质，可知如果，那么，正确，不符合题意； B.根据等式性质，可得如果，那么，正确，不符合题意； C.根据等式性质，可知如果，那么，正确，不符合题意； D.根据不等式的性质，如果，那么，所以，故此选项错误，符合题意. 4．D 【分析】根据题意，分别求得和，结合集合交集的定义与运算，即可求解. 【详解】由不等式，可得，解得， 可得集合， 又由函数，可得，解得，可得集合， 根据集合交集的定义与运算，可得 5．D 【分析】先求得函数为上的偶函数，再由，结合选项，即可求解. 【详解】由函数，可得其定义域为，且， 所以函数为上的偶函数，可得的图象关于轴对称，可排除A，B项； 又因为，可排除选项C， 所以函数的部分图象可能是选项D. 6．D 【分析】令，由当时，，当时，，结合恒成立，得到，即，再利用基本不等式求解. 【详解】令， 当时，，当时，， 因为恒成立，所以当时，， 当时，， 又是连续函数，所以当时，，即， 又，则，若，则， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是4. 7．B 【分析】由题意建立等式，再结合基本不等式即可求解. 【详解】由题意得，因为， 所以， 易知，所以， 因为， 则有， 即，即， 因为，所以， 即，所以， 所以. 8．D 【分析】先判断函数的单调性，再结合偶函数性质把函数不等式转化为绝对值不等式，平方求解一元二次不等式即可得到解集. 【详解】因为对于任意不等实数都满足， 即当时，；时， 故在区间上单调递增． 因为是定义在上的偶函数，则， 所以不等式， 又，由在区间上单调递增， 则，即，解得或， 所以不等式的解集为. 9．ABD 【分析】结合实数、空集定义直接判断命题的真假即可. 【详解】对于A，该命题等价于所有无理数都是实数，为真命题； 对于B，显然为真命题； 对于C，显然不成立，为假命题； 对于D，取，能使是整数，为真命题． 10．BCD 【分析】对于A，结合命题否定的定义，即可求解，对于B，结合配方法，即可求解，对于C，解出方程的解，即可求解，对于D，结合韦达定理，以及二次函数的判别式，即可求解． 【详解】对于A，“，使得“的否定是“，均有“，故A错误， 对于B，，故B正确， 对于C，，解得或， 故““是“”的必要不充分条件，故C正确， 对于D，，的判别式为正数，两根积为，， 故方程为一正，一负两根， 关于的方程有一正根、一负根， 则，解得， 故““是“关于的方程有一正根、一负根”的充要条件，故D正确． 11．BC 【分析】对于A，根据一元二次方程无实根，求得判别式满足的条件，然后借助二次函数图象解决一元二次不等式的解的问题；对于B，根据一元二次不等式解法计算求解；对于C，最高次为二次的不等式恒成立问题，结合对应的二次函数的开口方向和判别式进行求解；对于D，利用换元法，简化函数，再利用新函数的单调性进行求解． 【详解】对于A，关于x的方程没有实数根，则． 对于关于的不等式，令，且． 但由于的取值正负不确定， 若，抛物线开口向上，则对所有实数都成立； 若，抛物线开口向下，则无实数解．故A错误； 对于B，关于的不等式的解集是， 则，解得，故B正确； 对于C，令， 若关于的不等式的解集为， 则需满足，且， 解得，故C正确； 对于D，对于函数，令，则． 由对勾函数性质可知，函数在区间上单调递增， 所以最小值为时的值，即，故D错误． 12． 【分析】根据幂函数的定义、函数的单调性及奇偶性求解即可. 【详解】因为幂函数是上的偶函数， 则，解得或. 当时，，该函数是奇函数，不符合题意； 当时，，该函数是定义域为的偶函数，符合题意， 所以，则，其对称轴方程为， 因为在区间上单调递减，则. 故实数的取值范围为. 13．1 【分析】根据权方和不等式：计算式子的最小值． 【详解】 ； 当且仅当，即时，等号成立，故最小值为1． 14． 【分析】根据奇函数的性质结合一元二次不等式的解法可求不等式的解集. 【详解】因为满足，所以为奇函数，结合图象可知， 当或时，；当或时，. 对于可分为两种情况： 情况一：，即，解得， 情况二：，即，解得， 所以不等式的解集为. 15．(1) (2)4 【分析】（1）根据题干中给出的新定义可知，集合表示两集合的并集元素去掉两集合的交集元素，由此得到新集合； （2）根据新定义集合所给的定义方法及组合数公式对集合元素个数进行判断． 【详解】（1）因为， 故； （2）因为，， 设，则，因为， 故符合条件的的个数为． 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）当，解，即可得答案； （2）分类讨论二次项系数和； （3）分类讨论和，当时，因式分解求得两根分别为1和，再分类讨论1和的大小关系即可. 【详解】（1）当时，， 由，解得， 所以实数的取值范围为． （2）因为对一切实数恒成立， 所以对一切实数恒成立，     当时，由，解得，不符合题意；     当时，需满足解得．     综上所述，实数的取值范围为． （3）由，得，     若，则集合，不满足．     若，则方程的根为和， ， 若，则抛物线的开口向上， 当时，，则或， 若满足，则，解得；     当时，，则或，满足；     当时，，则，满足；     若，则抛物线开口向下，， 故，不满足．     综上所述，实数的取值范围为． 17．， ， 当且仅当，即，时，等号成立， . 【分析】结合“”的妙用，利用基本不等式直接证明. 【详解】略 18．(1)偏差为，偏差点为； (2)偏差最小值为；此时； (3)法1：要证是在上切比雪夫意义下的最佳逼近直线， 则恒成立， 令， 因为，所以只要证， 即证，设， 则，，，所以， 即，当且仅当，即，等号成立. 法2：假设存在另一条直线，它与函数，的偏差小于， 则对于任意有，即（1），（2）， （3），由（1）（3）得，由（2）（3）得矛盾， 所以假设不成立，从而直线是函数在上的最佳逼近直线. 法3，令. 当，，其最大值只会在区间端点处产生，则， 表示到数轴上两数距离的最大值，为使该最大值最小，则取数轴上两数对应点中点对应数 1， 从而此时，取等号时； 当，，则其最大值可能在时产生， 从而，表示到数轴上数字距离的最大值. 为使该最大值最小，则应取三者中最大，最小两数所对应两点中点处所对应的数. 若，则，则此时， 当且仅当时取等号； 若，且，即时，，因，由双勾函数性质 可得，则，取等号时； 当时，注意到，则此时. 综上的最小值为，对应，即为的最佳逼近直线. 【分析】（1）根据“偏差”的概念，一元二次函数的性质，即可求解； （2）根据“偏差”的概念，利用函数的单调性，分类讨论，即可求解； （3）根据“偏差”的概念，建立函数模型，通过函数思想，即可求解．法1，只要证即可；法2，利用反证法，证明不存在直线与函数，的偏差小于即可；法3，分类讨论的取值情况，求解，即可完成证明. 【详解】（1）记， 当时，又， 故，所以偏差为，偏差点为； （2）设， 当时，， 所以 ， 要使最大值（即偏差）最小，则，此时偏差最小值为. （3）略. 【点睛】本题涉及概念：切比雪夫最佳逼近直线，求解切比雪夫最佳逼近直线的关键为去掉绝对值和分类讨论，此外进一步学习之后，也可以用切比雪夫交错定理解决问题. 19．(1) (2) (3)或 【分析】(1)由两点函数值相等，直接求出对称轴，结合最小值优先用顶点式求二次函数； (2)解一元二次不等式，先移项整理，因式分解，结合开口方向写出解集； (3)闭区间上二次函数求最值，核心是比较对称轴和区间的位置关系，分对称轴在区间内、区间左、区间右三类讨论. 【详解】（1）由和函数值相等，得对称轴为， 因为二次函数的最小值为， 所以设二次函数的顶点式为，又图象过点， 所以，得，故， 故该二次函数的解析式； （2）不等式，即为，所以， 即，得， 故不等式的解集是； （3）对称轴为，开口向上，分三类讨论： 当，即，此时最小值在，，舍去， 当，即，函数在上单调递增， 所以二次函数在取得最小值， 故，得或， 不满足，舍去，得； 当，即，函数在单调递减， 所以二次函数在 取得最小值， 故，得或， 不满足，舍去，得. 综上， 或 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版2026-2027高一数学期中考试卷模拟卷2 范围：集合与常用逻辑用语、 一元二次函数、方程与不等式、函数的概念与性质 本卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．若，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．下列变形错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 4．已知，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知函数的部分图象可能是（    ） A． B． C． D． 6．已知，函数，若恒成立，则的最小值为（   ） A．-2 B．2 C． D．4 7．某工厂第一年的产量为，第二年的增长率为，第三年的增长率为（），这两年的平均增长率为，则（   ） A． B． C． D． 8．已知定义在上的偶函数，若对于任意不等实数都满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选择的得部分分，有选错的得0分） 9．下列四个命题中，是真命题的有（　　） A．没有一个无理数不是实数 B．空集是任何一个非空集合的真子集 C． D．至少存在一个整数，使得是整数 10．下列命题是真命题的是（   ） A．命题“，使得“的否定是“，均有“ B．， C．““是“”的必要不充分条件 D．““是“关于的方程有一正根、一负根”的充要条件 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 11．下列命题是真命题的是（     ） A．若关于的方程没有实数根，则关于的不等式的解集为 B．关于的不等式的解集是，则的取值范围是 C．若关于的不等式的解集为，则 D．若，则的最小值为2 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是____________.（用区间表示） 13．已知，则的最小值为________． 14．定义域在上的函数，满足，若当时，的图象如图所示，则不等式的解集为_________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤．） 15．对集合，定义集合，记为有限集合的元素个数． (1)若，求； (2)给定集合的子集，求集合的元素个数； 16．已知函数． (1)当时，若，求实数的取值范围； (2)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (3)设集合，关于的不等式的解集为，当时，求实数的取值范围． 17．已知，证明：. 18．俄国数学家切比雪夫（1821-1894）是研究直线逼近函数的理论先驱.设是定义在上的连续函数，称为与直线的偏差.若存在使得，则称为直线的偏差点.记，若存在使得，则称为在切比雪夫意义下的最佳逼近直线. (1)函数，，，求，的偏差以及偏差点； (2)函数，，，求，的偏差的最小值，并求出取得最小值时的值； (3)证明：直线是函数在上的最佳逼近直线. 19．已知二次函数满足以下条件：①图象过点；②时的函数值与时的函数值相等；③函数的最小值为. (1)求该二次函数的解析式； (2)解不等式; (3)当时，该二次函数的最小值为0，求实数的值. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $