2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册期中培优卷1 （ 范围：集合与常用逻辑用语、 一元二次函数、方程与不等式、函数的概念与性质）

人教A版2026-2027高一数学期中考试卷培优卷1 范围：集合与常用逻辑用语、 一元二次函数、方程与不等式、函数的概念与性质 本卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若命题：，，则命题的否定为（   ） A．， B．， C．， D．， 2．已知集合，，则（     ） A． B．或 C．或 D．或 3．《齐民要术》是中国杰出农学家贾思勰（xié）所著的一部综合性农学著作，也是中国现存最早的一部完整的农书，被誉为“中国古代农业百科全书”.书中有一句为“顺天时，量地利，则用力少而成功多”；大意是说根据规律办事，就可以用较少的力收获更多的成功.则“用力少而成功多”是“顺天时，量地利”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 4．已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．某商店迎来店庆，为了吸引顾客，采取“满一百送二十，连环送”的酬宾促销方法，即顾客在店内花钱满元（可以是现金，也可以是奖励券或二者合计），就送元奖励券；满元，就送元奖励券；满元，就送元奖励券，由此类推当日花钱最多的一位顾客共花出现金元，如果按照酬宾促销方式，他最多能得到优惠（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 6．函数的图象大致为（     ） A． B． C． D． 7．设，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．若关于的不等式的正整数解只有1个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选择的得部分分，有选错的得0分） 9．已知集合只有一个元素，则实数的取值可以是（   ） A．0 B．1 C． D． 10．已知，则（     ） A． B． C． D． 11．已知函数，则（   ） A． B． C．在区间上单调递减 D．在区间上的最小值为1 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知是定义在上的奇函数，当时，．若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是_________． 13．已知函数，若数列满足， （1）若为递增函数，则的取值范围为______； （2）若是递增数列，则的取值范围为______. 14．已知，若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为___________. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤．） 15．已知集合. (1)若集合A中有两个元素，求实数a的取值范围； (2)若集合A最多有两个子集，求实数a的取值范围. 16．已知：，，若非是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 17．已知定义在上的二次函数满足，且有最小值. (1)求函数的单调区间； (2)若 ，且在上的最小值为1，讨论在的最大值. 18．已知函数. (1)判断函数在上的单调性并用定义证明； (2)若函数满足不等式，求实数的取值范围. 19． (1)若，求的取值范围； (2)证明：是中心对称图形； (3)，当且仅当时成立，求的范围． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B A C D C A AB ABD 题号 11 答案 ABD 1．C 【详解】命题“，”的否定是，. 2．D 【详解】 或 3．B 【详解】设：为顺天时，量地利；为用力少而成功多， 原文：顺天时，量地利，则用力少而成功多，也就是， 所以“用力少而成功多”是 “顺天时，量地利”的必要条件. 4．A 【详解】已知函数的定义域为， 因此中括号内整体的取值范围与的定义域一致，即满足： ， 解得， 又因为函数表达式为分式，分母为偶次根式，需满足被开方数大于0（分母不能为0），即： ， 解得， 取两个解集的交集，得的定义域为. 5．C 【分析】利用奖励规则，先拆分元，现金得券，依次循环消费逐步计算出每次奖励券，再对奖励券求和即可. 【详解】这位顾客花的元可得奖励券（元），只有这位顾客继续把奖励券全部消费掉，他才能得到最多优惠，但当他把（元）奖励券消费掉可得到（元）奖励券，元奖励券又可得到（元）奖励券，元再加上先前的中的元共消费元应得奖励券（元），元奖励券消费时又得元奖励券，所以他总共会得到（元）优惠． 6．D 【详解】由题意可知，函数 的定义域为 ， ， 所以函数 为奇函数， 其图象关于原点对称，故排除选项C； 当时，，， 所以， 即轴右侧的图象应在轴上方，故排除选项B； 当时，， 当 时，， 排除选项A，选项D符合题意. 7．C 【分析】利用充分不必要条件的性质将问题转化为恒成立问题，再结合分离参数法求解参数即可. 【详解】因为是的充分不必要条件， 所以对于，恒成立， 化简可得恒成立，令， 则即可，令， 由二次函数性质得对称轴为，而，，， 则，即，可得，故C正确. 8．A 【分析】通过因式分解简化不等式，再结合参数符号分析解集范围，最终根据正整数解的数量限制确定参数的取值范围. 【详解】由，得． 当时，该不等式的解集中有无数个正整数，不符合题意，舍去； 当时，该不等式的解集为，则，解得7． 故选：A 9．AB 【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合一元二次方程的性质，即可求解. 【详解】因为集合只有一个元素， 当时，方程，解得，此时集合，满足题意； 当时，要使得只有一个实根，则满足， 即，解得，此时方程的解为，即，满足题意， 综上可得，实数的取值可以是或. 故选：AB. 10．ABD 【分析】根据题意，结合选项，利用基本不等式和作差比较法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为，由基本不等式，可得， 当且仅当时，等号成立，所以A正确； 对于B，由，可得，因为指数函数为单调递增函数， 所以，所以B正确； 对于C，当时，此时，所以C不正确； 对于D，由， 因为，可得，所以，所以，所以D正确. 11．ABD 【分析】利用代入法，结合函数单调性的性质、偶函数的定义和性质、最值的定义逐一判断即可. 【详解】，定义域为， 选项A：因为，所以A正确。 选项B：因为，所以B正确。 选项C：， 因为函数在上单调递减，且此时， 所以函数在上单调递增，所以C错误。 选项D：由A知是偶函数，的图象关于纵轴对称， 由上可知：在上单调递增， 所以当时，， 又因为，的图象关于纵轴对称， 所以在区间上的最小值为1，所以D正确. 12． 【分析】由题意知函数在上单调递增，进而得在恒成立，再求解参数范围即可. 【详解】因为时，，所以在为单调递增函数， 因为是定义在上的奇函数，所以函数在上单调递增， 因为， 所以，即在恒成立， 所以，解得，即实数的取值范围是． 13． 【分析】分别依据分段函数在上单调递增、正整数集上离散数列单调递增的约束条件，列不等式组求解的取值范围。 【详解】(1)若为上的递增函数，则，化简得， 解得，即的取值范围为. (2)若数列（）为递增数列，则，化简得， 解得，即的取值范围为. 14． 【分析】本题为含参数不等式恒成立问题，通过对函数符号的分析，从而得到的等量关系，再利用均值不等式求出最小值． 【详解】若，当时，，，而， 乘积为负，不满足恒成立，故； 当时，乘积，解得， 则时，，故，不等式恒成立等价于， 对恒成立．由于二次函数开口向上，判别式， 故有两个实根，且根的乘积为，即一正一负．设正根为，则： 当时，；当时，． 当时，；当时，． 要使恒成立，需要二次函数的正根； 将代入，得，解得； 将代入，得； 由均值不等式，当且仅当时，即时等号成立； 又因为，满足，所以的最小值为． 故答案为：． 15．(1) (2) 【详解】（1）因为集合A中有两个元素， 所以关于x的方程有两个不相等的实数根， 所以，且， 即且， 所以实数的范围是. （2）因为集合A最多有两个子集，所以集合A至多有1个元素， 即关于x的方程无解或只有一个解， 当时，，，只有1个解，符合题意； 当时，若方程有两个相等的实数根，则集合A只有1个元素， 此时，； 若方程没有实数根，则集合A没有元素， 此时，； 综上所述，a的取值范围是. 16． 【分析】求出命题相应的集合，判断出两集合的包含关系，列不等式即可求解. 【详解】解法一：由可知，即． 非或． 设集合或． 由可求得或． 设集合或． 非是的必要不充分条件，B是A的真子集，即得，且两等号不能同时成立， 解得，即实数的取值范围是. 解法二：非是的必要不充分条件，非是的必要不充分条件， 由解法一可知，非． P是Q的真子集， 则，且两等号不能同时成立， 解得，即实数的取值范围是. 17．(1)的单调递增区间为，单调递减区间为； (2)当时， ；当时，. 【分析】（1）先判断函数的单调性，再根据“同增异减”判断复合函数的单调性； （2）分情况讨论二次函数在给定区间的最大值. 【详解】（1）因为定义在上的二次函数满足，且有最小值， 所以函数的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增. 又因为函数在上单调递减，由“同增异减”可知， 在上单调递增，上单调递减， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）设，则 ，则， 则 . 因为的区间中点为， 当，即时， ； 当，即时， . 18．(1)在上单调递增，证明如下： 、且， ， 因为，所以，，，则， 所以，则，即， 故函数在上单调递增. (2) 【分析】（1）根据单调性的定义证明即可； （2）不等式等价于，利用（1）的结论即可列出不等式，进而求解. 【详解】（1）略 （2）因为，，且在上单调递增， 由可得，所以，解得或， 所以不等式的解集为. 19．(1) (2)根据对称性质，且关于点对称， 令，则 ，故关于成中心对称. (3) 【分析】（1）求导，分析可知，求出可求的最小值； （2）根据题意可证，即可得结果； （3）分析可知为的一个解，即可得，结合对称性可知原题意等价于在内恒成立，分和分别讨论的单调性和最值，结合恒成立问题分析求解即可. 【详解】（1）由，解得，所以函数的定义域为， 当时，， 所以，对恒成立， 又， 当且仅当，即时，等号成立，即， 所以只需，即，故． （2）略 （3）法1（零点分区间）： 当时，时，且为对称中心， 故，可得， 当时，即，有， 令，，函数最大值趋近于， 当时恒成立，单调递增，符合题意； 当时，, 令，单调递增，，故在恒成立， 而，故存在，使， 当时，，此时，，矛盾； 综上，. 法2（端点效应+矛盾取点）： ，且有（证明见法1）， 故只需满足即可， ，，令， ，，令 ，，令， ，，，故在上单调递增， 当时，，因为在上单调递增， 所以，在上单调递增，， 所以，在上单调递增，， 所以，在上单调递增，，符合题意； 当时，，取， ，使， 当时，， 所以，在上单调递减，， 所以，在上单调递减，， 所以，在上单调递减，，与题意不符； 综上： 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $