第05讲 二次方程实根分布、含参一元二次不等式期中复习讲义（2大知识点+7大题型归纳+测试）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第05讲 二次方程实根分布、含参一元二次不等式 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 知识点一：二次函数根的分布问题 3 知识点二：含参数一元二次不等式 5 03 题型精讲 6 题型一：正负根分布问题 6 题型二：区间内根分布问题 6 题型三：区间外根分布问题 7 题型四：二次函数嵌套问题 7 题型五：含参一元二次不等式 8 题型六：一元二次不等式与韦达定理的综合 9 题型七：综合应用问题 10 04 过关测试 12 知识点一：二次函数根的分布问题 1、实系数一元二次方程的实根符号与系数之间的关系 （1）方程有两个不等正根 （2）方程有两个不等负根 （3）方程有一正根和一负根，设两根为 2、一元二次方程的根的分布问题 一般情况下需要从以下4个方面考虑： （1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负． 设为实系数方程的两根，则一元二次的根的分布与其限定条件如表所示． 根的分布 图像 限定条件 在区间内 没有实根 在区间内 有且只有一个实根 在区间内 有两个不等实根 知识点二：含参数一元二次不等式 解含参数的一元二次不等式需要对字母的取值进行分类讨论，常用的分类方法有以下三种： （1）按二次项系数的符号分类，即； （2）按判别式的符号分类，即； （3）按方程的根、的大小分类，即． 题型一：正负根分布问题 【典例1】（2026·高一·广西桂林·阶段检测）若一元二次方程（）有一个正根和一个负根，则有（    ）． A． B． C． D． 【变式1-1】若方程只有正根，则m的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【变式1-2】（2026·高一·广西百色·阶段检测）若方程至少有一个正根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026·高一·河北保定·阶段检测）若一元二次方程（不等于0）有一个正根和一个负根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型二：区间内根分布问题 【典例2】（2026·高一·浙江嘉兴·阶段检测）关于的方程的两个根均落在内，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·高一·辽宁大连·期中）若方程（，）在上有实根，则的最大值为______. 【变式2-2】（2026·高一·天津南开·阶段检测）设二次函数． (1)若关于的方程有两个不相等的实数根，且两根都大于等于且小于等于2，求实数的取值范围； (2)若关于的方程有一个根小于1，另一个根大于1且小于2，求实数的取值范围． 【变式2-3】（2026·高一·上海杨浦·期中）已知关于x的二次方程． (1)若方程有两根，其中一根在区间内，另一根在区间内，求m的取值范围； (2)若方程两根均在区间内，求m的取值范围． 题型三：区间外根分布问题 【典例3】（2026·高一·江苏无锡·阶段检测）已知关于方程 (1)若方程有两个根且都大于，求实数的取值范围 (2)若方程至少有一个正根，求实数的取值范围 【变式3-1】已知关于x的方程，方程一根小于1，一根大于1且小于2，求实数的取值范围． 【变式3-2】关于的方程一个根小于，一个根大于，求的取值范围． 【变式3-3】（2026·高一·全国·单元测试）已知关于的方程的两根为，若，求实数的取值范围． 题型四：二次函数嵌套问题 【典例4】（2026·高一·四川广安·阶段检测）已知函数，． (1)恒成立，求实数的取值范围； (2)若关于的方程有两个不相等的实数根、，且，求的取值范围； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. 【变式4-1】（2026·高一·湖南长沙·阶段检测）已知函数． (1)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 【变式4-2】（2026·高一·广西柳州·阶段检测）已知函数，， (1)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，求不等式的解集； (3)若关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. 【变式4-3】（2026·高一·陕西西安·阶段检测）已知函数， (1)恒成立，求实数的取值范围； (2)求不等式的解集； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 题型五：含参一元二次不等式 【典例5】（2026·高一·贵州铜仁·阶段检测）已知集合，. (1)若，求； (2)解关于x的不等式. 【变式5-1】（2026·高一·江西南昌·期中）（1）求关于的不等式的解集，其中为常数． （2）求关于的不等式的解集，其中为常数． 【变式5-2】（2026·高一·天津河北·开学考试）设． (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 【变式5-3】（2026·高一·广东江门·期中）已知函数，. (1)当时，解关于的不等式. (2)关于的不等式的解集为，求的最小值； (3)解关于的不等式. 题型六：一元二次不等式与韦达定理的综合 【典例6】（2026·高一·安徽阜阳·期中）若不等式的解集为. (1)求实数a与b的值； (2)求不等式的解集. 【变式6-1】（2026·高一·湖南衡阳·期中）求下列不等式的解集： (1)； (2) (3)已知不等式的解集为或.求实数，的值； 【变式6-2】（2026·高一·山西大同·阶段检测）已知关于的不等式． (1)当时，求该不等式的解集； (2)若该不等式的解集为，求实数的值． 【变式6-3】（2026·高一·甘肃定西·开学考试）（1）求不等式的解集； （2）已知一元二次不等式的解集为，求不等式的解集． 题型七：综合应用问题 【典例7】（2026·高一·河北邯郸·阶段检测）已知函数． (1)若，恒成立，求实数的取值范围； (2)若，使得，求实数的取值范围； (3)若关于的不等式恰有3个正整数解，求实数的取值范围． 【变式7-1】（2026·高一·辽宁沈阳·开学考试）设关于的函数． (1)若时，，求的取值范围； (2)求的最小值； (3)若，求关于的不等式的解集． 【变式7-2】（2026·高一·湖北孝感·期末）已知关于实数的一元二次不等式的解集为，其中. (1)证明：为定值； (2)求的最小值； (3)求的最小值. 【变式7-3】（2026·高一·广西玉林·阶段检测）已知不等式的解集为． (1)若，求的值； (2)若，且不等式有且仅有9个整数解，求的取值范围； (3)若解关于的不等式：． 1．（2026·高一·云南昆明·期中）已知的解集为，则的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C．或 D．或 2．（2026·高一·上海·期中）关于的不等式组有两个整数解，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·高一·江西南昌·期中）若关于的不等式的解集是，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·高一·湖南长沙·期中）已知函数，若关于x的不等式有解但没有整数解，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·高一·浙江衢州·期中）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·高一·湖南邵阳·期中）关于的一元二次不等式的解集不可能为（ ） A．或 B． C． D． 7．（2026·高一·陕西·阶段检测）关于的方程有两个不相等的实数根，若，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 8．（2026·高一·河北沧州·期中）已知关于x的方程，则下列结论中正确的是（    ） A．当时，方程的两个实数根之和为 B．方程无实数根的充分不必要条件是 C．方程有两个正根的充要条件是 D．方程有一个正根一个负根的充要条件是 9．（多选题）（2026·高一·广东深圳·期中）已知关于的方程，则下列说法正确的是（ ） A．当时，方程的两个实根和为0 B．方程无实根的一个必要条件是 C．方程有两个正实根的充要条件是 D．方程有两个正实根的一个充分条件是 10．（多选题）（2026·高一·福建·期中）已知为任意实数，关于的方程，则（   ） A．当时，方程有两实数根 B．当时，方程有两异号的实数根 C．当时，方程有两实数根，，则 D．若方程有两个实数根，，且，，则 11．（多选题）（2026·高一·浙江·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 12．（2026·高一·湖南永州·期中）已知不等式的解集为，其中，则关于x的不等式的解集为_________. 13．（2026·高一·福建宁德·期中）若关于的不等式的解集中恰有1个整数，则实数的取值范围是__________. 14．（2026·高一·山东泰安·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则的取值集合是_____． 15．（2026·高一·江苏常州·期中）已知方程，且方程有两个大于1的实数根，则实数的取值范围为________. 16．（2026·高一·北京·期中）设，是关于的方程 的两个实数根． (1)若，求的值； (2)若 ，求实数的值； (3)若，是两个不相等的正数，求实数的取值范围． 17．（2026·高一·广东江门·阶段检测）已知函数． (1)当时，集合有且只有一个元素，求实数的集合. (2)若关于的不等式的解集为，求不等式的解集. (3)，，若时，有，求的最小值. 18．（2026·高一·辽宁沈阳·期中）已知关于的不等式. (1)该不等式的解集为，求实数的值； (2)若不等式的解集为，求实数的取值范围； (3)若该不等式的解集为集合的子集，求实数的取值范围. 19．（2026·高一·山东·期中）已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求的值； (2)当时，方程有一个根大于1，一个根小于1，求实数的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 二次方程实根分布、含参一元二次不等式 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 知识点一：二次函数根的分布问题 3 知识点二：含参数一元二次不等式 5 03 题型精讲 6 题型一：正负根分布问题 6 题型二：区间内根分布问题 8 题型三：区间外根分布问题 10 题型四：二次函数嵌套问题 12 题型五：含参一元二次不等式 17 题型六：一元二次不等式与韦达定理的综合 20 题型七：综合应用问题 21 04 过关测试 27 知识点一：二次函数根的分布问题 1、实系数一元二次方程的实根符号与系数之间的关系 （1）方程有两个不等正根 （2）方程有两个不等负根 （3）方程有一正根和一负根，设两根为 2、一元二次方程的根的分布问题 一般情况下需要从以下4个方面考虑： （1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负． 设为实系数方程的两根，则一元二次的根的分布与其限定条件如表所示． 根的分布 图像 限定条件 在区间内 没有实根 在区间内 有且只有一个实根 在区间内 有两个不等实根 知识点二：含参数一元二次不等式 解含参数的一元二次不等式需要对字母的取值进行分类讨论，常用的分类方法有以下三种： （1）按二次项系数的符号分类，即； （2）按判别式的符号分类，即； （3）按方程的根、的大小分类，即． 题型一：正负根分布问题 【典例1】（2026·高一·广西桂林·阶段检测）若一元二次方程（）有一个正根和一个负根，则有（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意：设方程的两根为，，（）. 则. 故选：A 【变式1-1】若方程只有正根，则m的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【解析】方程只有正根，则 当，即时， 当时，方程为时，，符合题意； 当时，方程为时，不符合题意. 故成立； 当，解得或， 则，解得. 综上得. 故选B. 【变式1-2】（2026·高一·广西百色·阶段检测）若方程至少有一个正根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若，则方程为，解得，满足条件； 设， 若，因为， 所以函数与轴在原点两侧各有一个交点， 所以方程恰有一个正根和一个负根，满足条件； 若，因为， 所以若方程至少有一个正根， 则函数的图象与轴相交，且对称轴在原点右侧， 所以，解得. 综上，实数的取值范围是， 故选：C. 【变式1-3】（2026·高一·河北保定·阶段检测）若一元二次方程（不等于0）有一个正根和一个负根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为一元二次方程（不等于0）有一个正根和一个负根，设两根为， 则，解得， 故选：A 题型二：区间内根分布问题 【典例2】（2026·高一·浙江嘉兴·阶段检测）关于的方程的两个根均落在内，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设方程对应的二次函数为，其对称轴为， ∵方程的两个根均落在内， ∴满足，即，解得：． 故选：A． 【变式2-1】（2026·高一·辽宁大连·期中）若方程（，）在上有实根，则的最大值为______. 【答案】 【解析】设实根，则， ，所以. 由二次函数特性可知，时取得最大值. ， 又当时取得最大值，且. 所以. 【变式2-2】（2026·高一·天津南开·阶段检测）设二次函数． (1)若关于的方程有两个不相等的实数根，且两根都大于等于且小于等于2，求实数的取值范围； (2)若关于的方程有一个根小于1，另一个根大于1且小于2，求实数的取值范围． 【解析】（1）令，由题意可知： 的图象与轴有两个交点，且交点位于之间，包括端点， 所以即 解得：， 即实数的取值范围是 （2）由得： 令，由题意可得： 的图象与轴交点横坐标一个小于1，另一个大于1且小于2， 所以即，解得， 即实数的取值范围是. 【变式2-3】（2026·高一·上海杨浦·期中）已知关于x的二次方程． (1)若方程有两根，其中一根在区间内，另一根在区间内，求m的取值范围； (2)若方程两根均在区间内，求m的取值范围． 【解析】（1）令，则是关于的一元二次方程所对应的二次函数，其图象为开口向上的抛物线， 若函数的两个零点，满足，， 则需要满足，即，解，即，即得，对于，即恒成立，综上可得； 故的取值范围是． （2）若方程两根均在区间内，则，即，解得或，即 题型三：区间外根分布问题 【典例3】（2026·高一·江苏无锡·阶段检测）已知关于方程 (1)若方程有两个根且都大于，求实数的取值范围 (2)若方程至少有一个正根，求实数的取值范围 【解析】（1）设二次函数，开口向上且对称轴. 则， 由方程有两个实根且都大于，所以， ，解得. 因此，实数的取值范围为. （2）若方程至少有一个正根，用补集法：即方程没有正根，也等价于方程无实根或所有实根非正. 若方程无根，则，解得； 若方程所有实根非正，则，，解得. 综上，方程无根或方程所有实根非正，则或，即. 因此，根据补集思想，方程至少有一个正根，则. 所以方程至少有一个正根，实数的取值范围 【变式3-1】已知关于x的方程，方程一根小于1，一根大于1且小于2，求实数的取值范围． 【解析】若，则方程化为，只有一个解，与题意不符； 若，， 方程一根小于1，一根大于1且小于2，则大致图象： 所以，解得，即的取值范围是. 【变式3-2】关于的方程一个根小于，一个根大于，求的取值范围． 【解析】设，函数是开口向上的一个二次函数， 由方程的一个根小于，一个根大于，作的大致图象： 则满足，即，解得， 再验证当时，，方程一定有两个不同的根. 所以实数的取值范围为． 【变式3-3】（2026·高一·全国·单元测试）已知关于的方程的两根为，若，求实数的取值范围． 【解析】设，显然. (1)当时，二次函数图像的简图，如图①. 则当时;时，, 即即不等式组无解. (2)当时，二次函数图像的简图，如图② 则当时，；当时，， 即即，得. 由(1)(2)知，实数的取值范围是. 题型四：二次函数嵌套问题 【典例4】（2026·高一·四川广安·阶段检测）已知函数，． (1)恒成立，求实数的取值范围； (2)若关于的方程有两个不相等的实数根、，且，求的取值范围； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. 【解析】（1）由得恒成立， 故不等式对任意的恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. （2）由可得，整理得， 由题意可知，且，解得或， 由韦达定理可得，，可得，故， 所以， 因为，所以，所以， 故的取值范围是. （3）当时，令，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时取等号， 依题意可得关于的方程有四个不等实根， 令，则，则问题转化为存在使得关于的方程 有两个不同正根、， 所以， 因为，则，由可得， 由可得或，故， 由知，存在使不等式成立， 把看成主元代入，可得，即， 解得或，综合可得， 故实数的取值范围是. 【变式4-1】（2026·高一·湖南长沙·阶段检测）已知函数． (1)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 【解析】（1）由题意，对一切实数恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意； 当时，则有解得． 故实数的取值范围是． （2）不等式等价于， 即， 当时，不等式可化为，解集为； 当时，与不等式对应的一元二次方程的两根为，． 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为或； 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为或． 综上所述， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或． （3）当时，因为， 令，当且仅当时，等号成立； 则关于的方程可化为， 关于的方程有四个不等实根， 即有两个不同正根，则 由②③式可得， 由①知：存在，使不等式成立，故， 即，解得（舍）或． 综上，实数的取值范围是． 【变式4-2】（2026·高一·广西柳州·阶段检测）已知函数，， (1)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，求不等式的解集； (3)若关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. 【解析】（1）不等式， 当时，恒成立，则； 当时，，解得， 所以实数的取值范围是. （2）当时，， 当时，或；当时，；当时，或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （3）方程化为， 当时，，解得，原方程有且仅有两个实根，不合题意； 当时，关于的一元二次方程只有一个正根，原方程有且仅有两个实根，不合题意； 当时，原方程有4个不同的实根，则关于的一元二次方程有两个不同的正根， 因此，解得或， 所以实数的取值范围为或. 【变式4-3】（2026·高一·陕西西安·阶段检测）已知函数， (1)恒成立，求实数的取值范围； (2)求不等式的解集； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 【解析】（1）由题有恒成立，即恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，则，得，得， 综上可得，的取值范围是. （2）由题，即， 当时，，所以不等式的解集为 当时，由，得或. ①当时，，不等式的解集为； ②当时，原不等式即为，不等式的解集为； ③当时，，不等式的解集为； 当时，则，不等式的解集为. 综上可得：当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （3）当时，令，当且仅当时取等号， 关于的方程有四个不等实根， 令，则转化为存在使得关于的方程有两个不同正根， 则 ，得， 由知，存在使不等式成立， 把看成主元代入，故，即， 解得或，综合可得. 故实数的取值范围是. 题型五：含参一元二次不等式 【典例5】（2026·高一·贵州铜仁·阶段检测）已知集合，. (1)若，求； (2)解关于x的不等式. 【解析】（1）不等式，解得，则， 当时，不等式解得，则， 因为或，或. （2）方程的根为和， 当，即时，不等式无解，解集为； 当时，即时，解得，解集为， 当时，即时，解得，解集为， 综上可知，当时，不等式解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. 【变式5-1】（2026·高一·江西南昌·期中）（1）求关于的不等式的解集，其中为常数． （2）求关于的不等式的解集，其中为常数． 【解析】（1）由题：，二次函数开口向上，方程的根为，， 当时，开口向上，不等式的解集为：{或}； 当时，不等式变为，解集为：{且}； 当时，开口向上，不等式的解集为{或}； 综上所述，当时，解集为{或}； 当时，解集为{且}； 当时，解集为{或}． （2）由题：，即， 当时（即），； 当时（即），； 当时（即），； 综上所述，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 【变式5-2】（2026·高一·天津河北·开学考试）设． (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 【解析】（1）因为对一切实数恒成立， 所以对一切实数恒成立， 所以，当时，，不满足成立； 当时，需满足，即，解得， 综上，实数的取值范围为 （2）， ， 因为的实数根为， 所以，当，即时，的解集为； 当，即时，的解集为； 当，即时，的解集为. 综上，时，解集为；时，解集为；当时，解集为. 【变式5-3】（2026·高一·广东江门·期中）已知函数，. (1)当时，解关于的不等式. (2)关于的不等式的解集为，求的最小值； (3)解关于的不等式. 【解析】（1）当时，， 则， 解得或， 所以不等式解集为； （2）由关于的不等式的解集为可得是方程的两个实数根，且，； 因此可得， 因此，且， 所以， 当且仅当即时等号成立； 此时满足题意，所以的最小值为； （3）不等式，即， 当时，不等式为，其解集为； 当时，解方程得或， 若，不等式为，其解集为； 若，，不等式的解集为， 若，，不等式的解集为； 若时，，不等式的解集为. 综上，时解集为；时解集为；时，解集为；时，解集为；时，解集为 题型六：一元二次不等式与韦达定理的综合 【典例6】（2026·高一·安徽阜阳·期中）若不等式的解集为. (1)求实数a与b的值； (2)求不等式的解集. 【解析】（1）由不等式的解集为，得方程的解为-2和3， 根据韦达定理，得. 所以. （2）由（1）得，代入不等式， 得，即. 解得：，或. 所以不等式的解集为或. 【变式6-1】（2026·高一·湖南衡阳·期中）求下列不等式的解集： (1)； (2) (3)已知不等式的解集为或.求实数，的值； 【解析】（1）由不等式，可得，解得或， 所以不等式的解集为或. （2）由不等式，可得， 因为  所以原不等式解集为. （3）由不等式的解集为或， 可得和是方程两个实数根， 可得，且，解得. 【变式6-2】（2026·高一·山西大同·阶段检测）已知关于的不等式． (1)当时，求该不等式的解集； (2)若该不等式的解集为，求实数的值． 【解析】（1） 当时，原不等式可化为，即， 所以不等式的解集为. （2） 由一元二次不等式与对应一元二次方程的关系可知，和是方程的两个实数根， 由韦达定理得，解得. 【变式6-3】（2026·高一·甘肃定西·开学考试）（1）求不等式的解集； （2）已知一元二次不等式的解集为，求不等式的解集． 【解析】（1）原不等式可化为：， 故该不等式的解集为； （2）不等式的解集为 ， 这说明抛物线开口向下， 同时，和是方程的两个实数根， 利用韦达定理得：，所以 且 ， 代入要求解的不等式中，得：， 因为，所以，解得：或， 故不等式的解集为 . 题型七：综合应用问题 【典例7】（2026·高一·河北邯郸·阶段检测）已知函数． (1)若，恒成立，求实数的取值范围； (2)若，使得，求实数的取值范围； (3)若关于的不等式恰有3个正整数解，求实数的取值范围． 【解析】（1）由题意，，恒成立，则恒成立 又当时，，当且仅当时，取等号 所以，即实数的取值范围为 （2）由，得， 即， 因为，所以， 则，使得， 等价于 当时， 当时，令，则，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立．   综上，当时，， 所以，即实数的取值范围为 （3）由题意，， 即， 即 ①当，即时，原不等式的解集为，显然不满足题意，舍去； ②当，即时，原不等式的解集为， 此时，不等式的解集中不可能有3个正整数，舍去； ③当，即时，原不等式的解集为， 因为解集中恰有3个正整数，所以，解得， 当时，，此时解集中的3个正整数分别为3，4，5，所以，即， 所以； 当时，，此时解集中的3个整数分别为4，5，6，所以， 所以． 综上，实数的取值范围是或. 【变式7-1】（2026·高一·辽宁沈阳·开学考试）设关于的函数． (1)若时，，求的取值范围； (2)求的最小值； (3)若，求关于的不等式的解集． 【解析】（1）时，， ； （2）， 时，，对称轴为， 时，，对称轴为， 当时，，， 可得到时，随着的增大而减少， 时，随着的增大而增大， 此时当时，有最小值， 当时，，的最小值为． 当时，，， 可得到时，随着的增大而减少， 时，随着的增大而增大， 此时当时，有最小值， 综上：时，最小值为； 时，最小值为； 时，最小值为． （3）时，，即， ， 时，，即或，解集为， 时，，即， 方程有两个不等的实根， ，， ①时，则，解集为， ②时，则，解集为， ③时，则，解集为， 综上：当或时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. 【变式7-2】（2026·高一·湖北孝感·期末）已知关于实数的一元二次不等式的解集为，其中. (1)证明：为定值； (2)求的最小值； (3)求的最小值. 【解析】（1）因为实数的一元二次不等式的解集为， 所以，是方程的两个实数根， 所以，，即， 所以，且，即为定值 （2）由（1）知，且， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为 （3）因为，所以， 因为，所以，即，， 所以 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为 【变式7-3】（2026·高一·广西玉林·阶段检测）已知不等式的解集为． (1)若，求的值； (2)若，且不等式有且仅有9个整数解，求的取值范围； (3)若解关于的不等式：． 【解析】（1）因为，不等式的解集为，结合二次函数图象的对称性， 不等式的解集为，且不等式的解集为， 所以方程的两个根分别为2和3，则，得，， 经验证满足不等式的解集为，所以. （2）由（1）知，，不等式可化为， 由（1）知不等式的解集为，所以恒成立， 所以，解得， 不等式等价于， 所以，得， 因为不等式有且仅有9个整数解， 所以，解得， 综上，的取值范围为. （3）若，同（1）分析，不等式的解集为，的解集为， 所以方程的两个根分别为2和3，则，得， 所以不等式的解集为，则恒成立， 所以，解得， 所以所求不等式为，解得或， 即不等式的解集为且. 1．（2026·高一·云南昆明·期中）已知的解集为，则的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】由的解集为， 得和是方程的两个实数根， 所以， 所以等价于，即， 其充要条件为或. 所以和均是的既不充分也不必要条件； 或是的必要不充分条件； 或是的一个充分不必要条件. 2．（2026·高一·上海·期中）关于的不等式组有两个整数解，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解不等式，得，解得或， 又，所以不成立， 故原不等式组等价于， 所以不等式组的解集为， 因为不等式组有两个整数解，所以整数解为， 所以，解得. 3．（2026·高一·江西南昌·期中）若关于的不等式的解集是，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为关于的不等式的解集是， ∴和1是方程的根，且， ∴，得， ∴不等式转化为， 因为，∴，，得， ∴不等式的解集为. 故选：B. 4．（2026·高一·湖南长沙·期中）已知函数，若关于x的不等式有解但没有整数解，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，即，， 令即， 可作函数的大致图像为： 由， 由题意结合图象可知． 故选：D． 5．（2026·高一·浙江衢州·期中）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意当时，解得 当时，不等式恒成立，符合题意； 当，不等式，不符合题意； 当，的不等式的解集为， 所以，解得 综上所述，. 6．（2026·高一·湖南邵阳·期中）关于的一元二次不等式的解集不可能为（ ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，不等式即为，此时不等式的解集为，故D正确； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为，故B正确 当时，不等式即为，此时不等式的解集为； 当时，不等式的解集为，故C正确. 综上所述，不等式的解集可能为BCD，不可能为A. 故选：A 7．（2026·高一·陕西·阶段检测）关于的方程有两个不相等的实数根，若，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【解析】当时，方程只有一个根，显然不符合题意； 当时，则，解得； 当时，则，解得， 故或． 故选：B 8．（2026·高一·河北沧州·期中）已知关于x的方程，则下列结论中正确的是（    ） A．当时，方程的两个实数根之和为 B．方程无实数根的充分不必要条件是 C．方程有两个正根的充要条件是 D．方程有一个正根一个负根的充要条件是 【答案】B 【解析】A：由题设，显然无解，错； B：若方程无实根，则，即， 所以是方程无实数根的充分不必要条件，对； C：令，要使方程有两个正根， 所以，可得，故不是充要条件，错； D：同C分析， ，可得，故不是充要条件，错. 故选：B 9．（多选题）（2026·高一·广东深圳·期中）已知关于的方程，则下列说法正确的是（ ） A．当时，方程的两个实根和为0 B．方程无实根的一个必要条件是 C．方程有两个正实根的充要条件是 D．方程有两个正实根的一个充分条件是 【答案】BCD 【解析】对于A，当时，方程无实数根，所以A错误； 对于B，方程无实数根，则，解得， 又由是的真子集，方程无实根的一个必要条件是， 所以B正确； 对于CD，方程有两个正实数根的充要条件是， 解得，且是的真子集， 所以方程有两个正实根的一个充分条件是，故CD正确. 10．（多选题）（2026·高一·福建·期中）已知为任意实数，关于的方程，则（   ） A．当时，方程有两实数根 B．当时，方程有两异号的实数根 C．当时，方程有两实数根，，则 D．若方程有两个实数根，，且，，则 【答案】ABD 【解析】对于A，因为，当时，有，方程有两实数根，故A正确； 对于B，当时，有，所以方程有两异号的实数根，故B正确； 对于C，当时，方程变为，即无实数解，故C错误； 对于D，若方程有两个实数根，且，等价于， ，所以，得，故D正确. 故选：ABD. 11．（多选题）（2026·高一·浙江·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】对A：由关于的不等式的解集为，可得，故A正确； 对B：由题意可得， 故，，则，故B错误； 对C：，由，故，即，故C正确； 对D：， 由，则该不等式解集为，故D正确. 12．（2026·高一·湖南永州·期中）已知不等式的解集为，其中，则关于x的不等式的解集为_________. 【答案】 【解析】因为不等式的解集为，其中， 故， 故不等式可化为， 故，而，故， 故不等式的解为，即解集为， 故答案为：. 13．（2026·高一·福建宁德·期中）若关于的不等式的解集中恰有1个整数，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】，即， 当时，解得，解集中恰有1个整数，则， 当时，解得，解集中恰有1个整数，则， 所以的取值范围是. 故答案为：. 14．（2026·高一·山东泰安·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则的取值集合是_____． 【答案】 【解析】因为有两个不等实根，故. , 设两个正实数根为, 由题可知，有,整理得, 解得,因此. 故答案为：. 15．（2026·高一·江苏常州·期中）已知方程，且方程有两个大于1的实数根，则实数的取值范围为________. 【答案】 【解析】方程有两个大于的实数根， 则， 由题意可得，可得， 代入可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 16．（2026·高一·北京·期中）设，是关于的方程 的两个实数根． (1)若，求的值； (2)若 ，求实数的值； (3)若，是两个不相等的正数，求实数的取值范围． 【解析】（1）当时，方程为，由韦达定理得，． ． （2）由，根据韦达定理，，， 则 ，解得． 验证判别式 ，故． （3）因为是不相等的正数，所以：判别式 ， 即，解得或； 两根之和 ，即； 两根之积 ，即． 综上，，故实数的取值范围是． 17．（2026·高一·广东江门·阶段检测）已知函数． (1)当时，集合有且只有一个元素，求实数的集合. (2)若关于的不等式的解集为，求不等式的解集. (3)，，若时，有，求的最小值. 【解析】（1）问题转化为：方程有且只有1解，求实数的值. 当时，方程可化为：.方程有且只有1解； 当时，方程有且只有1解，所以. 综上可知：或. 所以实数的集合为：. （2）因为关于的不等式的解集为， 所以. 所以不等式即为：， 所以或. 所以所求不等式的解集为：或. （3）由题意：，即. 所以， 当且仅当即时取等号. 所以的最小值为：4. 18．（2026·高一·辽宁沈阳·期中）已知关于的不等式. (1)该不等式的解集为，求实数的值； (2)若不等式的解集为，求实数的取值范围； (3)若该不等式的解集为集合的子集，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为的解集为， 可知1和4是方程的两根，且， 由根与系数关系可得，解得. （2）因为的解集为，即恒成立， 若，则不恒成立，不合题意； 若，则，解得； 综上所述：所以实数的取值范围为. （3）设不等式的解集为，可知， 若，则，解得，即，不合题意； 若，可知，则有： 当时，由（2）可知：； 当时，必有，令，可知其开口向上，对称轴为， 若，则；若，则； 结合二次函数图象有，解得； 综上所述：实数的取值范围是. 19．（2026·高一·山东·期中）已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求的值； (2)当时，方程有一个根大于1，一个根小于1，求实数的取值范围. 【解析】（1）由题意可知，和1是方程的两个实数根， 所以， 解得. （2）当时，，因为函数的图象开口向上，且的根一根大于1，一根小于1， 所以，即，解得或， 所以实数的取值范围是. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $