专题03 函数的概念及其基本性质（知识串讲+热考题型+专题训练）-【备考期中期末】2023-2024学年高一数学上学期阶段复习讲义（人教A版2019必修第一册）

专题03 函数的概念及其基本性质 一、函数的概念 1.定义：设A、B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 2..x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.值域是集合B的子集. 二、函数的表示方法 （1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，这种表示方法叫做解析法，这个数学表达式叫做函数的解析式. （2）图象法：将自变量的一个值作为横坐标，相应的函数值作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点.当自变量取遍函数定义域A的每一个值时，就得到一系列这样的点.所有这些点组成的集合（点集）为，所有这些点组成的图形就是函数的图象，这种用图象表示两个变量之间对应关系的方法叫做图象法. （3）列表法：列一个两行多列的表格，第一行是自变量的取值，第二行是对应的函数值，这种列出表格来表示两个变量之间对应关系的方法叫做列表法. 特别提醒：两个函数的值域和对应关系相同，但两个函数不一定相同，例如，函数f(x)＝|x|，x∈[0,2]与函数f(x)＝|x|，x∈[－2,0]． 三、分段函数 分段函数;若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数． 提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 四、函数的单调性 1.有关概念 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为，区间，如果对于区间I内的任意两个值x1，x2 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是增函数 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是减函数 单调区间 I是y＝f(x)的增区间 I是y＝f(x)的减区间 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 2.【特别提醒】 (1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式或集合表示． (2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接． 3.单调性结论 (1)∀x1，x2∈D(x1≠x2)，⇔f(x)在D上是增函数；⇔f(x)在D上是减函数． (2)对勾函数y＝ (a＞0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，减区间为[－，0)和(0，]． (3)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数． (4)若k＞0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k＜0，则kf(x)与f(x)的单调性相反． (5)函数y＝f(x)在公共定义域内与y＝的单调性相反． (6)复合函数y＝f[g(x)]的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性关系是“同增异减”． 五、函数的最值 1.设函数y＝f(x)的定义域为A，存在x0∈A，使得对于任意的 ，都有，那么称为y＝f(x)的最大值，记为； 2.设函数y＝f(x)的定义域为A，存在x0∈A，使得对于任意的 ，都有，那么称为y＝f(x)的最小值，记为 3．函数最值存在的两个结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值． (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值． 六、函数的奇偶性 1.函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个，都有 并且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 并且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 图象特征 关于y轴对称 关于原点对称 2.提醒： (1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件． (2)若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下： ①f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔. ②f(x)为偶函数⇔f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔. 3.函数奇偶性的四个重要结论 (1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．即“奇同偶反”. (4)若y＝f(x＋a)是奇函数，则f(－x＋a)＝－f(x＋a)；若y＝f(x＋a)是偶函数，则f(－x＋a)＝f(x＋a)． 七、函数的周期性 1.函数的周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定