专题06 三个“二次”的关联与根的分布（期中复习讲义·培优版）高一数学上学期人教A版

专题06 三个“二次”的关联与根的分布 （期中复习讲义·培优版） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 解不含参的二次不等式 题型02 解含参的二次不等式 题型03 由一元二次不等式的解确定参数 题型04 一元二次方程根与零的大小关系 题型05 一元二次方程根与非零实数的大小关系 题型06一元二次方程根在具体区间上的分布问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 三个”二次”的联系 打通二次函数图像、 的根、不等式解集三者关系：由开口、 与根的大小互译图像、根、解集 函数/方程/不等式交汇核心，选择填空常以图像辨析形式出现 实根分布（区间根） 两根同在 、一根在 、两根异号等情形，按” + 对称轴位置 + 端点函数值符号”列条件组 解答题常见；漏 、漏端点取等、忘开口方向是主要失分点 韦达定理应用 不求根直接用 、 处理根的符号、对称式与 常与解析几何、数列交汇命题，是设而不求思想的基础 知识点01 三个”二次”的内在关联 核心概念：二次函数 、一元二次方程 、一元二次不等式 （）三者同源——方程的根就是函数图像与 轴的交点，不等式的解集就是图像在 轴上方（下方）对应的 范围。 核心关联（以 为例）： 方程根 图像与x轴 解集 两不等根 两个交点 重根 一个切点 无实根 无交点 韦达定理（根与系数关系）： 解题原理：三个二次互相转化——解不等式靠图像，求参数靠方程，判根靠函数图像。 易错点： · 易错点总结：把不等式解集与方程根割裂，不会用图像理解解集。 · 注意事项总结：画草图是通法——开口方向、对称轴、与x轴交点三个要素一画，解集、根的位置一目了然。 知识点02 根的正负分布（韦达定理法） 核心模型：不解方程，由根的符号反推参数范围。 核心条件（）： 根的情况 充要条件 两根都正 两根都负 一正一负 （自动满足 ） 两根都正且一大于k 结合区间条件（见考点四） 示例： 若方程 的两根都大于 ，求 的范围。 解： ① 或 ； ② ； ③ 。 取交集：。 易错点： · 易错点总结：只列韦达条件，忘 ——两根都正必须先有实根。 · 注意事项总结：“两根同号”类问题，三条件缺一不可：、和的符号、积的符号；只有”一正一负”可省略 （积为负自动保证 ）。 知识点03 根的区间分布——基础模型（ 符号法） 核心模型：判断根是否在某个常数 的一侧。 核心结论（）： 根的情况 充要条件 一根大于 ，一根小于 两根都大于 两根都小于 示例： 若方程 的一根大于 ，一根小于 ，求 。 解： 开口向上，需 ： 易错点： · 易错点总结：“两根都大于k”只列 ，忘对称轴和 。 · 注意事项总结：“一根大于k一根小于k”最容易（）；“两根都大于k”要三条件：、对称轴在k右侧、。 知识点04 两根都在区间 内 核心模型：两根都落在开区间 内。 充要条件（）： 图示理解：开口向上，轴在 内，端点处函数值为正，判别式非负——图像与 轴两交点都在区间内。 示例： 若方程 的两根都在 内，求 。 解：对称轴 。 ① 或 ； ② ； ③ ； ④ 。 取交集：。 易错点： · 易错点总结：漏列 或 ，只列对称轴和 。 · 注意事项总结：区间根分布四条件必须全列：、对称轴位置、两端点函数值符号，缺一不可。 知识点05 根的”分居”问题（一根在区间内，一根在外） 核心模型：两根分别在区间 的内外两侧。 核心结论（）： 根的情况 充要条件 一根在 内，一根在外 一根在 ，一根小于 一根在 ，一根大于 示例： 若方程 的一根在 内，另一根在 外，求 。 解：，即 解得 （无解，或原式解集按计算确定）。 易错点： · 易错点总结：把”分居”和”都在区间内”条件搞混。 · 注意事项总结：端点异号（）一定有根在区间内，但不一定是一根在内一根在外——需结合题意。 知识点06 二次方程根分布的通法（数形结合） 核心方法：画开口方向、对称轴、特殊点函数值符号，用图像判断根的位置。 解题四步法： 1. 定开口：由 的正负确定抛物线开口方向； 1. 定轴位：求对称轴 ，标出与区间端点的关系； 1. 定函数值：计算区间端点、特殊点的函数值符号； 1. 定判别式：确保根存在（）。 根分布条件速查表（）： 条件 对称轴 两不等根 不限 不限 不限 两根 — 两根 — 两根 一根 一根 不限 不限 — 一根在 不限 不限 — 易错点： · 易错点总结：开闭口方向反了，所有符号条件都跟着反。 · 注意事项总结：若 ，先两边乘 把 化为正，再套上表，避免符号混乱。 知识点07 三个二次综合——由不等式解集反求参数 核心模型：已知一元二次不等式的解集，反求二次函数系数。 核心原理：不等式的解集端点就是对应方程的根——直接用韦达定理。 示例： 已知不等式 的解集为 ，求 。 解：由解集 知 ，且 是方程 的两根。 由韦达定理： 取 ，则 ，，即 。 易错点： · 易错点总结：忘 的正负——解集在”中间”（如 ）说明开口向下，。 · 注意事项总结：不等式 的解集是”两根之外” ；是”两根之间” 。 题型一 解不含参的二次不等式 解｜题｜技｜巧 - 步骤：化标准（二次项系数化正）→ 求判别式 → 求根 → 画草图 → 写解集。 - 口诀：大于取两边，小于取中间（前提：二次项系数为正）。 - 无根（）： 解集为 ， 解集为 。 易｜错｜点｜拨 - 二次项系数为负时不化正，直接套”大于取两边”导致方向错误。 - 端点开闭与不等号对应错误（ 含端点，/ 不含）。 - 无根时解集写成空集或全体搞反。 答｜题｜模｜板 1. 二次项系数化正； 2. 计算 ，求实根； 3. 画开口方向草图； 4. 按”大于取两边，小于取中间”写解集。 【典例1】（25-26高一上·宁夏银川·期中）不等式的解集为（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【分析】由一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】令， 即， 解得， 所以不等式的解集为. 【典例2】（25-26高一上·天津滨海·期中）不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对不等式移项，可得， 通分后，可得，整理后，可得，即， 则该不等式等价于，解得， 故不等式的解集是． 【变式1】（25-26高一上·四川成都·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，其中， 所以，可得，故不等式的解集为. 【变式2】不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【详解】利用绝对值的意义，分和两种情况，再利用一元二次不等式的解法，即可求解. 当时，原不等式等价于，解得，所以， 当时，原不等式等价于，解得，所以， 综上，原不等式的解为. 题型二 解含参的二次不等式 解｜题｜技｜巧 - 分类讨论两个维度： - 二次项系数：正、负、零（ 退化为一次）； - 判别式：、、； - 根的大小：若两根含参，比较两根大小。 - 按层次逐级分类，不重不漏。 易｜错｜点｜拨 - 漏讨论二次项系数为0。 - 两根含参时忘记比较大小，直接写解集。 - 分类层次混乱，重复或遗漏。 答｜题｜模｜板 1. 讨论二次项系数 的符号（含 ）； 2. 对 ，讨论 的三种情况； 3. 有根时比较两根大小，写解集； 4. 综合各类结果。 【典例1】（25-26高一上·江西南昌·期中）（1）求关于的不等式的解集，其中为常数． （2）求关于的不等式的解集，其中为常数． 【答案】（1）当时，解集为{或}；当时，解集为{且}；当时，解集为{或}． （2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为． 【分析】（1）根据题意，将二次函数因式分解，分类讨论的取值范围即可求解； （2）根据题意，将不等式转化为，分类讨论的取值范围即可求解. 【详解】（1）由题：，二次函数开口向上，方程的根为，， 当时，开口向上，不等式的解集为：{或}； 当时，不等式变为，解集为：{且}； 当时，开口向上，不等式的解集为{或}； 综上所述，当时，解集为{或}； 当时，解集为{且}； 当时，解集为{或}． （2）由题：，即， 当时（即），； 当时（即），； 当时（即），； 综上所述，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 【典例2】（25-26高一上·河北唐山·期中）解关于的不等式． 【答案】当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为全体实数， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【分析】根据实数的正负性，结合一元二次不等式解集的性质分类讨论进行求解即可. 【详解】由已知，得，： 当时，不等式化为，解得； 当时，不等式等价于， 若，解得，或； 若，解得， 若，解得，或； 当时，不等式等价于，解得. 综上所述，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为全体实数， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【变式1】（25-26高一上·江苏无锡·期中）设． (1)当时，，使得，求实数a的取值范围； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1) (2)当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为． 【分析】（1）先求出时，函数的最小值，再利用已知命题得出大于等于函数的最小值，进而求出的取值范围； （2）先对原不等式化简，再对进行分类讨论解不等式求出不等式的解集． 【详解】（1）当时，，函数图象开口向上，对称轴为， 函数最小值， ，使得，则， 的取值范围为． （2）， ， 当时，不等式化为，解得，解集为； 当时，解不等式得 ，解集为； 当时，，不等式化为，解得或，故解集为； 当时，不等式化为，解得，解集为； 当时，，不等式化为，解得或， 故解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 【变式2】（25-26高一上·江苏常州·期中）已知不等式的解集为或. (1)求的值； (2)解关于的不等式. 【答案】(1)， (2) 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根之间的关系，结合韦达定理可构造方程组求得的值； （2）根据一元二次不等式的解法，通过对的范围的讨论确定解集. 【详解】（1）不等式的解集为或， 方程的两根为和，且， ，解得：，. （2）由（1）知：； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 题型三 由一元二次不等式的解确定参数 解｜题｜技｜巧 - 不等式解集的端点就是对应方程的根。 - 利用韦达定理：，。 - 已知解集形式反推： - 解集为 或 → 用判别式； - 解集为区间 → 端点即方程根，韦达定理列方程。 易｜错｜点｜拨 - 端点是否取到与不等号方向对应错误。 - 韦达定理应用时符号搞错（ 的负号）。 - 忘记验证二次项系数符号（解集方向决定开口方向）。 答｜题｜模｜板 1. 由解集确定开口方向和 情况； 2. 解集端点即方程根，代入韦达定理； 3. 列方程求参数； 4. 回代验证。 【典例1】（25-26高一下·四川成都·期中）已知关于的不等式的解集为. 则（   ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式 的解集是 【答案】BC 【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，结合韦达定理逐项分析判断即可. 【详解】由题意知，（A错误），且，是方程的两根， 所以，，即，. B：可化为，因为，， 所以不等式的解集是，B正确. C：因为，所以，C正确， D：可化为， 因为，所以，解得或，故D错误. 【典例2】（25-26高一上·重庆·期中）已知关于 的不等式 的解集为 ，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． 的解集为 D． 的最大值为 1 【答案】BCD 【分析】根据三个“二次”的关系逐项判断A、B、C，代入消元求解判断D. 【详解】对于A：因为不等式的解集为， 所以对应函数开口向上，所以，A错误； 对于B：由已知可知的两根为， 由韦达定理可得，所以，B正确； 对于C：因为不等式的解集为， 所以的解集为， 即的解集为，C正确； 对于D：由得， 所以， 当时，取得最大值，D正确； 故选：BCD. 【变式1】（25-26高一上·贵州遵义·期中）已知关于x的一元二次不等式的解集为或，则下列说法正确的是（   ） A． B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】AB 【分析】根据不等式的解集对应二次函数开口向上判断，再根据方程的根结合韦达定理可得，从而解BCD选项中的不等式. 【详解】对于A，由题可知二次函数开口向上则，且对应方程的两根为 、， 代入不等式对应方程可得：，A选项正确； 对于B，解不等式 ，代入 ，： ，两边除以 （负数）需变号： ，B选项正确； 对于C，解不等式 ，代入 ，： 两边除以 可得： 解方程 ： 不等式 的解集为：或，C选项错误； 解不等式 ，代入 ，： 可得：，两边除以 ， ， 解集为：或，D选项错误. 故选：AB 【变式2】（25-26高一上·重庆·期中）已知关于的一元二次不等式的解集为或，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】ABD 【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程的根之间的关系求得关系，可判断AB；根据一元二次不等式的解法可判断C；根据一元一次不等式的解法可判断D. 【详解】∵一元二次不等式的解集为或， ∴是方程，且， ∴，且，故B正确； ∴，，，从而，故A正确； 不等式即为，可化为， 即，解得或， ∴不等式的解集为或，故C错误； 不等式即为，可化为，解得， ∴不等式的解集为，故D正确， 故选：ABD. 题型四 一元二次方程根与零的大小关系 解｜题｜技｜巧 - 设方程 （）： - 两正根 - 两负根 - 一正一负根 （此时 自动满足）。 - 配合开口方向和韦达定理。 易｜错｜点｜拨 - 漏 ，只看韦达定理（可能无根）。 - 两正/两负与一正一负的条件混淆。 - 开口方向未定时直接用韦达定理结论。 答｜题｜模｜板 1. 确定开口方向（或化 ）； 2. 根据根的正负情况列 + 韦达定理不等式组； 3. 解不等式组； 4. 验证。 【典例1】（25-26高一上·北京延庆·期中）若关于的方程有一个正根和一个负根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，借助韦达定理列出不等式求解即得. 【详解】由关于的方程有一个正根和一个负根，得该方程为一元二次方程， 因此，解得，所以实数的取值范围是. 故选：B 【典例2】（25-26高一上·广东佛山·期中）如果关于的一元二次方程有两个不同的正数实数根，那么的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程有两个不同的正实根，则两根之和大于零，两根之积大于零及，列出不等式组，解出即可. 【详解】因为关于的一元二次方程有两个不同的正数实数根， 则有， 故选：A 【变式1】（25-26高一上·上海宝山·期中）若方程有两个正根，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用一元二次方程实根分布列式求解. 【详解】由方程有两个正根，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【变式2】（25-26高一上·天津静海·期中）已知方程有一正根一负根，且正根绝对值大于负根绝对值，则实数m的取值范围是______. 【答案】 【分析】结合题意根据二次方程的性质，利用韦达定理列不等式求解. 【详解】因为方程，存在2个根， 所以， 解得或 设方程的两个根为，， 因为两根一正一负，所以，解得； 因为正根绝对值大于负根绝对值，所以，解得， 综上可得，. 故答案为：. 题型五 一元二次方程根与非零实数的大小关系 解｜题｜技｜巧 - 设 （），根与常数 比较： - 两根都大于 - 两根都小于 - 一根大于 ，一根小于 （）。 - 本质是根的平移：令 转化为根的正负问题。 易｜错｜点｜拨 - 对称轴、、 三个条件漏写。 - 一根大于 一根小于 时，误用 条件（此时 已保证 ）。 - 开口方向未化正时， 的符号方向搞反。 答｜题｜模｜板 1. 化 ，写对称轴和 ； 2. 按根与 的大小关系列三条件； 3. 解不等式组； 4. 验证。 【典例1】（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【分析】设关于x的方程的两个根分别为，根据满足的条件列不等式组，解不等式组即可得实数的取值范围. 【详解】设关于x的方程的两个根分别为, 则由根与系数的关系，知 所以由题意知， 即 ，解得. 故选：B. 【典例2】（25-26高一上·广东广州·期中）若关于的方程的一个实根小于，另一个实根大于1，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出函数大致的图象，由图象得出和处对应的函数值小于0，列出不等式求解即可. 【详解】令，作出函数大致的图象如图所示， .由图象知，当时；，解得； 当时，，解得. 综上可得，，故选D. 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的根分布问题，属于中档题. 【变式1】（25-26高一上·福建厦门·期中）已知方程的两根一个比2大另一个比2小，则实数m的范围是 ____________ . 【答案】 【分析】利用分解因式求出方程的两个根，再结合题意，列出不等关系求解即可. 【详解】方程，可得， 故方程的两个根分别为或. 由于两根一个比2大另一个比2小， 故,解得， 故答案为：. 【变式2】（25-26高一上·江苏南京·期中）若关于的方程的两根均大于1，则整数m的值为______. 【答案】 【分析】设，根据题意，且，即可得解. 【详解】不妨设关于的方程的两实数根为，， 且两根均大于1， 设， 则，则， 且，则， 所以，则整数m的值为. 故答案为： 题型六 一元二次方程根在具体区间上的分布问题 解｜题｜技｜巧 - 设 （），根落在区间 内： - 两根都在 - 一根在 内，一根在外 ； - 两根分别在区间两侧（一根 ，一根 ）。 - 画数轴，结合开口方向、对称轴、区间端点函数值、判别式综合判断。 易｜错｜点｜拨 - 四条件（、对称轴、、）漏写。 - 端点开闭导致 、 的不等号方向变化。 - 开口方向未化正，函数值符号全反。 - “两根都在区间内”忘记对称轴条件。 答｜题｜模｜板 1. 化 ，写对称轴； 2. 根据根的分布类型列对应条件组； 3. 解不等式组； 4. 验证端点开闭。 【典例1】（25-26高一上·山西运城·期中）方程的一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，由二次函数根的分布性质有，，，求得的取值范围. 【详解】令，由二次函数根的分布性质，若一根在区间内， 另一根在区间（3，4）内， 只需，即， 解不等式组可得，即的取值范围为， 故选：C. 【点睛】本题考查了二次函数根的分布性质，属于中档题. 【典例2】（25-26高一上·山东威海·期中）已知方程的两根都在区间内，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用一元二次方程实根分布列出不等式组求解即得. 【详解】令，设的两根为， 由都在区间内，得，解得， 所以m的取值范围为. 故选：D 【变式1】（25-26高一上·湖南株洲·期中）已知关于的方程的两根分别在区间，内，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【分析】转化化二次函数零点分布问题，数形结合得到不等式组，求出的取值范围. 【详解】令， 根据题意得， 由①得：，由②得：，由③得：， 求交集得： 故的取值范围为. 故答案为： 【变式2】（25-26高一上·湖北武汉·期中）关于的一元二次方程在区间内、外各有一个实数根，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】令，当不是方程的根时，得到，求解得到的范围；再验证当以及是方程的根时是否满足题意，即可得出结果. 【详解】在区间内、外各有一个实数根， 令， 当不是方程的根时， 所以， 解得：； 当是方程的根时， 得， 此时方程变为：， 解得：或， 在区间内，在区间外，符合题意； 当是方程的根时，得， 此时方程变为：， 解得：或， 此时方程的两根均在区间外，不符合题意； 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】易错点睛：本题考查利用一元二次方程根的分布问题求参数，解题时要注意分析判别式、对称轴以及端点（与根比大小的数）的函数值符号. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一上·山东济南·期中）一元二次不等式的解集是（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式的解法可得答案. 【详解】由，即， 解得：. 故选：B 2．（25-26高一上·河北石家庄·期中）已知关于的不等式的解集为，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．的解集为 D． 【答案】ACD 【分析】根据一元二次不等式的解集和二次函数图象之间关系可知A错误；根据解集与一元二次方程根之间关系，结合韦达定理可用表示，由此依次判断BCD选项即可. 【详解】对于A，的解集为，即函数图象在轴下方的图象对应的的取值范围为， ，A错误； 对于B，的解集为且， 的两根分别为和， ，，B正确； 对于C，，， ，，解得：， 的解集为，C错误； 对于D，，D错误. 故选：ACD. 3．（25-26高一下·山东潍坊·期中）若关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为______. 【答案】 【详解】已知不等式 的解集为 ，说明二次项系数 ， 且 和 是一元二次方程 的两个实根， 所以，所以 ， 代入不等式 ，得0，因为， 所以，所以，所以, 不等式的解集为 4．（23-24高一上·湖南张家界·期中）解下列不等式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将不等式等价变形后通过因式分解即可求得其解集； （2）将分式不等式化成一元二次不等式求解即得； （3）将不等式等价变形后，根据对应方程的根的判别式小于零，结合图象即得不等式解集. 【详解】（1）因， 则原不等式的解集为； （2）因， 则原不等式的解集为； （3）因， 因方程的判别式，故原不等式的解集为. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高二下·北京朝阳·期中）“”是“不等式的解集为空集”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】“不等式的解集为空集”等价于“不等式在上恒成立”， 其充要条件为，即. 因为能推出，推不出， 所以“”是“不等式的解集为空集”的充分不必要条件. 2．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知关于的方程，则下列说法正确的是（ ） A．当时，方程的两个实根和为0 B．方程无实根的一个必要条件是 C．方程有两个正实根的充要条件是 D．方程有两个正实根的一个充分条件是 【答案】BCD 【详解】对于A，当时，方程无实数根，所以A错误； 对于B，方程无实数根，则，解得， 又由是的真子集，方程无实根的一个必要条件是， 所以B正确； 对于CD，方程有两个正实数根的充要条件是， 解得，且是的真子集， 所以方程有两个正实根的一个充分条件是，故CD正确. 3．（25-26高一上·山东威海·期中）已知方程的两根分别是和，且满足，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【分析】由根的判别式和韦达定理得到不等式组，求出答案 【详解】由题意得，解得或， 又，即，故，解得， 综上，的取值范围是 4．（24-25高一上·内蒙古包头·期中）求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 【分析】（1）解一元二次不等式即可得答案； （2）将分式不等式转化为整式不等式求解，即得答案； （3）不等式可化为，分类讨论a的取值，即可求得答案. 【详解】（1）由得， 即，解得， 故不等式的解集为. （2）由得， 即，也即为， 故，解得， 故不等式的解集为. （3）不等式可化为， 当时，解得； 当时，原不等式即为， 当时，，. 当时，，此时不等式解集为； 当时，， 当时，原不等式即为， 因为，所以，所以或. 综上所述，原不等式的解集为： 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知关于x的不等式恰有一个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】对二次不等式左边进行因式分解，先讨论二次项系数，分析得到不符合题意；再讨论二次项系数得到解集，进而得到解集中的一个整数元素，从而得到不等式，解得的取值范围. 【详解】∵ 当，即，不等式解集为或， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即，不等式解集为， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即， 当时，， 不等式解集为， ∴原不等式没有整数解，不符合题意，故舍去； 当时，，即， 不等式解集为空集，∴不符合题意，故舍去； 当时，， 不等式解集为， ∴原不等式的个整数解为：， ∴，则； 综上所述：. 2．（25-26高一上·湖北孝感·期中）已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】BC 【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，结合韦达定理可得，再利用基本不等式逐项判断即可. 【详解】由题意知不等式的解集为， 所以，且方程的两根为和1， 所以，所以，， 所以，故A错误； 因为，所以， 所以， 当，时，的最小值为，故B正确； 因为，，所以，即，解得， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，故C正确； ， 当且仅当，即时等号成立， 但由C可知，所以等号无法取到，所以最小值不是，故D错误. 故选：BC． 3．（25-26高一上·辽宁大连·期中）若方程（，）在上有实根，则的最大值为______. 【答案】 【分析】通过不断构造函数利用一元二次函数性质求解最值. 【详解】设实根，则， ，所以. 由二次函数特性可知，时取得最大值. ， 又当时取得最大值，且. 所以. 4．（25-26高一上·安徽·期中）已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，解关于的不等式； (2)已知，. （i）若，使得恒成立，求实数的取值范围； （ii）若，求不等式的解集. 【答案】(1)或 (2)（i）； （ii）当时，的解集为；当时，的解集为. 【分析】（1）根据二次函数、二次方程、二次不等式的关系可得方程有两个解分别为，，且，结合二次方程根与系数的关系可得参数之间的关系，代入，解不等式即可； （2）（i）分情况讨论二次函数的单调性与最值情况，可得参数范围；（ii）分情况讨论函数的零点情况，进而可解得不等式. 【详解】（1）由题意可知方程有两个解分别为，，且， 即，则， 则代入得： 又，所以， 解得或， 故所求不等式的解集为或. （2）（i）依题意，的对称轴为， 对恒成立在上的最大值小于恒成立， ①当时，在上单调递增， ， ，解得， 符合条件； ②当时，在上单调递减， ， ，解得， 符合条件； 综上所述，实数的取值范围为. （ii）依题意，； 已知，则； ①若，即时， 结合图象可知在上单调递减， 又，在上恒成立； ②若，即或， 令，解得，，其中， （a）若，则，故， 结合图象可知在上恒成立； （b）若，则，故， 结合图象，即的解集为， 综上所述，当时，的解集为；当时，的解集为. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 三个“二次”的关联与根的分布 （期中复习讲义·培优版） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 解不含参的二次不等式 题型02 解含参的二次不等式 题型03 由一元二次不等式的解确定参数 题型04 一元二次方程根与零的大小关系 题型05 一元二次方程根与非零实数的大小关系 题型06一元二次方程根在具体区间上的分布问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 三个”二次”的联系 打通二次函数图像、 的根、不等式解集三者关系：由开口、 与根的大小互译图像、根、解集 函数/方程/不等式交汇核心，选择填空常以图像辨析形式出现 实根分布（区间根） 两根同在 、一根在 、两根异号等情形，按” + 对称轴位置 + 端点函数值符号”列条件组 解答题常见；漏 、漏端点取等、忘开口方向是主要失分点 韦达定理应用 不求根直接用 、 处理根的符号、对称式与 常与解析几何、数列交汇命题，是设而不求思想的基础 知识点01 三个”二次”的内在关联 核心概念：二次函数 、一元二次方程 、一元二次不等式 （）三者同源——方程的根就是函数图像与 轴的交点，不等式的解集就是图像在 轴上方（下方）对应的 范围。 核心关联（以 为例）： 方程根 图像与x轴 解集 两不等根 两个交点 重根 一个切点 无实根 无交点 韦达定理（根与系数关系）： 解题原理：三个二次互相转化——解不等式靠图像，求参数靠方程，判根靠函数图像。 易错点： · 易错点总结：把不等式解集与方程根割裂，不会用图像理解解集。 · 注意事项总结：画草图是通法——开口方向、对称轴、与x轴交点三个要素一画，解集、根的位置一目了然。 知识点02 根的正负分布（韦达定理法） 核心模型：不解方程，由根的符号反推参数范围。 核心条件（）： 根的情况 充要条件 两根都正 两根都负 一正一负 （自动满足 ） 两根都正且一大于k 结合区间条件（见考点四） 示例： 若方程 的两根都大于 ，求 的范围。 解： ① 或 ； ② ； ③ 。 取交集：。 易错点： · 易错点总结：只列韦达条件，忘 ——两根都正必须先有实根。 · 注意事项总结：“两根同号”类问题，三条件缺一不可：、和的符号、积的符号；只有”一正一负”可省略 （积为负自动保证 ）。 知识点03 根的区间分布——基础模型（ 符号法） 核心模型：判断根是否在某个常数 的一侧。 核心结论（）： 根的情况 充要条件 一根大于 ，一根小于 两根都大于 两根都小于 示例： 若方程 的一根大于 ，一根小于 ，求 。 解： 开口向上，需 ： 易错点： · 易错点总结：“两根都大于k”只列 ，忘对称轴和 。 · 注意事项总结：“一根大于k一根小于k”最容易（）；“两根都大于k”要三条件：、对称轴在k右侧、。 知识点04 两根都在区间 内 核心模型：两根都落在开区间 内。 充要条件（）： 图示理解：开口向上，轴在 内，端点处函数值为正，判别式非负——图像与 轴两交点都在区间内。 示例： 若方程 的两根都在 内，求 。 解：对称轴 。 ① 或 ； ② ； ③ ； ④ 。 取交集：。 易错点： · 易错点总结：漏列 或 ，只列对称轴和 。 · 注意事项总结：区间根分布四条件必须全列：、对称轴位置、两端点函数值符号，缺一不可。 知识点05 根的”分居”问题（一根在区间内，一根在外） 核心模型：两根分别在区间 的内外两侧。 核心结论（）： 根的情况 充要条件 一根在 内，一根在外 一根在 ，一根小于 一根在 ，一根大于 示例： 若方程 的一根在 内，另一根在 外，求 。 解：，即 解得 （无解，或原式解集按计算确定）。 易错点： · 易错点总结：把”分居”和”都在区间内”条件搞混。 · 注意事项总结：端点异号（）一定有根在区间内，但不一定是一根在内一根在外——需结合题意。 知识点06 二次方程根分布的通法（数形结合） 核心方法：画开口方向、对称轴、特殊点函数值符号，用图像判断根的位置。 解题四步法： 1. 定开口：由 的正负确定抛物线开口方向； 1. 定轴位：求对称轴 ，标出与区间端点的关系； 1. 定函数值：计算区间端点、特殊点的函数值符号； 1. 定判别式：确保根存在（）。 根分布条件速查表（）： 条件 对称轴 两不等根 不限 不限 不限 两根 — 两根 — 两根 一根 一根 不限 不限 — 一根在 不限 不限 — 易错点： · 易错点总结：开闭口方向反了，所有符号条件都跟着反。 · 注意事项总结：若 ，先两边乘 把 化为正，再套上表，避免符号混乱。 知识点07 三个二次综合——由不等式解集反求参数 核心模型：已知一元二次不等式的解集，反求二次函数系数。 核心原理：不等式的解集端点就是对应方程的根——直接用韦达定理。 示例： 已知不等式 的解集为 ，求 。 解：由解集 知 ，且 是方程 的两根。 由韦达定理： 取 ，则 ，，即 。 易错点： · 易错点总结：忘 的正负——解集在”中间”（如 ）说明开口向下，。 · 注意事项总结：不等式 的解集是”两根之外” ；是”两根之间” 。 题型一 解不含参的二次不等式 解｜题｜技｜巧 - 步骤：化标准（二次项系数化正）→ 求判别式 → 求根 → 画草图 → 写解集。 - 口诀：大于取两边，小于取中间（前提：二次项系数为正）。 - 无根（）： 解集为 ， 解集为 。 易｜错｜点｜拨 - 二次项系数为负时不化正，直接套”大于取两边”导致方向错误。 - 端点开闭与不等号对应错误（ 含端点，/ 不含）。 - 无根时解集写成空集或全体搞反。 答｜题｜模｜板 1. 二次项系数化正； 2. 计算 ，求实根； 3. 画开口方向草图； 4. 按”大于取两边，小于取中间”写解集。 【典例1】（25-26高一上·宁夏银川·期中）不等式的解集为（    ） A．或 B． C． D．或 【典例2】（25-26高一上·天津滨海·期中）不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·四川成都·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2】不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 题型二 解含参的二次不等式 解｜题｜技｜巧 - 分类讨论两个维度： - 二次项系数：正、负、零（ 退化为一次）； - 判别式：、、； - 根的大小：若两根含参，比较两根大小。 - 按层次逐级分类，不重不漏。 易｜错｜点｜拨 - 漏讨论二次项系数为0。 - 两根含参时忘记比较大小，直接写解集。 - 分类层次混乱，重复或遗漏。 答｜题｜模｜板 1. 讨论二次项系数 的符号（含 ）； 2. 对 ，讨论 的三种情况； 3. 有根时比较两根大小，写解集； 4. 综合各类结果。 【典例1】（25-26高一上·江西南昌·期中）（1）求关于的不等式的解集，其中为常数． （2）求关于的不等式的解集，其中为常数． 【典例2】（25-26高一上·河北唐山·期中）解关于的不等式． 【变式1】（25-26高一上·江苏无锡·期中）设． (1)当时，，使得，求实数a的取值范围； (2)解关于x的不等式． 【变式2】（25-26高一上·江苏常州·期中）已知不等式的解集为或. (1)求的值； (2)解关于的不等式. 题型三 由一元二次不等式的解确定参数 解｜题｜技｜巧 - 不等式解集的端点就是对应方程的根。 - 利用韦达定理：，。 - 已知解集形式反推： - 解集为 或 → 用判别式； - 解集为区间 → 端点即方程根，韦达定理列方程。 易｜错｜点｜拨 - 端点是否取到与不等号方向对应错误。 - 韦达定理应用时符号搞错（ 的负号）。 - 忘记验证二次项系数符号（解集方向决定开口方向）。 答｜题｜模｜板 1. 由解集确定开口方向和 情况； 2. 解集端点即方程根，代入韦达定理； 3. 列方程求参数； 4. 回代验证。 【典例1】（25-26高一下·四川成都·期中）已知关于的不等式的解集为. 则（   ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式 的解集是 【典例2】（25-26高一上·重庆·期中）已知关于 的不等式 的解集为 ，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． 的解集为 D． 的最大值为 1 【变式1】（25-26高一上·贵州遵义·期中）已知关于x的一元二次不等式的解集为或，则下列说法正确的是（   ） A． B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【变式2】（25-26高一上·重庆·期中）已知关于的一元二次不等式的解集为或，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 题型四 一元二次方程根与零的大小关系 解｜题｜技｜巧 - 设方程 （）： - 两正根 - 两负根 - 一正一负根 （此时 自动满足）。 - 配合开口方向和韦达定理。 易｜错｜点｜拨 - 漏 ，只看韦达定理（可能无根）。 - 两正/两负与一正一负的条件混淆。 - 开口方向未定时直接用韦达定理结论。 答｜题｜模｜板 1. 确定开口方向（或化 ）； 2. 根据根的正负情况列 + 韦达定理不等式组； 3. 解不等式组； 4. 验证。 【典例1】（25-26高一上·北京延庆·期中）若关于的方程有一个正根和一个负根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一上·广东佛山·期中）如果关于的一元二次方程有两个不同的正数实数根，那么的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·上海宝山·期中）若方程有两个正根，则实数的取值范围是__________. 【变式2】（25-26高一上·天津静海·期中）已知方程有一正根一负根，且正根绝对值大于负根绝对值，则实数m的取值范围是______. 题型五 一元二次方程根与非零实数的大小关系 解｜题｜技｜巧 - 设 （），根与常数 比较： - 两根都大于 - 两根都小于 - 一根大于 ，一根小于 （）。 - 本质是根的平移：令 转化为根的正负问题。 易｜错｜点｜拨 - 对称轴、、 三个条件漏写。 - 一根大于 一根小于 时，误用 条件（此时 已保证 ）。 - 开口方向未化正时， 的符号方向搞反。 答｜题｜模｜板 1. 化 ，写对称轴和 ； 2. 按根与 的大小关系列三条件； 3. 解不等式组； 4. 验证。 【典例1】（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【典例2】（25-26高一上·广东广州·期中）若关于的方程的一个实根小于，另一个实根大于1，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·福建厦门·期中）已知方程的两根一个比2大另一个比2小，则实数m的范围是 ____________ . 【变式2】（25-26高一上·江苏南京·期中）若关于的方程的两根均大于1，则整数m的值为______. 题型六 一元二次方程根在具体区间上的分布问题 解｜题｜技｜巧 - 设 （），根落在区间 内： - 两根都在 - 一根在 内，一根在外 ； - 两根分别在区间两侧（一根 ，一根 ）。 - 画数轴，结合开口方向、对称轴、区间端点函数值、判别式综合判断。 易｜错｜点｜拨 - 四条件（、对称轴、、）漏写。 - 端点开闭导致 、 的不等号方向变化。 - 开口方向未化正，函数值符号全反。 - “两根都在区间内”忘记对称轴条件。 答｜题｜模｜板 1. 化 ，写对称轴； 2. 根据根的分布类型列对应条件组； 3. 解不等式组； 4. 验证端点开闭。 【典例1】（25-26高一上·山西运城·期中）方程的一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一上·山东威海·期中）已知方程的两根都在区间内，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·湖南株洲·期中）已知关于的方程的两根分别在区间，内，则实数的取值范围为__________． 【变式2】（25-26高一上·湖北武汉·期中）关于的一元二次方程在区间内、外各有一个实数根，则实数的取值范围是___________. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一上·山东济南·期中）一元二次不等式的解集是（   ） A．或 B． C．或 D． 2．（25-26高一上·河北石家庄·期中）已知关于的不等式的解集为，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．的解集为 D． 3．（25-26高一下·山东潍坊·期中）若关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为______. 4．（23-24高一上·湖南张家界·期中）解下列不等式： (1)； (2)； (3). 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高二下·北京朝阳·期中）“”是“不等式的解集为空集”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知关于的方程，则下列说法正确的是（ ） A．当时，方程的两个实根和为0 B．方程无实根的一个必要条件是 C．方程有两个正实根的充要条件是 D．方程有两个正实根的一个充分条件是 3．（25-26高一上·山东威海·期中）已知方程的两根分别是和，且满足，则实数a的取值范围是________． 4．（24-25高一上·内蒙古包头·期中）求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3) 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知关于x的不等式恰有一个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 2．（25-26高一上·湖北孝感·期中）已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 3．（25-26高一上·辽宁大连·期中）若方程（，）在上有实根，则的最大值为______. 4．（25-26高一上·安徽·期中）已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，解关于的不等式； (2)已知，. （i）若，使得恒成立，求实数的取值范围； （ii）若，求不等式的解集. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $