04 专题四 二次函数与一元二次不等式讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

人教A版高一上期中专项复习 · 专题四 二次函数与一元二次不等式 全国各地市期中真题精选 · 9 题型讲练 + 过关检测 【学生版】 班级：______________ 姓名：______________ 题 型 目 录 题型 考点 例题来源 题数 二次函数的定区间最值 二次函数最值 2026衡水中学期中 4 题 二次函数的动轴最值讨论 二次函数最值 2026嘉兴八校联盟期中 5 题 二次方程根的分布 二次方程根的分布 2026沈阳五校协作体期中 4 题 二次不等式恒成立 二次不等式恒成立 · 恒成立与存在性问题 2026郑州一中期中 5 题 一元二次不等式的求解 一元二次不等式解法 2026台州十校联盟期中 4 题 分式与高次不等式 分式不等式 2026镇海中学期中 3 题 含参一元二次不等式讨论 含参一元二次不等式 2026郧阳中学期中 5 题 三个二次的关系应用 三个二次的关系 2026深圳盟校期中 5 题 不等式新定义与综合 一元二次不等式解法 · a距增函数新定义 · 不等式新定义 2026常州金坛一中期中 3 题 　知识清单 ▍一、概念梳理 1. 三个二次的关系：二次函数 （）的图象与 轴交点的横坐标， 就是二次方程 的实数根，也是使二次三项式变号的分界点， 图象、方程的根、不等式的解集三位一体，这是本册全部问题的主线。 2. 解集与图象的对应： 的解集是图象位于 轴上方部分对应的 范围， 的解集是图象位于 轴下方部分对应的 范围。 3. 区间型解集与"两边型"解集的互判：解集在两根之间说明开口方向与不等号方向"相反" （如 时 的解集必为两边型 或 ），可用于快速检验。 4. 分式不等式与整式不等式的互化：同号相除等价于同号相乘， 即 ；带等号时必须补充"分母不为零"。 5. 二次函数定区间最值：开口与对称轴确定后，最值只取决于对称轴与闭区间的位置关系， 轴在区间内时最小值（开口向上）取顶点值，轴在区间外时最值都在端点处取得。 6. 二次函数动轴（动区间）最值：轴或区间含参数时，最值是参数的函数（分段函数）， 须按对称轴在区间左侧、内部、右侧三类分别表达，并注明每类参数的取值范围。 7. 二次方程根的分布：给定根的符号或根所在的区间， 利用开口方向、对称轴位置、区间端点函数值与判别式，反向列出参数满足的不等式组。 8. 恒成立与能成立： 型恒成立取最值"卡边界"（比较最大值）， 型能成立取最值"够到即可"（比较最小值）。 9. 不等式新定义题：题面给出新记号、新运算或新性质（如 /min 记号、 数列、"a距"增函数、高斯函数）， 实质是把新定义逐句翻译成不等式、方程或运算律问题，再回到"三个二次"的工具箱求解。 ▍二、法则与公式 1. （）的解集与 对应：（两根 ）时解集为两边型； 时解集为 ； 时解集为 。 2. （）的解集与 对应： 时解集为 ； 或 时解集均为 ； 时先两边乘 化为开口向上再套用。 3. 韦达定理：若 是 的两根，则 ，； 常用对称式 。 4. 由解集反求系数：解集端点即对应方程的根，且两边型 、中间型 ， 先定开口符号，再用韦达定理列方程组解出参数。 5. 判别式 ： 两不等实根， 两相等实根， 无实根； "解集为 ""方程无实根""恰有一个根"等条件都要先翻译成 的不等式。 6. 定区间最值：开口向上且 时，最小值为 ， 最大值为 与 中的较大者；轴在区间外时最大值与最小值都在端点处取得。 7. 二次项系数含参：必须先讨论系数为 （退化为一次不等式）的情形， 再按开口向上、开口向下分别套用二次的结论。 8. max/min 记号法则： 等价于 ，， 同时成立； 求 的最值时常将几个不等式同向相加（如 ）。 9. 数列操作的封闭性：， 时恒有 ， "操作不出界"的证明（同时验证 与 两侧）是新定义解答题的常见第一关。 ▍三、方法技巧 1. 一元二次不等式的求解四步：化标准形（右边为0，最好开口向上）→ 求对应方程的根 → 按开口方向与不等号方向写解集 → 按题目要求用集合或区间表示；应用题最后与实际限制取交集。 2. 分式与高次不等式穿根法五步：化标准形并把最高次项系数化正 → 因式分解并标出各根 → 数轴标根 → 奇次因式穿、偶次因式不穿 → 从右上方画曲线取上正下负，端点虚实看等号。 3. 含参一元二次不等式讨论三看：一看开口（二次项系数分类，含 退化情形）； 二看判别式（决定根的个数与解集形态）；三看两根大小不确定时按参数分段比较后写解集。 4. 三个二次的关系应用：解集反求系数用"端点即根＋开口定号＋韦达定理"三步； 代回新不等式后重新按"开口＋因式分解＋变号规则"求解，除以负系数必须变号。 5. 不等式新定义与综合三步：逐句读定义并符号化（新记号、新运算写成式子）→ 验证封闭性或运算律（交换律、结合律），把复杂操作化简为可控的计算 → 套用三个二次工具求解，最后回代检验每一步仍满足定义。 6. 二次函数定区间最值：比较对称轴与区间的位置——轴在区间左侧则区间上单调递增， 轴在右侧则单调递减，轴在区间内部则顶点与较远端点分别给出最小、最大值。 7. 二次函数动轴最值讨论：轴动区间定按轴在区间左侧、内部、右侧三类写分段函数； 轴定区间动按区间端点与对称轴的远近分类讨论最大值，结果写成分段函数并注明参数范围。 8. 二次方程根的分布端点值法四步：画草图定开口 → 按根的位置定对称轴的范围 → 定区间端点函数值的符号（两根同在区间内则端点值同开口同号）→ 补 ，列不等式组取交集。 9. 二次不等式恒成立三条路：在 上恒成立用开口＋判别式法（系数含参先讨论为零）； 闭区间上恒成立用最值法（比较端点值与顶点值，注意开闭）；分离后另一侧易求最值时用参变分离。 ▍四、易错警示 1. 忘先化正：解 时两边乘 忘变号会错； 正确做法：化为 ，解集为 。 2. 穿根必须"奇过偶不留"：解 时把 也画成穿过会丢限制； 正确解集为 且 。 3. 含参勿漏 分类：直接套求根公式会漏掉 时解集为 型、 时解集为空集或全集的情形，三类缺一不可。 4. 二次项系数含参漏讨论 ：如 的问题不讨论 直接用 会出错； 时化为一次不等式 须单独求解检验。 5. 分式不等式去分母必加定义域：解 时直接两边乘 不讨论符号会丢根； 应化为 且 ，解集为 或 。 6. 参变分离后注意端点开闭： 上 恒成立， 若 的上界在端点取不到，边界写 还是 必须依开闭而定。 7. 韦达定理使用前先验 ：由 解出两个参数值后， 必须代回 （或两根同号等附加条件）检验舍根，否则保留不满足实根存在的参数值。 8. 恒成立与能成立方向勿写反： 恒成立比较 ， 能成立比较 ，方向写反答案恰好相反。 9. 新定义条件要"用到底"：每操作一步、每判断一项都必须验证仍满足定义 （如 数列每次操作后各项仍在 内），只验证一次就默认永远成立是常见错误。 　二次函数的定区间最值 方法要领　先配方定开口与对称轴，比较对称轴与定区间的位置定单调性：轴在区间外时最值在端点，轴在区间内时顶点处取到最值之一；最大值取两端点函数值与顶点值中的较大者，最小值取较小者。逆向给最值求参时同样按轴在区间左、内、右分类，解出后必须代回所限类别检验取舍。 【例】（2026衡水中学期中 17）已知函数 （）. (1)若方程 有两个实根 ，，且 ，求实数 的值； (2)若函数 在区间 上的最大值为1，求实数 的值. ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026南宁三中期中 17）已知函数 （）. (1)当 时，求不等式 的解集； (2)已知函数 在区间 上的最小值为 ，求 的值. ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2025湛江三校联考期中 11）若函数 的定义域为 ，值域为 ，则 的值可能为（　　）（多选） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2025安岳中学期中 14）若函数 在区间 上的最小值为4，则 的取值集合是______. ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　二次函数的动轴最值讨论 方法要领　动轴按 与定区间的左、内、右三类讨论，动区间则看定对称轴相对动区间的位置，每类写明"当…时，函数在区间上单调…，故最值=f(端点或顶点)"，最后综合成分段函数；动区间含参端点时还要比较两端点函数值（利用 的对称点）定最大值归属。 【例】（2026嘉兴八校联盟期中 16）已知函数 （）. (1)当 时，求函数 在区间 上的值域； (2)求 在区间 上的最小值 的表达式. ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2025泉州六中期中 7）已知函数 在闭区间 上有最大值3，最小值2，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2025重庆巴蜀中学期中 16）已知二次函数 的图象经过 ， 两点，且函数 的最小值是 . (1)求 的解析式； (2)已知 ，讨论 在区间 上的最值. ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2026长沙一中期中 16）已知二次函数 . (1)若 在区间 上是减函数，求实数 的取值范围； (2)若 ，设函数 在区间 上的最小值为 ，求 的表达式. ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练4】（2026望城一中期中 19）设函数 ，其中 . (1)若 ，求函数 在区间 上的值域； (2)若 ，且对任意的 ，都有 ，求实数 的取值范围； (3)若对任意的 ，，都有 ，求实数 的取值范围. ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　二次方程根的分布 方法要领　端点值法：先定开口方向画草图，再把根的位置翻译成不等式组，两根均大于 需 、对称轴在 右侧、 与开口方向同号；两根分居 两侧时开口向上只需 、开口向下只需 ；绝对值型翻折问题转化为图象交点个数看最值。 【例】（2026沈阳五校协作体期中 13）若函数 有两个零点 ，，且 ，，则实数 的取值范围是______. ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2025封开南丰中学期中 19）已知二次函数 . (1)若不等式 的解集为 ，求 ， 的值； (2)当 时，方程 有一个根小于1，一个根大于1，求实数 的取值范围. ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026昆明一中期中 14）已知函数 ，若存在实数 ，使得关于 的方程 有四个不同的实数根，则实数 的取值范围是______. ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2026东北育才高中期中 18）已知函数 . (1)若函数 在区间 上不具有单调性，求实数 的取值范围； (2)若关于 的方程 有两个大于 的不等实根，求实数 的取值范围； (3)若对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围. ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　二次不等式恒成立 方法要领　在 上恒成立用开口方向＋判别式（二次项系数含参先讨论为零）；闭区间上恒成立用最值法或端点值法 ；能分离参数就分离，"存在/有解"改用 （只需小于最大值）；"任意 存在 "转化为两函数最值比较；主元变换把参数当变量，按一次函数单调性定端点。 【例】（2026郑州一中期中 13）若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是______. ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2025江阴成化中学期中 5）若不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2025泉州六中期中 18）已知函数 满足 . (1)求 ， 的值； (2)在 上，函数 的图象总在一次函数 的图象的上方，试确定实数 的取值范围； (3)设当 （）时，函数 的最小值为 ，求 的解析式. ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2025重庆南开中学期中 14）已知关于 的不等式 在区间 上有解，则实数 的取值范围是______. ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练4】（2026哈三中期中 8）若存在 ，使得关于 的不等式 成立，则实数 的取值范围是（　　） A． 或 B． 或 C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　一元二次不等式的求解 方法要领　先化成右边为0的标准形并让开口向上（ 两边乘 变号），求根后按开口方向写解集；应用题解出不等式后必须与实际限制（如最低售价 ）取交集。 【例】（2026台州十校联盟期中 17）已知某商品的成本价为每台10元，每月的销量 （台）与销售单价 （元）之间的关系近似满足一次函数 . (1)设每月获得的利润为 （元），写出 与 之间的函数关系式； (2)规定该商品的单价不能超过25元，如果想要每月获得不少于3000元的利润，那么该商品的售价范围应该为多少？ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026湖南师大附中期中 3）若关于 的不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为（　　） A． B． 或 C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026河南九师联盟期中 7）某商店购进一批纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售额，则这批纪念章的销售单价 （单位：元）的取值范围是（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2026河南九师联盟期中 10）关于 的不等式 （其中 ），其解集可能是（　　）（多选） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　分式与高次不等式 方法要领　一律先移项通分化为 型（带等号时另补分母不为零），再用穿根法：最高次项化正、数轴标根、奇过偶不留、从右上方起画，取上正下负。 【例】（2026镇海中学期中 16）已知集合 ，. (1)求 ； (2)若 ，求实数 的取值范围. ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026大连二十四中期中 4）不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2025南通海门实验学校期中 18）已知关于 的不等式 的解集为 ，不等式 的解集为 . (1)若 ，求 ； (2)若 ，求 的值； (3)若""是""的充分非必要条件，求实数 的取值范围. ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　含参一元二次不等式讨论 方法要领　按三看顺序讨论：一看二次项系数（含 退化为一次），二看判别式定根的个数，三看两根大小不确定时对参数分段（如比较 与 ）；每一类写明"当……时"并给出对应解集。 【例】（2026郧阳中学期中 16）设函数 （）. (1)若关于 的不等式 的解集为 ，求实数 ， 的值； (2)若不等式 对于实数 恒成立，求 的取值范围； (3)解关于 的不等式：. ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026哈尔滨三中期中 17）已知函数 （）. (1)当 时，求不等式 的解集； (2)求不等式 的解集. ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026长沙雅礼中学期中 17）已知函数 （）. (1)若不等式 的解集为 ，求实数 的值； (2)当 时，求不等式 的解集. ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2026河南省实验中学期中 7）关于 的不等式 恰有两个整数解，则实数 的取值范围为（　　） A． B． 或 C． D． 或 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练4】（2026辽宁省实验中学期中 18）记不等式 为不等式（*）. (1)当 时，解关于 的不等式（*）； (2)当 时，关于 的不等式（*）的解集中整数恰好有3个，求实数 的取值范围； (3)当 时，关于 的不等式（*）在 上恒成立，求 的最大值. ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　三个二次的关系应用 方法要领　解集端点就是对应方程的根：两边型定开口向上、中间型定开口向下，再用韦达定理 、 求参数；代回新不等式后除以负系数要变号，含附加最值或整数解条件时再用 或端点值列式。 【例】（2026深圳盟校期中 7）已知关于 的不等式 的解集为 或 ，则 的解集为（　　） A． 或 B． C． 或 D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026云南师大附中期中 5）已知关于 的一元二次不等式 的解集为 ，则关于 的不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 或 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026重庆八中期中 13）若关于 的不等式 的解集为 ，则 ______. ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2026绿城育华学校期中 11）已知关于 的一元二次不等式 的解集为 ，则下列说法正确的有（　　）（多选） A．若 且 ，则 的解集也为 B．若 ，则 的最小值是3 C．若 ，则不等式 的解集为 或 D．若 的值域为 且 ，则 的最小值为 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练4】（2026广州二中四元联考期中 11）关于 的不等式 的解集为 或 ，下列说法正确的是（　　）（多选） A． B．不等式 的解集为 C． 的最大值为 D．关于 的不等式 解集中仅有两个整数，则 的取值范围是 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　不等式新定义与综合 方法要领　逐句把新定义翻译成式子（如 得 各分量， 操作需验证 ，"a距"即 恒成立），能用运算律化简的先化简，再套三个二次工具求解，最后回代检验每一步仍满足定义。 【例】（2026常州金坛一中期中 7）高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的"高斯函数"为：设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数，如：，. 则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026河南省实验中学期中 19）定义：若对定义域内任意 ，都有 （ 为正常数），则称函数 为"a距"增函数. (1)若 ，，试判断 是否为"1距"增函数，并说明理由； (2)若 ， 是"a距"增函数，求 的取值范围； (3)若 ，，其中 ，且 为"2距"增函数，求 的最小值. ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2025长沙长郡中学期中 19）我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 如果一个数列的项是有限个，那么称这样的数列为有穷数列. 已知有穷数列 （）. 若数列 中各项都是集合 的元素，则称该数列为 数列. 对于 数列 ，定义如下操作过程 ：从 中任取两项 ，，将 的值添在 的最后，然后删除 ，，这样得到一个 项的新数列 （约定：一个数也视作数列）. 若 还是 数列，可继续实施操作过程 ，得到的新数列记作 ，如此经过 次操作后得到的新数列记作 . (1)设 数列 ，请写出 的所有可能的结果； (2)求证：对一个 项的 数列 实施操作过程 ，总共可以实施 次； (3)设 数列 ：，，，，，，，，，，求 的可能结果，并说明理由. ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　专题过关检测（限时40分钟 · 满分84分） 一、单选题（每小题6分） 1．（6分）（2026福建南安龙泉中学期中 2）不等式 的解集是（　　） A． B． C． 或 D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 2．（6分）（2025四川安岳中学期中 4）不等式 的解集为（　　） A． B． 或 C． D． 或 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 3．（6分）（2025长沙长郡中学期中 4）若函数 在 上是单调函数，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 4．（6分）（2026杭师大附中期中 7）已知关于 的不等式 恰有一个整数解，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 或 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 二、多选题（每小题6分） 5．（6分）（2025鹤山纪元中学期中 9）下列不等式的解集为 的是（　　）（多选） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 6．（6分）（2026辽宁省实验中学期中 10）若函数 有且只有两个正零点，则（　　）（多选） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 三、填空题（每小题6分） 7．（6分）（2026之江中学期中 12）已知关于 的一元二次方程 无实数解，则实数 的取值范围是______. ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 8．（6分）（2025南通海门实验学校期中 13）已知函数 （）. 若命题"，不等式 恒成立"是假命题，则实数 的取值范围是______. ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 9．（6分）（2025大连二十四中期中 13）若方程 的一个根小于1，另一个根大于1，则实数 的取值范围是______. ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 四、解答题（每小题15分） 10．（15分）（2026云南龙陵一中期中 18）若不等式 的解集是 . (1)解不等式 ； (2) 为何值时， 的解集为 . ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 11．（15分）（2026广州二中四元联考期中 18）已知二次函数 ，满足当 时， 取得最大值2，且 . (1)求二次函数 的表达式； (2)若 ，求函数 的最大值 ； (3)已知函数 的值域为 ，求实数 的取值范围. ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 期中专项复习 · 高一学生版　 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版高一上期中专项复习 · 专题四 二次函数与一元二次不等式 全国各地市期中真题精选 · 9 题型讲练 + 过关检测 【教师版】 题 型 目 录 题型 考点 例题来源 题数 二次函数的定区间最值 二次函数最值 2026衡水中学期中 4 题 二次函数的动轴最值讨论 二次函数最值 2026嘉兴八校联盟期中 5 题 二次方程根的分布 二次方程根的分布 2026沈阳五校协作体期中 4 题 二次不等式恒成立 二次不等式恒成立 · 恒成立与存在性问题 2026郑州一中期中 5 题 一元二次不等式的求解 一元二次不等式解法 2026台州十校联盟期中 4 题 分式与高次不等式 分式不等式 2026镇海中学期中 3 题 含参一元二次不等式讨论 含参一元二次不等式 2026郧阳中学期中 5 题 三个二次的关系应用 三个二次的关系 2026深圳盟校期中 5 题 不等式新定义与综合 一元二次不等式解法 · a距增函数新定义 · 不等式新定义 2026常州金坛一中期中 3 题 　知识清单 ▍一、概念梳理 1. 三个二次的关系：二次函数 （）的图象与 轴交点的横坐标， 就是二次方程 的实数根，也是使二次三项式变号的分界点， 图象、方程的根、不等式的解集三位一体，这是本册全部问题的主线。 2. 解集与图象的对应： 的解集是图象位于 轴上方部分对应的 范围， 的解集是图象位于 轴下方部分对应的 范围。 3. 区间型解集与"两边型"解集的互判：解集在两根之间说明开口方向与不等号方向"相反" （如 时 的解集必为两边型 或 ），可用于快速检验。 4. 分式不等式与整式不等式的互化：同号相除等价于同号相乘， 即 ；带等号时必须补充"分母不为零"。 5. 二次函数定区间最值：开口与对称轴确定后，最值只取决于对称轴与闭区间的位置关系， 轴在区间内时最小值（开口向上）取顶点值，轴在区间外时最值都在端点处取得。 6. 二次函数动轴（动区间）最值：轴或区间含参数时，最值是参数的函数（分段函数）， 须按对称轴在区间左侧、内部、右侧三类分别表达，并注明每类参数的取值范围。 7. 二次方程根的分布：给定根的符号或根所在的区间， 利用开口方向、对称轴位置、区间端点函数值与判别式，反向列出参数满足的不等式组。 8. 恒成立与能成立： 型恒成立取最值"卡边界"（比较最大值）， 型能成立取最值"够到即可"（比较最小值）。 9. 不等式新定义题：题面给出新记号、新运算或新性质（如 /min 记号、 数列、"a距"增函数、高斯函数）， 实质是把新定义逐句翻译成不等式、方程或运算律问题，再回到"三个二次"的工具箱求解。 ▍二、法则与公式 1. （）的解集与 对应：（两根 ）时解集为两边型； 时解集为 ； 时解集为 。 2. （）的解集与 对应： 时解集为 ； 或 时解集均为 ； 时先两边乘 化为开口向上再套用。 3. 韦达定理：若 是 的两根，则 ，； 常用对称式 。 4. 由解集反求系数：解集端点即对应方程的根，且两边型 、中间型 ， 先定开口符号，再用韦达定理列方程组解出参数。 5. 判别式 ： 两不等实根， 两相等实根， 无实根； "解集为 ""方程无实根""恰有一个根"等条件都要先翻译成 的不等式。 6. 定区间最值：开口向上且 时，最小值为 ， 最大值为 与 中的较大者；轴在区间外时最大值与最小值都在端点处取得。 7. 二次项系数含参：必须先讨论系数为 （退化为一次不等式）的情形， 再按开口向上、开口向下分别套用二次的结论。 8. max/min 记号法则： 等价于 ，， 同时成立； 求 的最值时常将几个不等式同向相加（如 ）。 9. 数列操作的封闭性：， 时恒有 ， "操作不出界"的证明（同时验证 与 两侧）是新定义解答题的常见第一关。 ▍三、方法技巧 1. 一元二次不等式的求解四步：化标准形（右边为0，最好开口向上）→ 求对应方程的根 → 按开口方向与不等号方向写解集 → 按题目要求用集合或区间表示；应用题最后与实际限制取交集。 2. 分式与高次不等式穿根法五步：化标准形并把最高次项系数化正 → 因式分解并标出各根 → 数轴标根 → 奇次因式穿、偶次因式不穿 → 从右上方画曲线取上正下负，端点虚实看等号。 3. 含参一元二次不等式讨论三看：一看开口（二次项系数分类，含 退化情形）； 二看判别式（决定根的个数与解集形态）；三看两根大小不确定时按参数分段比较后写解集。 4. 三个二次的关系应用：解集反求系数用"端点即根＋开口定号＋韦达定理"三步； 代回新不等式后重新按"开口＋因式分解＋变号规则"求解，除以负系数必须变号。 5. 不等式新定义与综合三步：逐句读定义并符号化（新记号、新运算写成式子）→ 验证封闭性或运算律（交换律、结合律），把复杂操作化简为可控的计算 → 套用三个二次工具求解，最后回代检验每一步仍满足定义。 6. 二次函数定区间最值：比较对称轴与区间的位置——轴在区间左侧则区间上单调递增， 轴在右侧则单调递减，轴在区间内部则顶点与较远端点分别给出最小、最大值。 7. 二次函数动轴最值讨论：轴动区间定按轴在区间左侧、内部、右侧三类写分段函数； 轴定区间动按区间端点与对称轴的远近分类讨论最大值，结果写成分段函数并注明参数范围。 8. 二次方程根的分布端点值法四步：画草图定开口 → 按根的位置定对称轴的范围 → 定区间端点函数值的符号（两根同在区间内则端点值同开口同号）→ 补 ，列不等式组取交集。 9. 二次不等式恒成立三条路：在 上恒成立用开口＋判别式法（系数含参先讨论为零）； 闭区间上恒成立用最值法（比较端点值与顶点值，注意开闭）；分离后另一侧易求最值时用参变分离。 ▍四、易错警示 1. 忘先化正：解 时两边乘 忘变号会错； 正确做法：化为 ，解集为 。 2. 穿根必须"奇过偶不留"：解 时把 也画成穿过会丢限制； 正确解集为 且 。 3. 含参勿漏 分类：直接套求根公式会漏掉 时解集为 型、 时解集为空集或全集的情形，三类缺一不可。 4. 二次项系数含参漏讨论 ：如 的问题不讨论 直接用 会出错； 时化为一次不等式 须单独求解检验。 5. 分式不等式去分母必加定义域：解 时直接两边乘 不讨论符号会丢根； 应化为 且 ，解集为 或 。 6. 参变分离后注意端点开闭： 上 恒成立， 若 的上界在端点取不到，边界写 还是 必须依开闭而定。 7. 韦达定理使用前先验 ：由 解出两个参数值后， 必须代回 （或两根同号等附加条件）检验舍根，否则保留不满足实根存在的参数值。 8. 恒成立与能成立方向勿写反： 恒成立比较 ， 能成立比较 ，方向写反答案恰好相反。 9. 新定义条件要"用到底"：每操作一步、每判断一项都必须验证仍满足定义 （如 数列每次操作后各项仍在 内），只验证一次就默认永远成立是常见错误。 　二次函数的定区间最值 方法要领　先配方定开口与对称轴，比较对称轴与定区间的位置定单调性：轴在区间外时最值在端点，轴在区间内时顶点处取到最值之一；最大值取两端点函数值与顶点值中的较大者，最小值取较小者。逆向给最值求参时同样按轴在区间左、内、右分类，解出后必须代回所限类别检验取舍。 【例】（2026衡水中学期中 17）已知函数 （）. (1)若方程 有两个实根 ，，且 ，求实数 的值； (2)若函数 在区间 上的最大值为1，求实数 的值. 【答案】(1)；(2) 或 【分析】(1)由韦达定理表出 与 ，代入 求解，求出后须检验方程确有两实根；(2)配方定对称轴，按对称轴在定区间 的右侧、内部、左侧三类讨论最大值。 【详解】(1)若方程 有两个实根 ，， 由韦达定理可得 ，， 又 ， 即 ， 化简可得 ，解得 或 ， 当 时，原方程为 ，判别式大于0，有两实根，满足题意； 当 时，原方程为 ，即 ， 其判别式 ，方程无实根，故舍去； 综上，. (2)∵， ∴图象开口向下，对称轴为 ， ①当 ，即 时， 在 上单调递减， ∴，解得 ，满足 ； ②当 ，即 时， 在 上单调递增， ∴，解得 ，不满足 ，故舍去； ③当 ，即 时， 在顶点 处取得最大值， ∴， 即 ，解得 ， 又 ，∴； 综上， 或 . 【练1】（2026南宁三中期中 17）已知函数 （）. (1)当 时，求不等式 的解集； (2)已知函数 在区间 上的最小值为 ，求 的值. 【答案】(1) 或 ；(2) 【分析】(1)代入 后因式分解解二次不等式；(2)开口向上、动轴 ，按动轴与定区间 的左、内、右三类位置，由最小值为 列式求解，并代回各类别检验取舍。 【详解】(1)当 时，， ∴不等式 即 ， ∵， ∴，解得 或 ， ∴不等式 的解集为 或 . (2)图象开口向上，对称轴为动轴 ， ①当 ，即 时， 在 上单调递增， 最小值 ，解得 ， 又 ，故舍去； ②当 ，即 时， 在 上单调递减， 最小值 ，解得 ， 又 ，故舍去； ③当 ，即 时，最小值为顶点值， ， 解得 ，即 ，均满足 ； 综上，. 【练2】（2025湛江三校联考期中 11）若函数 的定义域为 ，值域为 ，则 的值可能为（　　）（多选） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】先求出函数值为 与 时对应的 ，再结合开口向上、对称轴 的图象特征，确定值域恰为 时右端点 应满足的条件。 【详解】令 ，解得 或 ； 令 ，即 ，解得 ， ∵抛物线开口向上，对称轴为 ，顶点 为最低点，且 ， ∴当定义域为 时，要使值域恰为 ， 需区间 取得到顶点横坐标 （保证最小值 ）， 且右端点 不能超过4（若 ，则 ，最大值不再是 ）， ∴， ∴ 的可能值为2或4. 故选 BC. 【练3】（2025安岳中学期中 14）若函数 在区间 上的最小值为4，则 的取值集合是______. 【答案】 【分析】配方得 ，对称轴 ，按区间 在对称轴左侧、包含对称轴、右侧三类讨论最小值即可。 【详解】∵， ∴图象开口向上，对称轴为 ， ①当 ，即 时， 在 上单调递减， ∴， 整理得 ，解得 或 ， 又 ，∴； ②当 ，即 时，最小值为顶点值 ，不符合题意，舍去； ③当 时， 在 上单调递增， ∴， 整理得 ，解得 或 ， 又 ，∴； 综上， 的取值集合为 . 　二次函数的动轴最值讨论 方法要领　动轴按 与定区间的左、内、右三类讨论，动区间则看定对称轴相对动区间的位置，每类写明"当…时，函数在区间上单调…，故最值=f(端点或顶点)"，最后综合成分段函数；动区间含参端点时还要比较两端点函数值（利用 的对称点）定最大值归属。 【例】（2026嘉兴八校联盟期中 16）已知函数 （）. (1)当 时，求函数 在区间 上的值域； (2)求 在区间 上的最小值 的表达式. 【答案】(1)；(2) 【分析】(1)代值后配方定对称轴，由单调性写值域；(2)动轴 、定区间 ，按对称轴在区间左侧、内部、右侧三类讨论最小值点，分段写 。 【详解】(1)当 时，，图象开口向上，对称轴为 ， ∴ 在 上单调递减，在 上单调递增， ∴最小值为 ，最大值为 ， ∴函数 在区间 上的值域为 . (2)二次函数 的对称轴为动轴 ， ①当 ，即 时，区间在对称轴右侧， 在 上单调递增， ∴最小值为 ； ②当 ，即 时，对称轴在区间内， 在 上单调递减，在 上单调递增， ∴最小值为 ； ③当 ，即 时，区间在对称轴左侧， 在 上单调递减， ∴最小值为 . 综上，最小值 . 【练1】（2025泉州六中期中 7）已知函数 在闭区间 上有最大值3，最小值2，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】配方知最小值2在顶点 处取得，而 ，由对称性确定动区间右端点 的范围。 【详解】∵， ∴图象开口向上，对称轴为 ，当 时函数取得最小值2， 又 ，，即 为最大值， 要使函数在动区间 上既有最大值3又有最小值2， 需区间含顶点 （保证最小值2取得到），即 ； 且右端点 不能超过2（若 ，则 ，最大值不再是3），即 ， ∴. 故选 D. 【练2】（2025重庆巴蜀中学期中 16）已知二次函数 的图象经过 ， 两点，且函数 的最小值是 . (1)求 的解析式； (2)已知 ，讨论 在区间 上的最值. 【答案】(1)；(2)见解析 【分析】(1)由 得对称轴 ，结合最小值定顶点，用顶点式求解析式；(2)定轴 、动区间 ，按 与1、2的大小分三类，结合 讨论最大值归属。 【详解】(1)∵图象经过 ， 两点，且 ， ∴对称轴为 ，即顶点为 ， 设 ， 由 ，解得 ， ∴. (2)由(1)知 ，图象开口向上，定对称轴 ，且 ， ①当 时，区间 在对称轴左侧， 在 上单调递减， ∴，； ②当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增， 且此时 ，故 ， ∴，； ③当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增， 且此时 ，故 ， ∴，. 【练3】（2026长沙一中期中 16）已知二次函数 . (1)若 在区间 上是减函数，求实数 的取值范围； (2)若 ，设函数 在区间 上的最小值为 ，求 的表达式. 【答案】(1)；(2)见解析 【分析】(1)按 与 两类，由单调减列对称轴与区间的位置不等式；(2)动对称轴 ，按其在区间 的左、内、右三类求最小值，写成分段函数。 【详解】(1)由题意可知 ，且二次函数的对称轴为 ， 若 ，图象开口向上，要使 在 上单调递减， 需 ，解得 ； 若 ，图象开口向下，对称轴 ， ∴ 在 上单调递减，符合题意； 综上所述， 的取值范围是 . (2)∵，∴ 图象开口向上，对称轴为动轴 ， ①当 ，即 时， 在 上单调递增， ∴； ②当 ，即 时， 在 上单调递减， ∴； ③当 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增， ∴； 综上所述，. 【练4】（2026望城一中期中 19）设函数 ，其中 . (1)若 ，求函数 在区间 上的值域； (2)若 ，且对任意的 ，都有 ，求实数 的取值范围； (3)若对任意的 ，，都有 ，求实数 的取值范围. 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】(1)配方后由对称性与区间位置直接写值域；(2)"恒有 "等价于动区间上最大值不超过5，开口向上时最大值在两端点取得；(3) 等价于 ，按动轴 与 的位置分四类求 与 。 【详解】(1)当 时，，， 由二次函数的对称性知：当 时， 取最小值1； 当 （离对称轴最远的端点）时， 取最大值 ， ∴ 在区间 上的值域为 . (2)"对任意的 ，都有 "等价于 在 上的最大值不超过5， 由(1)知 ，图象开口向上，对称轴为 ， ∴ 在 上的最大值为 或 ， 故 ， 即 ， 由 解得 ， 由 解得 ， 取交集得 ， ∴实数 的取值范围为 . (3)设 在区间 上的最大值为 ，最小值为 ， 则"对任意的 ，，都有 "等价于 ， 又 在 上单调递减，在 上单调递增， ①当 时， 在 上单调递增， 则 ，， 由 ，解得 ，与 矛盾，此时无解； ②当 时，，， 由 ， 解得 ， 又 ，∴； ③当 时，，， 由 ，解得 ， 又 ，∴； ④当 时，，， 由 ，解得 ，与 矛盾，此时无解； 综上，②③取并集得 的取值范围为 . 　二次方程根的分布 方法要领　端点值法：先定开口方向画草图，再把根的位置翻译成不等式组，两根均大于 需 、对称轴在 右侧、 与开口方向同号；两根分居 两侧时开口向上只需 、开口向下只需 ；绝对值型翻折问题转化为图象交点个数看最值。 【例】（2026沈阳五校协作体期中 13）若函数 有两个零点 ，，且 ，，则实数 的取值范围是______. 【答案】 【分析】端点值法：按开口方向分 与 两类，把"两零点分居1两侧"翻译成 的符号与 联立求解。 【详解】∵函数 有两个零点 ，， ∴， 又 ， ①若 ，图象开口向上，1介于两零点之间，此时 ， 则 ， 即 ， 解得 ； ②若 ，图象开口向下，两零点分居1两侧时应有 ， 则 ， 即 ， 由 得 ，与 矛盾，此不等式组无解； 综上可知，实数 的取值范围是 . 【练1】（2025封开南丰中学期中 19）已知二次函数 . (1)若不等式 的解集为 ，求 ， 的值； (2)当 时，方程 有一个根小于1，一个根大于1，求实数 的取值范围. 【答案】(1)，；(2) 【分析】(1)解集区间端点就是对应方程的两根，用韦达定理列式；(2)开口向下时两根分居1两侧等价于 （端点值法），解二次不等式即可。 【详解】(1)∵不等式 的解集为 ， ∴1和2是方程 的两个实数根， 由韦达定理得 ， 由 得 ，即 ，解得 ； 由 得 ， ∴，. (2)当 时，，图象开口向下， 设方程 的两根为 ，，且 ， 由端点值法，两根分居1两侧时 ， 即 ， 整理得 ，即 ， 解得 ， ∴实数 的取值范围是 . 【练2】（2026昆明一中期中 14）已知函数 ，若存在实数 ，使得关于 的方程 有四个不同的实数根，则实数 的取值范围是______. 【答案】 【分析】数形结合： 有四个不同实根等价于 与 的图象有4个公共点，先由抛物线翻折确定 的值域特征。 【详解】∵， 且 ， ∴ 的图象由抛物线在x轴下方的部分翻折到x轴上方而得， 其图象与x轴交于 和 两点， 且在 处取得最大值 ， 方程 有四个不同的实数根等价于 与 的图象有4个公共点， 结合图象可知，水平直线必须位于x轴与最高点之间， ∴， ∴实数 的取值范围是 . 【练3】（2026东北育才高中期中 18）已知函数 . (1)若函数 在区间 上不具有单调性，求实数 的取值范围； (2)若关于 的方程 有两个大于 的不等实根，求实数 的取值范围； (3)若对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】(1)；(2) 或 ；(3) 【分析】(1)不具有单调性即对称轴落在区间内部；(2)端点值法：开口向上时两根均大于 需 、对称轴在 右侧、；(3)分离参数后转化为求 的最小值。 【详解】(1)函数 的对称轴为 ， ∵ 在区间 上不具有单调性， ∴对称轴落在区间内部，即 ， 解得 ， ∴实数 的取值范围是 . (2)方程有两个大于 且不相等的实根，图象开口向上， 由端点值法需 ， 由 得 ，解得 或 ； 由 得 ； 由 得 ； 三者取交集得 或 ， ∴实数 的取值范围是 或 . (3)对任意 ， 恒成立， 即 恒成立， ∵，∴， 分离参数得 对任意 恒成立， 令 ，则 ， 且 ， ∵，∴，当且仅当 时取等号，且 ， ∴当 时 取得最小值3， ∴需 （若 ，则 时不等式不成立）， ∴实数 的取值范围是 . 　二次不等式恒成立 方法要领　在 上恒成立用开口方向＋判别式（二次项系数含参先讨论为零）；闭区间上恒成立用最值法或端点值法 ；能分离参数就分离，"存在/有解"改用 （只需小于最大值）；"任意 存在 "转化为两函数最值比较；主元变换把参数当变量，按一次函数单调性定端点。 【例】（2026郑州一中期中 13）若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是______. 【答案】 【分析】二次项系数含参，先讨论 退化为常数不等式的情形，再对 按"开口方向＋判别式"列条件求解。 【详解】①当 时，不等式化为 ， 对任意 恒成立，满足题意； ②当 时，要使 对任意 恒成立， 需图象开口向下且与x轴无公共点， 即 ， 由 ，即 ， 解得 ； 综上，， ∴实数 的取值范围是 . 【练1】（2025江阴成化中学期中 5）若不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二次项系数为正，解集为空集等价于抛物线整支在x轴上方或恰与x轴相切，即判别式 。 【详解】∵不等式 的二次项系数为1，图象开口向上， 要使该不等式的解集为 ， 需抛物线恒在x轴上方或恰与x轴相切， 即方程 无实数根或有两个相等的实数根， ∴，解得 . 故选 B. 【练2】（2025泉州六中期中 18）已知函数 满足 . (1)求 ， 的值； (2)在 上，函数 的图象总在一次函数 的图象的上方，试确定实数 的取值范围； (3)设当 （）时，函数 的最小值为 ，求 的解析式. 【答案】(1)，；(2)；(3)见解析 【分析】(1)代入两点列方程组；(2)图象在上方即不等式恒成立，分离 后转化为求定区间上二次函数的最小值；(3)定轴 、动区间 ，按对称轴与区间的位置分三类求最小值。 【详解】(1)∵，， ∴，. (2)由(1)知 ， 若在 上 的图象总在 的上方， 则 在 上恒成立， 即 在 上恒成立， 设 ，图象开口向上，对称轴为 ， ∵，∴ 在 上单调递减， ∴， ∴， ∴实数 的取值范围为 . (3)由(1)知 ， 图象开口向上，对称轴为定轴 ， ①当 时，区间 在对称轴右侧， 在 上单调递增， ∴； ②当 ，即 时，区间在对称轴左侧， 在 上单调递减， ∴； ③当 ，即 时，对称轴在区间内， ∴； 综上所述，. 【练3】（2025重庆南开中学期中 14）已知关于 的不等式 在区间 上有解，则实数 的取值范围是______. 【答案】 【分析】"有解"型：分离参数得 ，只需 小于该式在 上的最大值；换元后用对勾函数的单调性求最值。 【详解】∵关于 的不等式 在 上有解， 即存在 ，使 成立， ∵，∴， 分离参数得 ， ∴只需 ，， 令 ，则 ， 且 ， 设 ，由对勾函数的性质， 在 上单调递减，在 上单调递增， ∴，， ∴， ∴， ∴实数 的取值范围是 . 【练4】（2026哈三中期中 8）若存在 ，使得关于 的不等式 成立，则实数 的取值范围是（　　） A． 或 B． 或 C． D． 【答案】A 【分析】变更主元：把 视为参数，整理成关于 的一次函数 ，"存在 使 "等价于 在 上的最大值不小于0，按 的符号讨论单调性。 【详解】将不等式 变形为 ， 令 ，把它看作关于 的一次函数， "存在 ，使得 成立"等价于 在 上的最大值大于等于0， ①当 ，即 时， 时 成立； 时 成立，均满足； ②当 ，即 时， 在 上单调递减， ∴， 解得 或 ，又 ，∴； ③当 ，即 或 时， 在 上单调递增， ∴， 即 ，解得 或 ， 又 或 ，∴ 或 ； 综上，①②③取并集得实数 的取值范围是 或 . 故选 A. 　一元二次不等式的求解 方法要领　先化成右边为0的标准形并让开口向上（ 两边乘 变号），求根后按开口方向写解集；应用题解出不等式后必须与实际限制（如最低售价 ）取交集。 【例】（2026台州十校联盟期中 17）已知某商品的成本价为每台10元，每月的销量 （台）与销售单价 （元）之间的关系近似满足一次函数 . (1)设每月获得的利润为 （元），写出 与 之间的函数关系式； (2)规定该商品的单价不能超过25元，如果想要每月获得不少于3000元的利润，那么该商品的售价范围应该为多少？ 【答案】(1)；(2) 【分析】(1)单件利润乘以每月销量即得 与 的关系式；(2)由"不少于3000元"列一元二次不等式，先解不等式，再结合单价不超过25元的限制确定售价范围。 【详解】(1)依题意，每台商品的利润为 元，每月销量为 台， ∴每月获得的利润 与销售单价 之间的函数关系为 . (2)∵每月获得的利润不得少于3000元，∴， 展开化简得 ， ∵（∵，）， ∴，解得 . 又∵规定销售单价不得高于25元，即 ， ∴该商品的售价范围是 . 【练1】（2026湖南师大附中期中 3）若关于 的不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为（　　） A． B． 或 C． D． 【答案】B 【分析】先由一次不等式的解集求出 ，再代入二次不等式，因式分解后求解。 【详解】∵关于 的不等式 的解集为 ， ∴1是方程 的解，∴，解得 . ∴不等式 可化为 ， ∵， ∴，解得 或 ， ∴不等式的解集为 或 . 故选 B. 【练2】（2026河南九师联盟期中 7）某商店购进一批纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售额，则这批纪念章的销售单价 （单位：元）的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由"销售额＝单价×日销量"列出关于 的一元二次不等式，先解不等式，再与最低售价限制 取交集。 【详解】由题意，当售价为 （）元时，每枚比最低售价提高了 元， ∴日销售量为 枚，每天销售额为 元， ∵每天要获得600元以上的销售额，∴， 整理得 ， ∵， ∴，解得 ， 又每枚的最低售价为15元，即 ， ∴， ∴销售单价 的取值范围是 . 故选 B. 【练3】（2026河南九师联盟期中 10）关于 的不等式 （其中 ），其解集可能是（　　）（多选） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】常数项为 ，当 时左边恒等于 ，故 必是解，解集非空；再对 ， 取特殊值逐项检验 、、 能否实现。 【详解】对于A，当 时， 恒成立， ∴ 一定是该不等式的解，∴解集不可能是 ，故A错误； 对于B，当 ， 时，不等式为 ， ∵对一切 都有 ，∴解集为 ，故B正确； 对于C，当 ， 时（此时 ），不等式为一次不等式 ， 解得 ，∴解集为 ，故C正确； 对于D，当 ， 时，不等式为 ， 即 ，解得 ，∴解集为 ，故D正确. 故选 BCD. 　分式与高次不等式 方法要领　一律先移项通分化为 型（带等号时另补分母不为零），再用穿根法：最高次项化正、数轴标根、奇过偶不留、从右上方起画，取上正下负。 【例】（2026镇海中学期中 16）已知集合 ，. (1)求 ； (2)若 ，求实数 的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】(1)先移项通分，把分式不等式化为一元二次不等式求解；(2)先求 ，由子集关系知 ，再对 按 、、 分类，比较区间端点列不等式。 【详解】(1)∵，移项通分得 ， 等价于 ，解得 或 ， ∴. (2)∵，且 ，∴. ∵，∴. 当 时，，此时 ，符合题意； 当 时，，此时 ，符合题意； 当 时，∵，∴，此时 ， 由 得 ，∴. 综上，实数 的取值范围为 . 【练1】（2026大连二十四中期中 4）不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】移项通分，把分式不等式转化为整式不等式（组）求解，注意分母不为零。 【详解】由 得 ， 等价于 ， 解得 ， ∴不等式 的解集为 . 故选 A. 【练2】（2025南通海门实验学校期中 18）已知关于 的不等式 的解集为 ，不等式 的解集为 . (1)若 ，求 ； (2)若 ，求 的值； (3)若""是""的充分非必要条件，求实数 的取值范围. 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】(1)代入 的值，把分式不等式化为一元二次不等式求解；(2)分式不等式化为 后，由解集端点即方程的根求 ；(3)充分非必要条件转化为 是 的真子集，再对 分类讨论。 【详解】(1)∵，∴不等式 可化为 ， 也即 ，解得 ，故 . (2)不等式 可化为 ， ∵其解集为 ， ∴ 和 是方程 的两根， ∴. (3)∵ 可化为 ，解得 ，∴. ∵""是""的充分非必要条件，∴ 是 的真子集. 当 时，，满足 ； 当 时，，要使 是 的真子集，则 ，∴； 当 时，，满足 是 的真子集； 当 时，，满足 是 的真子集； 当 时，，满足 是 的真子集. 综上所述，实数 的取值范围为 . 　含参一元二次不等式讨论 方法要领　按三看顺序讨论：一看二次项系数（含 退化为一次），二看判别式定根的个数，三看两根大小不确定时对参数分段（如比较 与 ）；每一类写明"当……时"并给出对应解集。 【例】（2026郧阳中学期中 16）设函数 （）. (1)若关于 的不等式 的解集为 ，求实数 ， 的值； (2)若不等式 对于实数 恒成立，求 的取值范围； (3)解关于 的不等式：. 【答案】(1)，；(2)；(3)当 时解集为 或 ；当 时解集为 ；当 时解集为 或 ；当 时解集为 ；当 时解集为 【分析】(1)由解集端点即对应方程的根，且开口向上，用韦达定理求 ；(2)把 看作主元，化为关于 的一次不等式在 上恒成立，用端点值列式；(3)按"开口——判别式——根的大小"三步分类：先看 ，再看 与 ，最后比较 与 的大小。 【详解】(1)由题意知，0和 是方程 的两根，且解集为区间型，∴抛物线开口向上，即 ， 由韦达定理得 ， 由第二式得 ，代入第一式得 . (2)由 ，即 ， 整理为 对 恒成立. 设 ，∵ ，∴ 是关于 的一次函数（增函数）， ∴ 在 上恒成立等价于最小值点 ， 即 ，也就是 ， ∴，即 的取值范围为 . (3)由 ，则 . 当 时，不等式可化为 ，即 ，解集为 ； 当 时（开口向上），不等式可化为 ，∵，解集为 ； 当 时（开口向下），两边除以 变号，不等式化为 ， ①当 时，，两根相等，解集为 ； ②当 时，，解集为 或 ； ③当 时，，解集为 或 . 综上所述：当 时，解集为 或 ；当 时，解集为 ；当 时，解集为 或 ；当 时，解集为 ；当 时，解集为 . 【练1】（2026哈尔滨三中期中 17）已知函数 （）. (1)当 时，求不等式 的解集； (2)求不等式 的解集. 【答案】(1)解集为 ，其中 ，；(2)当 时解集为 ；当 时解集为 ；当 时解集为 或 ；当 时解集为 ；当 时解集为 ，其中 ， 【分析】(1)代入 化为具体的一元二次不等式求解；(2)按三看顺序讨论：先看二次项系数 的退化情形，再看开口方向， 时还需按判别式 的符号分三类， 时判别式恒正直接求两根写解集。 【详解】(1)当 时，， ∵，即 ，移项整理得 ， 解方程 ，得两根 ，， ∵开口向上，∴原不等式的解集为 . (2)不等式 即 . ①当 时，不等式化为 ，解得 ，解集为 ； ②当 时（开口向上），判别式 ： （i）当 ，即 时，方程 无实根，∴解集为 ； （ii）当 ，即 时，方程有两个相等实根 ，∴解集为 ； （iii）当 ，即 时，方程两根为 ，，且 ， ∴解集为 或 ； ③当 时（开口向下），此时 恒成立，方程两根为 ，，且 ， ∴解集为 . 综上所述：当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；当 时，解集为 或 ；当 时，解集为 ；当 时，解集为 . 【练2】（2026长沙雅礼中学期中 17）已知函数 （）. (1)若不等式 的解集为 ，求实数 的值； (2)当 时，求不等式 的解集. 【答案】(1)，；(2)当 时解集为 ；当 时解集为 ；当 时解集为 ；当 时解集为 ；当 时解集为 【分析】(1)解集为开区间 ，说明 和 是对应方程的两根且开口向下，用韦达定理求 ；(2)先对 （一次）与 分类，因式分解后按开口方向及两根 与 的大小讨论。 【详解】(1)由题意可知 和 是方程 的两根，且解集为 说明 （开口向下）， 由根与系数的关系得 ， 即 ，解得 . (2)当 时，，，解得 ，解集为 ； 当 时， . 当 时（开口向上），，∵，解得 或 ，解集为 ； 当 时（开口向下），，两根为 与 ，需比较大小： 当 时，即 （结合 即 ），解得 ，解集为 ； 当 时，即 ，两根重合，解得 ，解集为 ； 当 时，即 ，解得 ，解集为 . 综上所述：当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；当 时，解集为 . 【练3】（2026河南省实验中学期中 7）关于 的不等式 恰有两个整数解，则实数 的取值范围为（　　） A． B． 或 C． D． 或 【答案】D 【分析】因式分解得 ，先排除 （此时无解），再按 与 分类写出解集，由"恰有两个整数解"确定端点满足的条件，注意端点能否取到直接影响整数解的个数。 【详解】∵， 当 时，不等式为 ，解集为空集，不符合题意； 当 时，解集为 ， ∵解集中恰有两个整数解，∴这两个整数只能是 ，， ∴需 （若 则整数解只有 一个，若 则 也是解）； 当 时，解集为 ， ∵解集中恰有两个整数解，∴这两个整数只能是 ，， ∴需 （若 则 也是解，若 则整数解不足两个）. 综上所述，实数 的取值范围是 或 . 故选 D. 【练4】（2026辽宁省实验中学期中 18）记不等式 为不等式（*）. (1)当 时，解关于 的不等式（*）； (2)当 时，关于 的不等式（*）的解集中整数恰好有3个，求实数 的取值范围； (3)当 时，关于 的不等式（*）在 上恒成立，求 的最大值. 【答案】(1)当 时解集为 ，当 时解集为 ；(2)；(3)1 【分析】(1)代入 后对 （退化为一元）与 分类，因式分解求解；(2)以 为主元因式分解，写出关于 的解集区间，由区间左端落在 确定三个整数，再让右端点夹住它们；(3)分解为 ，由 必须是不变号零点得 与 的关系，转化为二次函数最值。 【详解】(1)当 时，不等式（*）为 . 当 时，不等式为 ，恒成立，∴解集是 ； 当 时，不等式（*）为 ， 因式分解得 ， ∵，∴两根 ，且开口向上， ∴（*）的解集是 . 综上所述：当 时，解集是 ；当 时，解集是 . (2)当 时，不等式（*）为 ， 以 为主元整理，因式分解得 ， ∴关于 的两根为 与 . ∵，∴， ∴不等式（*）的解集是 . ∵， ∴解集中的三个整数依次为 ， ∴，解得 ， ∴实数 的取值范围是 . (3)不等式（*）整理为 . 令 ，则 的一个零点为 （）. 当 时，，其在 上不恒小于等于 （如 时 ），不合题意； 当 时，由 对 恒成立及二次函数图象知，二次项系数 （开口向下），且 须是 的不变号零点， ∴另一因式在 处也为 ，即 且 ， 解得 . ∴，当且仅当 时取等号， 此时 ， 满足题意， ∴ 的最大值为 . 　三个二次的关系应用 方法要领　解集端点就是对应方程的根：两边型定开口向上、中间型定开口向下，再用韦达定理 、 求参数；代回新不等式后除以负系数要变号，含附加最值或整数解条件时再用 或端点值列式。 【例】（2026深圳盟校期中 7）已知关于 的不等式 的解集为 或 ，则 的解集为（　　） A． 或 B． C． 或 D． 【答案】B 【分析】由解集的端点即方程的根、区间在中间说明开口向下，用韦达定理把 用 表示，再代回新不等式化简求解。 【详解】由关于 的不等式 的解集为 或 ， 可知 （开口向下），且 和 是方程 的两根， 由根与系数的关系得 ， 即得 . 又 ，故不等式 即 ， 两边除以 变号，得 ， ∵，∴解得 ， ∴所求解集为 . 故选 B. 【练1】（2026云南师大附中期中 5）已知关于 的一元二次不等式 的解集为 ，则关于 的不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 或 【答案】A 【分析】由解集直接读出对应方程的两根，用韦达定理求 ，再代回解新不等式。 【详解】由题设， 是方程 的两个根， 由韦达定理得 ，即 ， ∴不等式 即 ， ∵， ∴，解得 ， ∴所求解集为 . 故选 A. 【练2】（2026重庆八中期中 13）若关于 的不等式 的解集为 ，则 ______. 【答案】 【分析】解集为区间型 ，说明开口向下且 ， 是对应方程的两根，先排除 ，再用韦达定理建立 与 的方程组并结合 舍根。 【详解】当 时，不等式为 ，解集为 ，不是 型，不合题意； 当 时，∵解集 在两根之间， ∴抛物线 开口向下，即 ， 且 ， 是方程 的两根， 由韦达定理得 ，， ∵，∴， 把 代入 得 ， 即 ，也就是 ， 解得 或 ， ∵，∴. 【练3】（2026绿城育华学校期中 11）已知关于 的一元二次不等式 的解集为 ，则下列说法正确的有（　　）（多选） A．若 且 ，则 的解集也为 B．若 ，则 的最小值是3 C．若 ，则不等式 的解集为 或 D．若 的值域为 且 ，则 的最小值为 【答案】BCD 【分析】A项按同号异号判断系数成比例后解集是否相同；B、C项由解集端点即根，用韦达定理得 与 的关系后代入判断；D项由值域为 得 且 ，换元后用基本不等式求最值。 【详解】对于A，当 与 同号时，设 且 ， 则 即 ，与 解集相同； 当 与 异号时，，此时 等价于 ，解集不同，故A错误； 对于B，若 ，则 ，且 ， 是方程 的两根， ∴，，得 ，， ∴ ， ∵，∴ ， 当且仅当 即 时取等号， ∴，即最小值是3，故B正确； 对于C，若 ，则 ，且 ，，即 ，， 不等式 可化为 ， ∵，两边除以 变号得 ， 即 ，解得 或 ，故C正确； 对于D，∵值域为 ，∴ 且 ，∴， 由 知 ，令 ，则 ， ∴， ∴ ， ∴ ， ∵，，∴ ， 当且仅当 即 时取等号， ∴ 的最小值为 ，故D正确. 故选 BCD. 【练4】（2026广州二中四元联考期中 11）关于 的不等式 的解集为 或 ，下列说法正确的是（　　）（多选） A． B．不等式 的解集为 C． 的最大值为 D．关于 的不等式 解集中仅有两个整数，则 的取值范围是 【答案】ACD 【分析】由解集为"两边型"得开口向上且 是方程两根，用韦达定理得 （），逐项代入判断；D 项用二次函数图象由整数解个数列不等式组。 【详解】不等式 的解集为 或 ， 故 和 是方程 的两个根，且解集为两边型，∴开口向上，，故A正确. 由韦达定理 ，解得 . 对于B， 可变为 ，两边除以 变号得 ， 因式分解得 ，解得 或 ，故B错误. 对于C， ， ∵，∴ ，当且仅当 即 时取等号， ∴，即最大值为 ，故C正确. 对于D， 可变为 ，记 （开口向上）， ∵，∴0必是解集中的一个整数解； ∵对称轴 ，要使解集中仅有两个整数解，则整数 在解集内，而 与 不在， ∴， 解得 ，故D正确. 故选 ACD. 　不等式新定义与综合 方法要领　逐句把新定义翻译成式子（如 得 各分量， 操作需验证 ，"a距"即 恒成立），能用运算律化简的先化简，再套三个二次工具求解，最后回代检验每一步仍满足定义。 【例】（2026常州金坛一中期中 7）高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的"高斯函数"为：设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数，如：，. 则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把 看作整体，先用一元二次不等式的解法求出 的范围，再借助 是整数还原出 的范围。 【详解】由 ，得 ， 解得 . ∵ 表示不超过 的最大整数，∴ 为整数， ∴， ∴， ∴不等式 的解集为 . 故选 D. 【练1】（2026河南省实验中学期中 19）定义：若对定义域内任意 ，都有 （ 为正常数），则称函数 为"a距"增函数. (1)若 ，，试判断 是否为"1距"增函数，并说明理由； (2)若 ， 是"a距"增函数，求 的取值范围； (3)若 ，，其中 ，且 为"2距"增函数，求 的最小值. 【答案】(1)是"1距"增函数，理由见解析；(2)；(3)当 时 ，当 时 【分析】(1)按定义计算 并判断其符号；(2)"a距"增函数即 对 恒成立，除以 后化为二次不等式在 上恒成立，用判别式求解；(3)由 恒成立，利用指数函数单调性脱去外层，分类讨论得 ，再把指数配方求 的最小值。 【详解】(1)任意 ，∵，， ∴， ∵，∴，∴， ∴对任意 都有 ，即 是"1距"增函数. (2)∵， ∴ . ∵ 是"a距"增函数，∴ 对 恒成立， ∵，两边除以 ，得 在 上恒成立， ∴需 ， 即 ，得 ， 又 ，∴， ∴实数 的取值范围是 . (3)∵ 为"2距"增函数，∴当 时， 恒成立， 即 恒成立， ∵ 在 上单调递增，∴ 恒成立. 当 时，，， 上式化为 ，即 恒成立， ∴，得 ； 当 时，，， 上式化为 ，即 ， 也即 ，∵，∴，得 . 综上所述，. 又 ，且 时 ， 当 时， 在 （即 ）处取最小值 ， 此时指数的最小值为 ，∴； 当 时， 可以取到（如 ）， 此时指数的最小值为 ，∴. 综上：当 时，；当 时，. 【练2】（2025长沙长郡中学期中 19）我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 如果一个数列的项是有限个，那么称这样的数列为有穷数列. 已知有穷数列 （）. 若数列 中各项都是集合 的元素，则称该数列为 数列. 对于 数列 ，定义如下操作过程 ：从 中任取两项 ，，将 的值添在 的最后，然后删除 ，，这样得到一个 项的新数列 （约定：一个数也视作数列）. 若 还是 数列，可继续实施操作过程 ，得到的新数列记作 ，如此经过 次操作后得到的新数列记作 . (1)设 数列 ，请写出 的所有可能的结果； (2)求证：对一个 项的 数列 实施操作过程 ，总共可以实施 次； (3)设 数列 ：，，，，，，，，，，求 的可能结果，并说明理由. 【答案】(1) 的可能结果为 或 或 ；(2)证明见解析；(3) 【分析】(1)按定义对三个数两两组合直接计算；(2)关键是证明新添的项 仍落在 内（封闭性），从而每次操作都合法，且每操作一次项数减少1；(3)验证运算满足交换律与结合律，说明结果与操作顺序无关，再取一种方便的操作顺序计算。 【详解】(1) 数列 中任取两项操作，有三种可能： 取 与 ，新项为 ，得 ； 取 与 ，新项为 ，得 ； 取 与 ，∵，， 新项为 ，得 . (2)设 ，，则 ，∴. ∵ ， 又 ，，∴，，∴， ∴，即 ； 又 ， ∵，，，∴，即 ， ∴每次操作添入的新项都在 内，操作后的新数列仍是 数列，操作总可继续实施； 又每操作一次，数列增加一项、删除两项，项数减少 ， ∴ 项的 数列经过 次操作后只剩一项，故总共可以实施 次. (3)对 ，，记运算 ， ∵，∴该运算满足交换律； ∵ ， ， ∴，该运算满足结合律， ∴操作结果与所取两项的顺序及操作的先后无关， 中唯一的一项是确定的. 选择一种方便的操作顺序：由(1)知 ， 依次计算 ，， ，， 操作4次后得 的其中一种结果为 ， 再操作4次，四个 两两结合仍得 ，最后只剩一项 ， ∴. 　专题过关检测（限时40分钟 · 满分84分） 一、单选题（每小题6分） 1．（6分）（2026福建南安龙泉中学期中 2）不等式 的解集是（　　） A． B． C． 或 D． 【答案】C 【分析】化为标准形式后按开口方向与两根写出解集。 【详解】∵ 的图象是开口向下的抛物线，且与 轴交于 ， 两点， ∴ 的解集为 或 . 故选 C. 2．（6分）（2025四川安岳中学期中 4）不等式 的解集为（　　） A． B． 或 C． D． 或 【答案】C 【分析】分式不等式化为整式不等式（组），注意分母不为零。 【详解】原不等式等价于 ， 即 ， 解得 ， ∴解集为 . 故选 C. 3．（6分）（2025长沙长郡中学期中 4）若函数 在 上是单调函数，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】定轴定区间：开口向上时，只需对称轴不在区间内部，按对称轴在区间左侧（增）或右侧（减）两类列式。 【详解】二次函数 的图象开口向上，对称轴为直线 . 若 在 上单调递增，则对称轴在区间左侧，即 ，解得 ； 若 在 上单调递减，则对称轴在区间右侧，即 ，解得 . 综上所述，实数 的取值范围是 . 故选 B. 4．（6分）（2026杭师大附中期中 7）已知关于 的不等式 恰有一个整数解，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 或 【答案】A 【分析】先移项因式分解 ，对二次项系数 分类：系数非正时整数解有无穷多个，不符合；系数为正时按 与 的大小确定解集，再由"恰有一个整数解"列不等式。 【详解】原不等式即 ，∵. 当 即 时，不等式解集为 或 ，存在无数个整数解，不符合题意，舍去； 当 即 时，不等式解集为 ，存在无数个整数解，不符合题意，舍去； 当 即 （开口向上）时： 若 ，则 ，不等式解集为 ，没有整数解，不符合题意，舍去； 若 ，则 ，不等式即 ，解集为空集，不符合题意，舍去； 若 ，则 ，不等式解集为 ， ∴原不等式的1个整数解为 ， ∴（保证解集内只有整数2），解得 . 综上所述： 的取值范围是 . 故选 A. 二、多选题（每小题6分） 5．（6分）（2025鹤山纪元中学期中 9）下列不等式的解集为 的是（　　）（多选） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】逐项判断：开口方向与判别式定 解集；A 项注意完全平方严格大于0要挖去取等点；D 项用基本不等式放缩。 【详解】对于A，，解集为 ，不是 ，A错误； 对于B，二次项系数大于0，且 ，∴不等式解集为 ，B正确； 对于C， 两边乘以 变号得 ，开口向上且 ，∴解集为 ，C正确； 对于D，∵，∴， 当且仅当 即 时取等号，∴不等式对一切 成立，解集为 ，D正确. 故选 BCD. 6．（6分）（2026辽宁省实验中学期中 10）若函数 有且只有两个正零点，则（　　）（多选） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】设两正零点为 ，由零点即对应方程的根，用判别式与韦达定理给出"两不等正根"的全部条件，再逐项判断符号。 【详解】∵函数 有且只有两个正零点，设为 ， 则 是方程 的两个不等正根， ∴需满足 . 由 得 同号，即 ，B正确； 由 得 异号，即 ，D正确； 且 ，C正确； ∵ 同号， 异号，∴ 异号，即 ，A错误. 故选 BCD. 三、填空题（每小题6分） 7．（6分）（2026之江中学期中 12）已知关于 的一元二次方程 无实数解，则实数 的取值范围是______. 【答案】 【分析】方程无实数解等价于判别式小于零。 【详解】∵方程 无实数解， ∴， 解得 ， ∴实数 的取值范围是 . 8．（6分）（2025南通海门实验学校期中 13）已知函数 （）. 若命题"，不等式 恒成立"是假命题，则实数 的取值范围是______. 【答案】 【分析】先求出使命题为真的 的集合（含 一次情形与 二次情形），再取补集。 【详解】先求"， 恒成立"为真时 的范围： 当 时， 恒成立，符合； 当 时，需开口向下且判别式小于零，即 ， 即 且 ，解得 . ∴命题为真时 . ∵命题是假命题，∴ 的取值范围为其补集，即 或 ， 故 . 9．（6分）（2025大连二十四中期中 13）若方程 的一个根小于1，另一个根大于1，则实数 的取值范围是______. 【答案】 【分析】端点值法：开口向上且两根分居 两侧，等价于 。 【详解】令 ，其图象开口向上， ∵方程的一个根小于1，另一个根大于1， ∴ 落在两根之间，∴， ∵， ∴，解得 ， ∴实数 的取值范围是 . 四、解答题（每小题15分） 10．（15分）（2026云南龙陵一中期中 18）若不等式 的解集是 . (1)解不等式 ； (2) 为何值时， 的解集为 . 【答案】(1) 或 ；(2)当 时解集为 【分析】(1)由解集端点即方程的两根、区间在中间知 ，用韦达定理求出 ，再因式分解解新不等式；(2)不等式在 上恒成立，开口向上时用判别式不大于零。 【详解】(1)由题意得 和 是方程 的两个根， 由韦达定理得 ，两式均解得 ， ∴不等式 化为 ， ∵， ∴，解得 或 ， ∴所求解集为 或 . (2)由(1)可知 ，不等式 即 ， 其解集为 ，∵二次项系数 （开口向上）， ∴需 ，即 ， 解得 ， ∴当 时， 的解集为 . 11．（15分）（2026广州二中四元联考期中 18）已知二次函数 ，满足当 时， 取得最大值2，且 . (1)求二次函数 的表达式； (2)若 ，求函数 的最大值 ； (3)已知函数 的值域为 ，求实数 的取值范围. 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】(1)由顶点式或待定系数法求解析式；(2)轴定（对称轴 ）区间动，按区间 整体在对称轴左侧、含对称轴、右侧三类讨论最大值；(3)根号内被开方数须能取到一切非负实数，转化为二次方程 在 上有解，用判别式求解。 【详解】(1)设 （）. 由已知得 ， 解得 ， ∴. (2)由题可知 的对称轴为 ，开口向下， ∴ 在 上单调递增，在 上单调递减. 当 ，即 时，区间在对称轴左侧， 在 上单调递增， ∴最大值为 ； 当 ，即 时，对称轴在区间内，最大值在顶点处取得，为 ； 当 时，区间在对称轴右侧， 在 上单调递减， ∴最大值为 . 综上，. (3)∵ 的值域为 ，∴ 可以取到全部非负实数， ∴方程 在 上有解， 即 在 上有解. ∴，即 ， 解得 或 ， ∴实数 的取值范围是 . 期中专项复习 · 高一教师版　 学科网（北京）股份有限公司 $