专题05 一元二次不等式的恒成立、有解与区间最值（期中复习讲义·培优版）高一数学上学期人教A版

专题05 一元二次不等式的恒成立、有解与区间最值 （期中复习讲义·培优版） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 一元二次不等式在R上的恒成立问题 题型02 一元二次不等式在R上有解问题 题型03 一元二次不等式在区间上的恒成立问题 题型04 一元二次不等式在区间上有解问题 题型05 区间上的二次函数最值问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 R 上恒成立（判别式法） 熟练掌握用判别式法解决二次不等式在R 上恒成立问题。 选择填空高频基础题；易错在忽略 a=0 或开口方向。 有解（存在性）问题 熟练掌握二次不等式有解问题的解题思路。 常与恒成立对照考查，“存在/任意”取最大值 还是最小值极易搞反。 区间上恒成立（分离参数） 熟练掌握用分离参数法解决二次不等式在区间上恒成立问题。 解答题热点，考查分离参数与转化思想。 含参二次函数区间最值 熟练讨论二次函数在区间上的最值问题。 压轴小问常客，分类讨论不全、漏边界点是主要失分点。 知识点01 三个二次的关系 核心概念：二次函数 、一元二次方程 、一元二次不等式 三者紧密关联。 核心关系（ 时）： 方程根 解集 解集 两不等根 或 两等根 空集 无实根 空集 口诀：“大于取两边，小于取中间”（前提 ）。 易错点： · 易错点总结：忽略二次项系数 的正负，直接套”大于取两边”。 · 注意事项总结：若 ，先把 化为正（两边乘 ，不等号反向），再套口诀。 知识点02 R上的恒成立问题 核心模型：一元二次不等式对所有实数 恒成立。 核心公式： 特别提醒： · 恒成立 或 ； · 时退化为一次/常数，必须单独讨论！ 示例： 若不等式 对一切 恒成立，求 的范围。 解：，需 ，得 。 易错点： · 易错点总结：忽略 的讨论，把 直接当成二次不等式。 · 注意事项总结：看到 “” 且未说明 ，先分 和 两类； 时退化为一次，用一次函数性质判断。 知识点03 有解（能成立）问题 核心模型：存在 使不等式成立。 核心公式： 转化技巧（补集思想）：“有解”的反面是”恒不成立”，用补集法更简单： · “ 有解”的反面是 “ 恒成立”； · 先求反面的参数范围，再取补集。 示例： 若不等式 有解，求 的范围。 解：反面： 对 恒成立，需 ，即 。 取补集： 或 。 易错点： · 易错点总结：直接判断”有解”，不如补集法清晰，容易漏情况。 · 注意事项总结：“有解”题优先用补集思想——先求恒成立的反面，再取补集，比直接讨论更稳。 知识点04 区间上的恒成立问题 核心模型： 在区间 上恒大于/小于某值。 核心方法（分离参数法，首选）： 把参数 分离出来，转化为求函数最值： · 在 恒成立 ； · 在 恒成立 。 方法二（不分离时）：直接求 在区间上的最值。 易错点： · 易错点总结：不分区间，直接套 ——题目只要求在某个区间成立，不是全体实数。 · 注意事项总结：区间恒成立 全体实数恒成立！前者用最值法，后者才用 。 知识点05 区间上的二次函数最值（轴动区间定） 核心模型：对称轴含参数（动轴），区间固定，求最值。 解题原理：二次函数开口向上（）时，最值取决于对称轴 与区间 的位置关系。 分类讨论（ ，开口向上）： 对称轴位置 最小值 最大值 （轴在左） （轴在中） （轴在右） 示例： 求 在 上的最小值。 解：对称轴 ，开口向上。 ① ：最小值 ； ② ：最小值 ； ③ ：最小值 。 易错点： · 易错点总结：不讨论对称轴位置，直接套顶点公式，结果对称轴不在区间内。 · 注意事项总结：开口向上，最小值在顶点（若轴在区间内）或离轴近的端点；最大值总在端点。开口向下则相反。 知识点06 轴定区间动（区间含参数） 核心模型：对称轴固定，区间 或 随参数移动。 解题原理：与轴动区间定对称——讨论区间左端点、右端点与对称轴的位置关系。 示例： 求 在区间 上的最小值。 解：对称轴 ，开口向上。 ① 即 ：最小值 ； ② 即 ：最小值 ； ③ ：最小值 。 易错点： · 易错点总结：区间是开是闭不分，导致等号取舍错误。 · 注意事项总结：讨论分界点（如本题 ）要单独代入检验，看取等时是否仍属于该区间。 知识点07 区间上的有解问题 核心模型：存在 使 成立。 核心公式： 恒成立 vs 有解对照： 类型 命题 转化 恒成立 有解 易错点： · 易错点总结：恒成立和有解取错最值——恒成立找最小，有解找最大。 · 注意事项总结：口诀”恒成立最严（找最差），有解最松（找最好）”。 题型一 一元二次不等式在R上的恒成立问题 解｜题｜技｜巧 - 在 上恒成立 - 恒成立 - （或 ）恒成立：开口方向反向 + 判别式对应反向。 - 二次项系数含参数时，先讨论 的一次情形。 易｜错｜点｜拨 - 漏讨论 ，直接按二次处理。 - 判别式方向与不等式方向搞反： 恒成立要 。 - 与 的判别式等号区别：带等号 ，不带等号 。 答｜题｜模｜板 1. 讨论二次项系数为0（一次情形单独解）； 2. 时，开口方向 + 判别式列不等式组； 3. 解不等式组； 4. 合并 情形，验证。 【典例1】（25-26高一上·山东泰安·期中）已知关于不等式解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分为和考虑，当时，根据题意列出不等式组，求出的取值范围. 【详解】因为关于不等式解集为，则有： 当时，得，满足题意； 当时，则，解得：， 综上所述：的取值范围为. 故选：A． 【典例2】（25-26高一上·江苏南通·期中）已知命题为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B．. C． D． 【答案】B 【分析】由一元二次不等式恒成立，借助判别式即可求解. 【详解】因为命题为假命题， 所以为真命题， 若，则不等式等价为，对于不恒成立， 若，则，解得：， 所以实数的取值范围为； 故选：B 【变式1】若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【详解】当时，不等式为，恒成立，符合题意； 当时，不等式对任意实数均成立， 即，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 【变式2】对任意，都有，则a的取值范围是__________________. 【答案】 【详解】当时，恒成立，因此符合题意； 当时，由，恒成立， 得，解得， 所以a的取值范围是. 题型二 一元二次不等式在R上有解问题 解｜题｜技｜巧 - 有解与恒成立互为反面： - 有解 不是” 恒成立”； - 开口向上时，只要不恒负就有解。 - 开口向上 + 有两解； 有一解；开口向下需 才能取到正值。 - 退化情形： 时一次方程/不等式单独判断。 易｜错｜点｜拨 - 与恒成立判别式方向混淆。 - 忽略 的退化情形。 - “有解”不代表全体，端点能否取到要单独看。 答｜题｜模｜板 1. 讨论 的退化情形； 2. 按开口方向分析判别式； 3. 解出参数范围； 4. 验证端点。 【典例1】（25-26高一上·江西鹰潭·阶段检测）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】根据基本不等式求得的最小值，再通过解一元二次不等式即可. 【详解】因为正实数x，y满足， 所以， 当且仅当，即时，取得最小值8， 由有解，得， 解得或． 故实数m的取值范围是或． 故选：B. 【典例2】（25-26高一上·甘肃白银·期中）若不等式有解，则实数的取值集合是_________. 【答案】 【分析】结合二次函数的性质及判别式求解即可. 【详解】由题意，可得，即， 则实数的取值集合是. 故答案为：. 【变式1】（25-26高一上·湖北咸宁·阶段检测）若两个正实数满足且不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】将代数式变形后与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】因为正实数、满足，则， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为， 因为不等式有解，则，即， 即，解得或. 故选：D. 【变式2】（25-26高一上·上海青浦·期中）已知关于的不等式有解，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】根据三个“二次”的关系，分类讨论即可解出． 【详解】因为不等式有解，当时，显然不等式有解；当时，不等式 有解等价于方程有两相异实根，所以，解得：，综上，实数的取值范围是． 故答案为：． 题型三 一元二次不等式在区间上的恒成立问题 解｜题｜技｜巧 - 转化为区间最值： - 在 恒成立 ； - 在 恒成立 。 - 核心：轴动区间定/轴定区间动，按对称轴与区间位置分类。 - 分类标准：轴在区间左、内、右。 易｜错｜点｜拨 - 漏讨论对称轴在区间内的情况，直接用端点最值。 - 最值方向搞反：恒大于等于用最小值，恒小于等于用最大值。 - 区间开闭导致端点取舍错误。 - 忽略 的退化情形。 答｜题｜模｜板 1. 设 ，定开口和对称轴； 2. 按轴与区间位置分三类（左、内、右）； 3. 每类求最值，列最值不等式； 4. 合并范围，检验端点。 【典例1】（25-26高一上·广西桂林·期中）若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分离参数m后，利用基本不等式求解． 【详解】对于任意的，不等式恒成立，即恒成立， 时，，当且仅当时取等号， 所以，即实数的取值范围为．     故选：A． 【典例2】（25-26高一上·山西晋中·期中）已知命题“”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，命题的否定为真命题，根据x的范围，整理可得，根据基本不等式，化简计算，即可得答案. 【详解】因为命题“”为假命题， 所以命题的否定为真命题， 则，整理得， 因为， 当且仅当，即时取等号，符合题意， 所以，则实数的取值范围是. 故选：B 【变式1】命题“，”为假命题，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】先把已知的假命题转化成其否命题，再通过求二次函数在给定区间内的最小值确定实数的取值范围． 【详解】命题“，”为假命题， 其否命题“，”为真命题， ， ，函数开口向上，对称轴为， 在内，， 函数在时，取得最小值， ． 故答案为：． 【变式2】（25-26高一上·河北邯郸·期中）恒成立，则实数a的最大值为______. 【答案】 【分析】根据恒成立转化为在上恒成立，最后再应用基本不等式计算求解. 【详解】恒成立， 即 在上恒成立， 所以 在上恒成立， 又 当且仅当 即 时取等号，所以 则实数a的最大值为 故答案为：. 题型四 一元二次不等式在区间上有解问题 解｜题｜技｜巧 - 转化为： - 在 有解 ； - 在 有解 。 - 与恒成立方向相反：有解用反向最值。 - 同样按对称轴与区间位置分类讨论。 易｜错｜点｜拨 - 与恒成立最值方向混淆（最高频失分点）。 - 漏讨论对称轴在区间内的情形。 - 端点能否取到（开闭）判断错误。 - 忽略 。 答｜题｜模｜板 1. 定开口和对称轴； 2. 按轴与区间位置分三类； 3. 每类求对应反向最值，列不等式； 4. 合并范围，检验端点。 【典例1】（25-26高一上·湖北孝感·期中）当时，关于的不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意参变分离得，再根据对勾函数求最值即可． 【详解】由时，有解， 所以， 又在上单调递减，在上单调递增， 且时，，时， 所以． 故选：C． 【典例2】若存在，使得成立，则m的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转化为，利用二次函数性质求解最值即可. 【详解】存在，使得成立， 所以，， 由二次函数的性质可知在上单调递减， 所以当时，函数取得最小值5，所以． 故选：C 【变式1】（25-26高一上·广东肇庆·期中）若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为_______. 【答案】 【分析】只需求函数在上的最大值，即可得答案. 【详解】由题意，在上有解， ∴在上有解， 即，其中， 在中，， 对称轴， ∵，二次函数开口向上， ∴函数在单调递减，在上单调递增， ∴函数在上取最大值，， ∴， 故答案为：. 【变式2】已知，若存在，使得不等式成立，则的取值范围是_________. 【答案】 【分析】由题意可得小于等于的最大值即可. 【详解】因为存在，使得不等式成立， 所以在上有解， 所以小于等于的最大值， 令，， 则， 所以， 即的取值范围是. 故答案为： 题型五 区间上的二次函数最值问题 解｜题｜技｜巧 - 区间上最值在顶点或区间端点处取得。 - 按对称轴与区间位置分三类： - 轴在区间左：最值在两端点； - 轴在区间内：最值在顶点和一个端点； - 轴在区间右：最值在两端点。 - 开口向上：顶点为最小，离轴远的端点取最大；开口向下反之。 易｜错｜点｜拨 - 不分类直接用顶点或端点，忽略轴是否在区间内。 - 开口方向判断错误，最值位置搞反。 - 比较两端点到轴距离算错。 - 区间开闭导致端点取不到。 答｜题｜模｜板 1. 定开口和对称轴； 2. 按轴与区间位置分三类； 3. 每类计算顶点值和两端点值，比较大小； 4. 写出最大、最小值（及对应 ）。 【典例1】已知二次函数满足以下条件：①图象过点；②时的函数值与时的函数值相等；③函数的最小值为. (1)求该二次函数的解析式； (2)解不等式; (3)当时，该二次函数的最小值为0，求实数的值. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】(1)由两点函数值相等，直接求出对称轴，结合最小值优先用顶点式求二次函数； (2)解一元二次不等式，先移项整理，因式分解，结合开口方向写出解集； (3)闭区间上二次函数求最值，核心是比较对称轴和区间的位置关系，分对称轴在区间内、区间左、区间右三类讨论. 【详解】（1）由和函数值相等，得对称轴为， 因为二次函数的最小值为， 所以设二次函数的顶点式为，又图象过点， 所以，得，故， 故该二次函数的解析式； （2）不等式，即为，所以， 即，得， 故不等式的解集是； （3）对称轴为，开口向上，分三类讨论： 当，即，此时最小值在，，舍去， 当，即，函数在上单调递增， 所以二次函数在取得最小值， 故，得或， 不满足，舍去，得； 当，即，函数在单调递减， 所以二次函数在 取得最小值， 故，得或， 不满足，舍去，得. 综上， 或 【典例2】已知点是二次函数图象上的点. (1)求二次函数图象的顶点坐标； (2)当时，求函数的最大值与最小值的差； (3)当时，若函数的最大值与最小值的差为4，求的值. 【答案】(1) 顶点坐标为 (2) (3) 或 【分析】（3）属于定轴动区间问题，对进行分类讨论. 【详解】（1）代入点，，解得. 二次函数的解析式为，所以顶点坐标为. （2）因为抛物线开口向上，结合图像可知， 时，单调递减；时，单调递增. 所以时，函数取最小值为， 时，；时，，所以函数在时取最大值为， 函数的最大值与最小值的差为. （3）情况一：当，即时，在上单调递减， 时，；时，， 所以，解得（舍）. 情况二：当时，在上单调递减， 在上单调递增，所以时，， 当时，对称轴距离更远，时，， 此时，解得或（舍）. 当时，对称轴距离更远，时，， 此时，解得或（舍） 情况三：当时，在上单调递增， 时，；时，， 此时，解得（舍）. 综上所述，或. 【变式1】（25-26高一上·江西九江·期中）设函数. (1)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)若当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)已知，若时，的最大值为10，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次函数的性质求解即可. （2）根据二次函数的性质，结合区间定轴动问题求解方法求解即可. （3）根据二次函数在固定区间的最值求解即可. 【详解】（1）函数开口向上，对称轴为， 因为在区间上单调递增，所以. 故实数的取值范围为. （2）当时，恒成立，等价于当时，. 当时，在上单调递增，所以， 所以，解得，与矛盾，不符合题意； 当时，， 所以，即，此时无解，不符合题意； 当时，在上单调递减，所以. 所以，解得，与矛盾，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围为. （3）由，令，则，即. 令，函数开口向上，对称轴为. 因为在上的最大值只能在区间端点处取得，而，， 当时，，所以，解得，满足题意； 当，，所以，解得，与矛盾，不满足题意. 综上所述，. 【变式2】（25-26高一上·湖南邵阳·期中）已知二次函数（）满足，． (1)求的解析式； (2)若函数在区间上的最小值为，求实数的值； (3)若对任意，有不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求出解析式即可； （2），对称轴是，根据二次函数在区间上的不同单调性求出最小值，继而即可求解； （3）由题意得，当时，不等式恒成立；当时，利用分离参数法得在上恒成立，结合换元法与对勾函数的单调性求解即可. 【详解】（1）因为，则， 所以， 又， 所以，得，，所以． （2），所以的图象开口向上，对称轴是． 当，即时，在上单调递增， ，得，满足题意； 当，即时，在上单调递减， ，得，满足题意； 当，即时，在上单调递减，上单调递增． ，得或，不满足题意． 综上所述，或． （3），，化简得：． 当时，不等式恒成立； 当时，，在上恒成立． 令，， ，． 又在上单调递增，所以当时，有． 故，即的取值范围是． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一上·江苏镇江·期中）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考虑二次项系数为0和不为0两种情况，解集为空集代表不等式无解，利用二次函数的图象求解即可． 【详解】当时，不等式为不成立，故解集为； 当时，二次不等式大于0解集为空集，即二次函数恒成立； 则，即，解得； 综上， 所以实数的取值范围是. 2．（25-26高一上·安徽合肥·期中）若存在，使得成立是假命题，则实数不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将原假命题转化为全称恒成立的真命题，分离参数后利用基本不等式求最值得到的取值范围，再判断各个选项可得. 【详解】因为命题“，使得成立”为假命题， 所以其否定“，恒成立”为真命题. 由于，对不等式变形可得，即对所有恒成立. 根据基本不等式，当时，，当且仅当即时等号成立， 因此的最小值为，要使恒成立，则. 对比选项：，，均满足，只有，不在的取值范围内，故不可能是. 3．（25-26高一上·河北沧州·期中）若，的否定为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将命题转化为有解问题，分情况讨论的值，时，不等式为一次不等式有解；时为一元二次不等式，根据二次函数的性质确定不等式有解. 【详解】，的否定为真命题， 即命题“”为真命题， 当时，不等式化为，即，符合题意； ，命题“”为真命题， 当时，对于抛物线，开口向下， 显然在有解，符合题意； 当时，对于抛物线，开口向上， 只需，解得或， 又，所以或， 综上实数的取值范围是或， 即． 4．（25-26高一上·河北石家庄·期中）若存在，，则实数的最大值为___________． 【答案】 【分析】分离参数，根据存在得到，再利用换元法求出的最大值即可. 【详解】原不等式化为 存在 只需， 令，则， 当且仅当，即时，等号成立， ，则实数的最大值为 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一上·河南南阳·期中）已知二次函数满足． (1)求的解析式； (2)若在上没有最大值，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设二次函数，结合题干条件，利用待定系数法即可求解； （2）结合二次函数的性质，对称轴以及单调性，分析即可求解. 【详解】（1）不妨设二次函数， 由，可得，所以； 由，可得， 即，即，解得，故. （2）函数的图象为开口向上的抛物线，对称轴为，易知， 当时，在上单调递减，有最大值，不符合题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 又，所以在上有最大值，不符合题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 又，所以在上没有最大值，符合题意； 综上所述，实数m的取值范围为． 2．（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数． (1)若函数在区间上不单调，求实数a的取值范围； (2)若函数在上的最大值为1，求实数a的值． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）根据二次函数的对称轴范围求解； （2）对实数a的取值范围进行分类讨论，分析二次函数在上的单调性，结合已知条件可得出实数a的等式，即可解得实数a的值. 【详解】（1）因为图象的对称轴为． 又因为在上不单调，所以，解得． 即实数a的取值范围为． （2）由于区间的中点为， ①当，即时，， 所以，即，满足题意； ②当，即时，， 所以，即，满足题意． 综上可知，或． 3．（25-26高一上·河南开封·期中）已知二次函数，其中． (1)若，不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 【答案】(1) (2)若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为或． 【分析】（1）通过分离参数再结合基本不等式求最值，即可求解； （2）因式分解得到，通过讨论，，，，，即可求解. 【详解】（1）将代入得．① 因为，①可变形为． 不等式恒成立等价于． 又， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，故的取值范围为． （2）整理， 得，即， ①当时，不等式整理为，解得； ②当时，方程的两根为：，． 解不等式得或； ③当时 若，即时，解不等式得； 若，即时，解不等式得； 若，即时，解不等式得． 综上所述，若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为或． 4．（25-26高一上·山东济宁·期中）设函数， (1)解关于的不等式； (2)当时，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为． (2) 【分析】（1）分三种情况计算不等式的解集. （2）方法一：将不等式等价于在时恒成立，然后根据函数的单调性计算即可； 方法二：将不等式等价于在时恒成立，根据二次函数的性质计算即可. 【详解】（1）解：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为． （2）（法一）：因为，等价于在时恒成立 函数在上单调递增，值域是 所以，的取值范围是. （法二）：等价于在时恒成立 设，则的对称轴为，且在时恒成立 当，即时，在单调递增， 只需即可，解得， ， 当，即时，， 得，与矛盾 综上所述，的取值范围是. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数 (1)若方程在区间上有且仅有1个实根， 求a的取值范围； (2)若函数 在区间 上的最大值为 求a的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合函数图象，分四种情况进行讨论，求出a的取值范围； （2）对对称轴分类讨论，结合函数单调性分析，即可求出a的值. 【详解】（1）①当时，解得：，此时， 则的零点为，0，不合题意； ②当时，解得：，此时， 则的零点为，1，不合题意； ③当时，解得：， 当时，的零点为，不合题意； 当时，的零点为，不合题意； ④当时，， 解得：，此时满足方程在区间上有且仅有1个实根， 综上：a的取值范围是 （2）由的对称轴为 当 即 时， 在 上递增， 则，不合题意； 当 即 时，在 上递减， 则，不合题意； 当 即 时， 的最大值为 解得 （舍去）， 综上，a的值为 2．（25-26高一上·山西运城·期中）设函数 (1)当时，求在上的值域； (2)求不等式的解集； (3)若对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为或， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为或； (3). 【分析】（1）代入得到二次函数解析式，由对称轴求出单调区间，从而求出值域； （2）对分类讨论，结合一次不等式或二次不等式的解法要求，得出对应解集； （3）由不等式化简后整理得到，求出的最小值即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 的图象的对称轴为，故在上单调递减， 当时，；当时，， 故在上的值域为； （2）当时，，由得：； 当时，， 当时，，由得：； 当时，即，由得：或； 当时，即，，由得：解得； 当时，即，由得：或； 综上：当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为或， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为或； （3）由得， 即，由于 得： 即，因，故， 故 ， 令，现求在上的最小值，即， 设，则，代入得： 由基本不等式， 当且仅当，即时取等号）. 此时对应，不等式可取等号， 故， 故，即的取值范围为. 3．（25-26高一上·山东枣庄·期中）已知函数， (1)若不等式的解集为，求实数b，c的值； (2)若，解关于x的不等式； (3)若对于恒成立，求的最小值． 【答案】(1)； (2) 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为 (3)13． 【分析】（1）由2和3是方程的两个根，结合韦达定理即可求解； （2）通过讨论的大小关系，即可求解； （3）由，得到，即可求解. 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以2和3是方程的两个根， ； （2）若，不等式可化为， 即， 当时，解得， 当时，解得或， 当时，解得或， 综上，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为 （3）因为恒成立， 即对恒成立 所以，即， 所以， 即， 所以5b－2c的最小值为13． 4．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知函数． (1)若关于x的方程有两个不相等的正实数根，求实数a的取值范围； (2)若不等式在区间上恒成立，求实数a的取值范围； (3)设，若函数在区间上的最小值为2，求实数a的值． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）结合二次函数判别式和根与系数关系解题. （2）不等式恒成立问题，讨论二次函数对称轴解题. （3）分类讨论的最小值情况解题. 【详解】（1）因为方程有两个不相等的正实数根， 所以由题意可得，解得． （2）因为对任意，不等式恒成立,所以，其中. 当时，在单调递增，，解得，故； 当时，，解得，故； 当时，在单调递减，，解得，无解； 综上，. （3）当时，，，最小值为，解得，符合条件； 当时，，，故，最小值为，解得(舍去负根)，符合条件； 当时，，但，此时最小值为0，最小值为，无解； 当时， 在单调递减，，，故最小值为0，，符合条件； 综上所述，或或. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元二次不等式的恒成立、有解与区间最值 （期中复习讲义·培优版） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 一元二次不等式在R上的恒成立问题 题型02 一元二次不等式在R上有解问题 题型03 一元二次不等式在区间上的恒成立问题 题型04 一元二次不等式在区间上有解问题 题型05 区间上的二次函数最值问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 R 上恒成立（判别式法） 熟练掌握用判别式法解决二次不等式在R 上恒成立问题。 选择填空高频基础题；易错在忽略 a=0 或开口方向。 有解（存在性）问题 熟练掌握二次不等式有解问题的解题思路。 常与恒成立对照考查，“存在/任意”取最大值 还是最小值极易搞反。 区间上恒成立（分离参数） 熟练掌握用分离参数法解决二次不等式在区间上恒成立问题。 解答题热点，考查分离参数与转化思想。 含参二次函数区间最值 熟练讨论二次函数在区间上的最值问题。 压轴小问常客，分类讨论不全、漏边界点是主要失分点。 知识点01 三个二次的关系 核心概念：二次函数 、一元二次方程 、一元二次不等式 三者紧密关联。 核心关系（ 时）： 方程根 解集 解集 两不等根 或 两等根 空集 无实根 空集 口诀：“大于取两边，小于取中间”（前提 ）。 易错点： · 易错点总结：忽略二次项系数 的正负，直接套”大于取两边”。 · 注意事项总结：若 ，先把 化为正（两边乘 ，不等号反向），再套口诀。 知识点02 R上的恒成立问题 核心模型：一元二次不等式对所有实数 恒成立。 核心公式： 特别提醒： · 恒成立 或 ； · 时退化为一次/常数，必须单独讨论！ 示例： 若不等式 对一切 恒成立，求 的范围。 解：，需 ，得 。 易错点： · 易错点总结：忽略 的讨论，把 直接当成二次不等式。 · 注意事项总结：看到 “” 且未说明 ，先分 和 两类； 时退化为一次，用一次函数性质判断。 知识点03 有解（能成立）问题 核心模型：存在 使不等式成立。 核心公式： 转化技巧（补集思想）：“有解”的反面是”恒不成立”，用补集法更简单： · “ 有解”的反面是 “ 恒成立”； · 先求反面的参数范围，再取补集。 示例： 若不等式 有解，求 的范围。 解：反面： 对 恒成立，需 ，即 。 取补集： 或 。 易错点： · 易错点总结：直接判断”有解”，不如补集法清晰，容易漏情况。 · 注意事项总结：“有解”题优先用补集思想——先求恒成立的反面，再取补集，比直接讨论更稳。 知识点04 区间上的恒成立问题 核心模型： 在区间 上恒大于/小于某值。 核心方法（分离参数法，首选）： 把参数 分离出来，转化为求函数最值： · 在 恒成立 ； · 在 恒成立 。 方法二（不分离时）：直接求 在区间上的最值。 易错点： · 易错点总结：不分区间，直接套 ——题目只要求在某个区间成立，不是全体实数。 · 注意事项总结：区间恒成立 全体实数恒成立！前者用最值法，后者才用 。 知识点05 区间上的二次函数最值（轴动区间定） 核心模型：对称轴含参数（动轴），区间固定，求最值。 解题原理：二次函数开口向上（）时，最值取决于对称轴 与区间 的位置关系。 分类讨论（ ，开口向上）： 对称轴位置 最小值 最大值 （轴在左） （轴在中） （轴在右） 示例： 求 在 上的最小值。 解：对称轴 ，开口向上。 ① ：最小值 ； ② ：最小值 ； ③ ：最小值 。 易错点： · 易错点总结：不讨论对称轴位置，直接套顶点公式，结果对称轴不在区间内。 · 注意事项总结：开口向上，最小值在顶点（若轴在区间内）或离轴近的端点；最大值总在端点。开口向下则相反。 知识点06 轴定区间动（区间含参数） 核心模型：对称轴固定，区间 或 随参数移动。 解题原理：与轴动区间定对称——讨论区间左端点、右端点与对称轴的位置关系。 示例： 求 在区间 上的最小值。 解：对称轴 ，开口向上。 ① 即 ：最小值 ； ② 即 ：最小值 ； ③ ：最小值 。 易错点： · 易错点总结：区间是开是闭不分，导致等号取舍错误。 · 注意事项总结：讨论分界点（如本题 ）要单独代入检验，看取等时是否仍属于该区间。 知识点07 区间上的有解问题 核心模型：存在 使 成立。 核心公式： 恒成立 vs 有解对照： 类型 命题 转化 恒成立 有解 易错点： · 易错点总结：恒成立和有解取错最值——恒成立找最小，有解找最大。 · 注意事项总结：口诀”恒成立最严（找最差），有解最松（找最好）”。 题型一 一元二次不等式在R上的恒成立问题 解｜题｜技｜巧 - 在 上恒成立 - 恒成立 - （或 ）恒成立：开口方向反向 + 判别式对应反向。 - 二次项系数含参数时，先讨论 的一次情形。 易｜错｜点｜拨 - 漏讨论 ，直接按二次处理。 - 判别式方向与不等式方向搞反： 恒成立要 。 - 与 的判别式等号区别：带等号 ，不带等号 。 答｜题｜模｜板 1. 讨论二次项系数为0（一次情形单独解）； 2. 时，开口方向 + 判别式列不等式组； 3. 解不等式组； 4. 合并 情形，验证。 【典例1】（25-26高一上·山东泰安·期中）已知关于不等式解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一上·江苏南通·期中）已知命题为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是__________． 【变式2】对任意，都有，则a的取值范围是__________________. 题型二 一元二次不等式在R上有解问题 解｜题｜技｜巧 - 有解与恒成立互为反面： - 有解 不是” 恒成立”； - 开口向上时，只要不恒负就有解。 - 开口向上 + 有两解； 有一解；开口向下需 才能取到正值。 - 退化情形： 时一次方程/不等式单独判断。 易｜错｜点｜拨 - 与恒成立判别式方向混淆。 - 忽略 的退化情形。 - “有解”不代表全体，端点能否取到要单独看。 答｜题｜模｜板 1. 讨论 的退化情形； 2. 按开口方向分析判别式； 3. 解出参数范围； 4. 验证端点。 【典例1】（25-26高一上·江西鹰潭·阶段检测）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 【典例2】（25-26高一上·甘肃白银·期中）若不等式有解，则实数的取值集合是_________. 【变式1】（25-26高一上·湖北咸宁·阶段检测）若两个正实数满足且不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【变式2】（25-26高一上·上海青浦·期中）已知关于的不等式有解，则实数的取值范围是_____. 题型三 一元二次不等式在区间上的恒成立问题 解｜题｜技｜巧 - 转化为区间最值： - 在 恒成立 ； - 在 恒成立 。 - 核心：轴动区间定/轴定区间动，按对称轴与区间位置分类。 - 分类标准：轴在区间左、内、右。 易｜错｜点｜拨 - 漏讨论对称轴在区间内的情况，直接用端点最值。 - 最值方向搞反：恒大于等于用最小值，恒小于等于用最大值。 - 区间开闭导致端点取舍错误。 - 忽略 的退化情形。 答｜题｜模｜板 1. 设 ，定开口和对称轴； 2. 按轴与区间位置分三类（左、内、右）； 3. 每类求最值，列最值不等式； 4. 合并范围，检验端点。 【典例1】（25-26高一上·广西桂林·期中）若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一上·山西晋中·期中）已知命题“”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】命题“，”为假命题，则实数的取值范围是______． 【变式2】（25-26高一上·河北邯郸·期中）恒成立，则实数a的最大值为______. 题型四 一元二次不等式在区间上有解问题 解｜题｜技｜巧 - 转化为： - 在 有解 ； - 在 有解 。 - 与恒成立方向相反：有解用反向最值。 - 同样按对称轴与区间位置分类讨论。 易｜错｜点｜拨 - 与恒成立最值方向混淆（最高频失分点）。 - 漏讨论对称轴在区间内的情形。 - 端点能否取到（开闭）判断错误。 - 忽略 。 答｜题｜模｜板 1. 定开口和对称轴； 2. 按轴与区间位置分三类； 3. 每类求对应反向最值，列不等式； 4. 合并范围，检验端点。 【典例1】（25-26高一上·湖北孝感·期中）当时，关于的不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【典例2】若存在，使得成立，则m的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·广东肇庆·期中）若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为_______. 【变式2】已知，若存在，使得不等式成立，则的取值范围是_________. 题型五 区间上的二次函数最值问题 解｜题｜技｜巧 - 区间上最值在顶点或区间端点处取得。 - 按对称轴与区间位置分三类： - 轴在区间左：最值在两端点； - 轴在区间内：最值在顶点和一个端点； - 轴在区间右：最值在两端点。 - 开口向上：顶点为最小，离轴远的端点取最大；开口向下反之。 易｜错｜点｜拨 - 不分类直接用顶点或端点，忽略轴是否在区间内。 - 开口方向判断错误，最值位置搞反。 - 比较两端点到轴距离算错。 - 区间开闭导致端点取不到。 答｜题｜模｜板 1. 定开口和对称轴； 2. 按轴与区间位置分三类； 3. 每类计算顶点值和两端点值，比较大小； 4. 写出最大、最小值（及对应 ）。 【典例1】已知二次函数满足以下条件：①图象过点；②时的函数值与时的函数值相等；③函数的最小值为. (1)求该二次函数的解析式； (2)解不等式; (3)当时，该二次函数的最小值为0，求实数的值. 【典例2】已知点是二次函数图象上的点. (1)求二次函数图象的顶点坐标； (2)当时，求函数的最大值与最小值的差； (3)当时，若函数的最大值与最小值的差为4，求的值. 【变式1】（25-26高一上·江西九江·期中）设函数. (1)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)若当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)已知，若时，的最大值为10，求的值. 【变式2】（25-26高一上·湖南邵阳·期中）已知二次函数（）满足，． (1)求的解析式； (2)若函数在区间上的最小值为，求实数的值； (3)若对任意，有不等式恒成立，求实数的取值范围． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一上·江苏镇江·期中）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·安徽合肥·期中）若存在，使得成立是假命题，则实数不可能是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·河北沧州·期中）若，的否定为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·河北石家庄·期中）若存在，，则实数的最大值为___________． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一上·河南南阳·期中）已知二次函数满足． (1)求的解析式； (2)若在上没有最大值，求实数m的取值范围． 2．（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数． (1)若函数在区间上不单调，求实数a的取值范围； (2)若函数在上的最大值为1，求实数a的值． 3．（25-26高一上·河南开封·期中）已知二次函数，其中． (1)若，不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 4．（25-26高一上·山东济宁·期中）设函数， (1)解关于的不等式； (2)当时，不等式恒成立，求的取值范围． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数 (1)若方程在区间上有且仅有1个实根， 求a的取值范围； (2)若函数 在区间 上的最大值为 求a的值. 2．（25-26高一上·山西运城·期中）设函数 (1)当时，求在上的值域； (2)求不等式的解集； (3)若对恒成立，求实数的取值范围． 3．（25-26高一上·山东枣庄·期中）已知函数， (1)若不等式的解集为，求实数b，c的值； (2)若，解关于x的不等式； (3)若对于恒成立，求的最小值． 4．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知函数． (1)若关于x的方程有两个不相等的正实数根，求实数a的取值范围； (2)若不等式在区间上恒成立，求实数a的取值范围； (3)设，若函数在区间上的最小值为2，求实数a的值． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $