精品解析：江苏省盐城中学2026-2027学年高二上学期10月份阶段性质量检测数学试题

江苏省盐城中学高二年级10月份阶段性质量检测（2026.10） 数学试题 试卷说明：本场考试时间120分钟，总分150分 一、单项选择题：本题共8题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上． 1. 过两点的直线的倾斜角为135°，则的值为（ ）. A. 或 B. C. D. 2. 从2名男生和2名女生中任意选出两人参加冬奥知识竞赛，则选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线与平行，则这两条平行直线之间的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 4. 已知一圆的圆心为点 ，一条直径的两个端点分别在 轴和 轴上，则此圆的方程是 （ ） A. B. C. D. 5. 设随机事件A，B满足，，则（ ）． A. B. C. D. 6. 已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 过点的直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 平面直角坐标系中，已知点，若直线：上总存在、两点，使得恒成立，则线段长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，若部分选对得部分分，若错选不得分．请把答案填写在答题卡上． 9. 同时抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，用x表示红色骰子朝上面的点数，用y表示绿色骰子朝上面的点数，用表示一次试验的结果.定义事件“”，事件“为奇数”，事件“”，则下列结论正确的是（ ） A. B. A与B互斥 C. A与B对立 D. A与C相互独立 10. 在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，则（ ） A. 的轨迹方程为 B. 的面积最大值为3 C. 的最大值为 D. 到直线的距离最大值为 11. 已知曲线，则（ ） A. 曲线关于轴对称 B. 曲线围成图形的面积为 C. 曲线上的点到点的距离最大值为 D. 若点是曲线上的点，则的最大值为1 三、填空题：本题共3题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12. 求过点且垂直于直线的直线方程为______． 13. 如果实数，满足等式，那么的最大值是________． 14. 已知集合是的子集，且，则的概率为______． 四、解答题：本题共5题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知圆的圆心在直线上且与y轴相切于点. （1）求圆的标准方程； （2）若直线l过点且被圆截得的弦长为，求直线l的方程. 16. 将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为，第二次出现的点数为，设复数． （1）求事件“为实数”的概率； （2）求事件“”的概率． 17. 如图所示，将一块直角三角形板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点的任一直线将三角板锯成，设直线的斜率为，问： （1）求直线的方程及斜率的范围； （2）求出点的坐标（含），并求的面积的取值范围． 18. 甲、乙两人参加射击比赛，规定两人各射击目标一次为一轮，击中目标者得1分，未击中者得0分．甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，假设每人每次射击的结果互不影响． （1）第一轮比赛结束，求两人得分和不为0分的概率； （2）在前20轮的比赛中，恰好两人得分相同．现决定进行加赛，规则如下：加赛中某一轮结束后，有人得分高于另一人，则得分高的人获胜，加赛结束，否则继续下一轮．加赛不超过三轮，若三轮结束后得分相同，则为平局． （ⅰ）求加赛满三轮的概率； （ⅱ）求甲获胜的概率． 19. 已知圆：，圆与圆关于直线对称，圆：． （1）判断圆与圆的位置关系，并求圆的方程； （2）设为直线上一点，过点作圆的切线，切点分别为，，求的取值范围； （3）设为圆的任意一点，过点向圆引切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并求出定值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省盐城中学高二年级10月份阶段性质量检测（2026.10） 数学试题 试卷说明：本场考试时间120分钟，总分150分 一、单项选择题：本题共8题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上． 1. 过两点的直线的倾斜角为135°，则的值为（ ）. A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜率和倾斜角的关系，列出等式求解即可． 【详解】由题知，直线的斜率存在，所以A点和B点的横坐标不一样，即， 则，所以，解得或， 又，所以． 故选：B． 2. 从2名男生和2名女生中任意选出两人参加冬奥知识竞赛，则选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用列举法求出古典概率即可. 【详解】记2名男生为，2名女生为， 任意选出两人的样本空间，共6个样本点， 恰好一男一女生的事件，共4个样本点， 所以选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率是. 故选：A 3. 已知直线与平行，则这两条平行直线之间的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【详解】直线的斜率为，由，得直线的斜率存在，且， 解得，则，即， 所以这两条平行直线之间的距离为． 4. 已知一圆的圆心为点 ，一条直径的两个端点分别在 轴和 轴上，则此圆的方程是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由于圆心(2,-3)是直径的中点，所以此直径的两个端点坐标分别为(4,0),(0,-6), 所以半径为,所以所求圆的方程为. 5. 设随机事件A，B满足，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用条件概率公式、互斥事件的概率的性质计算判断. 【详解】， ， ， 故选：B． 6. 已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由题意知直线过点，所以根据直线是否存在斜率进行分类讨论，结合等腰三角形等知识，即可求解. 【详解】设为点，易知点在直线上， 直线与轴的交点， 当直线的斜率不存在时，因为直线l过点， 所以直线的方程为，与轴的交点为； 此时，，， 所以不是等腰三角形，故直线存在斜率； 设关于轴的对称点为， 当直线过，两点时，，是等腰三角形， 同时直线的斜率为，倾斜角为，所以是等边三角形， 所以，此时直线的方程为，化简得； 设直线与轴相交于点，如图所示， 若，则， 所以直线，即直线的斜率为， 此时方程为，整理得. 所以直线l的方程为或. 7. 过点的直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先得到曲线为圆心为，半径为2的下半圆，求出特殊位置时直线的斜率，数形结合得到答案 【详解】，两边平方得， 故曲线为圆心为，半径为2的下半圆， 如图所示， 当过点时，斜率为，当过点时，斜率为， 直线的斜率不存在时，此时直线与曲线有1个交点，不合要求， 设直线为， 若直线与相切，则，解得或0， 由图可知，直线与曲线有且仅有两个不同的交点， 则的斜率的取值范围是 8. 平面直角坐标系中，已知点，若直线：上总存在、两点，使得恒成立，则线段长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】要使得恒成立，则点M在以PQ为直径的圆的内部（包含边界），结合点到直线的距离公式，进而得到圆的半径的最小值，即可求解. 【详解】要使得恒成立，则点M在以PQ为直径的圆的内部（包含边界）， 点P、Q在直线上， 而点到直线l：的距离为， 则以为直径的圆的半径的最小值为3， 所以的最小值为6，则线段PQ长度的取值范围是. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，若部分选对得部分分，若错选不得分．请把答案填写在答题卡上． 9. 同时抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，用x表示红色骰子朝上面的点数，用y表示绿色骰子朝上面的点数，用表示一次试验的结果.定义事件“”，事件“为奇数”，事件“”，则下列结论正确的是（ ） A. B. A与B互斥 C. A与B对立 D. A与C相互独立 【答案】ABD 【解析】 【分析】将事件对应的基本事件梳理清楚，进而判断事件之间的关系，计算概率． 【详解】同时抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，可知其中一共有36个样本点； 事件“”代表两枚骰子点数和为7，包含共6个样本点，故，选项A正确； 事件“为奇数”代表两枚骰子点数积为奇数，包括为奇数，为奇数，共个样本点，其中与事件无公共样本点，故事件与事件互斥，选项B正确； 因为，，故事件与事件不对立，选项C错误； 事件“”代表红色骰子向上点数大于3，共18个样本点，则； 事件表示样本点，故， 因为，故A与C相互独立，选项D正确． 10. 在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，则（ ） A. 的轨迹方程为 B. 的面积最大值为3 C. 的最大值为 D. 到直线的距离最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由题意求出点的轨迹方程；对于B，由，可由点的轨迹方程得到的最大值，从而求得的面积的最大值；对于CD，当共线时，，点到直线的距离为0，当不共线时，由余弦定理结合基本不等式，求得的取值范围，从而求得的最大值，同时根据点到直线的距离为，可求得点到直线的距离的最大值． 【详解】对于A，设，由，得， 整理得，故A正确； 对于B，因为点的轨迹方程为，即， 所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 因为的面积为，所以当取最大值2时， 的面积取得最大值，最大值为，故B正确； 对于C，当共线时，；当不共线时， ， 当且仅当，即时，等号成立， 因为，所以，结合共线情形，所以， 综上的最大值为，故C错误； 对于D，当共线时，点到直线的距离为0； 当不共线时，点到直线的距离， 由选项C知，此时，所以， 所以点到直线的距离，结合共线情况可知， 综上点到直线的距离的最大值为，故D正确． 11. 已知曲线，则（ ） A. 曲线关于轴对称 B. 曲线围成图形的面积为 C. 曲线上的点到点的距离最大值为 D. 若点是曲线上的点，则的最大值为1 【答案】AD 【解析】 【分析】用换判断A；确定曲线对应的图形，结合圆的相关知识求解判断BCD. 【详解】对于A，令是曲线上的任意一点，即， 则成立，即点在曲线上，因此曲线关于轴对称，A正确； 当时，，即，是以为圆心， 2为半径的圆在直线及上方的半圆，当时，， 即，是以为圆心，为半径的圆在直线及下方部分， 对于B，曲线在直线及上方的半圆面积为，B错误； 对于C，曲线在直线及下方部分上的点与点的距离最大值为 ，C错误； 对于D，表示曲线上的点与点确定直线斜率的， 观察图形知，当过点的直线与曲线在轴下方部分相切时，直线斜率最大， 设此切线方程为，则，解得，所以的最大值为1，D正确. 故选：AD 三、填空题：本题共3题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12. 求过点且垂直于直线的直线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据与已知直线垂直的直线系方程可设与直线垂直的直线方程为，再把点代入，即可求出值，得到所求方程． 【详解】垂直于直线的直线可设为， 将点代入可得，得， 所以所求的直线方程为. 故答案为：. 13. 如果实数，满足等式，那么的最大值是________． 【答案】 【解析】 【分析】在以为圆心，3为半径的圆上，设，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，求出答案 【详解】，即， 故在以为圆心，3为半径的圆上， 设，即，表示直线， 要与有公共点， 故，解得， 故的最大值为 14. 已知集合是的子集，且，则的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先列出集合的子集，然后根据要求列出满足题干条件的情况种数，最后计算概率值即可. 【详解】因为是的子集，， 所以集合可能是共种情况， 其中满足条件的分以下几种情况： 若均不相同，则可能为和和和， 此时共种情况； 若中有两个相同，则可能为和和和 和和和和， 此时共种情况； 若均相同，则有这1种情况； 以上共计种. 由于，那么符合条件的有： 和和和共种； 和和和共种； 以上共计种. 所以概率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知圆的圆心在直线上且与y轴相切于点. （1）求圆的标准方程； （2）若直线l过点且被圆截得的弦长为，求直线l的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆心坐标为，结合题意得到，求得圆心，再由，即可求得圆的方程； （2）根据圆的弦长公式，化简得到，分的斜率不存在和存在，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解. 【小问1详解】 解：圆的圆心在直线上且与轴切于点， 可设圆心坐标为，则，解得，. 所以圆心，半径， 故圆的方程为. 【小问2详解】 解：由直线l过点且被圆C截得的弦长为， 根据圆的弦长公式，可得，即，解得， 当的斜率不存在时，的方程为，此时不满足条件； 当的斜率存在时，设直线的斜率为，则方程为，即， 可得，解得或， 所以直线方程为或. 16. 将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为，第二次出现的点数为，设复数． （1）求事件“为实数”的概率； （2）求事件“”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）若为实数，则该复数的虚部为0，可解得，所以第二次抛掷出现的点数，即事件“为实数”的概率为； （2）由题意，结合复数模的计算，有，逐个分析所有的可能，先确定的取值，再分析可能的取值，经计算，共有9种情况下可使事件“”成立，又，的取值情况共有种，进而可求得该事件的概率. 【小问1详解】 若为实数，即为实数，所以， 故该事件只与第二次抛掷骰子有关，与第一次抛掷骰子无关， 又依题意，第二次抛掷出现的点数可取1，2，3，4，5，6， 故出现的概率为， 即事件“为实数”的概率为. 【小问2详解】 由已知， 可知，的值只能取1，2，3， 当时，，即可取1，2，3，4， 当时，，即可取1，2，3，4， 当时，，即可取2， 由上可知，共有9种情况下可使事件“”成立， 又，的取值情况共有种， 故事件“”的概率为. 17. 如图所示，将一块直角三角形板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点的任一直线将三角板锯成，设直线的斜率为，问： （1）求直线的方程及斜率的范围； （2）求出点的坐标（含），并求的面积的取值范围． 【答案】（1）直线方程为：， （2），. 【解析】 【分析】（1）利用直线点斜式方程可整理得到直线方程；由直线截得到，通过确定临界直线斜率可得的范围； （2）将直线与方程联立可得点坐标，利用表示出，设，换元后，结合对勾函数的性质可求得的取值范围， 【小问1详解】 由题意知：，； 直线经过点，斜率为， 直线方程为：，即； ，，又直线与线段均有交点， . 【小问2详解】 由题意知：直线， 由得：， ； 由题意知：直线； 由得：，； ， ， ，设，则，， ， 在上单调递增，，， 所以的取值范围是. 18. 甲、乙两人参加射击比赛，规定两人各射击目标一次为一轮，击中目标者得1分，未击中者得0分．甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，假设每人每次射击的结果互不影响． （1）第一轮比赛结束，求两人得分和不为0分的概率； （2）在前20轮的比赛中，恰好两人得分相同．现决定进行加赛，规则如下：加赛中某一轮结束后，有人得分高于另一人，则得分高的人获胜，加赛结束，否则继续下一轮．加赛不超过三轮，若三轮结束后得分相同，则为平局． （ⅰ）求加赛满三轮的概率； （ⅱ）求甲获胜的概率． 【答案】（1） （2）（ⅰ） （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）通过分析事件“两人得分和不为0”的对立事件“两人得分和为0”，得出答案； （2）（ⅰ）通过加赛规则可知，要想加赛满三轮，则前两轮两人的得分应该相同，则第三轮一定会进行； （ⅱ）分别求出甲在第一轮、第二轮、第三轮胜出的概率，按照分类加法原理求和即可得甲获胜的概率. 【小问1详解】 设“甲击中目标”为事件A，“乙击中目标”为事件B， 所以，，，， 第一轮比赛结束后，两人得分为0分的概率为， 所以第一轮比赛结束后，两人得分不为0分的概率为. 【小问2详解】 （ⅰ）设表示事件“加赛中第轮平局”，所以， 要使加赛满三场，则前两场必须平局， 所以加赛满三场的概率为. （ⅱ）若甲第一轮加赛胜出，则甲中乙不中概率为：， 若甲第二轮加赛胜出，则第一轮平局，第二轮甲中乙不中概率为：， 若甲第三轮加赛胜出，则前两轮平局，第三轮甲中乙不中概率为：， 所以甲获胜的概率为：. 19. 已知圆：，圆与圆关于直线对称，圆：． （1）判断圆与圆的位置关系，并求圆的方程； （2）设为直线上一点，过点作圆的切线，切点分别为，，求的取值范围； （3）设为圆的任意一点，过点向圆引切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并求出定值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）圆内含于圆， （2） （3）存在，，定值为；，定值为． 【解析】 【分析】（1）计算圆和的圆心距，结合半径判断两圆关系，利用对称点性质求圆心，写出对称圆方程； （2）利用切线长与夹角二倍角公式将数量积转化为关于距离的函数，由单调性求范围； （3）代入圆方程消去二次项，令一次项系数为0，解出定点坐标与对应定值． 【小问1详解】 圆：的圆心为，半径， 圆：的标准形式为， 圆心，半径， 圆心距， 则， 故圆内含于圆； 圆与关于直线对称，半径不变，设圆心对称点， 则，解得，即， 故圆的方程为：． 【小问2详解】 设，记，则切线长， 设，则，且，则， ， 令，则，求导得， 在上，故函数在上单调递增， 故， 故的取值范围为． 【小问3详解】 设，由切线长公式， 设定值为，则，即， 在上，满足，联立可得， ， 则，整理得， 解得或， 当时，，代入圆方程，， 故不在圆上，此时，定值为； 当时，，代入圆方程，， 此时，定值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $