第4讲 平面与平面的夹角二面角专项训练（提高）-2027届高三数学一轮复习

平面与平面的夹角（二面角） 立体几何 · 专题篇 棱柱、棱锥中的二面角 提高一档的二面角问题，多数可以归结成一句话：把二面角换成两个平面的法向量的夹角。做法是先找一组两两垂直的方向建系，再把棱上的一点和每个半平面内的一个点写出来，分别求出两个平面的法向量，代入公式。这里最容易出错的是判断结果的符号：两个法向量的夹角与二面角要么相等、要么互补，单看法向量的夹角分不出来，必须回到原图看这个二面角本身是锐角还是钝角。一个可靠的办法是看图里两个半平面分别向棱的哪一侧张开，朝同侧张开是锐角，朝两侧张开是钝角。 另一类题反过来给条件：已知二面角的大小或者它的余弦值，要求某条棱的长度、某个顶点的高度或者某个参数的取值。这时二面角的公式就是一条方程。立方程之前要先把这个二面角的平面角找准，把平面角所在的那个三角形画出来，它的三条边里通常有两条是现成的，第三条正是待求的量，用余弦定理把角与边连起来，比直接建系少一个未知数。 图形里出现台体、斜棱柱，或者顶点不在底面正上方时，先要判断垂直于底面的那条线在哪里。常用的办法是找两个平面的交线，再由面面垂直的性质把垂线落到这条交线上；也可以利用对称性，底面是正多边形、侧棱又都相等时，顶点就在底面中心的正上方。 还有一类要求某个长度或者某个角的取值范围。这时二面角往往随一个动点的位置变化，把动点用一个参数表示出来，所求的量就成了这个参数的函数，再求最值。函数里带根号时优先考虑平方后再求，但要留意平方前后取值范围是否一致，变换过程中有没有引入不属于原题的增解。 例1（解答·★★★★☆） 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，为等边三角形。 （1）若分别是棱的中点，证明：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值。 【切入点】底面是直角梯形，边长关系摆得很足，先把 处三条棱的垂直关系证出来，坐标系就落在 点上了。 【关键】取 的中点 。 是 的中点，故 ； 是 的中点，故 。又 ，所以 。于是平面 内的两条相交直线分别平行于平面 ，故平面 平面 ，从而 平面 。取 的中点 。由 、 得 且 ，故四边形 是平行四边形，；又 ，所以 ，且 。结合 得 ， 为等边三角形，于是 ，。 也是等边三角形，，故 且 。在 中用余弦定理，，从而 ，即 。所以 、、 两两垂直。以 为原点建系，、、、；由 得 。，，取平面 的法向量 ；平面 的法向量取 。故 。 【易错】一是第一问只连一条中位线就说 平行于平面，要凑出两条相交直线才能得到面面平行。二是没有先验证 就急着建系，坐标系其实不成立。三是把 的坐标直接写成 的某个固定方向， 要由 反推。 【答案】（1）证明见解析；（2） 变式1-1（解答·★★★★☆） 如图，在三棱柱中，，，，，。 （1）求证：平面平面；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成角的余弦值。 【切入点】第一问证出面面垂直以后，三条棱在 点处两两垂直；第二问先用线面角把底边长度解出来，再算两个平面的夹角。 【关键】在 中，、、，由余弦定理 ，即 。因为 ，故 ；又 ，于是 平面 ，平面 平面 。以 为原点、、、 为轴建系，设 ，则 、、。取平面 的法向量 ，由 与线面角条件得 ，解得 。取平面 的法向量 ，故 。 【易错】一是第一问只证出 ，漏掉 ，面面垂直就证不出来。二是第二问平面 的法向量用两条不交的棱去求，要用 与 。三是解 时两边平方后忘了 。 【答案】（1）证明见解析；（2） 例2（解答·★★★★☆） 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，，，点为的中点。 （1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值。 【切入点】第一问证出 垂直于平面 以后，平面 的法向量就现成了，第二问只需要再算平面 的法向量。 【关键】连接 交 于 ，由菱形得 。取 中点即 ，底面边长 、，故 、。由 、、 得 ，所以 ；又 、 为 的中点得 ，结合 得 平面 ，从而 。于是 平面 ， 就是平面 的一个法向量。在平面 内过 作 于 ，由等面积得 ，，故 。以 为原点、 与 为 、 轴建系，、、、。，，取平面 的法向量 ；。故夹角的余弦值为 。 【易错】一是把 的位置算错， 是 到 的距离，要用等面积法而不是勾股定理硬算。二是第二问忘了把平面 的法向量换成 ，又去设一个未知向量。三是建系时把 轴画在 点竖直方向，而 并不在 的正上方。 【答案】（1）证明见解析；（2） 变式2-1（解答·★★★★☆） 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，侧面是等边三角形，三棱锥的体积为，点是棱的中点。 （1）求证：平面平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值。 【切入点】侧面是等边三角形、底面是矩形，先用体积把顶点到底面的高度求出来，再判断顶点落在哪里。 【关键】矩形 中 、，故 ， 为等边三角形，， 边上的高为 。取 的中点 ，则 且 。底面面积 ，由 得 ，与 相等，故 在底面上的射影正是 ， 平面 。由 与 得 平面 ，故平面 平面 。以 为原点、 为 轴、过 平行于 的方向为 轴、 为 轴建系，、、、。取平面 的法向量 ，平面 的法向量为 ，故夹角的余弦值为 。 【易错】一是由体积求出高以后没有回头验证顶点确实在 中点的正上方。二是把三棱锥 - 的体积当成四棱锥的体积来算。三是第一问只写了 而没有说明 垂直于平面 内的两条相交直线。 【答案】（1）证明见解析；（2） 变式2-2（解答·★★★★☆） 如图，在圆锥中，平面是轴截面，为底面圆周上一点（与不重合），为的中点。 （1）求证：平面；（2）若，求平面与平面的夹角的大小。 【切入点】第一问证出的垂直关系，让其中一个平面的法向量可以直接取成一条已知棱；另一个平面的法向量由两个已知点算出。 【关键】在圆锥 中， 底面，故 ；又 为 的中点、，故 。于是 平面 ， 就是平面 的一个法向量。在底面内过 作 ，以 、、 为轴建系。由 得半径 ， 是圆周角，它对的弧是 ，故 ，于是 、、、。；由 与 取平面 的法向量 。故 ，夹角为 。 【易错】一是把 当成圆心角（它是圆周角，对应的圆心角要乘 ）。二是第一问没有用「 是中点 + 」得到 。三是建系时把 的方向取反， 的坐标随之变号，但夹角结果不变。 【答案】（1）证明见解析；（2） 例3（解答·★★★★☆） 如图，在四棱锥中，底面，，，，侧棱与底面所成的角为，且，。 （1）求；（2）求平面与平面夹角的余弦值。 【切入点】第一问先把底面补成「有直角的四边形」，用 底面和 列方程；第二问的坐标全部由第一问的结果确定。 【关键】由 平面 得 ，又 ，故 平面 ，于是 。 在底面上的射影是 ，所以 就是 与底面所成的角，等于 ，从而 。设 。由 、、 得 ，，结合 得 ，故 。又 ，所以 ，解得 ，即 。以 为原点、 与 为 、 轴，过 作垂直于底面的直线为 轴建系，、、、。取平面 的法向量 ，平面 的法向量 。故 。 【易错】一是把 当成 ， 处的直角是由 得到的， 要重新算。二是第一问求 时忘了乘 这一项。三是建系后把 的坐标写成 ， 在 的正上方而不在 的正上方。 【答案】（1）；（2） 变式3-1（解答·★★★★☆） 如图，在四棱锥中，底面为矩形，为的中点，，。 （1）证明：平面平面；（2）若，直线与平面所成角的正切值等于2，求平面与平面夹角的余弦值。 【切入点】题设给了 ，看起来和底面无关，但把 与 用底面的方向表示出来，就能解出顶点到底面的高度关系。 【关键】设 ，、 分别为 、 的中点。由 得 ，。以 为原点、、 与竖直方向为 、、 轴建系，记 ，则 、、、。 说明 在底面上的射影落在 轴上，故设 。 为 的中点，得 。由 得 ，故 ，即 平面 ，所以平面 平面 。由 且 得 平面 ，所以直线 与平面 所成的角就是 ，，结合 得 。于是 、、、。由 平面 取 ；由 与 取平面 的法向量 。故夹角的余弦值为 。 【易错】一是把 当成 与平面 所成的角却不先证 平面 。二是展开 时漏掉 这一项，就解不出 。三是求平面 的法向量时又设一个未知向量，其实 就垂直于这个平面。 【答案】（1）证明见解析；（2） 变式3-2（解答·★★★★☆） 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，点在线段上，平面。 （1）证明：为的中点；（2）若，二面角的余弦值为，求的长。 【切入点】底面是菱形、侧棱垂直于底面，坐标系直接落在 点；未知量只有一个，用二面角的余弦值列方程即可。 【关键】连接 交 于 ，连接 。由 平面 、 平面 且平面 平面 得 ；又 是 的中点，故 是 的中点。取 的中点 ，由 得 ， 为正三角形，故 ，结合 得 。以 为原点、、、 为 、、 轴建系，设 ，则 、、。平面 的法向量取 ；平面 的法向量取 。由二面角 -- 的余弦值为 得 ，解得 （负值舍去），即 。 【易错】一是第一问忘了说明 是 的中点，从而推不出 是中点。二是解方程时两边平方后没有舍去负根。三是把菱形 的邻角写成 ，正三角形需要的是 。 【答案】（1）证明见解析；（2） 翻折与动态情境中的二面角 翻折题的解答题几乎都长一个样：第一问证平行或垂直，第二问求一个角。第一问不是摆设，它往往正是在交代「折起后哪两条直线互相垂直」，而这些垂直关系就是建系时那三条坐标轴。所以读题时要把第一问的结论当作已知条件接着用，不要第二问另起炉灶重新找垂直。 建系之前，先把这个二面角的平面角落实到一个点上。折痕的中点、两条边的中点、底面对角线的交点，都是常客。平面角确定以后，折起后顶点的坐标就能直接写出来：它一定在过这个点且垂直于折痕的平面内，到折痕的距离是固定值，高度由二面角的正弦决定，沿垂线方向的分量由余弦决定。把这句话写成一个含参数的坐标，后面的所有计算就都变成代数了。 给条件求参数是另一大分支。题里常常只说某个二面角的余弦值等于多少，要据此求出某条棱的长或者某个点的高度。这时坐标系里要预先留一个未知量，把两个平面的法向量都算成这个未知量的表达式，再让夹角的余弦等于题给的值，解这个方程。解完别忘了检验：长度为正，而且这个取值要落在图形存在、二面角确实能取到那个值的范围内。 动态与最值的问题，关键是把动点用一个参数表示出来。参数可以取成某条线段的长度，也可以直接取成二面角本身。取哪一种要看所求的量对着谁：所求的量随折起角度变化，就用角作参数；随动点在一条边上的位置变化，就用长度作参数。写成函数以后，先看能不能化成三角函数或二次函数，能化就不用求导；带根号时先平方，但要留意平方前后未知量的取值范围有没有变。 例4（解答·★★★★☆） 如图（1）所示，在中，，，，E为AC中点。过点E作，垂足为现将沿EF翻折至，如图（2）所示，连接PB，PC，过点P作，垂足为G，且 （1）若平面平面，求证：；（2）求二面角的正弦值。 【切入点】折痕 与 垂直，所以折起后折痕同侧的四点仍然共面；点 的位置由 的长度定住，把 作为原点，三条坐标轴正好是现成的。 【关键】在 中，、，故 、， 为 中点得 。由 得 ，，于是 。以 为原点、 所在直线为横轴，在折痕同侧的平面里 、、、，于是 ，，故 。 平面 ，而 不在平面 内，所以 平面 ；又 平面 ，所以 平行于平面 与平面 的交线 ，即 。翻折后 ，由 、 得 。在折痕同侧的平面 里，以 为原点、 为横轴，则 在垂直于 的方向上距 为 ， 在 上距 为 ，于是 ，。以 为原点、 为 轴、平面 内过 且垂直于 的方向为 轴、 为 轴建系，则 、、、。取平面 的法向量 ，平面 的法向量 。故 ，所以二面角的正弦值为 。 【易错】一是把 算成 ， 是 在 上的垂足，。二是先建系再找 的位置， 必须由 的长度在折痕同侧先定下来。三是题目求的是正弦值，算出余弦后忘了再取一次平方根。 【答案】（1）证明见解析；（2） 变式4-1（解答·★★★★☆） 如图所示，已知等腰梯形中，，是的中点，将沿对折至，使得与边长为2的菱形成60°的二面角，折叠后发现。 （1）求点P到平面的距离；（2）求二面角的正弦值。 【切入点】题给的 是解题的钥匙：折痕 同时垂直于 与 ，于是它垂直于平面 ，二面角的平面角就落在 上。 【关键】由等腰梯形与菱形的条件得 ，故 是正三角形。取 的中点 ，连接 、。由 得 ，；又 ，故 平面 ，， 就是平面 与平面 所成二面角的平面角，等于 。过 作 于 ，由平面 平面 得 平面 ，，即点 到平面 的距离为 。对第二问，以 为原点、、 与竖直方向为轴建系，由 、 得 ，故 、、、。取平面 的法向量 ，平面 的法向量 ，故 ，所以二面角 -- 的正弦值为 。 【易错】一是把 当成 ，平面角的顶点在 上的 点，两条边是 与 。二是第一问直接把 当成点 到底面的距离，只有 底面时才对，这里要作 。三是第二问求的是正弦值，余弦算出来是负的或超范围都要重新检查。 【答案】（1）；（2） 例5（解答·★★★★☆） 把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，，。将沿翻折至，使得二面角为直二面角。 （1）证明：平面；（2）若在同一个球面上，求该球的半径；（3）求平面与平面所成角的余弦值。 【切入点】「直二面角」这一步把两个平面变成互相垂直，于是其中一个平面内的垂线立刻垂直于另一个平面，第一、二问都靠这条性质往下走。 【关键】由 、 得 。翻折后 中 ，所以 ， 在以 为斜边的半圆上。再由 、 得 ，。对第一问：二面角 -- 为直二面角，即平面 平面 ，交线是 ；又 ，故 平面 ，从而 ；而 ，所以 平面 。对第二问：取 的中点 ，由 得 ，结合面面垂直得 平面 ，。取 的中点 ，则 ，。以 为原点、、、 为轴建系，、、、。设球心为 ，由它到四点的距离相等解得 、、，故半径 。对第三问：过 在平面 内作 于 ，连接 。由 平面 得 ，故 平面 ，， 就是平面 与平面 所成角。，，故 。 【易错】一是把 算成 ， 是 的直角边，要用正切。二是第二问直接拿 的外接圆半径当球半径，球心要由「到四个顶点距离相等」解出来。三是第三问用 时忘了先说明 。 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 变式5-1（解答·★★★★☆） 如图，在矩形中，，，，分别是，的中点，点，分别是对角线，上的动点（不包括端点），且，将四边形沿翻折，使平面平面。 （1）求证：平面；（2）求线段的长（用表示）；（3）当线段的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值。 【切入点】两个动点分别在对角线上，把它们的位置都用同一个长度 表示，线段长就成了 的函数；先求最值，再在最值点处算二面角。 【关键】由 、 且 、 分别是 、 的中点得 四边形 与 都是边长为 的正方形。沿 翻折使平面 平面 后，由 得 平面 ，所以 ；又在正方形 中 ，故 平面 。以 为原点、、、 为轴建系，、、、。，由 得 、，于是 ，。配方得 ，故 时 最短。此时 、 分别是 、 的中点，，，取平面 的法向量 ；由第一问 是平面 的法向量。故夹角的余弦值为 。 【易错】一是把 的方向写成 的单位向量， 与 同向才写成正号。二是第二问化简 时忘了 是从 指向 。三是第三问重新设平面 的法向量，第一问的结论已经给出了它的法向量。 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 例6（解答·★★★★☆） 如图，在矩形中，，点分别是边的中点，点分别在线段上移动（不含端点），且，将四边形沿翻折至四边形，使得二面角的大小为。 （1）求证：平面；（2）当时，求平面与平面夹角的余弦值。 【切入点】矩形被中位线 切成两个全等的正方形，折起来以后 是等边三角形，它的中线自然垂直于底面。 【关键】矩形中 、，、 是 、 的中点，故四边形 与 都是边长为 的正方形，。在线段 上取一点 ，使 。由 、 平面 得 平面 。又 ，且 、，故 ，从而 ；而 ，所以 ， 平面 。于是平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 。折痕 同时垂直于 与 ，故 平面 ， 就是二面角 -- 的平面角，等于 ，所以 是等边三角形。取 的中点 ，则 ；又 ，故 平面 ，。以 为原点、、平面 内平行于 的方向、 为轴建系，则 、、、。由 得 、，所以 、 分别是 、 的中点，、。取平面 的法向量 ，平面 的法向量 ，故夹角的余弦值为 。 【易错】一是没有先证出 平面 就用它当 轴。二是把 当成 的一半之前没有先算出 。三是第一问只证 平行于平面内某一条线，其实要证 与平面 内两条相交直线都平行。 【答案】（1）证明见解析；（2） 变式6-1（解答·★★★★☆） 如图，正三角形和平行四边形在同一个平面内，其中，，AB，DE的中点分别为F，G．将沿直线AB翻折到，使二面角为120°，设CE的中点为H． （1）求证：平面平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值。 【切入点】两个图形本来摊在同一个平面内，先把平面内的长度全部算清楚，再让正三角形绕 转 。顶点的坐标只由这个角度决定。 【关键】取 为原点、 所在直线为 轴、原平面为 。由 得 在 的中垂线上，；又 是平行四边形，故 。 为 中点，， 为 中点，。 是边长为 的正三角形， 到 的距离为 ，它到 的垂线方向与 的夹角就是二面角，故翻折后 。对第一问，、 分别是 、 的中点，由 且 得四边形 是平行四边形，故 ；又 、 分别是 、 的中点，故 。 与 相交于 ，所以平面 平面 。对第二问，，，取平面 的法向量 ；平面 就是原平面，法向量取 。故夹角的余弦值为 。 【易错】一是把 的坐标直接写成 ， 只说明 在中垂线上，纵坐标要靠勾股定理算。二是第二问把平面 的法向量又设一个未知向量，它就是原平面，法向量直接取竖直方向。三是翻折后 的坐标只改了纵坐标没改竖坐标。 【答案】（1）证明见解析；（2） 变式6-2（解答·★★★★☆） 如图1，分别为边长为4的正方形三边的中点。将四边形沿着线段EF折起(如图2)，且点M是线段上一点。 （1）求证:；（2）若二面角的大小为 且三棱锥M-DFG的体积为 ，设过直线且与直线平行的平面为，求平面与平面所成角的余弦值。 【切入点】折痕 垂直于 与 ，所以折起后整个四边形 所在的平面垂直于折痕，二面角就在 处；体积条件用来定 的位置。 【关键】原正方形中 、 是 、 的中点，故 、，所以 平面 ，从而 。又以 为原点、 为 轴、 为 轴、垂直于平面 的方向为 轴建系，由边长 得 、、；、，故 。由 且 得 ， 为 中点，。设 ，则 ，由 、 得 ，解得 ，即 。平面 过直线 且与 平行，故它的法向量垂直于 与 ，取 ；平面 的法向量取 。故夹角的余弦值为 。 【易错】一是把二面角 -- 的平面角认成 ，它在折痕的另一侧，应当是 。二是用体积定 时把底面选成 ，该三角形的面积要先分解成两条已知边与夹角。三是求平面 的法向量时只用了 一个方向。 【答案】（1）证明见解析；（2） 学科网（北京）股份有限公司 $ 平面与平面的夹角（二面角） 立体几何 · 专题篇 棱柱、棱锥中的二面角 提高一档的二面角问题，多数可以归结成一句话：把二面角换成两个平面的法向量的夹角。做法是先找一组两两垂直的方向建系，再把棱上的一点和每个半平面内的一个点写出来，分别求出两个平面的法向量，代入公式。这里最容易出错的是判断结果的符号：两个法向量的夹角与二面角要么相等、要么互补，单看法向量的夹角分不出来，必须回到原图看这个二面角本身是锐角还是钝角。一个可靠的办法是看图里两个半平面分别向棱的哪一侧张开，朝同侧张开是锐角，朝两侧张开是钝角。 另一类题反过来给条件：已知二面角的大小或者它的余弦值，要求某条棱的长度、某个顶点的高度或者某个参数的取值。这时二面角的公式就是一条方程。立方程之前要先把这个二面角的平面角找准，把平面角所在的那个三角形画出来，它的三条边里通常有两条是现成的，第三条正是待求的量，用余弦定理把角与边连起来，比直接建系少一个未知数。 图形里出现台体、斜棱柱，或者顶点不在底面正上方时，先要判断垂直于底面的那条线在哪里。常用的办法是找两个平面的交线，再由面面垂直的性质把垂线落到这条交线上；也可以利用对称性，底面是正多边形、侧棱又都相等时，顶点就在底面中心的正上方。 还有一类要求某个长度或者某个角的取值范围。这时二面角往往随一个动点的位置变化，把动点用一个参数表示出来，所求的量就成了这个参数的函数，再求最值。函数里带根号时优先考虑平方后再求，但要留意平方前后取值范围是否一致，变换过程中有没有引入不属于原题的增解。 例1（解答·★★★★☆） 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，为等边三角形。 （1）若分别是棱的中点，证明：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值。 变式1-1（解答·★★★★☆） 如图，在三棱柱中，，，，，。 （1）求证：平面平面；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成角的余弦值。 例2（解答·★★★★☆） 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，，，点为的中点。 （1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值。 变式2-1（解答·★★★★☆） 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，侧面是等边三角形，三棱锥的体积为，点是棱的中点。 （1）求证：平面平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值。 变式2-2（解答·★★★★☆） 如图，在圆锥中，平面是轴截面，为底面圆周上一点（与不重合），为的中点。 （1）求证：平面；（2）若，求平面与平面的夹角的大小。 例3（解答·★★★★☆） 如图，在四棱锥中，底面，，，，侧棱与底面所成的角为，且，。 （1）求；（2）求平面与平面夹角的余弦值。 变式3-1（解答·★★★★☆） 如图，在四棱锥中，底面为矩形，为的中点，，。 （1）证明：平面平面；（2）若，直线与平面所成角的正切值等于2，求平面与平面夹角的余弦值。 变式3-2（解答·★★★★☆） 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，点在线段上，平面。 （1）证明：为的中点；（2）若，二面角的余弦值为，求的长。 翻折与动态情境中的二面角 翻折题的解答题几乎都长一个样：第一问证平行或垂直，第二问求一个角。第一问不是摆设，它往往正是在交代「折起后哪两条直线互相垂直」，而这些垂直关系就是建系时那三条坐标轴。所以读题时要把第一问的结论当作已知条件接着用，不要第二问另起炉灶重新找垂直。 建系之前，先把这个二面角的平面角落实到一个点上。折痕的中点、两条边的中点、底面对角线的交点，都是常客。平面角确定以后，折起后顶点的坐标就能直接写出来：它一定在过这个点且垂直于折痕的平面内，到折痕的距离是固定值，高度由二面角的正弦决定，沿垂线方向的分量由余弦决定。把这句话写成一个含参数的坐标，后面的所有计算就都变成代数了。 给条件求参数是另一大分支。题里常常只说某个二面角的余弦值等于多少，要据此求出某条棱的长或者某个点的高度。这时坐标系里要预先留一个未知量，把两个平面的法向量都算成这个未知量的表达式，再让夹角的余弦等于题给的值，解这个方程。解完别忘了检验：长度为正，而且这个取值要落在图形存在、二面角确实能取到那个值的范围内。 动态与最值的问题，关键是把动点用一个参数表示出来。参数可以取成某条线段的长度，也可以直接取成二面角本身。取哪一种要看所求的量对着谁：所求的量随折起角度变化，就用角作参数；随动点在一条边上的位置变化，就用长度作参数。写成函数以后，先看能不能化成三角函数或二次函数，能化就不用求导；带根号时先平方，但要留意平方前后未知量的取值范围有没有变。 例4（解答·★★★★☆） 如图（1）所示，在中，，，，E为AC中点。过点E作，垂足为现将沿EF翻折至，如图（2）所示，连接PB，PC，过点P作，垂足为G，且 （1）若平面平面，求证：；（2）求二面角的正弦值。 变式4-1（解答·★★★★☆） 如图所示，已知等腰梯形中，，是的中点，将沿对折至，使得与边长为2的菱形成60°的二面角，折叠后发现。 （1）求点P到平面的距离；（2）求二面角的正弦值。 例5（解答·★★★★☆） 把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，，。将沿翻折至，使得二面角为直二面角。 （1）证明：平面；（2）若在同一个球面上，求该球的半径；（3）求平面与平面所成角的余弦值。 变式5-1（解答·★★★★☆） 如图，在矩形中，，，，分别是，的中点，点，分别是对角线，上的动点（不包括端点），且，将四边形沿翻折，使平面平面。 （1）求证：平面；（2）求线段的长（用表示）；（3）当线段的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值。 例6（解答·★★★★☆） 如图，在矩形中，，点分别是边的中点，点分别在线段上移动（不含端点），且，将四边形沿翻折至四边形，使得二面角的大小为。 （1）求证：平面；（2）当时，求平面与平面夹角的余弦值。 变式6-1（解答·★★★★☆） 如图，正三角形和平行四边形在同一个平面内，其中，，AB，DE的中点分别为F，G．将沿直线AB翻折到，使二面角为120°，设CE的中点为H． （1）求证：平面平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值。 变式6-2（解答·★★★★☆） 如图1，分别为边长为4的正方形三边的中点。将四边形沿着线段EF折起(如图2)，且点M是线段上一点。 （1）求证:；（2）若二面角的大小为 且三棱锥M-DFG的体积为 ，设过直线且与直线平行的平面为，求平面与平面所成角的余弦值。 学科网（北京）股份有限公司 $