主题3 第6章 第1节 平面向量的概念及线性运算（配套练习Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（北师大版）

**基本信息** 聚焦平面向量概念及线性运算，以题载法构建“概念辨析-线性运算-共线应用”的递进体系，渗透数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|1-4题|概念辨析法（模与方向关系）、平方转化法|向量概念→线性运算规则→几何意义| |线性运算|5-8题|基底表示法、几何图形转化|向量加减→数乘运算→坐标表示| |共线综合|9-14题|共线定理应用、基本不等式结合|共线充要条件→三点共线证明→最值问题|

[必修第二册]　主题三　几何与代数 第六章　平面向量、复数 课时冲关36　平面向量的概念及线性运算 [基础训练组] 1．若向量a与b为非零向量，下列命题中正确的是(　　) A．若a＝b，则2a＞3b B.－－＝ C．若非零向量|a|＋|b|＝|a＋b|，则a与b的方向相同 D．若|a|＝|b|＝|c|，则a＝b＝c 解析：C　[对于A选项，由于向量不能比大小，A错误； 对于B选项，－－＝＋＋＝，B错误； 对于C选项，因为|a|＋|b|＝|a＋b|，所以(|a|＋|b|)2＝(|a＋b|)2， 所以|a|2＋|b|2＋2|a|·|b|＝a2＋b2＋2a·b， 所以2|a|·|b|＝2a·b，|a|·|b|＝|a|·|b|·cos〈a，b〉． 又因为向量a与b是非零向量，所以cos 〈a，b〉＝1，又因为〈a，b〉∈[0，π]， 所以〈a，b〉＝0，故a与b的方向相同；C正确； 若|a|＝|b|＝|c|，a，b，c方向不一定相同，则a，b，c不一定相等，D错误．] 2．在边长为1的正方形ABCD中，若＝a，＝b，＝c，则|a－b＋c|＝(　　) A．0　　 B．1 C．2　　 D．2 解析：C　[|a－b＋c|＝|－＋|＝|＋＋|＝|＋|＝2||＝2.] 3．在平行四边形ABCD中，点E、F分别满足＝，＝，若＝a，＝b，则＝(　　) A.a－b B.a－b C.a－b D.a－b 解析：A　[因为在平行四边形ABCD中， 点E、F分别满足＝，＝，所以＝－＝(＋)－(＋)，＝＝(－)＝(b－a)， 所以＝－＝a－b.] 4．在△ABC中，D为△ABC所在平面内一点，且＝＋，则＝(　　) A. B. C. D. 解析：B　[如图，由已知得，点D在△ABC中与AB平行的中位线上，且在靠近BC边的三等分点处，从而有S△ABD＝S△ABC，S△ACD＝S△ABC，S△BCD＝S△ABC＝S△ABC，所以＝.] 5．在△ABC中，点D是线段BC上的一点，且满足＝3，点P是线段AD的中点，若存在实数m和n，使得＝m＋n，则m＋n＝(　　) A.　 B．－ C.　 D．－ 解析：D　[由题意，＝＋ ＝＋ ＝＋(－)＝＋， 而＝－＝－ ＝＋－＝－＋， 由已知，则m＋n＝－.] 6．(多选)如图，直角三角形ABC中，D，E是边AC上的两个三等分点，G是BE的中点，直线AG分别与BD, BC交于点F，H设＝a，＝b，则(　　) A.＝a＋b B.＝a＋b C.＝a－b D.＝a＋b 解析：ACD　[以A为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系， 设AB＝a，AC＝b，则A(0,0)，D，E，C(b,0)，B(0，a)，G. 又F为△ABE的重心，则F，直线AG的方程为y＝x，直线BC的方程为＋＝1， 联立解得H，则＝，＝，＝，＝， 因为a＝＝(0，a)，b＝＝(b,0)， 所以＝a＋b，＝a＋b， ＝a－b，＝a＋b.] 7．(多选)在给出的下列命题中，正确的是(　　) A．设O，A，B，C是同一平面上的四个点，若＝m·＋(1－m)·(m∈R)，则点A，B，C必共线 B．若向量a，b是平面α上的两个向量，则平面α上的任一向量c都可以表示为c＝λa＋μb(μ，λ∈R)，且表示方法是唯一的 C．已知平面向量，，满足·＝·，＝，则△ABC为等腰三角形 D．已知平面向量，，满足||＝||＝||＝r(r＞0)，且＋＋＝0，则△ABC是等边三角形 解析：ACD　[对于A，＝m·＋(1－m)·(m∈R)， ∴－＝m(－)，∴＝m，且有公共点C， ∴点A，B，C共线，命题A正确； 对于B，根据平面向量的基本定理缺少条件a，b不共线，故B错误；对于C，由于·＝·，即·(－)＝0，·＝0， 得⊥，即OA为BC的垂线， 又由于＝，可得OA在∠BAC的角平分线上， 综合得△ABC为等腰三角形，故C正确； 对于D，平面向量，，满足||＝||＝||＝r(r＞0)，且＋＋＝0， ∴＋＝－， ∴2＋2·＋2＝2， 即r2＋2r2·cos〈，〉＋r2＝r2， ∴cos〈，〉＝－， ∴，的夹角为120°，同理，的夹角也为120°， ∴△ABC是等边三角形，故D正确．] 8．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是________． 解析：设＝y， ∵＝＋＝＋y＝＋y(－)＝－y＋(1＋y). ∵＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，∴y∈， ∵＝x＋(1－x)， ∴x＝－y， ∴x∈. 答案： 9．在平行四边形ABCD中，E，F，G分别为边BC，CD，DA的中点，B，M，G三点共线．若＝a＋(6－2a)，则实数a的值为______． 解析：∵＝a＋(6－2a)，E，F，G分别为边BC，CD，DA的中点， ∴＝a(＋)＋(6－2a)· ＝3＋(12－3a)， ∵B，M，G三点共线， 3＋12－3a＝1，解得a＝. 答案： 10．已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R)． (1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线； (2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1. 证明：(1)若m＋n＝1，则＝m＋(1－m)，＝[m＋(1－m)]， 故m＋(1－m)＝m＋(1－m)，即m(－)＝(1－m)(－)， m＝(1－m)，即，共线，又，有公共点，则A，P，B三点共线． (2)若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使得＝λ，变形得－＝λ(－)，即(1＋λ)＝λ＋，＝＝＋，又＝m＋n，＋＝1，故m＋n＝1. [能力提升组] 11．已知O是△ABC所在平面内的一点，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若a ＋b ＋c ＝0，则O是△ABC的(　　) A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 解析：A　[∵＝－，＝－，∴a ＋b ＋c ＝a ＋b(－)＋c(－)＝b ＋c －(a＋b＋c)，而a ＋b ＋c ＝0，∴(a＋b＋c)＝b ＋c ，即＝ ＋，记＝c n1，＝b n2，其中n1，n2分别表示，方向上的单位向量，则＝(n1＋n2)，由该式可以看出AO平分∠BAC，同理可知BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，故O为内心．] 12．(多选)在△ABC中，D为边AC上一点且满足＝，若P为边BD上一点，且满足＝λ＋μ，λ，μ为正实数，则下列结论正确的是(　　) A．λμ的最小值为1 B．λμ的最大值为 C.＋的最大值为12 D.＋的最小值为4 解析：BD　[因为＝， 所以＝3， 又因为＝λ＋μ＝λ＋3μ， 因为P、B、D三点共线，所以λ＋3μ＝1， 又因为λ，μ为正实数，所以λμ＝λ×3μ≤×2＝， 当且仅当λ＝3μ，即λ＝，μ＝时取等号，故A错误，B正确； ＋＝(λ＋3μ)＝2＋＋≥2＋2＝4， 当且仅当＝，即λ＝，μ＝时取等号，故C错误，D正确．] 13．如图所示，两个非共线向量，的夹角为θ，M，N分别为OA与OB的中点，点C在直线MN上，且＝x＋y(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值为______． 解析：∵M，N分别是OA，OB的中点， ∴＝x＋y＝2x＋2y， ∵M，C，N三点共线， ∴2x＋2y＝1，即x＋y＝， ∴xy≤2＝， ∴x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝－2xy≥－＝. 答案： 14．如图，在△ABC中，点O在边BC上，且OC＝2OB.过点O的直线分别交射线AB、射线AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n. (1)求2m＋n的值； (2)若＋≥2＋恒成立，求实数t的最小整数值． 解：(1)连接AO. 因为OC＝2OB，＝m，＝n， 所以＝＋＝＋ ＝＋(－) ＝＋＝m＋n. 因为M，O，N共线， 所以m＋n＝1,2m＋n＝3. (2)显然t＞0，所以＋≥2＋等价于＋≥， 即min≥. 因为＋＝(2m＋n) ＝≥1＋， 当且仅当n＝m， 即m＝3－，n＝3－3时，＋取到最小值1＋＝. 于是≥， ∴t≥6－3.故实数t的最小整数值是2. 学科网（北京）股份有限公司 $