专题3.5 点与圆、直线与圆的位置关系（5大知识点+10大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题3.5 点与圆、直线与圆的位置关系 知识点1 ：点与圆的位置关系 　　设的半径为，点到圆心的距离为，则： 位置关系 点在圆内 点在圆上 点在圆外 数量关系 图示含义 点P在圆O内部 点P在圆O上 点P在圆O外部 　　1. 判断方法：比较点到圆心的距离与半径的大小即可确定点与圆的位置关系。 　　2. 注意：圆上的点有无数个，圆内部的点有无数个，圆外部的点也有无数个。 知识点2 ：直线与圆的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 d与r关系 公共点名称 交点 切点 无 直线名称 割线 切线 无 　　1. 判断方法：比较圆心到直线的距离与半径的大小关系；也可用公共点个数判断。 　　2. 注意：直线与圆有公共点时，可能相交（2个）也可能相切（1个），需区分。 知识点3 ：切线的判定与性质 　　1. 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 　　2. 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 　　3. 证明直线是圆的切线的三种方法： 　　　（1）看——利用交点个数：直线与圆有唯一的公共点； 　　　（2）算——利用数量关系：圆心到直线的距离等于圆的半径； 　　　（3）说——利用切线的判定定理：直线经过半径的外端且垂直于这条半径。 　　4. 常用辅助线：有切点时，连接圆心与切点得垂直；证明切线时，若知交点则连半径证垂直，若不知交点则作垂线证距离等于半径。 知识点4 ：切线长定理 　　1. 切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。 　　2. 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 　　3. 注意：切线是直线，切线长是线段的长，两者不同。 知识点5 ：三角形的内切圆与内心 　　1. 定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做这个圆的外切三角形。 　　2. 内心：内切圆的圆心，是三角形三条角平分线的交点，到三角形三边的距离都相等。 　　3. 内心与外心的区别： 项目 内心 外心 定义 内切圆圆心 外接圆圆心 交点 三条角平分线的交点 三边垂直平分线的交点 到各边距离 相等（等于内切圆半径） 不一定相等 到各顶点距离 不一定相等 相等（等于外接圆半径） 位置 一定在三角形内部 可能在三角形外部 　　4. 面积公式：设三角形三边为，面积为，内切圆半径为，则。 【基础必考题型】 【题型1】判断点与圆的位置关系 1.核心知识点 　　点与圆的位置关系：比较与。 2.解题方法技巧 　　①先求点到圆心的距离； 　　②在圆内，在圆上，在圆外； ③注意区分点在圆上（恰好在圆周上）与在圆内。 【例题1】.（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知的半径为，若点到点的距离为，则点在______．（填“内”“外”或“上”） 【答案】内 【分析】比较点到圆心的距离与半径的大小关系，根据点与圆的位置关系判断点的位置即可． 【详解】解：∵的半径为， ∴的半径， ∵点到圆心的距离， ∴， ∴点在内． 【变式题1-1】.（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知的半径为．若点到圆心的距离为，则在________．（填“圆内”、“圆外”、“圆上”中的一种） 【答案】圆外 【分析】点与圆的位置关系可通过比较点到圆心的距离与圆半径的大小判断，直接比较给定数值即可得到结论． 【详解】解：已知的半径，点到圆心的距离， ，即 ∴在圆外． 【变式题1-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，已知的圆心为原点，半径为5．请判断点，，与的位置关系． 【答案】点在外，点在内，点在上． 【分析】分别计算点到圆心的距离，比较距离与半径的大小即可． 【详解】解：， 点在外； ， 点在内； ， 点在上． 【变式题1-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，的半径，圆心O到直线l的距离．在直线l上有P，Q，R三点，并且，，．那么，P，Q，R三点与圆分别有怎样的位置关系？ 【答案】点P在圆上；点Q在圆外；点R在圆内； 【分析】连接，利用勾股定理计算的长度，即可作出判断． 【详解】解：连接，如图， ∵圆心O到直线l的距离， ∴， 在中，，则点P在圆上； 在中，，则点Q在圆外； 在中，，则点R在圆内； 【题型2】判断直线与圆的位置关系 1.核心知识点 　　直线与圆的位置关系：相交、相切、相离。 2.解题方法技巧 　　①比较圆心到直线的距离与半径； 　　②相交，相切，相离； ③也可由公共点个数判断。 【例题2】.（2026·广东汕头·一模）如果圆的半径是，圆心到直线的距离是，那么直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】A 【分析】先确定圆的半径和圆心到直线的距离，再比较与的大小，根据直线与圆位置关系的判定规则即可得出结论． 【详解】解：由题意得，圆的半径，圆心到直线的距离 根据直线与圆位置关系的判定规则，当圆心到直线的距离大于圆的半径时，直线与圆相离. 直线与圆的位置关系是相离． 【变式题2-1】.（26-27九年级上·北京·课后作业）圆的半径为，圆心与直线上某一点距离为，则直线与圆的位置关系不可能是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据直线与圆的位置关系，结合垂线段最短，即可作出判断． 【详解】解：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为，圆心与直线上某一点的距离为， 又∵垂线段最短， 圆心到直线的距离， ∴ ∴直线与圆相切或相交，不可能相离． 【变式题2-2】.（25-26九年级上·广东广州·期末）若的半径为5，圆心O到直线的距离为2，则直线与的位置关系是________．（填“相交”、“相切”或“相离”） 【答案】相交 【分析】本题考查直线和圆的位置关系．设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和相交⇔，②直线l和相切⇔，③直线l和相离⇔．据此判断即可． 【详解】解：∵的半径为5，圆心到直线的距离为2， ∴, ∴直线与圆相交， 故答案为：相交． 【变式题2-3】.（25-26九年级上·江苏南通·期末）的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是__________． 【答案】相交 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系；由题意得出，根据直线和圆的位置关系的判定方法判断即可． 【详解】解：∵的半径为，圆心到直线的距离为， ∴， 即， ∴直线l与⊙O的位置关系是相交， 故答案为：相交． 【题型3】根据直线与圆的位置关系求半径范围 1.核心知识点 　　由位置关系反求半径的取值范围。 2.解题方法技巧 　　①相交⟹，相切⟹，相离⟹； 　　②“有且只有一个公共点”可能是相切，也可能是半径处于临界值； ③注意分情况讨论。 【例题3】.（26-27九年级上·北京·课前预习）如图，，P为边上的一点，且，若以P为圆心，r为半径的圆与射线只有一个公共点，则半径r的取值范围是（     ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】分两种情况考虑即可． 【详解】解：如图，过点P作于点C，则， 即当时，此时与射线只有一个公共点； 如图，当时，则与射线只有一个公共点，此时; 综上，当或时，与射线只有一个公共点． 【变式题3-1】.（2026·广西玉林·三模）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，作于点，取上的球心，连接，设，在中利用勾股定理求得的长即可． 【详解】解：如图，取的中点，作于点， ∵是的中点，于点， ∴经过球心， ∴取上的球心，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设， ∴， ∵， ∴在直角三角形中，，即， 解得：， ∴球的半径为． 【变式题3-2】.（25-26九年级下·上海杨浦·期中）在平面直角坐标系中，已知点，以M为圆心，r为半径的圆与x轴相交，与y轴相离，那么r可以取的值是（    ） A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】B 【分析】先求出圆心M到x轴和y轴的距离，再根据直线与圆相交相离的位置关系确定半径r的取值范围，最后匹配选项即可． 【详解】解：∵点M的坐标为， ∴圆心M到轴的距离，到轴的距离， ∵圆与轴相交，与轴相离， ∴且，即， 观察选项，只有满足该范围，因此选B． 【变式题3-3】.（2026·河南周口·二模）如图，在中，，，．以点C为圆心，r为半径作圆．若与斜边所在直线有且只有一个公共点，则r的值为（     ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】首先由勾股定理求，再用面积法求出到的距离，然后根据切线的判定定理回答即可． 【详解】解：在中，，，． ， 过点作于点， ， ， 与斜边所在直线有且只有一个公共点， 与相切， ． 【题型4】求圆心到直线的距离 1.核心知识点 　　由位置关系求距离的取值范围或定值。 2.解题方法技巧 　　①相交⟹，相切⟹，相离⟹； 　　②涉及直线平移时，注意平移前后距离的变化； ③结合坐标系、点到直线距离公式。 【例题4】.（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）的半径为r，某直线与该圆有公共点，且与圆心的距离为d，则    （     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线与圆有公共点确定直线与圆为相交或相切的位置关系，以此推导与的大小关系． 【详解】解：∵直线与有公共点， ∴直线与圆相交或相切． ∵直线与圆相交时，相切时， ∴． 【变式题4-1】.（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）已知与直线没有公共点，若的半径为5，则圆心到直线的距离可以是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】圆与直线的位置关系由圆心到直线的距离和圆半径的大小关系决定：当时，圆与直线相离，无公共点；当时，圆与直线相切，有一个公共点；当时，圆与直线相交，有两个公共点． 【详解】解：∵与直线没有公共点， ∴与直线相离， 已知的半径， ∴圆心到直线的距离， 观察选项，只有选项A中的6满足， 故选：A． 【变式题4-2】.（25-26九年级上·吉林延边·期末）已知与直线有个公共点，若直径为，则圆心到直线l的距离可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查判断直线和圆的位置关系，已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离． 直线与圆有两个公共点，说明直线与圆相交，因此圆心到直线的距离小于半径． 【详解】解：∵直径为， ∴半径 ∵与直线有个公共点， ∴直线与相交， ∴圆心到直线的距离小于， ∴选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意． 故选：A． 【变式题4-3】.（25-26九年级上·江苏徐州·期中）已知直线和相交，的半径为2，则圆心到的距离的值可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系；解决此类问题可通过比较圆心到直线距离与圆半径大小关系完成判定． 根据直线和圆相交，则圆心到直线的距离小于圆的半径，得． 【详解】解： 的半径 ，直线 l 与 相交， 圆心到直线的距离 ，即 ． 选项中只有 A．，故的值可以是1． 故选：A． 【培优高频题型】 【题型5】证明某直线是圆的切线 1.核心知识点 　　切线的判定定理及其应用。 2.解题方法技巧 　　①若已知直线与圆的交点，连接圆心与该点，证垂直； 　　②若未知交点，作圆心到直线的垂线，证距离等于半径； ③结合角平分线、等腰三角形、平行等条件证垂直。 【例题5】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，O为上一点，过B，C两点，且与交于点D，，．求证：是的切线． 【答案】证明：如图，连接， 则， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． 【分析】连接，由等腰三角形的性质及三角形内角和求得，从而求得的度数为，即可证明结论成立． 【详解】证明：略． 【变式题5-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是的弦，是的切线，．求证：是的切线． 【答案】证明：连接，如图： ∵是的切线， ∴， 在中，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线． 【分析】连接，根据切线的性质可得，再通过证明，可得，即可证明． 【详解】略 【变式题5-2】.（2026·宁夏·中考真题）如图，内接于，是直径，．点是上一点且与点位于两侧，，过点作交的延长线于，连接． (1)求的度数； (2)求证：是的切线． 【答案】(1) (2)证明：如图所示，连接， ， ， ． ， ． ， ， ， ，即， 又是的半径， 是的切线． 【分析】（1）连接，根据同弧所对的圆周角相等得到的度数，再根据等弧所对的圆周角相等得到，据此可求出的度数，再根据直径所对的圆周角是直角得到的度数，据此可得答案； （2）连接，根据（1）所求可得的度数，则可求出的度数，再求出的度数，进而求出的度数，再由切线的判定定理可证明结论． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ，， ； ， ． 是的直径， ， ； （2）略 【变式题5-3】.（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，是的直径，弦，垂足为．为上一点，连接交于点，的垂直平分线交的延长线于点，连接． (1)若的半径为，，求的长； (2)求证：是的切线． 【答案】(1)； (2)证明：连接， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线。 【分析】（1）连接，先求出长度，利用垂径定理得，再在中由勾股定理算出，进而求出； （2）连接，由垂直平分线性质得，等边对等角得，结合推出，再利用得，等量代换证明，依据切线判定定理证为切线。 【详解】（1）解：连接， ∵半径为， ∴， ∵， ∴， ∵，为直径， ∴，， 在中，， ∴； （2）略 【题型6】利用切线的性质求线段长度 1.核心知识点 　　切线垂直于过切点的半径，构造直角三角形。 2.解题方法技巧 　　①连接圆心与切点，得垂直关系； 　　②构造直角三角形，用勾股定理求线段； ③结合全等、相似三角形。 【例题6】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，，是的切线，A，B为切点，延长交的延长线于点D，若，求的长． 【答案】 【分析】证明，设，进一步利用勾股定理列方程计算即可． 【详解】解：∵，是的切线，A，B为切点， ， 设， ， ， 在中，， 即， 解得， ． 【变式题6-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，菱形的顶点A，B，C在上，过点B作的切线，此切线与的延长线相交于点D，的半径为2，求的长． 【答案】 【分析】连接，利用菱形与圆的性质得是等边三角形，由切线的性质得，进而求得，由勾股定理求得． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵的切线与相切于点B， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得． 【变式题6-2】.（2026·西藏拉萨·模拟预测）已知：如图，是的直径，点C在上，的外角平分线交于D，与相切，交的延长线于E． (1)判断直线和是否平行，并说明理由； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)平行，理由如下： 连接，如图， 与相切， ． 由图可得，， ． 是的平分线，即， ． ． ，即． 是的直径，点C在上， ， ； (2)的长 【分析】（1）连接，根据切线性质得；由得，结合平分，可推，可得，进而得．又是直径，得，进而即可证明； （2）先求出，在中，，故，可求出．由平分得，结合，可知中，根据含的直角三角形的性质和勾股定理即可求出． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵，即， ∴在中，， ∴， 在中，， ∴． 【变式题6-3】.（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，为直径，点C为上一点，平分，，垂足为H，交于点D． (1)求证：直线是的切线． (2)若，，求的直径． 【答案】(1)证明：如图， 连接，则：， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∵点C为上一点， ∴直线是的切线． (2)的直径为 【分析】（1）连接，则，即可得，根据角平分线性质得，等量代换即可得，再根据垂线定义得，进而得，等量代换即可得，进而可证明直线是的切线． （2）连接，，根据勾股定理结合已知求出，再根据圆内接四边形性质、平角定义即可得，再根据等角的余角相等即可得，根据角平分线性质得，进而得，即可证明，，根据相似性质列式计算得，进而可计算出的直径． 【详解】（1）略 （2）解：如图， 连接，，则：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的直径为． 【压轴素养题型】 【题型7】利用切线的性质求角度 1.核心知识点 　　切线垂直于半径，得直角，求角。 2.解题方法技巧 　　①切线⟹ 垂直⟹ 直角三角形，两锐角互余； 　　②结合等腰三角形、三角形内角和求角； ③注意同弧所对圆周角与圆心角的关系。 【例题7】.（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，过外一点，作的切线，切点为，连接并延长交于，两点，为上任意一点，连接，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据切线的性质得出，根据圆周角定理得出，根据直角三角形两锐角互余即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线，切点为， ∴，， ∵和是所对的圆心角和圆周角，， ∴，即， ∴． 【变式题7-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，的直径与弦相交，．过点D作的切线，与的延长线交于点P，且．求的度数． 【答案】 【分析】连接，由平行线的性质及切线的性质可求得的度数，从而求得的度数，再由圆周角定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式题7-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，为直径，为弦，过点B的切线与的延长线相交于点C，且．求的度数． 【答案】 【分析】根据直径所对圆周角是直角得出，结合，得出是线段的垂直平分线，则，由是的切线得到，得出是等腰直角三角形，，再根据直角三角形的性质即可求解； 【详解】解：∵是的直径，点在圆上， ∴，即， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 又∵是过点的切线，是直径， ∴，即， ∴是等腰直角三角形，， 在中，，， ∴． 【变式题7-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，，分别与相切于A，B两点，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、，由切线的性质可得，求出，再由圆周角定理即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、， ∵，分别与相切于A，B两点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【题型8】利用切线长定理求值 1.核心知识点 　　切线长相等，圆外一点与圆心连线平分夹角。 2.解题方法技巧 　　①两切线长相等，； 　　②利用切线长定理求周长、线段长； ③结合切线与半径垂直构造直角三角形。 【例题8】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，，是的切线，，为切点，连接，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．据此解答即可． 【详解】解：∵，是的切线，，为切点，连接，， ∴平分， ∴． 【变式题8-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知以为直径的半圆O与四边形的另外三边都相切，切点分别为D，C，E，若半圆O的半径为2，长为5，则四边形的周长为（   ） A．9 B．10 C．12 D．14 【答案】D 【分析】由切线长定理可知：，因此四边形的周长，已知了和圆的半径，由此可求出四边形的周长． 【详解】解：∵半圆O与四边形的边相切，切点分别为D，E，C， ∴， ∴， ∵， ∴四边形的周长． 【变式题8-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，三角形纸片的内切圆与边，，分别相切于点N，P，Q，小刚沿着与相切的剪下一个三角形纸片，与的切点为M，已知三角形纸片的周长为7，，求的周长． 【答案】15 【分析】根据切线长定理结合三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：由切线长定理可得， ， ． 【变式题8-3】.（25-26八年级下·北京海淀·期末）如图，，是的两条切线，切点分别为B，C，连接并延长交于点D，过点D作的切线交的延长线于点E，于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵、是的切线，是的直径， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； (2)5 【分析】（1）根据切线的性质和矩形的判定定理即可得到结论； （2）根据切线长定理可得，，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，是的切线， ∴，， 由（1）知，四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 故的长为5． 【题型9】三角形内切圆中的角度与长度计算 1.核心知识点 　　内心是角平分线交点，到三边距离相等。 2.解题方法技巧 　　①内心到三边距离等于内切圆半径； 　　②结合角平分线、三角形内角和求角； ③用面积公式求半径。 【例题9】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是的内切圆，切点为．若，，，求的面积． 【答案】的面积 【分析】利用切线长定理求出三角形的三边长，再用勾股定理的逆定理得到三角形是直角三角形，进而求得三角形的面积． 【详解】解： 是的内切圆，切点为， ， ， ， ， ， ． 【变式题9-1】.（2025九年级上·全国·专题练习）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． (1)求的长． (2)已知，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是三角形内切圆的有关问题以及切线长定理的应用，根据切线长定理列出方程是解题的关键． （1）由切线长定理可知：，，，设，则，，根据，列方程求解即可； （2）先计算三角形的半周长s，再利用，代入三角形面积与半周长即可求出内切圆半径，即可求解出的长． 【详解】（1）解：∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ，，， 设， 则，， 根据题意得： 解得： ，，， 则的长为； （2）解：，，， ∴半周长， 又 ， ， ， 则的长为． 【变式题9-2】.（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，在中，，是的内切圆，切点分别是、、． (1)连接、，则______． (2)若，，求的半径． (3)在（2）的条件下，的外心和内心的距离等于______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1） 内心是三角形三条角平分线的交点，故平分，平分．在中，，因此，再由三角形内角和定理得． （2）设半径为r，由切线长定理得，，．于是三边可表示为，，．利用勾股定理建立关于的方程，即可求得答案． （3）由（2）知，，．直角三角形的外心位于斜边中点，设斜边的中点为，则到切点的距离为，而且，在中利用勾股定理可求得外心与内心的距离． 【详解】（1）解：是的内切圆， 平分，平分， 在中，， ， ， ． （2）解：设半径为r，连接、， 是的内切圆，切点分别为、、， 由切线长定理得：，，， ，，， 四边形是正方形，， ，， ， 在中，由勾股定理得： ， 解得： 或 （舍去负值）， 的半径． （3）解：由（2）知，，， 设斜边的中点为，则是的外心， 分别连接， ，， ， ， 是内切圆半径，， ， 在中，由勾股定理得： ， 的外心和内心的距离为． 【变式题9-3】.（26-27九年级上·北京·课堂例题）如图，在中，，为的内切圆，切点分别为D、E、F，的半径为r．试用含a、b、c的代数式表示r． 小亮的思路：连接、．因为为的内切圆，切点分别为D、E、F，所以，且，易证四边形ODCE为正方形，所以．因为 ，所以，即． 小丽的思路是分别连接、和，把分割成3个小三角形：、和，利用这3个小三角形的面积之和等于的面积求出r． (1)尝试按照小丽的思路求出r； (2)小亮感到很奇怪：“我发现按照小丽的思路求出的结果与我求出的结果‘不一样’，但是它们都等于的半径呀！这是怎么回事呢？”请你给出解释． 【答案】(1) (2)两种思路求出来的r的表达式在数值上是相等的． 理由：要证明， 只需证， 即证， 故只需证， 故即证， 又∵为直角三角形，由勾股定理显然有， ∴原等式成立，即． 【分析】（1）按照题目要求求解即可． （2）利用勾股定理证明两式相等即可． 【详解】（1） 如图，连接，，， ∵为的内切圆，且点D、E、F分别为切点， ∴，，， ， 即， ∴， 解得． （2）略． 【题型10】三角形的内切圆与外接圆的综合 1.核心知识点 　　内心与外心的区别与综合应用。 2.解题方法技巧 　　①区分内心（角平分线交点）与外心（垂直平分线交点）； 　　②结合两者到边、到顶点的距离关系； ③综合勾股定理、三角形面积求值。 【例题10】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，O是外心，I是内心，，求的度数． 【答案】的度数是 【分析】先利用三角形内心的性质得到，则可计算出，然后利用圆周角定理得到的度数． 【详解】解：∵I是的内心， ∴，分别平分，， ∴，， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵O是的外心， ∴． 【变式题10-1】.（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图，为等边三角形，，图中大圆为的外接圆，小圆为的内切圆． (1)请分别求出的外接圆和内切圆的半径； (2)求阴影部分面积． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）先用等边三角形的外接圆和内切圆求得，，延长交于点，即为的中垂线求出，，利用三角函数即可求解； （2）先求内部阴影部分面积，再求外接圆与之间阴影部分面积，相加即为阴影部分面积，即可求解． 【详解】（1）解：为等边三角形，大圆为的外接圆，小圆为的内切圆， ，， 延长交于点，即为的中垂线， ，， 在直角中，，， ， ， 同理得， 的外接圆半径为，内切圆的半径为； （2）由（1）得，， ， 内部阴影部分面积为：， 外接圆与之间阴影部分面积为：， 阴影部分面积为:． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形的外接圆和内切圆、三角函数、圆的面积，掌握相关知识解题的关键． 【变式题10-2】.（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）如图内接于圆O，I是的内心，的延长线交圆O于点D． (1)求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1) 如图，连接， ∵I是的内心， ∴，， ∵，， ∴， ∴； (2)2 【分析】（1）连接，由三角形的内心性质和圆周角定理得到，，进而利用三角形的外角性质和等量代换得到，然后根据等角对等边可得结论； （2）连接、、，设与相交于E，先证明，利用垂径定理的推论得到，则，过I作于G，于H，于P，利用三角形的内切圆性质，结合切线长定理推导出，再证明得到，进而等量代换可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：连接、、，设与相交于E， ∵I是的内心， ∴， ∴， ∴，则， 过I作于G，于H，于P，则H、P、G分别为的内切圆与边、、相切的切点， 由切线长定理，，，， ∴， ∴； ∵， ∴，又，， ∴， ∴，即， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理、三角形的内心性质、垂径定理、切线长定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 【变式题10-3】.（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，已知是的直径，内接于，点为的内心，连接并延长交⊙于点，点是上任意一点，连接． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)若，，请直接写出的周长． 【答案】(1) (2)证明：如图，连接． 点为的内心，， ，， ， ． ，， ， ． (3)60 【分析】（1）利用圆周角定理得到，再根据三角形的内角和定理求，然后利用圆内接四边形的对角互补求解即可； （2）连接，由三角形的内心性质得到内心，，，得出，然后利用圆周角定理得到，利用三角形的外角性质证得，然后利用等角对等边可得结论； （3）过点分别作，，，垂足分别为，，．由内心性质和等腰直角三角形性质勾股定理求出，由．勾股定理得，即得． 【详解】（1）解：是的直径， ． ， ． 四边形是的内接四边形， ， ． （2）略 （3）解：如图，过点分别作，，，垂足分别为，，． 点为的内心，即为的内切圆的圆心， ，，分别为该内切圆与三边的切点， ，，． ，， ． 在中，由勾股定理得， ， 解得（负值已舍去）， ． ，， ． 在中，由勾股定理得， ∴的周长为 ． 【点睛】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质、三角形的内心性质、三角形的外角性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 易错点 　　1、判断点与圆位置时，把“点在圆上”误认为“点在圆内”，忽略。 　　2、误以为“垂直于半径的直线就是切线”，忽略必须经过半径外端。 　　3、误以为“与圆有公共点的直线是切线”，忽略相交也有公共点。 　　4、切线长定理中，误把切线长当成切线的长（切线是直线无长度）。 　　5、混淆内心（角平分线交点）与外心（垂直平分线交点）。 　　6、用面积公式求内切圆半径时，忘记除以周长的一半。 重点 　　1、掌握点与圆、直线与圆的位置关系及判断方法。 　　2、掌握切线的判定定理和性质定理。 　　3、掌握切线长定理。 　　4、掌握三角形内切圆与内心的性质。 难点 　　1、切线的判定与性质的综合应用。 　　2、根据位置关系求半径或距离的取值范围。 　　3、内切圆半径与三角形周长、面积的关系及应用。 【对应练习题】 一、单选题 1．已知为的内切圆，则点O是的（     ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 【答案】D 【详解】解：∵是的内切圆， ∴点O是的内心，即三条角平分线的交点． 2．如图所示，P是外一点，分别和切于两点，C是上任意一点，过C作的切线分别交于．若的周长为12，则的长为（     ） A．12 B．6 C．8 D．4 【答案】B 【分析】根据切线长定理得到，，再根据的周长为12得到，即可求出的长． 【详解】解；∵分别和切于两点， ∴， ∵过C作的切线分别交于． ∴， ∴， ∴的周长为12， ∴， ∴ 3．在中，，以为圆心为半径画，使与线段有且只有两个公共点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由勾股定理得，过点作于点，利用三角形的面积可得，再结合图形解答即可求解． 【详解】解：∵ ，，， ∴ ， 如图，过点作于点， ∵， ∴， 解得， 当时，与线段相切，只有一个交点，如图； 当时，与线段有两个交点； 当时，与线段只有一个交点； 当时，与线段没有交点； ∴当与线段有且只有两个公共点时，的取值范围是． 二、填空题 4．如图，，是的切线，A，B为切点，是的直径，若，则___________． 【答案】/42度 【分析】根据切线及，得到，根据切线长定理得到，结合三角形内角和定理求解即可得到答案； 【详解】解：∵是的切线，A为切点，， ∴， ∴， ∵，是的切线，，为切点， ∴， ∴， ∴． 5．设的半径为，圆心到直线的距离为，若，是方程的两根，则直线与相切时，的值为______；当时，直线与______． 【答案】 相交或相离 【分析】直线和圆相切时满足，结合方程根的性质可求出的值；时，判断方程根的情况，结合，的正负性，分析与的大小关系，得到直线与圆的位置关系． 【详解】解：∵直线与相切， ∴， ∵，是方程的两根， ∴方程有两个相等的实数根， ∴，解得； 当时，方程为，此时， 由根与系数的关系可得，两根之和，两根之积， ∴方程有两个不相等的正实数根，即， 分两种情况：若，直线与圆相离；若，直线与圆相交； 因此直线与相交或相离． 6．图1是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如图2所示的机械设备，磨盘半径，用长为的连杆将点Q与动力装置P相连（大小可变），点P在轨道上滑动，并带动磨盘绕点O转动， ．在磨盘转动过程中，的最大值为______．最小值为______． 【答案】 12 【分析】先根据当点Q运动到点时，点P运动在上距离点A最远，再根据勾股定理解答；然后结合当点Q运动到点时，点P运动在上距离点A最近，最后根据勾股定理解答即可． 【详解】解：当点Q运动到点时，点P运动在上距离点A最远， 在中，， ∴； 当点Q运动到点时，点P运动在上距离点A最近， 在中，， ∴． 三、解答题 7．已知的半径为3，P是外一点，，分别求点P到的最近点和最远点的距离． 【答案】 点到的最近点距离为，最远点距离为 【分析】根据圆外一点到圆上一点的最大值为点到圆心的距离与半径的和，最小值为点到圆心的距离与半径的差，进行计算即可. 【详解】解：∵的半径为3，P是外一点，， ∴点到的最近点距离为，最远点距离为. 8．如图，是的直径，C为上一点，过点C作的切线，此切线与的延长线相交于点D，，垂足为E．求证：平分． 【答案】证明：如下图，连接， 是的切线，是半径， ，即， ， ， ， ， ， ， ， 平分． 【分析】根据切线的性质求出，根据直角三角形的性质求出，根据等边对等角求出，得到，即可得答案． 【详解】证明：略． 9．如图，，是的两条切线，A，B是切点，连接，若，，求的周长． 【答案】的周长为 【分析】连接，根据切线长定理可得，，进而可得为等边三角形，再根据勾股定理和含的直角三角形的性质求出，进而即可求出周长． 【详解】解：连接，如图： ∵，是的两条切线，A，B是切点， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在含的中，， ∴， ∴的周长为． 10．如图，已知为的直径，点D在上，弦交于点E（不与点O、B重合），F为延长线上一点，给出下列信息：①；②；③为的切线 (1)请在上述三条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论，组成一个真命题．你选择的条件是 ，结论是 （只要填写序号），并说明理由； (2)在（1）的条件下，若，B为的中点，求的半径． 【答案】(1)条件①②结论③ 证明：连接，如图， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴，即． ∴． ∴为的切线； 条件①③结论② 证明：连接，如图， ∵， ∴． ∵为的切线， ∴． ∴，即， ∵， ∴． ∴． ∴ ∵， ∴． ∴； 条件②③结论① 证明：连接，如图， ∵， ∴． ∵为的切线， ∴． ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． ∴； (2)3 【分析】（1）选择条件①②，证明结论③，连接，根据半径相等得出，根据得出，等量代换后得出，根据垂直定义得出，进而得出，即可得证； 选择条件①③，证明结论②，连接，根据半径相等得出，根据切线的性质得出，进而得出，根据垂直定义得出，进而得出，根据余角的性质和对顶角的性质即可得证； 选择条件②③，证明结论①，连接，根据半径相等得出，根据得出，等量代换后得出，根据切线的性质得出，进而得出，进而得出，即可得证； （2）设，则，，由（1）知：，，在中，根据勾股定理构建关于x的方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设，则， ∵B为的中点， ∴， 由（1）知：，， ∴在中，， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴的半径为． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.5 点与圆、直线与圆的位置关系 知识点1 ：点与圆的位置关系 　　设的半径为，点到圆心的距离为，则： 位置关系 点在圆内 点在圆上 点在圆外 数量关系 图示含义 点P在圆O内部 点P在圆O上 点P在圆O外部 　　1. 判断方法：比较点到圆心的距离与半径的大小即可确定点与圆的位置关系。 　　2. 注意：圆上的点有无数个，圆内部的点有无数个，圆外部的点也有无数个。 知识点2 ：直线与圆的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 d与r关系 公共点名称 交点 切点 无 直线名称 割线 切线 无 　　1. 判断方法：比较圆心到直线的距离与半径的大小关系；也可用公共点个数判断。 　　2. 注意：直线与圆有公共点时，可能相交（2个）也可能相切（1个），需区分。 知识点3 ：切线的判定与性质 　　1. 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 　　2. 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 　　3. 证明直线是圆的切线的三种方法： 　　　（1）看——利用交点个数：直线与圆有唯一的公共点； 　　　（2）算——利用数量关系：圆心到直线的距离等于圆的半径； 　　　（3）说——利用切线的判定定理：直线经过半径的外端且垂直于这条半径。 4. 常用辅助线：有切点时，连接圆心与切点得垂直；证明切线时，若知交点则连半径证垂直，若不知交点则作垂线证距离等于半径。 知识点4 ：切线长定理 　　1. 切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。 　　2. 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 　　3. 注意：切线是直线，切线长是线段的长，两者不同。 知识点5 ：三角形的内切圆与内心 　　1. 定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做这个圆的外切三角形。 　　2. 内心：内切圆的圆心，是三角形三条角平分线的交点，到三角形三边的距离都相等。 　　3. 内心与外心的区别： 项目 内心 外心 定义 内切圆圆心 外接圆圆心 交点 三条角平分线的交点 三边垂直平分线的交点 到各边距离 相等（等于内切圆半径） 不一定相等 到各顶点距离 不一定相等 相等（等于外接圆半径） 位置 一定在三角形内部 可能在三角形外部 　　4. 面积公式：设三角形三边为，面积为，内切圆半径为，则。 【基础必考题型】 【题型1】判断点与圆的位置关系 1.核心知识点 　　点与圆的位置关系：比较与。 2.解题方法技巧 　　①先求点到圆心的距离； 　　②在圆内，在圆上，在圆外； ③注意区分点在圆上（恰好在圆周上）与在圆内。 【例题1】.（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知的半径为，若点到点的距离为，则点在______．（填“内”“外”或“上”） 【变式题1-1】.（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知的半径为．若点到圆心的距离为，则在________．（填“圆内”、“圆外”、“圆上”中的一种） 【变式题1-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，已知的圆心为原点，半径为5．请判断点，，与的位置关系． 【变式题1-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，的半径，圆心O到直线l的距离．在直线l上有P，Q，R三点，并且，，．那么，P，Q，R三点与圆分别有怎样的位置关系？ 【题型2】判断直线与圆的位置关系 1.核心知识点 　　直线与圆的位置关系：相交、相切、相离。 2.解题方法技巧 　　①比较圆心到直线的距离与半径； 　　②相交，相切，相离； ③也可由公共点个数判断。 【例题2】.（2026·广东汕头·一模）如果圆的半径是，圆心到直线的距离是，那么直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【变式题2-1】.（26-27九年级上·北京·课后作业）圆的半径为，圆心与直线上某一点距离为，则直线与圆的位置关系不可能是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【变式题2-2】.（25-26九年级上·广东广州·期末）若的半径为5，圆心O到直线的距离为2，则直线与的位置关系是________．（填“相交”、“相切”或“相离”） 【变式题2-3】.（25-26九年级上·江苏南通·期末）的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是__________． 【题型3】根据直线与圆的位置关系求半径范围 1.核心知识点 　　由位置关系反求半径的取值范围。 2.解题方法技巧 　　①相交⟹，相切⟹，相离⟹； 　　②“有且只有一个公共点”可能是相切，也可能是半径处于临界值； ③注意分情况讨论。 【例题3】.（26-27九年级上·北京·课前预习）如图，，P为边上的一点，且，若以P为圆心，r为半径的圆与射线只有一个公共点，则半径r的取值范围是（     ） A． B． C． D．或 【变式题3-1】.（2026·广西玉林·三模）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径为（     ）． A． B． C． D． 【变式题3-2】.（25-26九年级下·上海杨浦·期中）在平面直角坐标系中，已知点，以M为圆心，r为半径的圆与x轴相交，与y轴相离，那么r可以取的值是（    ） A．6 B．7 C．8 D．10 【变式题3-3】.（2026·河南周口·二模）如图，在中，，，．以点C为圆心，r为半径作圆．若与斜边所在直线有且只有一个公共点，则r的值为（     ） A． B．3 C．4 D．5 【题型4】求圆心到直线的距离 1.核心知识点 　　由位置关系求距离的取值范围或定值。 2.解题方法技巧 　　①相交⟹，相切⟹，相离⟹； 　　②涉及直线平移时，注意平移前后距离的变化； ③结合坐标系、点到直线距离公式。 【例题4】.（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）的半径为r，某直线与该圆有公共点，且与圆心的距离为d，则    （     ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）已知与直线没有公共点，若的半径为5，则圆心到直线的距离可以是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式题4-2】.（25-26九年级上·吉林延边·期末）已知与直线有个公共点，若直径为，则圆心到直线l的距离可以是（    ） A． B． C． D． 【变式题4-3】.（25-26九年级上·江苏徐州·期中）已知直线和相交，的半径为2，则圆心到的距离的值可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【培优高频题型】 【题型5】证明某直线是圆的切线 1.核心知识点 　　切线的判定定理及其应用。 2.解题方法技巧 　　①若已知直线与圆的交点，连接圆心与该点，证垂直； 　　②若未知交点，作圆心到直线的垂线，证距离等于半径； ③结合角平分线、等腰三角形、平行等条件证垂直。 【例题5】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，O为上一点，过B，C两点，且与交于点D，，．求证：是的切线． 【变式题5-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是的弦，是的切线，．求证：是的切线． 【变式题5-2】.（2026·宁夏·中考真题）如图，内接于，是直径，．点是上一点且与点位于两侧，，过点作交的延长线于，连接． (1)求的度数； (2)求证：是的切线． 【变式题5-3】.（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，是的直径，弦，垂足为．为上一点，连接交于点，的垂直平分线交的延长线于点，连接． (1)若的半径为，，求的长； (2)求证：是的切线． 【题型6】利用切线的性质求线段长度 1.核心知识点 　　切线垂直于过切点的半径，构造直角三角形。 2.解题方法技巧 　　①连接圆心与切点，得垂直关系； 　　②构造直角三角形，用勾股定理求线段； ③结合全等、相似三角形。 【例题6】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，，是的切线，A，B为切点，延长交的延长线于点D，若，求的长． 【变式题6-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，菱形的顶点A，B，C在上，过点B作的切线，此切线与的延长线相交于点D，的半径为2，求的长． 【变式题6-2】.（2026·西藏拉萨·模拟预测）已知：如图，是的直径，点C在上，的外角平分线交于D，与相切，交的延长线于E． (1)判断直线和是否平行，并说明理由； (2)若，，求线段的长． 【变式题6-3】.（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，为直径，点C为上一点，平分，，垂足为H，交于点D． (1)求证：直线是的切线． (2)若，，求的直径． 【压轴素养题型】 【题型7】利用切线的性质求角度 1.核心知识点 　　切线垂直于半径，得直角，求角。 2.解题方法技巧 　　①切线⟹ 垂直⟹ 直角三角形，两锐角互余； 　　②结合等腰三角形、三角形内角和求角； ③注意同弧所对圆周角与圆心角的关系。 【例题7】.（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，过外一点，作的切线，切点为，连接并延长交于，两点，为上任意一点，连接，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式题7-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，的直径与弦相交，．过点D作的切线，与的延长线交于点P，且．求的度数． 【变式题7-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，为直径，为弦，过点B的切线与的延长线相交于点C，且．求的度数． 【变式题7-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，，分别与相切于A，B两点，，则（     ） A． B． C． D． 【题型8】利用切线长定理求值 1.核心知识点 　　切线长相等，圆外一点与圆心连线平分夹角。 2.解题方法技巧 　　①两切线长相等，； 　　②利用切线长定理求周长、线段长； ③结合切线与半径垂直构造直角三角形。 【例题8】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，，是的切线，，为切点，连接，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式题8-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知以为直径的半圆O与四边形的另外三边都相切，切点分别为D，C，E，若半圆O的半径为2，长为5，则四边形的周长为（   ） A．9 B．10 C．12 D．14 【变式题8-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，三角形纸片的内切圆与边，，分别相切于点N，P，Q，小刚沿着与相切的剪下一个三角形纸片，与的切点为M，已知三角形纸片的周长为7，，求的周长． 【变式题8-3】.（25-26八年级下·北京海淀·期末）如图，，是的两条切线，切点分别为B，C，连接并延长交于点D，过点D作的切线交的延长线于点E，于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【题型9】三角形内切圆中的角度与长度计算 1.核心知识点 　　内心是角平分线交点，到三边距离相等。 2.解题方法技巧 　　①内心到三边距离等于内切圆半径； 　　②结合角平分线、三角形内角和求角； ③用面积公式求半径。 【例题9】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是的内切圆，切点为．若，，，求的面积． 【变式题9-1】.（2025九年级上·全国·专题练习）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． (1)求的长． (2)已知，求的长． 【变式题9-2】.（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，在中，，是的内切圆，切点分别是、、． (1)连接、，则______． (2)若，，求的半径． (3)在（2）的条件下，的外心和内心的距离等于______． 【变式题9-3】.（26-27九年级上·北京·课堂例题）如图，在中，，为的内切圆，切点分别为D、E、F，的半径为r．试用含a、b、c的代数式表示r． 小亮的思路：连接、．因为为的内切圆，切点分别为D、E、F，所以，且，易证四边形ODCE为正方形，所以．因为 ，所以，即． 小丽的思路是分别连接、和，把分割成3个小三角形：、和，利用这3个小三角形的面积之和等于的面积求出r． (1)尝试按照小丽的思路求出r； (2)小亮感到很奇怪：“我发现按照小丽的思路求出的结果与我求出的结果‘不一样’，但是它们都等于的半径呀！这是怎么回事呢？”请你给出解释． 【题型10】三角形的内切圆与外接圆的综合 1.核心知识点 　　内心与外心的区别与综合应用。 2.解题方法技巧 　　①区分内心（角平分线交点）与外心（垂直平分线交点）； 　　②结合两者到边、到顶点的距离关系； ③综合勾股定理、三角形面积求值。 【例题10】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，O是外心，I是内心，，求的度数． 【变式题10-1】.（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图，为等边三角形，，图中大圆为的外接圆，小圆为的内切圆． (1)请分别求出的外接圆和内切圆的半径； (2)求阴影部分面积． 【变式题10-2】.（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）如图内接于圆O，I是的内心，的延长线交圆O于点D． (1)求证：； (2)若，求的值． 【变式题10-3】.（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，已知是的直径，内接于，点为的内心，连接并延长交⊙于点，点是上任意一点，连接． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)若，，请直接写出的周长． 易错点 　　1、判断点与圆位置时，把“点在圆上”误认为“点在圆内”，忽略。 　　2、误以为“垂直于半径的直线就是切线”，忽略必须经过半径外端。 　　3、误以为“与圆有公共点的直线是切线”，忽略相交也有公共点。 　　4、切线长定理中，误把切线长当成切线的长（切线是直线无长度）。 　　5、混淆内心（角平分线交点）与外心（垂直平分线交点）。 　　6、用面积公式求内切圆半径时，忘记除以周长的一半。 重点 　　1、掌握点与圆、直线与圆的位置关系及判断方法。 　　2、掌握切线的判定定理和性质定理。 　　3、掌握切线长定理。 　　4、掌握三角形内切圆与内心的性质。 难点 　　1、切线的判定与性质的综合应用。 　　2、根据位置关系求半径或距离的取值范围。 　　3、内切圆半径与三角形周长、面积的关系及应用。 【对应练习题】 一、单选题 1．已知为的内切圆，则点O是的（     ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 2．如图所示，P是外一点，分别和切于两点，C是上任意一点，过C作的切线分别交于．若的周长为12，则的长为（     ） A．12 B．6 C．8 D．4 3．在中，，以为圆心为半径画，使与线段有且只有两个公共点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图，，是的切线，A，B为切点，是的直径，若，则___________． 5．设的半径为，圆心到直线的距离为，若，是方程的两根，则直线与相切时，的值为______；当时，直线与______． 6．图1是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如图2所示的机械设备，磨盘半径，用长为的连杆将点Q与动力装置P相连（大小可变），点P在轨道上滑动，并带动磨盘绕点O转动， ．在磨盘转动过程中，的最大值为______．最小值为______． 三、解答题 7．已知的半径为3，P是外一点，，分别求点P到的最近点和最远点的距离． 8．如图，是的直径，C为上一点，过点C作的切线，此切线与的延长线相交于点D，，垂足为E．求证：平分． 9．如图，，是的两条切线，A，B是切点，连接，若，，求的周长． 10．如图，已知为的直径，点D在上，弦交于点E（不与点O、B重合），F为延长线上一点，给出下列信息：①；②；③为的切线 (1)请在上述三条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论，组成一个真命题．你选择的条件是 ，结论是 （只要填写序号），并说明理由； (2)在（1）的条件下，若，B为的中点，求的半径． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $