专题3.4 圆周角（3大知识点+8大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题3.4 圆周角 知识点1 ：圆心角与圆周角的区别与联系 项目 圆心角 圆周角 顶点位置 顶点在圆心 顶点在圆上 角的个数 一条弧所对的圆心角是唯一的 一条弧所对的圆周角有无数个 大小关系 圆心角度数等于它所对弧的度数 圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半 共同点 两边都与圆相交 　　1. 注意：圆周角必须同时满足两个条件——顶点在圆上、两边与圆相交；顶点在圆内的角或顶点在圆外的角都不是圆周角。 2. 应用：求角时，优先寻找同弧或等弧，再利用圆周角定理与圆心角、弧、弦的关系转化。 知识点2 ：圆周角 项目 内容 定义 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，即。 推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等，即所对的圆周角。 推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；的圆周角所对的弦是直径。 知识点3 ：圆内接四边形 　　1. 定义：一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆。 　　2. 性质1（对角互补）：圆内接四边形的对角互补，即，。 　　3. 性质2（外角等于内对角）：圆内接四边形的每一个外角都等于它的内对角。 　　4. 判定：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形是圆内接四边形。 【基础必考题型】 【题型1】圆周角的识别 1.核心知识点 　　圆周角的定义：顶点在圆上，两边都与圆相交。 2.解题方法技巧 　　①顶点必须在圆上，不能是圆心或圆内、圆外的点； 　　②角的两边都必须与圆相交（即与圆有交点）； ③注意区分圆周角与圆心角、圆内角、圆外角。 【例题1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）判断下列各图中的是不是圆周角，并说明理由． (1) 【答案】(1)角的边与圆没有两个交点，不是圆周角，不符合圆周角定义． (2)角的顶点不在圆上，不是圆周角，不符合圆周角定义． (3)角的顶点在圆上，角的两边与圆相交，是圆周角，符合圆周角定义． (4)角的顶点不在圆上，不是圆周角，不符合圆周角定义． 【分析】根据圆周角的定义作答即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 【变式题1-1】.（26-27九年级上·江苏·单元测试）下列各图中的为圆周角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据圆周角的定义，选项C中的为圆周角． 【变式题1-2】.（26-27九年级上·北京·课前预习）下列各图中的角，其中为圆周角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周角的定义，可以判断哪个选项是正确的． 【详解】解：∵顶点在圆上，角的两条边都与圆相交的角叫做圆周角， ∴选项A、C、D中的角不是圆周角，选项B中的角是圆周角． 【变式题1-3】.（25-26九年级上·全国·课堂例题）如图，是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆周角的概念：顶点在圆周上，且两边都与圆相交的角叫圆周角就可判断． 【详解】解：A、B顶点没在圆上，C虽然顶点在圆上，但一条边没有与圆相交，D符合圆周角的概念， 故选：D． 【点睛】此题考查了圆周角的概念，解题的关键是熟练掌握圆周角的概念． 【题型2】圆周角与圆心角关系求角 1.核心知识点 　　圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半。 2.解题方法技巧 　　①一条弧所对的圆周角是圆心角的一半； 　　②已知圆周角求圆心角，扩大2倍；已知圆心角求圆周角，缩小一半； ③找准同一条弧所对的圆心角和圆周角。 【例题2】.（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，点，，在上，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用圆周角定理求出的度数，再根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求解． 【详解】解：∵，， ∴． ∵， ∴． ∴． 【变式题2-1】.（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，为的直径，点，在上，与交于点，连接，，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由为的直径得，即得，由平行线的性质得，，进而可得，即可求解． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴． 【变式题2-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，点A，B，C，D在上，，求，的度数． 【答案】， 【分析】利用同弧所对的圆周角相等，以及同弧所对圆心角是圆周角的一半求解． 【详解】解：∵，和都是所对的圆周角， ∴， ∵是所对的圆心角，是所对的圆周角， ∴． 【变式题2-3】.（2026·山东东营·中考真题）如图，A，B，C，D是上的四个点，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与交于点E，根据圆周角定理得出，根据垂径定理得出，最后根据三角形内角和定理得出结果即可． 【详解】解：设与交于点E，如图所示： ∵，， ∴， ∵，为半径， ∴， ∴， ∴． 【题型3】同弧或等弧所对的圆周角相等 1.核心知识点 　　同弧或等弧所对的圆周角相等。 2.解题方法技巧 　　①在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等； 　　②利用圆周角相等转移角度，化难为易； ③常与等腰三角形、平行线、三角形内角和结合求角。 【例题3】.（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，是的直径，点、在上，．则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同弧所对圆周角相等求出，结合直径所对圆周角为直角，在直角三角形中求解． 【详解】解：∵与均为弧所对的圆周角， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴． 【变式题3-1】.（25-26九年级上·广西南宁·阶段检测）如图，在中，弦，相交于点，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，根据同弧所对的圆周角相等求解即可． 【详解】解：， ， 故选：． 【变式题3-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知：如图，，是的两条弦，且，与相交于点E．求证：． 【答案】证明：∵，，， ∴. 【分析】由，，结合可得结论. 【详解】略 【变式题3-3】.（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图所示，是的直径，、在上，，求证：． 【答案】证明： 连接， ， ，． ， ． ． ． 【分析】作辅助线半径，先用平行线性质得到两组角相等，再利用半径相等得到等腰三角形底角相等，等量代换证明两个圆心角，最后用圆心角、弦的关系证弦相等． 【详解】略 【题型4】直径所对的圆周角是直角 1.核心知识点 　　半圆（直径）所对的圆周角是直角。 2.解题方法技巧 　　①看到直径，立即想到直角，连接直径端点与圆上点构造直角三角形； 　　②利用直角三角形两锐角互余求角； ③常与勾股定理结合求线段。 【例题4】.（26-27九年级上·北京·课前预习）如图，是的直径，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周角定理和直角三角形的两个锐角互余求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵，， ∴． 【变式题4-1】.（25-26八年级下·山东滨州·期末）如图，，，，四点共圆，是的直径．若，则的度数等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆周角定理得到，根据直角三角形两锐角互余得到，根据圆周角定理即可得到结论． 【详解】解：∵是的直径， ∴． ∴， ∴． 【变式题4-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，为的直径，C，D，E为圆上的点，，求的度数． 【答案】 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，等弧所对的圆周角相等可得，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式题4-3】.（25-26九年级下·河北衡水·开学考试）已知点A、B、C、D在上，是直径，，，的半径为2． (1)求证：是的平分线； (2)求圆内接四边形的周长． 【答案】(1) 证明：∵四边形是圆内接四边形，， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是的平分线； (2)10 【分析】（1）由圆内接四边形性质求出，由直径得到，求出，然后得到，求出即可证明； （2）连接，如图，证明出为等边三角形，得到，，然后证明出四边形为菱形，得到，进而求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接，如图， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴， ∴四边形的周长． 【培优高频题型】 【题型5】90°的圆周角所对的弦是直径 1.核心知识点 　　的圆周角所对的弦是直径。 2.解题方法技巧 　　①若圆周角为，则它所对的弦是直径； 　　②用于判定直径、证明共圆； ③与三角板、量角器等工具结合，判断直径。 【例题5】.（25-26九年级上·浙江杭州·期末）下列图形中，线段是所在圆的直径的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理推论：度的圆周角所对的弦是直径，据此逐项分析即可得出答案． 【详解】解：A．图中直角不是圆周角，所以线段不是圆的直径，故选项不符合题意； B．图中直角不是圆周角，所以线段不是圆的直径，故选项不符合题意； C．图中直角是圆周角，所以线段是圆的直径，故选项符合题意； D．图中直角是圆周角，但是点A不在圆上，所以线段不是圆的直径，故选项不符合题意； 故选：C． 【变式题5-1】.（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，过原点，分别与轴、轴交于点和点，点在上，已知的半径为4，则圆心A的坐标是____  ． 【答案】 【分析】如图，连接，证明为的直径，可得，，，可得，，进一步可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴为的直径， ∵的半径为4， ∴，，， ∴，， ∵为的中点， ∴，即． 【变式题5-2】.（2026·福建厦门·一模）古代工匠确定圆形器具的圆心时，如图通常把角尺的直角顶点放在圆周上，即可找出该圆形器具的一条直径，进而找出圆心，这种方法的数学依据是________． 【答案】的圆周角所对的弦是直径 【分析】本题考查了圆周角定理的应用，根据的圆周角所对的弦是直径解答即可． 【详解】解：这种方法的数学依据是的圆周角所对的弦是直径． 故答案为：的圆周角所对的弦是直径． 【变式题5-3】.（2026·河南周口·二模）如图，，是的外接圆上一点，且．    (1)请用无刻度的直尺和圆规作出外接圆的圆心（保留作图痕迹，不写作法）； (2)作直径，交于点，你能发现什么结论，写出一条你发现的结论，并证明． 【答案】(1)如图，点即为所求， (2)解：如下图所示，连接并延长，交于点，即为的直径， 发现：直径， 证明：如下图所示，连接， ，， 是的垂直平分线， ， ， ， （答案不唯一）． 【分析】（1）分别以、为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点、，连接交于点，点即为的外接圆圆心； （2）连接并延长，交于点，即为的直径，发现：直径，根据，，可知是的垂直平分线，根据平面内垂直于同一条直线的两条直线平行，可证． 【详解】（1）略 （2）略 【题型6】圆内接四边形对角互补 1.核心知识点 　　圆内接四边形对角互补，外角等于内对角。 2.解题方法技巧 　　①圆内接四边形对角互补，； 　　②外角等于内对角，用于求角； ③结合圆周角定理求复杂角。 【例题6】.（2026·河北·中考真题）如图，在中，所对的圆心角为，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接并延长交于点E，连接，首先利用等边对等角得到，然后利用三角形内角和定理求出，然后结合圆周角定理和圆内接四边形对角互补求解即可． 【详解】解：如图，连接并延长交于点E，连接 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【变式题6-1】.（2026·山西阳泉·模拟预测）如图，四边形内接于，连接，已知，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用圆内接四边形对角互补结合已知角度关系求出的度数，再根据等弧对等弦判定为等腰三角形，最后计算得到的度数． 【详解】∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， 【变式题6-2】.（2026九年级上·全国·专题练习）如图，为的一条弦，且，，为劣弧上一点，连接，，则的度数为_____． 【答案】/120度 【分析】在优弧上构造圆周角，利用同弧所对圆周角等于圆心角的一半求出该角，再利用圆内接四边形对角互补求出． 【详解】解：在优弧上任取一点，连接，． ， ， 四边形内接于 ， ， ． 【变式题6-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是半圆O的直径，，D是上任意一点，求的度数． 【答案】 【分析】根据是半圆的直径得到，通过直角三角形中两个锐角互余、圆的内接四边形的对角互补即可得到． 【详解】解：∵是半圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 【压轴素养题型】 【题型7】圆周角与勾股定理综合求值 1.核心知识点 　　直径所对圆周角为直角，结合勾股定理求线段。 2.解题方法技巧 　　①直径⟹ 直角⟹ 直角三角形，用勾股定理求边长； 　　②设未知数，列方程求解； ③综合垂径定理、弧弦关系。 【例题7】.（2026·广东茂名·二模）如图，是的内接三角形，，，连接，，则的半径是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，由垂径定理求出，根据圆周角求出圆心角，然后算出，设短直角边为，则斜边即圆的半径为，用勾股定理列方程求解半径． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， 解得或（不合题意，舍去）， ， 故的半径是． 【变式题7-1】.（2026·西藏日喀则·三模）如图，的半径为，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、，先由三角形内角和求出，再由圆周角定理得，再由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接、， ∵，， ∴， ∴， ∵的半径为， ∴， ∴． 【变式题7-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是半圆O的直径，点C，D，E将半圆四等分，，相交于点P，． (1)求的度数． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图，连接，可得，再进一步求解即可； （2）如图，连接，证明，，，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：如图，连接， ∵是半圆O的直径，点C，D，E将半圆四等分， ∴， ∴， ∴，， ∴. （2）解：如图，连接， ∵是半圆O的直径， ． ∴， ∵， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴. 【变式题7-3】.（22-23九年级上·云南昭通·期末）如图，E是平行四边形的边延长线上一点，且，连接． (1)求证：四边形为菱形． (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 又， 四边形为平行四边形， 又 四边形是菱形 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，，则可得出四边形为平行四边形，然后根据菱形的判定即可得证； （2）根据得出B、C、E在以A为圆心，为半径的圆上，则，根据勾股定理求出，最后根据菱形的性质求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：， B、C、E在以A为圆心，为半径的圆上， ， 又， 在中， 四边形是菱形， 四边形的面积． 【题型8】圆周角与三角板、量角器综合 1.核心知识点 　　三角板直角顶点在圆上、量角器半圆直径等情境。 2.解题方法技巧 　　①直角顶点在圆上⟹所对弦是直径； 　　②量角器读数与圆周角对应； 　　③利用圆周角定理求角、求半径。 【例题8】.（2026·四川广元·二模）以为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的刻度线与斜边重合，点为斜边上一点，作射线交于点，如果点所对应的读数为，那么 (    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半和圆的概念得出点在上，根据圆周角定理得出，即可求解． 【详解】解：根据题意可得，， ∵，点是的中点，为的直径， ∴点到点的距离等于的半径， 即点在上， ∴， ∴． 【变式题8-1】.（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，直角三角板角的顶点落在上，两边与分别交于B，C两点，的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，特殊角的三角函数，掌握知识点是解题的关键． 连接，，，先证是等边三角形，进而推导出，得到为等腰直角三角形，且，则，得到，即可解答． 【详解】解：连接，，，如图， ∵，， ， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形，且， ∴， ∴． 故选：B． 【变式题8-2】.（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）如图，平面内放有一量角器，为其直径，点为其圆心，点在量角器的圆弧上，对应刻度为，连接，，． (1)请用无刻度的直尺和圆规过点作，垂足为；（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：． 【答案】(1) 解：如图，即为所求； (2) 证明：由题意得， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了尺规作图，圆周角定理及推论，相似三角形的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）以点为圆心，适当长度为半径画弧，交于点、，分别以、为圆心，大于为半径在下方画弧，两弧交于点，作射线，交于点，即为所求； （2）由题意得，由圆周角定理得，结合可得是等边三角形，即可得，由直径所对的圆周角是直角得，由得，可得，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 【变式题8-3】.（2025·广西柳州·一模）量角器和三角板是我们平常数学学习中常用的工具．有一天，爱思考的小聪拿着量角器和三角板拼成了如图1所示的样子，计划让三角板的直角顶点始终在量角器的半圆弧上运动．紧接着小聪根据自己的想法画出了示意图（如图2）．已知C是量角器半圆弧的中点，P为三角板的直角顶点，两直角边，PF分别过点A，B，连接，过点O作于点M，交于点N．若，则的最小值为______． 【答案】 【分析】当点P在上时，点N在线段的右侧，如图，连接，，作的外接圆，连接，，则圆心T为的中点，可得点N在上，运动轨迹是，，当点P在上时，即可求解． 【详解】解：当点P在上时，点N在线段的右侧，如图，连接，． 是半圆的中点， ， 即， ， 是等腰直角三角形， 作的外接圆，连接，，则圆心T为的中点， ， ， ， ， ， ， 点N在上，运动轨迹是， 过点T作于点H， ， ∴， ，， ， ， ∴． 在中， ， ， ， ， ． 在中， ． ∵， ∴， 的最小值为； 当点P在上时，如图， 在线段的右侧，此时显然大于； 综上所述：的最小值为． 【点睛】本题考查了圆外一点到圆上任一点距离最值问题，圆的基本性质，圆周角定理，等腰三角形的判定及性质，勾股定理等；能通过圆的基本性质，圆周角定理，等腰三角形的判定及性质找出取得最小值的条件，并能熟练利用勾股进行求解是解题的关键． 易错点 　　1、误把顶点在圆内的角或圆外的角当作圆周角，忽略“两边都与圆相交”。 　　2、用错圆周角与圆心角的关系，把圆周角误记为圆心角的两倍。 　　3、找错同弧所对的圆周角，导致角度换算错误。 　　4、忽视“的圆周角所对的弦是直径”这一判定条件的应用。 　　5、圆内接四边形性质记混，忘记外角等于内对角。 　　6、在格点、实际情境中不能正确抽象出圆与圆周角。 重点 　　1、掌握圆周角的定义及圆周角定理。 　　2、掌握同弧或等弧所对的圆周角相等。 　　3、掌握直径所对的圆周角是直角及其逆用。 　　4、掌握圆内接四边形对角互补的性质。 难点 　　1、圆周角定理与圆心角、弧、弦关系的综合应用。 　　2、圆周角定理在实际问题、格点问题中的应用。 　　3、利用圆周角定理进行综合证明。 【对应练习题】 一、单选题 1．四边形内接于，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆内接四边形对角互补求解即可． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴． 2．如图，点，，在上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理求出，根据等腰三角形的性质求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 3．如图，是的直径，，，是上的三点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据直径所对圆周角是直角得出，进而求出，最后利用同弧所对圆周角相等求解． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵与都是弧所对的圆周角， ∴． 二、填空题 4．如图，内接于，，，为的直径，________ ． 【答案】 【分析】由内接于，，，可得等腰三角形中； 由直径所对的圆周角为直角，可得中；再由同弧所对的圆周角相等可得，进而得出；再由，即可求得的度数． 【详解】解：∵内接于，，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴在中， 又∵， ∴， ∵， ∴． 5．如图，为的直径，，则的度数为____________． 【答案】/62度 【分析】先利用等弧所对的弦的性质得出垂直平分，再结合圆周角定理和直角三角形的角度关系求解的度数． 【详解】解：∵，为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴． 6．如图，内接于，是的直径，点是的中点，连接，若，，则的长为_____________． 【答案】4 【分析】连接，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出，根据直径所对的圆周角为直角得出，根据直角三角形的性质得出． 【详解】解：如图：连接， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． 三、解答题 7．如图，四边形的四个顶点都在上，找出图中与，，分别相等的角． 【答案】，， 【分析】同弧所对的圆周角相等． 【详解】解：与所对的弧为，所以；与所对的弧为，所以；与所对的弧为，所以． 8．已知：如图，为的直径，为弦，A为的中点，，垂足为D，和相交于点E．求证：． 【答案】证明：连接，， ∵为的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵A为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】连接，，证明，即可得到结论． 【详解】略 9．已知：如图，为的中线，，．求证：的外接圆的半径等于． 【答案】证明：∵是的中线，， ∴， ∴是等边三角形， ∴是的外接圆的直径， ∴的外接圆的半径为． 【分析】利用三角形中线的性质以及等边三角形的判定方法得出是等边三角形，进而得出，求出，即可得出答案． 【详解】略 10．如图，在中，，点是的中点，以为直径作，分别交，于点、． (1)求证：； (2)连接，，当的度数为时，求证：四边形是菱形． 【答案】(1) ，点是的中点，， ， 四边形是圆内接四边形， ，， ， ． (2) ，，是等边三角形， ， ，， 为等边三角形， ，， ， , ， 是等边三角形， , ， 四边形是菱形． 【分析】（1）先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，再利用圆内接四边形的性质，最后用等腰三角形的判定即可得到结论； （2）先利用等边三角形的判定，再利用菱形的判定即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.4 圆周角 知识点1 ：圆心角与圆周角的区别与联系 项目 圆心角 圆周角 顶点位置 顶点在圆心 顶点在圆上 角的个数 一条弧所对的圆心角是唯一的 一条弧所对的圆周角有无数个 大小关系 圆心角度数等于它所对弧的度数 圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半 共同点 两边都与圆相交 　　1. 注意：圆周角必须同时满足两个条件——顶点在圆上、两边与圆相交；顶点在圆内的角或顶点在圆外的角都不是圆周角。 2. 应用：求角时，优先寻找同弧或等弧，再利用圆周角定理与圆心角、弧、弦的关系转化。 知识点2 ：圆周角 项目 内容 定义 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，即。 推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等，即所对的圆周角。 推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；的圆周角所对的弦是直径。 知识点3 ：圆内接四边形 　　1. 定义：一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆。 　　2. 性质1（对角互补）：圆内接四边形的对角互补，即，。 　　3. 性质2（外角等于内对角）：圆内接四边形的每一个外角都等于它的内对角。 　　4. 判定：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形是圆内接四边形。 【基础必考题型】 【题型1】圆周角的识别 1.核心知识点 　　圆周角的定义：顶点在圆上，两边都与圆相交。 2.解题方法技巧 　　①顶点必须在圆上，不能是圆心或圆内、圆外的点； 　　②角的两边都必须与圆相交（即与圆有交点）； ③注意区分圆周角与圆心角、圆内角、圆外角。 【例题1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）判断下列各图中的是不是圆周角，并说明理由． (1) 【变式题1-1】.（26-27九年级上·江苏·单元测试）下列各图中的为圆周角的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（26-27九年级上·北京·课前预习）下列各图中的角，其中为圆周角的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26九年级上·全国·课堂例题）如图，是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【题型2】圆周角与圆心角关系求角 1.核心知识点 　　圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半。 2.解题方法技巧 　　①一条弧所对的圆周角是圆心角的一半； 　　②已知圆周角求圆心角，扩大2倍；已知圆心角求圆周角，缩小一半； ③找准同一条弧所对的圆心角和圆周角。 【例题2】.（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，点，，在上，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，为的直径，点，在上，与交于点，连接，，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，点A，B，C，D在上，，求，的度数． 【变式题2-3】.（2026·山东东营·中考真题）如图，A，B，C，D是上的四个点，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【题型3】同弧或等弧所对的圆周角相等 1.核心知识点 　　同弧或等弧所对的圆周角相等。 2.解题方法技巧 　　①在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等； 　　②利用圆周角相等转移角度，化难为易； ③常与等腰三角形、平行线、三角形内角和结合求角。 【例题3】.（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，是的直径，点、在上，．则（     ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（25-26九年级上·广西南宁·阶段检测）如图，在中，弦，相交于点，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知：如图，，是的两条弦，且，与相交于点E．求证：． 【变式题3-3】.（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图所示，是的直径，、在上，，求证：． 【题型4】直径所对的圆周角是直角 1.核心知识点 　　半圆（直径）所对的圆周角是直角。 2.解题方法技巧 　　①看到直径，立即想到直角，连接直径端点与圆上点构造直角三角形； 　　②利用直角三角形两锐角互余求角； ③常与勾股定理结合求线段。 【例题4】.（26-27九年级上·北京·课前预习）如图，是的直径，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（25-26八年级下·山东滨州·期末）如图，，，，四点共圆，是的直径．若，则的度数等于（     ） A． B． C． D． 【变式题4-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，为的直径，C，D，E为圆上的点，，求的度数． 【变式题4-3】.（25-26九年级下·河北衡水·开学考试）已知点A、B、C、D在上，是直径，，，的半径为2． (1)求证：是的平分线； (2)求圆内接四边形的周长． 【培优高频题型】 【题型5】90°的圆周角所对的弦是直径 1.核心知识点 　　的圆周角所对的弦是直径。 2.解题方法技巧 　　①若圆周角为，则它所对的弦是直径； 　　②用于判定直径、证明共圆； ③与三角板、量角器等工具结合，判断直径。 【例题5】.（25-26九年级上·浙江杭州·期末）下列图形中，线段是所在圆的直径的是（   ） A． B． C． D． 【变式题5-1】.（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，过原点，分别与轴、轴交于点和点，点在上，已知的半径为4，则圆心A的坐标是____  ． 【变式题5-2】.（2026·福建厦门·一模）古代工匠确定圆形器具的圆心时，如图通常把角尺的直角顶点放在圆周上，即可找出该圆形器具的一条直径，进而找出圆心，这种方法的数学依据是________． 【变式题5-3】.（2026·河南周口·二模）如图，，是的外接圆上一点，且．    (1)请用无刻度的直尺和圆规作出外接圆的圆心（保留作图痕迹，不写作法）； (2)作直径，交于点，你能发现什么结论，写出一条你发现的结论，并证明． 【题型6】圆内接四边形对角互补 1.核心知识点 　　圆内接四边形对角互补，外角等于内对角。 2.解题方法技巧 　　①圆内接四边形对角互补，； 　　②外角等于内对角，用于求角； ③结合圆周角定理求复杂角。 【例题6】.（2026·河北·中考真题）如图，在中，所对的圆心角为，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 【变式题6-1】.（2026·山西阳泉·模拟预测）如图，四边形内接于，连接，已知，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式题6-2】.（2026九年级上·全国·专题练习）如图，为的一条弦，且，，为劣弧上一点，连接，，则的度数为_____． 【变式题6-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是半圆O的直径，，D是上任意一点，求的度数． 【压轴素养题型】 【题型7】圆周角与勾股定理综合求值 1.核心知识点 　　直径所对圆周角为直角，结合勾股定理求线段。 2.解题方法技巧 　　①直径⟹ 直角⟹ 直角三角形，用勾股定理求边长； 　　②设未知数，列方程求解； ③综合垂径定理、弧弦关系。 【例题7】.（2026·广东茂名·二模）如图，是的内接三角形，，，连接，，则的半径是（     ） A． B． C． D． 【变式题7-1】.（2026·西藏日喀则·三模）如图，的半径为，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式题7-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是半圆O的直径，点C，D，E将半圆四等分，，相交于点P，． (1)求的度数． (2)求的值． 【变式题7-3】.（22-23九年级上·云南昭通·期末）如图，E是平行四边形的边延长线上一点，且，连接． (1)求证：四边形为菱形． (2)若，求四边形的面积． 【题型8】圆周角与三角板、量角器综合 1.核心知识点 　　三角板直角顶点在圆上、量角器半圆直径等情境。 2.解题方法技巧 　　①直角顶点在圆上⟹所对弦是直径； 　　②量角器读数与圆周角对应； 　　③利用圆周角定理求角、求半径。 【例题8】.（2026·四川广元·二模）以为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的刻度线与斜边重合，点为斜边上一点，作射线交于点，如果点所对应的读数为，那么 (    ） A． B． C． D． 【变式题8-1】.（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，直角三角板角的顶点落在上，两边与分别交于B，C两点，的值为（    ） A． B． C． D．1 【变式题8-2】.（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）如图，平面内放有一量角器，为其直径，点为其圆心，点在量角器的圆弧上，对应刻度为，连接，，． (1)请用无刻度的直尺和圆规过点作，垂足为；（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：． 【变式题8-3】.（2025·广西柳州·一模）量角器和三角板是我们平常数学学习中常用的工具．有一天，爱思考的小聪拿着量角器和三角板拼成了如图1所示的样子，计划让三角板的直角顶点始终在量角器的半圆弧上运动．紧接着小聪根据自己的想法画出了示意图（如图2）．已知C是量角器半圆弧的中点，P为三角板的直角顶点，两直角边，PF分别过点A，B，连接，过点O作于点M，交于点N．若，则的最小值为______． 易错点 　　1、误把顶点在圆内的角或圆外的角当作圆周角，忽略“两边都与圆相交”。 　　2、用错圆周角与圆心角的关系，把圆周角误记为圆心角的两倍。 　　3、找错同弧所对的圆周角，导致角度换算错误。 　　4、忽视“的圆周角所对的弦是直径”这一判定条件的应用。 　　5、圆内接四边形性质记混，忘记外角等于内对角。 　　6、在格点、实际情境中不能正确抽象出圆与圆周角。 重点 　　1、掌握圆周角的定义及圆周角定理。 　　2、掌握同弧或等弧所对的圆周角相等。 　　3、掌握直径所对的圆周角是直角及其逆用。 　　4、掌握圆内接四边形对角互补的性质。 难点 　　1、圆周角定理与圆心角、弧、弦关系的综合应用。 　　2、圆周角定理在实际问题、格点问题中的应用。 　　3、利用圆周角定理进行综合证明。 【对应练习题】 一、单选题 1．四边形内接于，若，则（     ） A． B． C． D． 2．如图，点，，在上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 3．如图，是的直径，，，是上的三点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图，内接于，，，为的直径，________ ． 5．如图，为的直径，，则的度数为____________． 6．如图，内接于，是的直径，点是的中点，连接，若，，则的长为_____________． 三、解答题 7．如图，四边形的四个顶点都在上，找出图中与，，分别相等的角． 8．已知：如图，为的直径，为弦，A为的中点，，垂足为D，和相交于点E．求证：． 9．已知：如图，为的中线，，．求证：的外接圆的半径等于． 10．如图，在中，，点是的中点，以为直径作，分别交，于点、． (1)求证：； (2)连接，，当的度数为时，求证：四边形是菱形． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $