精品解析：江苏苏州市吴江区盛泽第一中学等校2026－2027学年八年级上学期9月随堂练习数学

2026年9月份随堂练习（初二数学） 一、单选题（10*3=30分） 1. 下列长度的三条线段（单位：cm），能组成三角形的是（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，分别对A、B、C、D各选项的线段进行判断即可得答案． 【详解】解：A、∵， ∴不能组成三角形，故A错误． B、∵， ∴不能组成三角形，故B错误． C、∵， ∴不能组成三角形，故C错误． D、∵， ∴能组成三角形，故D正确． 2. 下列各图中，正确画出的边边上的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据高的定义，过三角形一个顶点向对边作垂线，垂线段即为三角形的高． 【详解】解：根据题意，是符合题意的． 3. 根据下列已知条件，能画出唯一的的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定以及三角形三边关系，逐个选项判断即可． 【详解】解：A、，不满足三角形的三边关系，本选项不符合题意． B、边边角，三角形不能唯一确定，本选项不符合题意． C、角角边，三角形唯一确定，本选项符合题意． D、一边一角无法确定三角形，本选项不符合题意． 4. 如图，两根钢条、的中点O连在一起，使、 可以绕着点 O自由转动，就做成一个测量工具，的长等于内槽宽 ，那么判定的理由是（ ） A. 边角边 B. 角边角 C. 边边边 D. 角角边 【答案】A 【解析】 【分析】由是、的中点， 可得：，，再由，可以根据全等三角形的判定方法，判定． 【详解】解：∵是 、的中点， ∴，， 在和 中， ， ∴． 5. 一次校联欢会上，老师组织同学们玩抢凳子的游戏，让三名同学分别站在一个三角形三个顶点的位置上，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的（ ） A. 三条角平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三边的垂直平分线的交点 D. 三边上高所在直线的交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，根据三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等可得答案． 【详解】解：∵三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等， ∴为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的三边的垂直平分线的交点， 故选：C． 6. 如图，中，，D是的中点，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. 平分 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等腰三角形“等边对等角”及“三线合一”的性质逐一判断． 【详解】解：， ，故A正确； ，是的中点， ，平分，故B、C正确； 与的数量关系不确定，故D不正确，符合题意． 7. 如图，在中，是的平分线，若，则点到的距离是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】作，根据角平分线的性质得到，即可求解． 【详解】解：作，如图所示： ∵，是的平分线， ∴ ∵， ∴ ∴点D到的距离是． 8. 如图，是的高线，与相交于点F．若，且的面积为12，则的长度为（　　） A. 1 B. 2 C. 2.5 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用证明，得，再根据三角形面积可得的长，从而可得答案． 【详解】解：是的高线，与相交于点F． ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，且的面积为12， ∴， ∴， ∴， ∴． 9. 如图，在中，是的垂直平分线，且，，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设的度数为，根据垂直平分线性质得，则，根据三角形外角性质得，再根据得，然后根据得，最后由三角形内角和定理得，由此解出即可得出答案． 【详解】解：设的度数为， 是的垂直平分线， ， ． ． ， ． 又， ． 在中，由三角形内角和定理得：， ，解得， 的度数为． 10. 如图，已知和都是等边三角形，且A、C、E三点共线，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连结．以下六个结论：①；②；③；④；⑤是等边三角形；⑥平分．其中正确的结论有（ ） A. ①②④⑤ B. ①②⑤⑥ C. ③④⑤⑥ D. ①②④⑥ 【答案】A 【解析】 【分析】对于①，证明即可判断； 对于②，由，得到，进一步得出，即可得到结论； 对于③，先证明，得到，再证明，即得结论； 对于④，连接，在上取点M，使得，连接，先证明是等边三角形，再证明，可得，即得结论； 对于⑤，由③知，可得，即可得到结论； 对于⑥，先证明，，再根据题中没有给出这一条件，所以不能成立，所以也不能成立，即可判断结论． 【详解】解：和都是等边三角形， ，，， ， ， ， 故①正确； 由①知，， ， ， ， ， 故②正确； ， ， ， ， ， ， ， ， 点Q在上，是等边三角形， ， ， 故③错误； 连接，在上取点M，使得，连接， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， 故④正确； 由③知，， ， ， 是等边三角形， 故⑤正确； ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 由于题中没有给出这一条件， 所以不能成立， 所以也不能成立， 故⑥错误； 所以正确的结论有①②④⑤． 二、填空题（3*8=24分） 11. 等腰三角形的两边长分别为2和4，则它的周长为_________． 【答案】10 【解析】 【分析】分腰长为2和腰长为4两种情况，根据三角形三边关系判断能否构成三角形，再计算周长． 【详解】解：①当等腰三角形的腰长为时，底边长为， ∵，不满足三角形任意两边之和大于第三边， ∴2，2，4不能构成三角形； ②当等腰三角形的腰长为时，底边长为， ∵，满足三角形三边关系， ∴2，4，4能构成三角形； 此时等腰三角形的周长为； 综上，等腰三角形的周长为． 12. 如图，已知，要用“边角边（）”判定，还需添加一个条件，这个条件是_____．（只需添加一个条件，不添加辅助线） 【答案】 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理“边角边”，已知一组对应角相等和一组公共边，需补充夹角的另一组对应边相等． 【详解】解：∵要用“边角边（）”判定，已知一组对应角相等和一组公共边， ∴需补充夹角的另一组对应边相等， 即． 13. 如图，，点，，，在同一条直线上，若，，则的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用全等的性质得到，即可得到，再由运算解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，且，， ∴， 解得：． 14. 如图，在中，点是斜边的中点，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形的斜边中线定理可得，，推出，即可求解． 【详解】解：在中，点是斜边的中点， ，， ， ． 15. 如图，在的正方形网格中，A，B两点都是网格的格点，若是等腰三角形，且点C也是该网格的格点，则点C的个数是_______． 【答案】8 【解析】 【详解】解：根据等腰三角形的定义分三种情况讨论： ①当点A为顶角顶点时，如图，符合条件的点为点； ②当点B为顶角顶点时，如图，符合条件的点为点； ③当点C为顶角顶点时，如图，符合条件的点为点，，，，，； 综上所述，点C的个数是8． 16. 如图，△中，，边的垂直平分线分别交于点，，垂足分别为点、，若△的周长为18，则边的长度是_______ ． 【答案】18 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：，边的垂直平分线分别交于点，， ，， △的周长为18， ， ． 17. 如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且，则_____ ． 【答案】1 【解析】 【分析】根据三角形的中点平分三角形的面积得到的面积是的面积的一半，即为．再根据点F是的中点即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：∵点E是的中点， ∴的面积是的面积的一半，的面积是的面积的一半．则的面积是的面积的一半，即为． ∵点F是的中点， ∴阴影部分的面积是的面积的一半，即为． 18. 如图，已知，，，，，则四边形的面积为_______． 【答案】 27 【解析】 【分析】作于点，交于点，作于点，分别证明，，求出的长，进而求出的长，分割法求出四边形的面积即可. 【详解】解：作于点，交于点，作于点，如图， 则，，， ∵，， ∴为等腰直角三角形，， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； ∴， ∴， ∵， ∴四边形的面积. 三、解答题（本大题共9小题，共76分） 19. 已知的三边长分别为a，b，c． （1）若a，b，c满足，试判断的形状； （2）若，，且c为奇数，求c的值． 【答案】（1）是等边三角形 （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据，得出，整理得，进行判断即可； （2）根据三角形的三边关系得出的取值范围，再由为奇数得出的值，进而可得出结论． 【小问1详解】 解：∵， ，， ， 是等边三角形； 【小问2详解】 解：∵的三边长分别为a，b，c，且，， ，即． ∵为奇数， ． 20. 如图，在中，，求证是等边三角形． 【答案】证明：， ， 又， ， ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】由，根据等腰三角形等边对等角，得到；再结合条件，推出三个内角都相等；三个内角都相等的三角形是等边三角形，即可得证． 【详解】略 21. 如图，在中，，是的高，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质，等腰三角形底边上的高平分顶角，结合已知的的度数即可求出的度数 【详解】解：∵在中，，是的高， ∴平分， ∵， ∴ ． 22. 如图，，与相等吗？请在图中找出一对全等三角形，并说明理由． 【答案】与相等，，理由如下： ∵ ∴ ∴ ∵ ∴． 【解析】 【详解】略 23. 如图，在中，点在边上，，． （1）用尺规完成基本作图：在射线上作线段，使得，连接； （2）结合（1）所作的图形，求证．请完成下面的证明： 证明：， （_____①_____）． 在和中， ， ． _____③_____． ． 【答案】（1） （2）两直线平行，同位角相等；； 【解析】 【分析】（1）以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点，连接即可； （2）利用两直线平行同位角相等，全等三角形的判定和性质以及同位角相等两直线平行推导即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，点在线段上，已知，，． （1）求证： （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）8 【解析】 【分析】（1）先得出，再根据定理即可得证； （2）得出，，即可得的长． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：由（1）已证：， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 25. 如图，在中，点在边上，且，平分交于点，交于点． （1）与全等吗？请说明理由； （2）若，，，求的周长． 【答案】（1），理由如下： ， ∴ ， ， ∴， 平分 ， ∴， ， ∴； （2）10 【解析】 【分析】（1）先根据平行线的性质以及已知条件证明，再由证明即可； （2）利用全等三角形的性质把线段进行转换，即可得到结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ∴， ， ∴， ， ∴的周长为． 26. 如图，已知在中，，，是的中点，为的中点，求证：． 【答案】证明：如图，连接、，过点作交的延长线于点， ， ， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 同理可证，， ， 为的中点， ． 【解析】 【分析】连接、，过点作交的延长线于点，先证明，再证明，得到，同理可证，，则，再利用等腰三角形三线合一的性质求证即可． 【详解】略 27. 已知：如图1，等边的边长为6，另一等腰与有公共边，且．现有两动点P、Q分别从B、O两点同时出发，点P以每秒4个单位的速度沿向点O运动，点Q以每秒3个单位的速度沿向点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．请回答下列问题： （1）在运动过程中，运动时间是t秒，的面积记为S，请用含有时间t的式子表示S．（不要求写t的取值范围） （2）在等边的边上是否存在点D（点A除外），使得为等腰三角形？如果存在，这样的点D共有 个． （3）如图2，现有，其两边分别与交于点M、N，连接．将绕着点C旋转，使得M、N始终在边和边上．试判断在这一过程中，的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在；4 （3）△BMN的周长不变，其周长为12 【解析】 【分析】（1）易得，根据等边三角形的性质，等边对等角推出，根据三角形的面积公式，列出函数解析式即可； （2）分三种情况进行讨论求解即可； （3）延长至点F，使，连接，证明，得到．再证明，得到，推出的周长为定值即可. 【小问1详解】 解：如图1，由题意，得， ∵， ∴， ∵等边的边长为6， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图2，（i）当D点在上， ①以D为顶点，， ②以O为顶点，， （ii）当D点在上， ∵，因此不存在以C或D为顶点的等腰三角形， 以O为顶点时，． （iii）当D点在上时， 此时的最短距离为时，此时，不存在以O为顶点的等腰三角形； 当以C为顶点时，D点和A点重合， 当以D为顶点时，， 综上所述，这样的点D共有4个； 【小问3详解】 解：的周长不发生变化．理由如下： 延长至点F，使，连接，如图3， ∵， ∴ 在和中， ∴， ∴． ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∴． ∴的周长不变，其周长为12． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年9月份随堂练习（初二数学） 一、单选题（10*3=30分） 1. 下列长度的三条线段（单位：cm），能组成三角形的是（     ） A. B. C. D. 2. 下列各图中，正确画出的边边上的高的是（ ） A. B. C. D. 3. 根据下列已知条件，能画出唯一的的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，两根钢条、的中点O连在一起，使、 可以绕着点 O自由转动，就做成一个测量工具，的长等于内槽宽 ，那么判定的理由是（ ） A. 边角边 B. 角边角 C. 边边边 D. 角角边 5. 一次校联欢会上，老师组织同学们玩抢凳子的游戏，让三名同学分别站在一个三角形三个顶点的位置上，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的（ ） A. 三条角平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三边的垂直平分线的交点 D. 三边上高所在直线的交点 6. 如图，中，，D是的中点，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. 平分 D. 7. 如图，在中，是的平分线，若，则点到的距离是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 8. 如图，是的高线，与相交于点F．若，且的面积为12，则的长度为（　　） A. 1 B. 2 C. 2.5 D. 3 9. 如图，在中，是的垂直平分线，且，，则的度数为（    ） A. B. C. D. 10. 如图，已知和都是等边三角形，且A、C、E三点共线，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连结．以下六个结论：①；②；③；④；⑤是等边三角形；⑥平分．其中正确的结论有（ ） A. ①②④⑤ B. ①②⑤⑥ C. ③④⑤⑥ D. ①②④⑥ 二、填空题（3*8=24分） 11. 等腰三角形的两边长分别为2和4，则它的周长为_________． 12. 如图，已知，要用“边角边（）”判定，还需添加一个条件，这个条件是_____．（只需添加一个条件，不添加辅助线） 13. 如图，，点，，，在同一条直线上，若，，则的长是________． 14. 如图，在中，点是斜边的中点，，则________． 15. 如图，在的正方形网格中，A，B两点都是网格的格点，若是等腰三角形，且点C也是该网格的格点，则点C的个数是_______． 16. 如图，△中，，边的垂直平分线分别交于点，，垂足分别为点、，若△的周长为18，则边的长度是_______ ． 17. 如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且，则_____ ． 18. 如图，已知，，，，，则四边形的面积为_______． 三、解答题（本大题共9小题，共76分） 19. 已知的三边长分别为a，b，c． （1）若a，b，c满足，试判断的形状； （2）若，，且c为奇数，求c的值． 20. 如图，在中，，求证是等边三角形． 21. 如图，在中，，是的高，，求的度数． 22. 如图，，与相等吗？请在图中找出一对全等三角形，并说明理由． 23. 如图，在中，点在边上，，． （1）用尺规完成基本作图：在射线上作线段，使得，连接； （2）结合（1）所作的图形，求证．请完成下面的证明： 证明：， （_____①_____）． 在和中， ， ． _____③_____． ． 24. 如图，点在线段上，已知，，． （1）求证： （2）若，，求的长． 25. 如图，在中，点在边上，且，平分交于点，交于点． （1）与全等吗？请说明理由； （2）若，，，求的周长． 26. 如图，已知在中，，，是的中点，为的中点，求证：． 27. 已知：如图1，等边的边长为6，另一等腰与有公共边，且．现有两动点P、Q分别从B、O两点同时出发，点P以每秒4个单位的速度沿向点O运动，点Q以每秒3个单位的速度沿向点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．请回答下列问题： （1）在运动过程中，运动时间是t秒，的面积记为S，请用含有时间t的式子表示S．（不要求写t的取值范围） （2）在等边的边上是否存在点D（点A除外），使得为等腰三角形？如果存在，这样的点D共有 个． （3）如图2，现有，其两边分别与交于点M、N，连接．将绕着点C旋转，使得M、N始终在边和边上．试判断在这一过程中，的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $