精品解析：江苏盐城市四校联盟2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

2026/2027学年度第一学期 联盟校考试高二年级数学试题 （总分150分 考试时间120分钟） 注意事项: 1.本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分. 2.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上. 3.作答非选择题时必须用黑色字迹 0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用2B铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 下列直线方程纵截距为的选项为（ ） A. B. C. D. 2. 已知的顶点为，，，则BC边上的中线长为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 3. 以和为一条直径的两个端点的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 直线：和直线：互相平行，则的值为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 5. 设是一个随机试验中的两个事件，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. “圆”在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的月洞门.如图，某园林中的圆弧形月洞门高为，底面宽为，则该月洞门所在圆弧的半径为（ ） A. B. C. D. 8. 若既是的中点，又是直线与直线的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知直线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 若直线在轴上的截距为，则 C. 若直线与直线垂直，则 D. 若，则直线的倾斜角的取值范围为 10. 任意抛掷一枚骰子一次观察它向上一面的点数，得到样本空间为，若事件，事件，事件满足，下列结论中正确的是（ ） A. B. 事件，，两两独立 C. 当事件时， D. 当事件时，满足条件的事件有3个 11. 已知，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点与不重合），则以下说法正确的是（　　） A. B. 为定值 C. 的最大值为 D. 的最大值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 过点且倾斜角为的直线方程为___________． 13. 若方程表示圆，则实数的取值范围是______. 14. 已知，直线的方程为，直线的方程为，记，与两坐标轴围成的四边形的面积为S，则S的最小值为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知圆经过两点，且圆心在轴上. （1）求圆的方程； （2）求与圆关于直线对称的圆的方程. 16. 求满足下列条件的直线的一般式方程： （1）直线的一个方向向量是，且经过的交点； （2）与直线垂直，且点到直线的距离为. 17. 某超市在端午节举行猜粽子促销活动，活动分两个环节，基础环节：顾客需要在5个粽子内随机挑选两个粽子（其中有两个咸粽子和三个甜粽子），如果选中的两个粽子风味一致，那么可以领取一个粽子直接带回家；如果选中的两个粽子风味不一致，那么进入升级环节：从剩余3个粽子内再随机挑选一个粽子，如果选中的粽子是甜粽子，那么可以领取两个粽子带回家；如果选中的粽子是咸粽子，那么可以领取五个粽子带回家．已知每次挑选到每个粽子的可能性完全相等． （1）在基础环节中，求样本空间，并计算进入升级环节的概率； （2）求参加活动的顾客成功领取五个粽子的概率； （3）有两位顾客甲和乙独立参加活动，求恰有一人带走五个粽子的概率． 18. 已知圆的圆心为点，其在直线上，且与轴交于两点、． （1）求的面积； （2）求圆的标准方程； （3）已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 19. 已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为. （1）分别求顶点，的坐标； （2）求的面积； （3）若为直线：上的动点，求的最大值及此时点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026/2027学年度第一学期 联盟校考试高二年级数学试题 （总分150分 考试时间120分钟） 注意事项: 1.本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分. 2.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上. 3.作答非选择题时必须用黑色字迹 0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用2B铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 下列直线方程纵截距为的选项为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】纵截距就是令是的值，令每一个选项中的为0，解出y，最后选出符合题意的. 【详解】直线的纵截距为，直线的纵截距为，直线的纵截距为，直线的纵截距为. 故选：B. 2. 已知的顶点为，，，则BC边上的中线长为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出BC的中点D的坐标，利用两点间的距离公式求出BC边上的中线长. 【详解】设BC的中点为D， 因为，，所以, 所以BC边上的中线长. 故选：B 3. 以和为一条直径的两个端点的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出两点的中点坐标即为圆心，再求出两点间的距离即为直径，从而求出圆的方程. 【详解】和为一条直径的两个端点，两点的中点即为圆的圆心， 又两点间的距离，圆的半径为， 则所求圆的方程为，即. 故选：D. 4. 直线：和直线：互相平行，则的值为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两条直线一般式的平行条件列等式求出参数的可能值，再代入验证排除两直线重合的情况，最终得结果. 【详解】、平行，得： ， 整理：，解得或. 当时，，，两条直线完全重合，不符合平行要求，舍去； 当时，，，斜率均为1且截距不同，是平行直线，符合条件. 因此最终. 5. 设是一个随机试验中的两个事件，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用和事件的概率公式求出，然后利用求解即可. 【详解】因为，，所以， 又，所以， 所以. 故选：D. 6. 已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】通过对截距的取值是否为进行分类，分别设直线方程为和，代入点，即可求解. 【详解】设直线的横截距为，纵截距为，因为直线在两坐标轴上的截距相等，即， 当时，设直线的方程为， 又直线过点，所以，解得，所以直线的方程为； 当时，设直线的方程为，即， 又直线过点，所以，解得， 所以直线的方程为，即. 综上所述，过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为或. 故选：C 7. “圆”在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的月洞门.如图，某园林中的圆弧形月洞门高为，底面宽为，则该月洞门所在圆弧的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，求出圆的一般方程，求其半径长即可. 【详解】如下图所示，以线段的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 由题意可知、、， 设圆弧所在圆的方程为， 将、、三点的坐标代入圆的方程可得，解得， 所以圆弧所在圆的一般方程为，标准方程为， 故该圆的半径为. 故选：C. 8. 若既是的中点，又是直线与直线的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据条件求，再根据两点确定一条直线，求直线方程，根据垂直关系，即可求中垂线方程. 【详解】由条件可知，，， 且，两式相加得， 即，得， 点是直线和的交点，所以， 所以点满足直线，即直线方程为， ，与直线垂直的直线方程的斜率为， 所以中垂线方程为，整理为. 故选：A 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知直线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 若直线在轴上的截距为，则 C. 若直线与直线垂直，则 D. 若，则直线的倾斜角的取值范围为 【答案】AB 【解析】 【分析】求出直线过定点坐标即可判断A，将点坐标代入直线方程求解即可判断B，根据直线垂直的关系列式求解即可判断C，根据正切函数的单调性求解倾斜角范围判断D. 【详解】直线，令即，得， 所以直线恒过定点，故A正确； 若直线在轴上的截距为，则直线过点，代入直线方程得， 解得，故B正确； 若直线与直线垂直，则，解得，故C不正确； 设直线的倾斜角为，则， 又，所以由正切函数的单调性可知，故D不正确； 故选：AB 10. 任意抛掷一枚骰子一次观察它向上一面的点数，得到样本空间为，若事件，事件，事件满足，下列结论中正确的是（ ） A. B. 事件，，两两独立 C. 当事件时， D. 当事件时，满足条件的事件有3个 【答案】AC 【解析】 【分析】根据概率定义和独立性条件，分别计算验证AC即可，对于B，，故事件，不相互独立，故B错误，对于D，事件的样本点包含1不包含5，所以满足条件的事件有4个，故D错误. 【详解】对于A，由题意得，故A正确； 对于B，由题意得，，， 所以事件，不相互独立，故B错误； 对于C，当时，， 解得，故C正确； 对于D，当时，， 解得，即事件包含4个样本点， 并且必包含1，不包含5，再从剩下的2，3，4，6中选3个， 所以满足条件的事件分别是， 共4个，故D错误. 11. 已知，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点与不重合），则以下说法正确的是（　　） A. B. 为定值 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，将两直线的一般式化为点斜式，求出定点A,B，得到的绝对值；B选项，利用两直线斜率关系，证得，从而利用直角三角形三边关系求出为定值；C选项，用基本不等式，计算三角形面积最大值；D选项，引进角为变量，实质是通过三角换元，解决两个变量的最值问题. 【详解】列表解析 直观解疑惑 选项 正误 原因 A √ 因为可化为，所以直线恒过定点．又因为可化为，所以直线恒过定点．故． B √ 对于直线，因为，所以，可得，因此，为定值． C × ，当且仅当时等号成立（点拨 注意等号成立的条件是否满足），所以的最大值为． D √ 设，因为，所以为锐角，，所以，其中，所以当时，取得最大值． 故选：ABD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 过点且倾斜角为的直线方程为___________． 【答案】 【解析】 【详解】由于过的直线倾斜角为，即该直线垂直于轴， 所以其方程为． 13. 若方程表示圆，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】将方程化为圆的标准方程，从而可得实数的取值范围. 【详解】将方程配方，得， 因为方程表示圆，所以，得. 因此实数的取值范围是. 14. 已知，直线的方程为，直线的方程为，记，与两坐标轴围成的四边形的面积为S，则S的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】确定两直线经过的定点，求出直线与y轴的交点的坐标和直线与x轴的交点的坐标，进而表示出围成的四边形面积，结合二次函数的性质求得答案. 【详解】因为， 所以由， 因此直线恒过点，且该直线的斜率 所以由， 因此直线也恒过点，且该直线的， 设直线与纵轴的交点为，直线与横轴的交点为， 点为点， 所以，与两坐标轴围成的四边形为四边形， 如图所示： ， 当时，有最小值， 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题的关键是判断两直线所过的定点. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知圆经过两点，且圆心在轴上. （1）求圆的方程； （2）求与圆关于直线对称的圆的方程. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）设圆的一般方程将条件代入可得到方程组，解方程组即可；（2）根据点关于直线的对称关系求出对称圆的圆心，结合圆的标准方程即可求得. 【小问1详解】 依题意，因为圆心在轴上，所以设圆的方程为， 因为圆经过两点，所以，解得， 所以圆的方程为，即. 【小问2详解】 由（1）知，圆的圆心为，半径为； 设关于直线对称的点为， 则的中点为，直线的斜率为； 因为点关于直线对称，所以， 即，解得，所以， 所以与圆关于直线对称的圆的方程为. 16. 求满足下列条件的直线的一般式方程： （1）直线的一个方向向量是，且经过的交点； （2）与直线垂直，且点到直线的距离为. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】(1)根据直线方向向量，可求得直线斜率，联立直线方程，求交点，根据点斜式，可得答案； (2)由直线与垂直，可设直线一般式方程为，，再根据点到直线距离公式可求得直线方程. 【小问1详解】 根据直线方向向量，可求得直线斜率为， 联立，可求得， 根据点斜式可得，化简可得. 【小问2详解】 直线与直线垂直，可求得， 解之可求得，设直线的一般式方程为， ，根据点到直线距离公式，解之可得或， 所以直线的方程为或. 17. 某超市在端午节举行猜粽子促销活动，活动分两个环节，基础环节：顾客需要在5个粽子内随机挑选两个粽子（其中有两个咸粽子和三个甜粽子），如果选中的两个粽子风味一致，那么可以领取一个粽子直接带回家；如果选中的两个粽子风味不一致，那么进入升级环节：从剩余3个粽子内再随机挑选一个粽子，如果选中的粽子是甜粽子，那么可以领取两个粽子带回家；如果选中的粽子是咸粽子，那么可以领取五个粽子带回家．已知每次挑选到每个粽子的可能性完全相等． （1）在基础环节中，求样本空间，并计算进入升级环节的概率； （2）求参加活动的顾客成功领取五个粽子的概率； （3）有两位顾客甲和乙独立参加活动，求恰有一人带走五个粽子的概率． 【答案】（1）设五个粽子编号分别为1、2、3、4、5，其中1、2为咸粽子，样本空间； （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）列出全部样本空间与事件包含的基本事件，统计基本事件个数，直接套用古典概型公式计算取出两个风味不同粽子的概率； （2）顾客带走个粽子等价于第一问事件、事件同时发生，利用相互独立事件的概率乘法公式求出联合概率； （3）恰有一人带走个粽子拆解为 “甲成乙败、甲败乙成” 两个互斥事件之和，结合、相互独立，分别计算两部分概率再相加得到结果. 【小问1详解】 设五个粽子编号分别为1、2、3、4、5，其中1、2为咸粽子， 设事件“从包含两个咸粽子和三个甜粽子的五个粽子中随机挑选出两个粽子，两个粽子风味不同”，由题意得， 样本空间为， ， 所以，， 根据古典概型的计算公式， 得． 【小问2详解】 设事件“从包含一个咸粽子和两个甜粽子的三个粽子中随机挑选出一个粽子，是咸粽子”， 则， 事件“参加活动的顾客带走5个粽子”， 根据题意可得， 所以参加活动的顾客成功领取五个粽子的概率为． 【小问3详解】 事件“甲带走5个粽子”，事件“乙带走5个粽子”， 事件“恰有一人带走五个粽子”， 根据题意可得， ， 因为， 由已知，相互独立，所以，相互独立，，也相互独立． 所以 ． 故甲、乙两人恰有一人带走五个粽子的概率为． 18. 已知圆的圆心为点，其在直线上，且与轴交于两点、． （1）求的面积； （2）求圆的标准方程； （3）已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出线段的中垂线方程，分析可知点为直线与线段中垂线的交点，联立两直线方程，可得出点的坐标，即可求得的面积； （2）求出圆的半径，即可得出圆的标准方程； （3）设点、，利用中点坐标公式得出，再将点的坐标代入圆的方程，化简可得出点的轨迹方程. 【小问1详解】 因为、，所以线段的中垂线方程为， 易知点为直线与直线的交点， 联立得，故点，故. 【小问2详解】 由（1）可知圆的半径为， 故圆的标准方程为. 【小问3详解】 设点、，由线段中点坐标公式可得，所以， 因为点在圆上，所以，化简得. 故点的轨迹方程为. 19. 已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为. （1）分别求顶点，的坐标； （2）求的面积； （3）若为直线：上的动点，求的最大值及此时点的坐标. 【答案】（1）， （2）39 （3）， 【解析】 【分析】(1)根据点在直线上，结合中点坐标公式与斜率关系，即可联立方程求解， （2）根据两点距离公式以及点到直线的距离公式求解底边长和高，即可由面积公式求解， （3）求解点关于直线的对称点，结合三角形的三边关系即可求解最值，进而联立方程求解交点坐标. 【小问1详解】 设.因为边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为， 所以解得即点的坐标为. 设.因为边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为， 所以解得即点的坐标为. 【小问2详解】 因为，，所以. 因为边所在直线的方程为，即， 所以点到边的距离为，即边上的高为 故的面积为. 【小问3详解】 设点关于直线的对称点为， 则解得即. 因为，所以当，，三点共线时，取得最大值，所以的最大值为. 由，，可得直线的方程为，即 由解得即当取得最大值时，点的坐标为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $