精品解析：江苏省盐城市五校联盟2025-2026学年高二上学期10月联考数学试题

2025/2026学年度第一学期 联盟校第一次联考高二年级数学试题 （总分150分 考试时间120分钟） 2025.10 注意事项： 1．本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分． 2．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上． 3．作答非选择题时必须用黑色字迹 0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用2B铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1. 若直线的倾斜角的大小为，则实数（ ） A. B. C. D. 2 若直线：与直线：平行，则＝（ ） A. B. 或3 C. D. 3 3. 若直线被圆截得的弦长为4，则（ ） A. B. C. 2 D. 4. 已知点，若直线与线段AB相交，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 5. “”是“直线与曲线恰有1个公共点”的（     ）条件． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 7. 与圆相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有（ ） A. 2条 B. 3条 C. 4条 D. 6条 8. 设，圆．若动直线与圆M交于点A，C，动直线与圆M交于点B，D，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，则下列结论正确的是（ ） A. 直线可能与轴垂直 B. 当时，直线的倾斜角为 C. 当时，直线与直线AB平行 D. 当时，直线与直线AB垂直 10. 下列说法中正确的有（ ） A. 若三条直线不能构成三角形，则实数所有可能的取值组成的集合为 B. 若直线沿轴向左平移个单位长度，再沿轴向上平移个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为 C. 若圆上恰有2个点到直线的距离等于，则r的取值范围是 D. 已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则四边形面积最小值为4 11. 一般称具有某性质的所有直线的全体为一个直线系.例如，与直线平行的直线系可表示为：.设直线系：，则（ ） A. 点到中任意一条直线的距离为定值 B. 存定点不在中任意一条直线上 C. 点到中所有直线距离的最大值为5 D. 对任意的整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知斜率为，且在x轴上的截距为3的直线方程为______． 13. 已知圆C经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆C的标准方程为______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，已知圆上恰有3个点到直线的距离为．设点，，点Q是圆O上的任意一点，过点B作于M，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知坐标平面内两点． （1）当直线MN的斜率不存在时，求的值； （2）当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围． 16. 在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为． （1）若边上的高所在的直线方程为，求直线的方程； （2）若平分线所在的直线方程为，求边所在的直线方程． 17. 直线l过原点且与圆交于A，B两点． （1）过点作圆C的切线，求切线方程； （2）求弦AB的中点M到直线距离的最大值． 18. 过点的直线分别交与于、两点． （1）若点P恰好是A，B的中点，求直线的方程； （2）过点P的直线m分别交轴的正半轴和轴的负半轴于M，N两点，当取最小值时，求直线m的方程； 19. 在平面直角坐标系中，已知为三个不同的定点.以原点为圆心的圆与线段都相切. （1）求圆的方程及的值； （2）若直线与圆相交于两点且，求值； （3）在直线上是否存在异于的定点，使得对圆上任意一点，都有（为常数）？若存在，求出点的坐标及的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025/2026学年度第一学期 联盟校第一次联考高二年级数学试题 （总分150分 考试时间120分钟） 2025.10 注意事项： 1．本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分． 2．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上． 3．作答非选择题时必须用黑色字迹 0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用2B铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1. 若直线的倾斜角的大小为，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线方程及其倾斜角，结合斜率与倾斜角关系列方程求参数值. 【详解】由题意知直线存在斜率为，则，可得. 故选：D 2. 若直线：与直线：平行，则＝（ ） A. B. 或3 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行，系数满足的关系求的值即可. 【详解】因为两直线平行，所以： ， 所以或. 故选：B 3. 若直线被圆截得的弦长为4，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知，利用点到直线距离公式及圆的弦长公式列方程求参数即可. 【详解】由题设，圆心，半径为，则到的距离， 由直线与圆相交所得弦长为4，则，即，所以. 故选：D 4. 已知点，若直线与线段AB相交，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线恒过定点且斜率为，数形结合确定直线与线段AB相交情况下参数的范围. 【详解】由题设，恒过点且斜率为，如下图示， 所以，， 由图知，要使直线与线段有交点，则或，故或. 故选：C 5. “”是“直线与曲线恰有1个公共点”的（     ）条件． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由表示圆上半部分，数形结合求出临界情况下的直线，进而确定参数范围，最后由充分、必要性的定义得结论. 【详解】由表示圆上半部分，且圆心为，半径为2，如下图示， 由图知，当直线与半圆左上部分相切或与轴的交点在线段上（不含点），满足题设， 当直线与圆左上部分相切时，，可得， 当直线过点时，即，直线过点时，即， 综上，满足条件的， 所以“”是“直线与曲线恰有1个公共点”的充分不必要条件. 故选：A 6. 著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将转化成到点的距离与到点的距离之差，再结合和两点间的距离公式进行求解． 【详解】由， 可转化成轴上一点到点的距离与到点的距离之差， 则（当且仅当三点共线时取等号）， 所以的最大值为． 故选：D 7. 与圆相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有（ ） A. 2条 B. 3条 C. 4条 D. 6条 【答案】B 【解析】 【分析】首先排除坐标轴不为切线，再讨论截距是否为0，设出直线方程，并联立圆的方程得到一元二次方程，根据判别式为0求参数值，即可得切线条数. 【详解】由的圆心为，半径为，显然坐标轴不可能是切线， 若截距为0，则直线为，代入圆中得， 所以，则，可得， 故对应有2条切线，分别为； 若截距不为0，设直线为，代入圆中得， 所以，则， 整理得，可得（舍）或，故切线为； 综上，共有切线为、，共3条. 故选：B 8. 设，圆．若动直线与圆M交于点A，C，动直线与圆M交于点B，D，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知有、均恒过点，且，令，则，结合圆的弦长求法有，再应用基本不等式求其最大值，注意取值条件. 【详解】由，圆心，半径， 、均恒过点， 由知，且，即在圆内，如下图示， 所以，设分别是的中点，则， 令，则， 所以，， 所以， 当且仅当，即时取等号，故最大值为. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，则下列结论正确的是（ ） A. 直线可能与轴垂直 B. 当时，直线的倾斜角为 C. 当时，直线与直线AB平行 D. 当时，直线与直线AB垂直 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，根据与轴垂直直线的方程，利用赋值法，可得其正误；对于B，根据直线一般式方程以及倾斜角与斜率的关系，可得其正误；对于C，根据已知点的坐标以及两点式方程，整理直线的一般式方程，可得其正误；对于D，根据两直线的一般式方程，结合垂直直线的判定，可得其正误. 【详解】对于A，当时，直线，此时该直线与轴垂直，故A正确； 对于B，当时，直线的斜率为， 由，则该直线的倾斜角为，故B正确； 对于C，当时，直线， 由，则直线，化简可得， 显然两条直线重合，故C错误； 对于D，当时，直线，由直线， 且，则两直线不垂直，故D错误. 故选：AB. 10. 下列说法中正确的有（ ） A. 若三条直线不能构成三角形，则实数所有可能的取值组成的集合为 B. 若直线沿轴向左平移个单位长度，再沿轴向上平移个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为 C. 若圆上恰有2个点到直线的距离等于，则r的取值范围是 D. 已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则四边形面积最小值为4 【答案】BCD 【解析】 【分析】当三条直线交于一点时，，可判断A；设直线方程为，从而得到平移后的解析式，从而可判断B；计算圆心到直线的距离，根据题意列不等式计算得，可判断C，根据对称性得，当最小时，计算可得，可判断D. 【详解】对于A，当直线，平行时，解得， 当直线，平行时，解得， 显然直线，交于点， 当点在直线时，， 实数的取值集合为，故 A错误； 对于B，当直线的斜率不存在时，不满足要求， 当斜率存在时，设直线方程为， 沿轴向左平移个单位长度，再沿轴向上平移个单位长度后， 得到，即，故，解得， 则该直线的斜率为，故B正确； 对于C，圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 要使圆上恰有2个点到直线的距离等于， 则，解得，故C正确； 对于D，圆的圆心为，半径， 设四边形的面积为， 根据对称性可知，， 因为， 所以当最小时， 最小，也最小， 当垂直于直线时，最小，即， 此时，，故D正确. 故选：BCD 11. 一般称具有某性质的所有直线的全体为一个直线系.例如，与直线平行的直线系可表示为：.设直线系：，则（ ） A. 点到中任意一条直线的距离为定值 B. 存在定点不在中任意一条直线上 C. 点到中所有直线距离的最大值为5 D. 对任意的整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式可判断A；找出符合题意的点即可判断B；根据直线系L表示几何意义结合圆的限制即可判断C；说明存在符合题意的正三角形即可判断D. 【详解】对于A，直线系：即：， 点到中任意一条直线的距离为，为定值，A正确； 对于B，由于点到中任意一条直线的距离为1， 可知直线系L表示的圆的所有切线， 故存在定点P，例如圆内的点，不在直线中任意一条直线上，B正确； 对于C，由于直线系L表示的圆的所有切线，其圆心为，半径为1， 而，则，故点到中所有直线距离的最大值为，C错误； 对于D，例如，圆是一个正三角形的内切圆， 即正三角形的三边分别为圆的切线， 而直线系L表示圆的所有切线， 故该正三角形的三边均在中的直线上，D正确， 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知斜率为，且在x轴上的截距为3的直线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用直线的斜截式方程求解. 【详解】因为直线的斜率为，且在x轴上的截距为3， 所以直线的方程为， 故答案为： 13. 已知圆C经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆C的标准方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知，应用点斜式写出的垂直平分线，联立已知直线求圆心坐标，进而得半径，即可得标准方程. 【详解】由原点与的中点坐标为，且，则垂直于的直线斜率为， 所以的垂直平分线为，即， 联立，可得，则圆心，半径为， 所以，所求圆的标准方程为. 故答案为： 14. 如图，在平面直角坐标系中，已知圆上恰有3个点到直线的距离为．设点，，点Q是圆O上的任意一点，过点B作于M，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据已知求得，设，则，在中，根据余弦定理得，再由，应用基本不等式求最小值. 【详解】因为圆心到直线的距离， 又圆上恰有3个点到直线的距离为， 所以，即， 设，则， 在中，， 即， 又 ， 当，即时取等. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知坐标平面内两点． （1）当直线MN的斜率不存在时，求的值； （2）当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围． 【答案】（1） （2）答案见详解 【解析】 【分析】（1）根据斜率不存在时横坐标相等列方程，即可求参数； （2）由倾斜角为锐角、钝角时对应斜率的符号列不等式求参数范围. 【小问1详解】 直线MN的斜率不存在时，点的横坐标相等， 即，解得； 【小问2详解】 直线MN的倾斜角为锐角时，斜率， 即，解得； 直线MN的倾斜角为钝角时，斜率， 即，解得或； 综上可得，直线MN倾斜角为锐角时，的取值范围为：； 直线MN的倾斜角为钝角时，的取值范围为．. 16. 在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为． （1）若边上的高所在的直线方程为，求直线的方程； （2）若的平分线所在的直线方程为，求边所在的直线方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由求得，由点斜式求得直线的方程； （2）设点，得线段的中点的坐标，将其代入直线的方程，将点代入直线的方程，分别可得的方程，求解得坐标，求出点关于直线对称点，由三点共线求出，进而可得直线的方程． 【小问1详解】 ∵直线的方程为，其斜率为， ∵，∴，又， ∴由点斜式得直线方程为，即. 【小问2详解】 设点，则线段的中点为， 将其代入所在直线方程中，得， 将点代入所在的直线方程中，得， 解得，即， 设点关于直线对称点为， 则，得，即， 因三点共线，则， 所以直线所在的直线方程为，即． 17. 直线l过原点且与圆交于A，B两点． （1）过点作圆C的切线，求切线方程； （2）求弦AB的中点M到直线距离的最大值． 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）讨论切线斜率的存在性，设出直线方程，结合圆心与切线距离等于半径列方程求参数，即可得切线方程； （2）由题设易知，设，并利用向量垂直的坐标表示列方程求出的轨迹，再应用点线距离求点M到直线距离的最大值. 【小问1详解】 由题知，圆心，半径，且，故在圆外， 当直线斜率不存在时，直线方程为，满足题意； 当直线斜率存在时，设切线方程为，即； 圆心到直线的距离，整理得，解得， 所以切线方程为或； 【小问2详解】 设，圆心， 因为是弦的中点，所以，又直线l过原点O， 所以，， ，整理得， 所以的轨迹是圆心为，半径为的圆，则到直线的距离， 所以点M到直线的最大值为. 18. 过点的直线分别交与于、两点． （1）若点P恰好是A，B的中点，求直线的方程； （2）过点P的直线m分别交轴的正半轴和轴的负半轴于M，N两点，当取最小值时，求直线m的方程； 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）设，利用中点公式求参数，进而确定的坐标，最后应用点斜式写出直线方程； （2）设直线m的方程为，根据已知有，再应用“1”的代换及基本不等式求的最小值，确定取值条件，即可得. 【小问1详解】 设，点是A，B的中点， ∴ ，可得， ∴，则， ∴直线的方程为，即； 【小问2详解】 设直线m的方程为， ∵直线m过点，则， ， ∴当，即时取等号，则直线m的方程为. 19. 在平面直角坐标系中，已知为三个不同的定点.以原点为圆心的圆与线段都相切. （1）求圆的方程及的值； （2）若直线与圆相交于两点且，求的值； （3）在直线上是否存在异于的定点，使得对圆上任意一点，都有（为常数）？若存在，求出点的坐标及的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）圆，， （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）因为、已知，所以通过到的距离求半径，即可得到圆的方程，再根据半径求点坐标，注意到点坐标的特殊性，这条直线是垂直于轴的． （2）将、点坐标设出来，数量积坐标化，将直线方程与圆的方程联立，韦达定理代入即可求解． （3）假设、的坐标，根据两点距离公式与建立等式，再根据A、P分别满足直线和圆的方程化简等式，最后根据等式恒成立的条件求解. 【小问1详解】 因为， 因为圆与相切，所以半径等于到的距离． 又直线，所以圆的半径，所以圆． 圆与相切，又过点与圆相切的直线有或， 所以直线，所以．即， 所以直线， 又到距离为，所以，解得或（舍）， 所以． 【小问2详解】 设，，则. 由，可得， ，解得. 所以，， 故. 所以，所以. 故. 【小问3详解】 设. 则，. 若在直线上存在异于的定点，使得对圆上任意一点， 都有为常数, 等价于对圆上任意点恒成立. 即. 整理得. 因为点在直线上，所以. 由于在圆上，所以. 故对任意恒成立. 所以显然，所以. 故， 因为，解得或. 当时，，此时重合，舍去 当时，， 综上，存在满足条件的定点，此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $