精品解析：河北廊坊三河市燕郊润德高级中学2026-2027学年高三上学期第一次月考数学试题

润德高中2026~2027学年度上学期高三年级 第一次月考数学试题 命题人：张颖 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由全集，且，可得， 因为集合，所以. 2. 已知函数为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】函数的定义域为. 因为函数为奇函数，所以，即，得. 当时，， ，. 所以函数为奇函数. 所以. 3. “函数的图象关于中心对称”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出与的对称中心，比较两个中心关系. 【详解】的对称中心为，的对称中心为，的对称中心不一定为的对称中心；的对称中心一定为的对称中心. 故选：B． 4. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式结合正弦定理角化边可得，利用余弦定理即可求得答案. 【详解】中，， 则， 由正弦定理可得， 所以， 则, 由于，故, 故选：C 5. 已知，则三者大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对利用换底公式进行变换，可比较出与的大小，再将和与进行比较，从而得出答案. 【详解】，而， 所以，即， ， 而，所以， 综上：. 6. 若函数在区间上恰有条对称轴，则正整数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用转化与化归的思想，将函数化归为函数，结合函数的图象即可解决问题． 【详解】 因为且，所以，即， 因为函数在区间上恰有条对称轴，由函数的图象可知，化简得， 所以正整数的取值集合为． 7. 设函数满足，，则时，（ ） A. 有极大值，无极小值 B. 有极小值，无极大值 C. 既有极大值又有极小值 D. 既无极大值也无极小值 【答案】B 【解析】 【分析】先利用导数的运算法则，确定的解析式，构造新函数，确定函数的单调性即可求出结论． 【详解】解：由，即， 结合，可知， ， 可知此函数仅有一个极值点，是极小值点，没有极大值． 故选：B 【点睛】本题考查导数知识的应用，考查函数的单调性与极值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 8. 已知函数，不等式对任意的恒成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用的单调性和奇偶性，转化不等式为在恒成立，再构造函数，利用导数研究其最小值，即可求得的范围，从而求得其最大值. 【详解】，定义域为，且， 所以是奇函数. 又，且，， 所以恒成立. 所以在上单调递增. 因为， 所以，即. 所以，即在恒成立； 令，则； 令，则， 所以在单调递增. 又， 所以存在，使得，即. 则当，，故，此时单调递减； 当，，故，此时单调递增. 所以当时，取得最小值. 又，两边取对数可得，也即； 所以的最小值. 所以，则的最大值为. 【点睛】处理本题的关键，一是熟练掌握利用函数单调性和奇偶性求解不等式的方法；二是熟练掌握利用导数求函数最小值的问题，尤其是本题中涉及隐零点的处理，属综合困难题. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数的图象关于点中心对称 D. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，由周期公式验算即可；对于BC，由代入检验法即可判断；对于D，由平移变换法则验算即可. 【详解】对于A，函数的最小正周期为，故A正确； 对于B，，故函数的图象不关于直线对称，故B错误； 对于C，，故函数的图象关于点中心对称，故C正确； 对于D，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，故D错误. 故选：AC. 10. 的内角，，对边分别为，，，若，，的面积为，则（ ） A. B. C. 当时， D. 当时， 【答案】ABC 【解析】 【分析】由正弦定理，边角互化，得出，判断选项A；利用诱导公式判断选项B，根据余弦定理判断选项C，由面积公式确定选项D. 【详解】因为，， ， ，， 所以，则，选项A正确； ， ，选项B正确； 当时，，选项C正确； 当时，，， 或，选项D错误. 11. 函数是定义域为的奇函数，当时，，下列结论正确的有（ ） A. 当时， B. 方程有3个不等实根 C. 函数有最大值 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】运用奇函数的定义可得时的解析式，可判断A；令，求出所对应的方程的解，即可判断；利用导数判断函数的单调性求出函数的极值，即可判断；由的值域可判断． 【详解】对于A，函数为定义在上的奇函数， 当时，，，故A正确； 对于B，当时，，解得，时，，解得， 又，所以有和0三个零点，故B正确； 对于C，当时，，，当时，，递减， 时，，递增， ∴时，有极小值，时，，，， 由是奇函数，∴时，有极大值， 又，所以的值域是，故C错误； 对于D，由C的讨论知，因此对任意的实数有，， ∴，即，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，过点作曲线的切线，则的方程为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义设切点坐标，利用导数求切线斜率，从而可得切线方程表达式，利用切线过点，解出，即可求得切线方程. 【详解】解：由题意可设切点坐标为，因为，所以，所以切线的斜率， 则的方程为，又点在切线上，所以 解得，所以切线方程为：，即. 故答案为：. 13. 已知，，则_________． 【答案】 【解析】 【详解】可知， 因为，可知，因为，所以， 所以，所以， 可知. 14. 如图，已知，在函数的部分图象中，其图象上的点是同一直线上的三点，且该直线与轴交于点，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，，，且，，结合已知条件，进而得到、、，即可求解. 【详解】因为， 点是图象上的同一直线上的三点，直线与轴交于点， 两点关于点对称.，两点关于点对称.， 设，，，，且，， 所以①，则， 所以，故或， 若，即是的一个零点，不符合题意， 所以，则，而， 所以，结合①有，所以， 而，所以，， 所以，， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的一个极值点为2． （1）求的值； （2）求函数在区间上的最值． 【答案】（1） （2）最小值，最大值 【解析】 【分析】（1）对求导，根据一个极值点为2可知，即可求解； （2）利用导函数判断的单调性，结合区间求得最值. 【小问1详解】 因为，所以， 因为的一个极值点为2， 所以，解得. 【小问2详解】 由（1），， 则， 令，得或， 令，得；令，得或， 所以在上为增函数，在上为减函数， 所以是函数的极大值点，又，，， 所以函数在区间上的最小值为，最大值为. 16. 函数的最小正周期为，． （1）求； （2）当时，求的值域； （3）求关于x的不等式的解集． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式将化简为余弦型函数后利用余弦型函数最小正周期求； （2）根据先求得范围，再利用余弦函数图象求值域即可； （3）将先化简为余弦型函数再解不等式. 【小问1详解】 ． 由函数的最小正周期为，得，解得． 【小问2详解】 由（1）知， 因为，所以， 所以，所以， 所以函数的值域为． 【小问3详解】 由（1）知， 因为，所以， 所以，，得，， 所以该不等式的解集为，． 17. 已知． （1）若在上单调递增，求参数的取值范围； （2）讨论函数的单调性； （3）若在上既存在极小值点，又存在零点，求参数的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 （3） 【解析】 【分析】（1）求函数的导函数，将在上单调递增，转化为在恒成立，分离参数，根据二次函数在给定区间上的最值求法，求得参数的取值范围； （2）分和两种情况，利用导数分析函数的单调性； （3）结合（2）的结论分析的极小值点，并根据极小值小于零，列出相应的不等式，求参数的取值范围． 【小问1详解】 ∵，定义域为， ∴. 又∵在上单调递增，∴在恒成立， 即得在恒成立. 所以. 【小问2详解】 由题得； ①若，则，此时在上单调递增； ②若，令舍去） 当时，，当时， 则在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 因为，所以， ①若，则，此时在上单调递增，不存在极小值点，与题设矛盾，故舍去； ②若，令舍去）， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增 因为在上存在极小值点，所以，解得 又因为在上存在零点，且 ，当时， 所以，即，解得， 综上，参数的取值范围为. 18. 在中，角的对边分别为，已知 （1）求证：； （2）若是锐角三角形，求的取值范围． 【答案】（1） 由余弦定理， 代入得，则， 由正弦定理得 所以， 所以, 得 由知，故， 所以或（舍去） 所以 （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理将角化边，再结合余弦定理得到，再利用正弦定理将边化角得到，即可得到，从而得证； （2）解法1：由（1）可知，再根据三角形为锐角三角形，得到角的取值范围，则，即可求出的取值范围；解法二： 利用，边化角可求其范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解法1：，由得， 所以， . ， 由，得，， 所以， 所以，即； 解法2：由得， 因为，所以，得， 所以，即， 所以. 19. 定义：表示不超过的最大整数，如，．已知函数，，其中． （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）若在上恒成立，求的取值范围； （3）写出的定义域，并证明：当时，对于，恒有． 【答案】（1） （2） （3）由题意，则，解得， 则函数的定义域，． 当时，函数在上单调递增， 所以，则． 又，所以； 当时，可知函数在上单调递增， 由， 可得，即函数在上单调递增， 所以函数在上不减， 则当时，． 因为，所以， 所以，所以． 综上，当时，对于，恒有． 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义先求切线的斜率，再写出切线方程； （2）由恒成立转化为在上恒成立，求导，分，两种情况分析函数的单调性，确定的取值范围； （3）先求出定义域，分，两段讨论参数，分析函数的单调性，得到的取值范围. 【小问1详解】 当时，，则，，所以， 所以曲线在处的切线方程为． 【小问2详解】 若，则在上恒成立． ． 当时，在上恒成立， 则函数在上单调递增． 当时，，符合题意； 当时，可知函数在上单调递减，在上单调递增， 则在上的最小值为． 设，，所以在上单调递减， 所以，，不符合题意． 综上，的取值范围为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 润德高中2026~2027学年度上学期高三年级 第一次月考数学试题 命题人：张颖 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 3. “函数的图象关于中心对称”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则三者大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数在区间上恰有条对称轴，则正整数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 7. 设函数满足，，则时，（ ） A. 有极大值，无极小值 B. 有极小值，无极大值 C. 既有极大值又有极小值 D. 既无极大值也无极小值 8. 已知函数，不等式对任意的恒成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数的图象关于点中心对称 D. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象 10. 的内角，，对边分别为，，，若，，的面积为，则（ ） A. B. C. 当时， D. 当时， 11. 函数是定义域为的奇函数，当时，，下列结论正确的有（ ） A. 当时， B. 方程有3个不等实根 C. 函数有最大值 D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，过点作曲线的切线，则的方程为___________. 13. 已知，，则_________． 14. 如图，已知，在函数的部分图象中，其图象上的点是同一直线上的三点，且该直线与轴交于点，若，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的一个极值点为2． （1）求的值； （2）求函数在区间上的最值． 16. 函数的最小正周期为，． （1）求； （2）当时，求的值域； （3）求关于x的不等式的解集． 17. 已知． （1）若在上单调递增，求参数的取值范围； （2）讨论函数的单调性； （3）若在上既存在极小值点，又存在零点，求参数的取值范围． 18. 在中，角的对边分别为，已知 （1）求证：； （2）若是锐角三角形，求的取值范围． 19. 定义：表示不超过的最大整数，如，．已知函数，，其中． （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）若在上恒成立，求的取值范围； （3）写出的定义域，并证明：当时，对于，恒有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $