专题04 旋转全章6考点5重难题型（期中复习讲义）九年级数学上学期新教材人教版

专题04 旋转 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 图形的旋转 考点二 旋转作图 考点三 中心对称 考点四 中心对称图形 考点五 关于原点对称的点的坐标 考点六 图案设计 05 重难题型突破 题型一 旋转性质与旋转角计算 题型二 中心对称与中心对称图形识别 题型三 关于原点对称的点的坐标 题型四 旋转作图 题型五 旋转与全等综合 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 核心考点 常考题型 常见分值 难度 命题频率 旋转的概念与三要素 选择、填空 2～3分 基础 高频 旋转的性质（保距、等角、全等） 选择、填空、解答 3～6分 基础—中档 高频 旋转作图 解答题 6～8分 中档 高频 中心对称及其性质 选择、填空 2～4分 基础 较高 中心对称图形识别 选择题 2～3分 基础 高频 关于原点对称的点的坐标 选择、填空 2～3分 基础 高频 旋转与全等综合（手拉手模型） 解答题、压轴题 4～8分 中档—较难 中频 图案设计（图形变换综合） 解答题 3～6分 中档 中频 识记 1.记住旋转的概念与三要素，三条性质，中心对称与中心对称图形的定义，关于原点对称的点的坐标规律，常见中心对称图形 理解 1.理解中心对称是旋转180°的特殊情形，中心对称与中心对称图形的联系与区别，旋转角的概念，三种对称坐标规律的差异，旋转作图依据 应用 能完成旋转作图与中心对称作图，求旋转角、对应点与坐标，运用旋转证明线段相等、角相等，进行图案设计 考点一 图形的旋转 旋转的定义：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度的图形变换，叫做图形的旋转。点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。 旋转的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角。三者缺一不可，确定一次旋转必须同时指明中心、方向与角度。 旋转角：对应点与旋转中心连线的夹角，如。 旋转的三条性质： ① 对应点到旋转中心的距离相等，即、； ② 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即； ③ 旋转前后的图形全等，即。 上述性质可概括为“保距离、保夹角、保全等”，即旋转只改变图形的位置，不改变其形状与大小。 ⚠️概念辨析 辨析1：旋转与平移、轴对称一样，都是“保距变换”，变换前后图形全等；区别在于旋转围绕一个定点转动，平移沿方向移动，轴对称沿直线翻折。 辨析2：旋转中心可以位于图形内部、外部或图形上（如绕顶点旋转）。旋转中心不同，旋转效果不同。 辨析3：旋转角不一定是特殊角。旋转角只取决于“对应点与旋转中心连线”的夹角，与图形边的大小无关。 ⚠️记忆口诀 旋转三要素：中心方向角度齐，缺一不可别忘记。 旋转性质：对应点连中心，距离相等有保证；夹角就是旋转角，前后图形全等牢。 ⚠️易混易错 易错1：漏写旋转方向。写“绕点O旋转60°”不严谨，应写“绕点O顺时针（或逆时针）旋转60°”。 易错2：旋转角与图形内角混淆。图形内角是图形自身的角，旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角，两者含义不同。 ⚠️避坑指南 ❌ 避坑1：找旋转角时，必须连接“对应点与旋转中心”，取两条连线的夹角，不能误把图形任意两条边的夹角当旋转角。 ❌ 避坑2：描述旋转必须“三要素齐全”，漏说旋转方向（顺时针/逆时针）或旋转角都算表述不完整。 ❌ 避坑3：旋转中心不一定是图形上的点，作图和证明时先在图中标出旋转中心，再连对应点。 考点二 旋转作图 作图步骤（四步）： 第一步（连）：连接图形的关键点与旋转中心； 第二步（定）：确定旋转方向与旋转角； 第三步（转截）：把每个关键点绕旋转中心按方向转动指定角，并截取与旋转中心距离相等的对应点； 第四步（连）：按原图形的顺序连接各对应点，标注字母，得到旋转后的图形。 作图依据是旋转的性质：对应点到旋转中心距离相等、对应点连线夹角等于旋转角。 ⚠️概念辨析 辨析：旋转中心在图形内部、外部或顶点上时，作图方法相同，只是旋转中心位置不同。若旋转中心在顶点上，该顶点对应的对应点即它本身（不动点）。 ⚠️记忆口诀 旋转作图：一连二定三转截，最后顺序连成图；关键点找全，方向角度不糊涂。 ⚠️易混易错 易错1：把旋转中心当旋转后图形的一个顶点，导致图形位置偏移。 易错2：只旋转一个关键点而漏掉其余顶点，得到的图形不完整。 ⚠️避坑指南 ❌ 避坑1：关键点要找全，尤其要包含图形的所有顶点；漏一个点，作图就错。 ❌ 避坑2：用圆规或量角器保证“等距+定角”，不能用目测估画。 ❌ 避坑3：旋转方向反了，图形位置就错，作完要检验对应点与旋转中心连线夹角是否等于旋转角。 考点三 中心对称 中心对称的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称（或中心对称），这个点叫做对称中心。 中心对称的性质： ① 成中心对称的两个图形中，对应点所连线段都经过对称中心，且被对称中心平分，即、点O为； ② 成中心对称的两个图形全等。 中心对称是旋转角为180°的特殊旋转，因此旋转的性质对中心对称同样成立。 ⚠️概念辨析 辨析1：中心对称描述的是两个图形之间的位置关系——一个图形绕点旋转180°后能与另一个图形重合 辨析2：中心对称的对称中心是“对应点连线的中点”，这一性质是证明某点为对称中心、或找对称中心的关键。 ⚠️记忆口诀 中心对称：绕点转半圈（180°），两图形能重合；对应点连成线，对称中心在中间（中点）。 ⚠️易混易错 易错1：误把旋转180°写成旋转90°或其它角。 易错2：说“两个图形中心对称”时，忘记指出对称中心或对应点。 ⚠️避坑指南 ❌ 避坑1：中心对称必须旋转180°，不是任意角度。 ❌ 避坑2：找对称中心时，连接一对对应点，取线段中点即可，不必找出所有对应点。 ❌ 避坑3：中心对称强调“两个图形”，叙述时不要与“中心对称图形”混为一谈。 考点四 中心对称图形 中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。 常见中心对称图形：线段、平行四边形（含矩形、菱形、正方形）、圆、正偶数边形（正2n边形）、偶数角星形等。 不是中心对称图形的例子：等边三角形、等腰三角形（非等边）、正五边形、正奇数边形、一般梯形、角等。 ⚠️概念辨析 辨析1：中心对称是“两个图形”之间的关系；中心对称图形是“一个图形”自身的性质。 辨析2：联系——若把成中心对称的两个图形看成一个整体，则这个整体是中心对称图形；反之，中心对称图形可看作由关于对称中心对称的两部分拼合而成。 辨析3：一个图形可以同时既是轴对称图形又是中心对称图形（如线段、矩形、菱形、正方形、圆），也可以只具备其一或都不具备。 ⚠️记忆口诀 中心对称图形：绕点转半圈，还能回自己；线段平四圆，正偶边形记心间。 ⚠️易混易错 易错1：把“中心对称”与“中心对称图形”两个概念混淆，答题时表述张冠李戴。 易错2：误判等边三角形、正五边形为中心对称图形。 ⚠️避坑指南 ❌ 避坑1：判断中心对称图形时，绕对称中心转180°后要与“自身”重合，不是与另一图形重合。 ❌ 避坑2：等边三角形是轴对称图形但不是中心对称图形，勿混淆两类对称。 ❌ 避坑3：正偶数边形是中心对称图形，正奇数边形不是，判断时数清边数。 考点五 关于原点对称的点的坐标 坐标规律：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点为（横、纵坐标都互为相反数）。 三种对称对比（重要）： 对称方式 坐标变化 记忆要点 关于原点对称 横、纵坐标都变号 关于x轴对称 横坐标不变，纵坐标变号 关于y轴对称 纵坐标不变，横坐标变号 中点坐标公式：若、，则线段AB中点M的坐标为。 ⚠️概念辨析 辨析1：关于原点对称与关于x轴、y轴对称的区别只在于“哪个坐标变号”。原点对称横纵坐标都变，x轴对称只变纵坐标，y轴对称只变横坐标。 辨析2：中心对称的坐标本质——若两图形关于原点对称，则对应顶点坐标互为相反数；若对称中心是其他点，则需用中点公式推求。 ⚠️记忆口诀 坐标规律：关于原点都变号，关于x轴纵变号，关于y轴横变号，中点坐标一半和。 ⚠️易混易错 易错1：把关于原点对称写成只变一个坐标。 易错2：中点坐标公式中分子相加后忘记除以2。 ⚠️避坑指南 ❌ 避坑1：变号是“取相反数”，不是简单的负号叠加，如点(2,-3)关于原点对称应为(-2,3)。 ❌ 避坑2：分清是关于原点、关于x轴还是关于y轴对称，先看清条件再变号。 ❌ 避坑3：用中点公式时，对应坐标要相加后取一半，勿误用两坐标相减。 考点六 图案设计 设计思路：图案设计是综合运用平移、轴对称、旋转三种图形变换进行图形创作。一般先确定一个基本图形，再通过平移、翻折、旋转的组合变换，得到美观且规律的图案。 分析图案的方法：先找基本图形（最小重复单元），再判断它经过哪种或哪几种变换（平移、轴对称、旋转），并说明变换的要素（方向、角度、对称轴等）。 ⚠️概念辨析 辨析：一个复杂图案可以由多种变换组合得到，同一图案往往有多种变换解释，只要每种解释都成立即可。 ⚠️记忆口诀 图案设计：定好基本图形，平移翻折加旋转；说出要素讲清楚，图案规律自然现。 ⚠️易混易错 易错1：只识别出一种变换，漏掉图案中同时运用的其他变换。 易错2：说明旋转时漏写旋转方向或旋转角。 ⚠️避坑指南 ❌ 避坑1：设计或说明图案时，要明确基本图形与变换类型，不能只说“很对称”等空泛描述。 ❌ 避坑2：说明旋转变换时必须指明旋转中心与旋转角（常为90°、180°等）。 题型一 旋转性质与旋转角计算 典例1 （26-27九年级上·湖南·期中）如图，把绕点顺时针旋转，得到，交边于点．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 💡破题要诀 见到旋转题，先锁定旋转中心与对应点；求旋转角，就找“对应点与旋转中心连线的夹角”；求线段，就用“对应点到旋转中心距离相等”；求图形关系，就抓住“旋转前后全等”。三步走：一找中心，二连对应点，三用性质。 迁移应用 1．（26-27九年级上·云南·期中）如图．将纸片绕点C顺时针旋转得到，连接，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设与交于点，如图， ∵将纸片绕点C顺时针旋转得到， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（25-26九年级上·河南信阳·期中）如图，在中，，D为的中点，连接，E是线段上的一点，连接．在平面内将线段绕点E逆时针旋转70°，得到线段，连接，则的度数为（    ） A．50° B．40° C．35° D．30° 【答案】C 【详解】解：如图所示，连接，并延长至G， ∵为的中点， ∴是的垂直平分线， ∴． 根据旋转的性质，得， ∴， ∴． ∵是的外角，是的外角， ∴， ∴， 则． 故选：C． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，将绕B点顺时针方向旋转一个角到，点A的对应点D恰好落在上，且．若，则的度数________． 【答案】 【详解】解：，将绕点B顺时针旋转到，点A的对应点D恰好落在AC上， ，，， ，， ∵， ， ， 在中，， ，解得：， 故答案为：． 题型二 中心对称与中心对称图形识别 典例2 （26-27九年级上·北京·期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、不是轴对称图形但是中心对称图形，故不符合题意； B、是中心对称图形但不是轴对称图形，故不符合题意； C、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意； D、既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意． 💡破题要诀 判断中心对称图形：想象把图形绕某点旋转180°，若能与自身重合，则是中心对称图形。熟记常见结论：线段、平行四边形（矩形、菱形、正方形）、圆、正偶数边形是；等边三角形、正五边形、等腰梯形等不是。 迁移应用 1．（26-27九年级上·云南·期中）如图，与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（ ） A．点与点是对称点 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：与关于点成中心对称， 点与点是对称点，，，， 选项中四个结论中错误． 2．（25-26九年级上·河南濮阳·期中）如图所示为一个的正方形网格，请在其中标有数字编号的小正方形中选取一个进行阴影标注，使得网格中的阴影部分形成一个中心对称图形．那么应该选择编号_________的小正方形涂阴影． 【答案】④ 【详解】解：只有选取④进行阴影标注，使得网格中的阴影部分能形成一个中心对称图形， 故答案为：④． 3．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，在等边三角形中，O为的中点，，与关于点B中心对称，连接，则的面积为__． 【答案】 【详解】解：∵是等边三角形，O为的中点，， ∴，． 在中， ． ∵与关于点B中心对称， ∴，， ∴， ∴的面积为． 故答案为：． 题型三 关于原点对称的点的坐标 典例3 （25-26九年级上·陕西安康·期中）已知点，那么点关于原点的对称点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：点的坐标为， 点关于原点的对称点的坐标为． 💡破题要诀 关于原点对称：横、纵坐标都取相反数；关于x轴对称：纵坐标取相反数；关于y轴对称：横坐标取相反数。把条件看清楚再变号，变号就是“取相反数”。 迁移应用 1．（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）若正比例函数的图象经过点和点，若点和关于原点对称，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵点和点关于原点对称， ∴，， 可得点坐标为， ∵点在正比例函数的图象上， ∴把代入解析式得 ， 解得 ． 2．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知点关于轴的对称点，那么点关于原点的对称点的坐标是________． 【答案】 【详解】解：点关于x轴的对称点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，因此的坐标为，点关于原点的对称点的横坐标和纵坐标均互为相反数，因此的坐标为； 故答案为． 3．（25-26九年级上·湖北荆门·期中）已知点与点关于原点对称，则______． 【答案】1 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， 解得：，， ∴． 故答案为：1． 题型四 旋转作图 典例4 （25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，画出绕点逆时针旋转后得到的（点的对应点分别为点），并写出点的坐标． 【详解】如图，即为所求： ； 💡破题要诀 旋转作图按“连—定—转截—连”四步：连关键点与旋转中心；定方向与旋转角；把每个关键点绕中心转动指定角并截取等距的对应点；按原顺序连接成图。作图题要标清字母、保留作图痕迹。 迁移应用 1．（25-26九年级上·广东肇庆·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知，，． (1)画出绕点逆时针旋转后得到的； (2)画出关于原点的对称图形． 【详解】（1）解：如图：即为所求； （2）解：如图：即为所求． 2．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点A的坐标为．解答下列问题： (1)画出绕点B逆时针旋转后得到的； (2)画出与原点O成中心对称的． 【详解】(1)如图，为所作的图形； (2)如图，为所作的图形． 3．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）如图，的顶点坐标分别为、、． (1)画出关于原点O对称的； (2)将绕顶点O顺时针旋转得到，画出； 【详解】(1) 如图，即为所作的图形； (2) 如图，即为所作的图形． 题型五 旋转与全等综合 典例5 （25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图1，在等腰直角三角形中，，点分别为的中点，为线段上一动点（不与点重合），将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接． (1)证明：； (2)如图2，连接交于点． ①证明：在点的运动过程中，总有； ②若，当的长度为多少时，为等腰三角形？请直接写出答案． 【详解】(1)证明：∵线段绕点逆时针方向旋转得到， ∴， ∵在等腰直角三角形中，，， ∴， ∴； (2)①证明：∵在等腰直角三角形中，，点，分别为，的中点， ∴，是等腰直角三角形， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即． ②∵，点，分别为，的中点， ∴， ∵，为等腰三角形，分3种情况： （a）当时，如图，则， ∴平分， ∴点是的中点， ∴； （b）当时，如图，则， ∴， ∴， ∴；     （c）当时，点与点重合，不符合题意，舍去． 综上所述：当的长度为或时，为等腰三角形． 💡破题要诀 “手拉手”模型：两个等边三角形（或等腰三角形、正方形）共顶点，绕公共顶点旋转，往往由旋转性质得到“对应边相等”，再结合夹角相等，用SAS证明两三角形全等，从而得出第三边相等或角相等。 迁移应用 1．（25-26九年级上·陕西西安·期中）探究以下问题： 【探索求知】 (1)如图1，在四边形中，连接，，以为边在左侧作等边，连接． ①判断能否由旋转得到，并说明理由； ②求的长； 【实践运用】 (2)如图2，步道将等腰广场分为三部分，用于规划不同的功能区，经测量，，， ， ，求的长． 【详解】(1)①能由旋转得到， 理由：是等边三角形，， ，， ， 在和中， ， ， 点为和的共同顶点， 可以由旋转得到； ②绕点按顺时针方向旋转得到， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， 将绕点逆时针旋转得，作于，连接， ， ，，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 于， ， ， ， ， ， ， 中，， 中，， ． 2．（25-26九年级上·甘肃酒泉·期中）综合实践 (1)【初步感知】如图1，在正方形中，E、F分别是、边上的点，且，求出图中线段，，之间的数量关系． ①小盐同学经过分析后，将绕着点D逆时针旋转到位置，如图1，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过三角形全等的性质得到线段，，之间的数量关系； ②小田同学经过分析后，将沿进行翻折，得到，射线交边的延长线于点M，如图2，根据全等的性质也得到了线段，，之间的数量关系，任选一位同学的分析，可以得到线段，，之间的数量关系是 (2)【类比探究】 如图3，正方形中，E、F分别在边、的延长线上，且，连接，试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． (3)【拓展应用】 如图4，在四边形中，，， ，且，，直接写出的长． 【详解】（1）解：选小盐同学：将绕着点D逆时针旋转到， ， 四边形是正方形， ， ， 在同一直线上， ， ， ∴， 即， ， ， ， ， ； 选小田同学：将沿进行翻折，得到， ， ，， 四边形是正方形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； (2)，理由如下： 在上截取，连接，如图所示： 四边形是正方形， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即； （3）解：在上取点，使，连接， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 在中，， 即， 解得． 3．（25-26九年级上·陕西安康·期中）综合与实践：在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为的正方形与边长为的正方形按如图1所示的位置放置，与在同一条直线上，与在同一条直线上．连接，，易得且（不需要说明理由）． (1)如图2，小明将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为． ①连接，判断与之间的数量关系和位置关系，并说明理由； ②在旋转过程中，如图3，连接，，，，求四边形面积的最大值． (2)如图4，分别取，，，的中点，，，，连接，，，，则四边形的形状为_____，四边形面积的最大值是_____． 【详解】(1)①．理由如下：设分别交，于点， ∵四边形与四边形均为正方形， ． ，即， ， ， ． ， ． ②如图3，过点作于，过点作直线于， ， ， 又， ， ， ， 当有最大值时，四边形面积有最大值， 即当时，有最大值为， 四边形面积的最大值为； （2）解：如图4，连接，， 点，，，分别是，，，的中点， ，，，，，，，， 由（1）知，， ， 四边形为菱形， 由（1）知， ∵，， ∴，即， 菱形为正方形； 如图5，当，，三点在同一条直线上时，，，三点也在同一条直线上， 此时正方形的面积最大， ， ． 基础固本练（限时：10分钟） 1．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，正方形绕着点O逆时针旋转得到正方形，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：正方形绕着点O逆时针旋转得到正方形， ∴， 故选：B． 2．（26-27九年级上·天津·期中）下列图案中，是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A．不是中心对称图形，故A不符合题意； 选项B．不是中心对称图形，故B不符合题意； 选项C．不是中心对称图形，故C不符合题意； 选项D．是中心对称图形，故D符合题意． 3．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）若点绕原点O逆时针旋转，点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵点绕原点O逆时针旋转， ∴对应点的坐标为． 故选：B． 4．（26-27九年级上·云南·期中）如图，把绕点顺时针旋转，得到，交于点，若，则度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：把绕点顺时针旋转，得到， 由旋转的定义得和均为旋转角， ， ， ． 5．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）如图，矩形的顶点、分别在轴、轴上，，，，将矩形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的对应点的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，作轴于点， 在中，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 根据题意，每次绕点旋转， ∴每旋转4次为一个循环， ∵， ∴旋转次等同于旋转，即关于点对称， ∴点的对应点的坐标为． 6．（25-26九年级下·江苏淮安·期中）已知点与点关于原点对称，则_________． 【答案】 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴， ∴． 7．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，点的坐标是，点是以为直径的上的一动点，点关于点的对称点为点，则的最大值为__________． 【答案】 【详解】解：依题意可得：，的半径为， 连接、， 又∵，点关于点的对称点为点，即点是的中点，， ∴， ∴， 设， ∴， ∴，整理得， ∴， ∴，即 ∴， ∴取最大值为. 故答案为． 8．（25-26九年级上·湖南湘西·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)点B关于轴对称的点坐标为（ ， ）； (2)请你画出关于原点O对称的； (3)若点P为轴上一动点，则的最小值等于 ． 【详解】（1）解：由图可知，点关于轴对称的点坐标为； (2)如图，即为所求： （3）解：作点A关于y轴对称的点，连接交y轴于点P，连接，则， ∴，此时的值最小，最小值为的长， ∵， ∴的最小值为． 综合进阶练（限时：30分钟） 1.（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，平面直角坐标系中，已知，，，线段上有一点，连，且绕点逆时针旋转得，则的最小值和最大值（   ） A．9，18 B．9，10 C．3， D．3， 【答案】C 【详解】解：过点作轴的垂线，垂足为， 由旋转可知，， 所以， 所以． 在和中， ， 所以， 所以， 所以点在直线上． 当与直线垂直时，取得最小值， 因为点坐标为， 所以的最小值为． 当点在点处时， 点坐标为， 则； 当点在点处时， 点坐标为， 则， 因为， 所以的最大值为， 显然只有C选项符合题意． 故选：C． 2．（26-27九年级上·北京·期中）将边长为a的等边随意放在边长为b的等边所在的平面内，且，将绕点A顺时针旋转，，，分别是，，的中点，以下说法中正确的是（     ） ①可能是直角三角形；②一定是等边三角形； ③可能与全等；④． A．①③ B．①③④ C．②③④ D．②④ 【答案】D 【详解】解：如图，连接和，取的中点M和的中点N，连接，，，， ∵是的中点，是的中点， ∴根据中位线定理：且，且， 同理，且，且， ∵和都是等边三角形， ∴， ∵，，， ∴， 又∵，且， ∴是等边三角形， ∴， ∵绕点A旋转， 根据旋转的对称性可知，设与的夹角为，则与的夹角也为， ∵，， ∴， 同理，，，故， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴一定是等边三角形，故说法②正确，说法①可能是直角三角形错误； ∵的边长为b，若与它全等，则， 由中位线的性质可知，的长度取决于和的位置关系， 当旋转至且方向相同时，， 若，则， ∵， ∴最大为，即两个三角形无法全等，故③错误； 根据三角形三边关系，对于，有，， ∴，即，故④正确； 综上所述，说法正确的有②④． 3．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，在正方形中，，是的中点，点是正方形内一动点，且，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段长的最小值是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【详解】解：连接， ∵正方形中，，且， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵点是正方形内一动点，且， ∴点E是在以点G为圆心，以长为半径的半圆上运动， ∴， ∴当点E在上时，，取得最小值， 由旋转知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：A． 4．（25-26九年级上·湖北省直辖县级单位·期中）如图，曲线是由二次函数的图象绕坐标原点顺时针旋转得到的，过点，的直线与曲线交于两点，则的长度为（ ） A． B． C．10 D． 【答案】B 【详解】解：， 建立如图新的直角坐标系，为轴， 此时，， 在新的坐标系中，， 设直线解析式， 将代入得：， 解得：， ， 过点，的直线与曲线交于两点， 由， 解得或， ， ， 故选：B． 5．（25-26九年级上·广东东莞·期中）如图，长方形中，，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，将绕着点顺时针旋转到的位置，连接和，则的最小值为__________． 【答案】 【详解】解：如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接交于． 四边形是矩形， ，， ， ， ，， ， ， 点的在射线上运动， 当时，的值最小， ，，， ， ，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 6．（25-26九年级上·湖北襄阳·期中）如图，平面直角坐标系中，已知点，点为轴正半轴上一个动点，将线段绕点P逆时针旋转，点A的对应点为Q， （1）若点P的坐标为，则点Q的坐标为_____； （2）在点P运动过程中，线段BQ的最小值是_____． 【答案】 【详解】解：（1）如图，过点 Q 作轴于点C，轴于点 D， 由旋转得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 则 即点Q的坐标为； 故答案为：． （2）与（1）同理证明， ∴，， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，取最小值， ∴（负值已舍去） ∴的最小值为， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·吉林·期中）【操作发现】（1）如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的度数是__________； 【类比探究】（2）如图2，在等腰直角内取一点，使，将绕顶点逆时针旋转得到，连接．请猜想与有怎样的位置关系，并说明理由； 【解决问题】（3）如图，在等腰直角内任取一点，连接、、．直接写出__________．（填“”“”“”） 【详解】解：（1）绕点逆时针旋转得到 ， 是等腰直角三角形 ， 故答案为：； （2），理由如下： 绕顶点逆时针旋转得到 ，，， 是等腰直角三角形 ， ，， ，点、、三点共线， ∴； （3）将绕点逆时针旋转得到，连接，则，，， 是等腰直角三角形， ∴， ， 在中，， ， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·北京房山·期中）在中，，，点D是边上的动点（不与点B，C重合），将线段绕点D逆时针旋转得到线段． (1)如图1，当点E在边上时，连接，直接写出的大小，并证明； (2)如图2，若点E在的内部，连接，过点E作交的延长线于点F． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段与的数量关系，并证明．   【详解】(1)，证明： ∵将线段绕点D逆时针旋转得到线段． ∴ ， ， (2)①补全图形如图： ②，证明：连接，取中点G，连接，， 同理 点G为中点 9．（25-26九年级上·广东东莞·期中）综合与实践 问题情境： 在数学活动课上，老师出示了这样一个问题： 在中，，，是边的中点，是所在平面内的一点，，将绕点逆时针旋转得到，，的对应点分别为，，直线经过点．特例探究： （1）如图1，当，点与点重合时，证明：； 操作探究： （2）如图2，当，点与点不重合时，判断，和之间的数量关系，并说明理由； 类比探究： （3）如图3，当，点与点不重合时，直接写出、和之间的数量关系． 【详解】（1）由题意得是等腰直角三角形，是边的中点，点与点重合时 ，，，， 由旋转的性质，得，， ， 四边形是菱形， 又， 四边形是正方形， ； （2），理由如下： 如图，延长至，使，连接， ∵，，， ， ， 将绕点逆时针旋转得到， ∴，，， ，， ， ， ， ， ， ， 即：； （3），理由如下， 如图，连接并延长，使，连接，，过点作，交的延长线于点，连接，并延长交的延长线于点，作于点， 由题意得，是等边三角形，则四边形是菱形，， 将绕点逆时针旋转得到， ，，，， ，都是等边三角形， ， ， ， ， ， 又，， ，， ， 四边形是菱形，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 又，， ， ， ． 10．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，已知四边形是正方形，将线段绕点逆时针旋转得到线段，旋转角为，连接，． (1)若，则 ； (2)过点作，交的延长线于点，连接． 如图，若，求的长； 在图中，取的中点，作射线交的延长线于点，连接．请探究线段、、之间的数量关系，并给出证明． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， 旋转角为，即， ， 将线段绕点逆时针旋转得到线段， ， ， ； 故答案为：； （2）解：如图中，过点作，交的延长线于点，交于点，过点作于点， ，， 四边形为平行四边形， ， ， 四边形为矩形， ， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形为正方形， ． ， ， ，， ． ，°， ． 在和中， ， ， ， ； ②结论：． 证明：如图，过点作于点． ， ， 在中，，， ， ， ，， ， 点是的中点， ， ， ， 垂直平分， ，， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 旋转 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 图形的旋转 考点二 旋转作图 考点三 中心对称 考点四 中心对称图形 考点五 关于原点对称的点的坐标 考点六 图案设计 05 重难题型突破 题型一 旋转性质与旋转角计算 题型二 中心对称与中心对称图形识别 题型三 关于原点对称的点的坐标 题型四 旋转作图 题型五 旋转与全等综合 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 核心考点 常考题型 常见分值 难度 命题频率 旋转的概念与三要素 选择、填空 2～3分 基础 高频 旋转的性质（保距、等角、全等） 选择、填空、解答 3～6分 基础—中档 高频 旋转作图 解答题 6～8分 中档 高频 中心对称及其性质 选择、填空 2～4分 基础 较高 中心对称图形识别 选择题 2～3分 基础 高频 关于原点对称的点的坐标 选择、填空 2～3分 基础 高频 旋转与全等综合（手拉手模型） 解答题、压轴题 4～8分 中档—较难 中频 图案设计（图形变换综合） 解答题 3～6分 中档 中频 识记 1.记住旋转的概念与三要素，三条性质，中心对称与中心对称图形的定义，关于原点对称的点的坐标规律，常见中心对称图形 理解 1.理解中心对称是旋转180°的特殊情形，中心对称与中心对称图形的联系与区别，旋转角的概念，三种对称坐标规律的差异，旋转作图依据 应用 能完成旋转作图与中心对称作图，求旋转角、对应点与坐标，运用旋转证明线段相等、角相等，进行图案设计 考点一 图形的旋转 旋转的定义：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度的图形变换，叫做图形的旋转。点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。 旋转的三要素： 。三者缺一不可，确定一次旋转必须同时指明中心、方向与角度。 旋转角：对应点与旋转中心连线的夹角，如。 旋转的三条性质： ① 对应点到旋转中心的距离相等，即、； ② 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即； ③ 旋转前后的图形全等，即。 上述性质可概括为“保距离、保夹角、保全等”，即旋转只改变图形的位置，不改变其形状与大小。 ⚠️概念辨析 辨析1：旋转与平移、轴对称一样，都是“保距变换”，变换前后图形全等；区别在于旋转围绕一个定点转动，平移沿方向移动，轴对称沿直线翻折。 辨析2：旋转中心可以位于图形内部、外部或图形上（如绕顶点旋转）。旋转中心不同，旋转效果不同。 辨析3：旋转角不一定是特殊角。旋转角只取决于“对应点与旋转中心连线”的夹角，与图形边的大小无关。 ⚠️记忆口诀 旋转三要素：中心方向角度齐，缺一不可别忘记。 旋转性质：对应点连中心，距离相等有保证；夹角就是旋转角，前后图形全等牢。 ⚠️易混易错 易错1：漏写旋转方向。写“绕点O旋转60°”不严谨，应写“绕点O顺时针（或逆时针）旋转60°”。 易错2：旋转角与图形内角混淆。图形内角是图形自身的角，旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角，两者含义不同。 ⚠️避坑指南 ❌ 避坑1：找旋转角时，必须连接“对应点与旋转中心”，取两条连线的夹角，不能误把图形任意两条边的夹角当旋转角。 ❌ 避坑2：描述旋转必须“三要素齐全”，漏说旋转方向（顺时针/逆时针）或旋转角都算表述不完整。 ❌ 避坑3：旋转中心不一定是图形上的点，作图和证明时先在图中标出旋转中心，再连对应点。 考点二 旋转作图 作图步骤（四步）： 第一步（连）：连接图形的关键 与旋转 ； 第二步（定）：确定旋转 与旋转 ； 第三步（转截）：把每个关键点绕旋转中心按方向转动指定角，并截取与旋转中心距离相等的对应点； 第四步（连）：按原图形的顺序连接各对应点，标注字母，得到旋转后的图形。 作图依据是旋转的性质：对应点到旋转中心距离相等、对应点连线夹角等于旋转角。 ⚠️概念辨析 辨析：旋转中心在图形内部、外部或顶点上时，作图方法相同，只是旋转中心位置不同。若旋转中心在顶点上，该顶点对应的对应点即它本身（不动点）。 ⚠️记忆口诀 旋转作图：一连二定三转截，最后顺序连成图；关键点找全，方向角度不糊涂。 ⚠️易混易错 易错1：把旋转中心当旋转后图形的一个顶点，导致图形位置偏移。 易错2：只旋转一个关键点而漏掉其余顶点，得到的图形不完整。 ⚠️避坑指南 ❌ 避坑1：关键点要找全，尤其要包含图形的所有顶点；漏一个点，作图就错。 ❌ 避坑2：用圆规或量角器保证“等距+定角”，不能用目测估画。 ❌ 避坑3：旋转方向反了，图形位置就错，作完要检验对应点与旋转中心连线夹角是否等于旋转角。 考点三 中心对称 中心对称的定义：把一个图形绕某一点旋转 ，如果它能与另一个图形 ，那么就说这两个图形关于这个点对称（或中心对称），这个点叫做对称中心。 中心对称的性质： ① 成中心对称的两个图形中，对应点所连线段都经过对称中心，且被对称中心平分，即、点O为； ② 成中心对称的两个图形全等。 中心对称是旋转角为180°的特殊旋转，因此旋转的性质对中心对称同样成立。 ⚠️概念辨析 辨析1：中心对称描述的是两个图形之间的位置关系——一个图形绕点旋转180°后能与另一个图形重合 辨析2：中心对称的对称中心是“对应点连线的中点”，这一性质是证明某点为对称中心、或找对称中心的关键。 ⚠️记忆口诀 中心对称：绕点转半圈（180°），两图形能重合；对应点连成线，对称中心在中间（中点）。 ⚠️易混易错 易错1：误把旋转180°写成旋转90°或其它角。 易错2：说“两个图形中心对称”时，忘记指出对称中心或对应点。 ⚠️避坑指南 ❌ 避坑1：中心对称必须旋转180°，不是任意角度。 ❌ 避坑2：找对称中心时，连接一对对应点，取线段中点即可，不必找出所有对应点。 ❌ 避坑3：中心对称强调“两个图形”，叙述时不要与“中心对称图形”混为一谈。 考点四 中心对称图形 中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果 图形能够与 图形，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。 常见中心对称图形：线段、平行四边形（含矩形、菱形、正方形）、圆、正偶数边形（正2n边形）、偶数角星形等。 不是中心对称图形的例子：等边三角形、等腰三角形（非等边）、正五边形、正奇数边形、一般梯形、角等。 ⚠️概念辨析 辨析1：中心对称是“两个图形”之间的关系；中心对称图形是“一个图形”自身的性质。 辨析2：联系——若把成中心对称的两个图形看成一个整体，则这个整体是中心对称图形；反之，中心对称图形可看作由关于对称中心对称的两部分拼合而成。 辨析3：一个图形可以同时既是轴对称图形又是中心对称图形（如线段、矩形、菱形、正方形、圆），也可以只具备其一或都不具备。 ⚠️记忆口诀 中心对称图形：绕点转半圈，还能回自己；线段平四圆，正偶边形记心间。 ⚠️易混易错 易错1：把“中心对称”与“中心对称图形”两个概念混淆，答题时表述张冠李戴。 易错2：误判等边三角形、正五边形为中心对称图形。 ⚠️避坑指南 ❌ 避坑1：判断中心对称图形时，绕对称中心转180°后要与“自身”重合，不是与另一图形重合。 ❌ 避坑2：等边三角形是轴对称图形但不是中心对称图形，勿混淆两类对称。 ❌ 避坑3：正偶数边形是中心对称图形，正奇数边形不是，判断时数清边数。 考点五 关于原点对称的点的坐标 坐标规律：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点为 （横、纵坐标都互为相反数）。 三种对称对比（重要）： 对称方式 坐标变化 记忆要点 关于原点对称 横、纵坐标都变号 关于x轴对称 横坐标不变，纵坐标变号 关于y轴对称 纵坐标不变，横坐标变号 中点坐标公式：若、，则线段AB中点M的坐标为。 ⚠️概念辨析 辨析1：关于原点对称与关于x轴、y轴对称的区别只在于“哪个坐标变号”。原点对称横纵坐标都变，x轴对称只变纵坐标，y轴对称只变横坐标。 辨析2：中心对称的坐标本质——若两图形关于原点对称，则对应顶点坐标互为相反数；若对称中心是其他点，则需用中点公式推求。 ⚠️记忆口诀 坐标规律：关于原点都变号，关于x轴纵变号，关于y轴横变号，中点坐标一半和。 ⚠️易混易错 易错1：把关于原点对称写成只变一个坐标。 易错2：中点坐标公式中分子相加后忘记除以2。 ⚠️避坑指南 ❌ 避坑1：变号是“取相反数”，不是简单的负号叠加，如点(2,-3)关于原点对称应为(-2,3)。 ❌ 避坑2：分清是关于原点、关于x轴还是关于y轴对称，先看清条件再变号。 ❌ 避坑3：用中点公式时，对应坐标要相加后取一半，勿误用两坐标相减。 考点六 图案设计 设计思路：图案设计是综合运用平移、轴对称、旋转三种图形变换进行图形创作。一般先确定一个基本图形，再通过平移、翻折、旋转的组合变换，得到美观且规律的图案。 分析图案的方法：先找基本图形（最小重复单元），再判断它经过哪种或哪几种变换（平移、轴对称、旋转），并说明变换的要素（方向、角度、对称轴等）。 ⚠️概念辨析 辨析：一个复杂图案可以由多种变换组合得到，同一图案往往有多种变换解释，只要每种解释都成立即可。 ⚠️记忆口诀 图案设计：定好基本图形，平移翻折加旋转；说出要素讲清楚，图案规律自然现。 ⚠️易混易错 易错1：只识别出一种变换，漏掉图案中同时运用的其他变换。 易错2：说明旋转时漏写旋转方向或旋转角。 ⚠️避坑指南 ❌ 避坑1：设计或说明图案时，要明确基本图形与变换类型，不能只说“很对称”等空泛描述。 ❌ 避坑2：说明旋转变换时必须指明旋转中心与旋转角（常为90°、180°等）。 题型一 旋转性质与旋转角计算 典例1 （26-27九年级上·湖南·期中）如图，把绕点顺时针旋转，得到，交边于点．若，则（     ） A． B． C． D． 💡破题要诀 见到旋转题，先锁定旋转中心与对应点；求旋转角，就找“对应点与旋转中心连线的夹角”；求线段，就用“对应点到旋转中心距离相等”；求图形关系，就抓住“旋转前后全等”。三步走：一找中心，二连对应点，三用性质。 迁移应用 1．（26-27九年级上·云南·期中）如图．将纸片绕点C顺时针旋转得到，连接，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河南信阳·期中）如图，在中，，D为的中点，连接，E是线段上的一点，连接．在平面内将线段绕点E逆时针旋转70°，得到线段，连接，则的度数为（    ） A．50° B．40° C．35° D．30° 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，将绕B点顺时针方向旋转一个角到，点A的对应点D恰好落在上，且．若，则的度数________． 题型二 中心对称与中心对称图形识别 典例2 （26-27九年级上·北京·期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 💡破题要诀 判断中心对称图形：想象把图形绕某点旋转180°，若能与自身重合，则是中心对称图形。熟记常见结论：线段、平行四边形（矩形、菱形、正方形）、圆、正偶数边形是；等边三角形、正五边形、等腰梯形等不是。 迁移应用 1．（26-27九年级上·云南·期中）如图，与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（ ） A．点与点是对称点 B． C． D． 2．（25-26九年级上·河南濮阳·期中）如图所示为一个的正方形网格，请在其中标有数字编号的小正方形中选取一个进行阴影标注，使得网格中的阴影部分形成一个中心对称图形．那么应该选择编号_________的小正方形涂阴影． 3．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，在等边三角形中，O为的中点，，与关于点B中心对称，连接，则的面积为__． 题型三 关于原点对称的点的坐标 典例3 （25-26九年级上·陕西安康·期中）已知点，那么点关于原点的对称点的坐标是（     ） A． B． C． D． 💡破题要诀 关于原点对称：横、纵坐标都取相反数；关于x轴对称：纵坐标取相反数；关于y轴对称：横坐标取相反数。把条件看清楚再变号，变号就是“取相反数”。 迁移应用 1．（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）若正比例函数的图象经过点和点，若点和关于原点对称，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知点关于轴的对称点，那么点关于原点的对称点的坐标是________． 3．（25-26九年级上·湖北荆门·期中）已知点与点关于原点对称，则______． 题型四 旋转作图 典例4 （25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，画出绕点逆时针旋转后得到的（点的对应点分别为点），并写出点的坐标． 💡破题要诀 旋转作图按“连—定—转截—连”四步：连关键点与旋转中心；定方向与旋转角；把每个关键点绕中心转动指定角并截取等距的对应点；按原顺序连接成图。作图题要标清字母、保留作图痕迹。 迁移应用 1．（25-26九年级上·广东肇庆·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知，，． (1)画出绕点逆时针旋转后得到的； (2)画出关于原点的对称图形． 2．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点A的坐标为．解答下列问题： (1)画出绕点B逆时针旋转后得到的； (2)画出与原点O成中心对称的． 3．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）如图，的顶点坐标分别为、、． (1)画出关于原点O对称的； (2)将绕顶点O顺时针旋转得到，画出； 题型五 旋转与全等综合 典例5 （25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图1，在等腰直角三角形中，，点分别为的中点，为线段上一动点（不与点重合），将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接． (1)证明：； (2)如图2，连接交于点． ①证明：在点的运动过程中，总有； ②若，当的长度为多少时，为等腰三角形？请直接写出答案． 💡破题要诀 “手拉手”模型：两个等边三角形（或等腰三角形、正方形）共顶点，绕公共顶点旋转，往往由旋转性质得到“对应边相等”，再结合夹角相等，用SAS证明两三角形全等，从而得出第三边相等或角相等。 迁移应用 1．（25-26九年级上·陕西西安·期中）探究以下问题： 【探索求知】 (1)如图1，在四边形中，连接，，以为边在左侧作等边，连接． ①判断能否由旋转得到，并说明理由； ②求的长； 【实践运用】 (2)如图2，步道将等腰广场分为三部分，用于规划不同的功能区，经测量，，， ， ，求的长． 2．（25-26九年级上·甘肃酒泉·期中）综合实践 (1)【初步感知】如图1，在正方形中，E、F分别是、边上的点，且，求出图中线段，，之间的数量关系． ①小盐同学经过分析后，将绕着点D逆时针旋转到位置，如图1，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过三角形全等的性质得到线段，，之间的数量关系； ②小田同学经过分析后，将沿进行翻折，得到，射线交边的延长线于点M，如图2，根据全等的性质也得到了线段，，之间的数量关系，任选一位同学的分析，可以得到线段，，之间的数量关系是 (2)【类比探究】 如图3，正方形中，E、F分别在边、的延长线上，且，连接，试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． (3)【拓展应用】 如图4，在四边形中，，， ，且，，直接写出的长． 3．（25-26九年级上·陕西安康·期中）综合与实践：在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为的正方形与边长为的正方形按如图1所示的位置放置，与在同一条直线上，与在同一条直线上．连接，，易得且（不需要说明理由）． (1)如图2，小明将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为． ①连接，判断与之间的数量关系和位置关系，并说明理由； ②在旋转过程中，如图3，连接，，，，求四边形面积的最大值． (2) 如图4，分别取，，，的中点，，，，连接，，，，则四边形的形状为_____，四边形面积的最大值是_____． 基础固本练（限时：10分钟） 1．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，正方形绕着点O逆时针旋转得到正方形，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·天津·期中）下列图案中，是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）若点绕原点O逆时针旋转，点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（26-27九年级上·云南·期中）如图，把绕点顺时针旋转，得到，交于点，若，则度数为（ ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）如图，矩形的顶点、分别在轴、轴上，，，，将矩形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的对应点的坐标为（    ）． A． B． C． D． 6．（25-26九年级下·江苏淮安·期中）已知点与点关于原点对称，则_________． 7．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，点的坐标是，点是以为直径的上的一动点，点关于点的对称点为点，则的最大值为__________． 8．（25-26九年级上·湖南湘西·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)点B关于轴对称的点坐标为（ ， ）； (2)请你画出关于原点O对称的； (3)若点P为轴上一动点，则的最小值等于 ． 综合进阶练（限时：30分钟） 1.（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，平面直角坐标系中，已知，，，线段上有一点，连，且绕点逆时针旋转得，则的最小值和最大值（   ） A．9，18 B．9，10 C．3， D．3， 2．（26-27九年级上·北京·期中）将边长为a的等边随意放在边长为b的等边所在的平面内，且，将绕点A顺时针旋转，，，分别是，，的中点，以下说法中正确的是（     ） ①可能是直角三角形；②一定是等边三角形； ③可能与全等；④． A．①③ B．①③④ C．②③④ D．②④ 3．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，在正方形中，，是的中点，点是正方形内一动点，且，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段长的最小值是（   ） A． B． C．3 D． 4．（25-26九年级上·湖北省直辖县级单位·期中）如图，曲线是由二次函数的图象绕坐标原点顺时针旋转得到的，过点，的直线与曲线交于两点，则的长度为（ ） A． B． C．10 D． 5．（25-26九年级上·广东东莞·期中）如图，长方形中，，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，将绕着点顺时针旋转到的位置，连接和，则的最小值为__________． 6．（25-26九年级上·湖北襄阳·期中）如图，平面直角坐标系中，已知点，点为轴正半轴上一个动点，将线段绕点P逆时针旋转，点A的对应点为Q， （1）若点P的坐标为，则点Q的坐标为_____； （2）在点P运动过程中，线段BQ的最小值是_____． 7．（25-26九年级上·吉林·期中）【操作发现】（1）如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的度数是__________； 【类比探究】（2）如图2，在等腰直角内取一点，使，将绕顶点逆时针旋转得到，连接．请猜想与有怎样的位置关系，并说明理由； 【解决问题】（3）如图，在等腰直角内任取一点，连接、、．直接写出__________．（填“”“”“”） 8．（25-26九年级上·北京房山·期中）在中，，，点D是边上的动点（不与点B，C重合），将线段绕点D逆时针旋转得到线段． (1)如图1，当点E在边上时，连接，直接写出的大小，并证明； (2)如图2，若点E在的内部，连接，过点E作交的延长线于点F． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段与的数量关系，并证明．   9．（25-26九年级上·广东东莞·期中）综合与实践 问题情境： 在数学活动课上，老师出示了这样一个问题： 在中，，，是边的中点，是所在平面内的一点，，将绕点逆时针旋转得到，，的对应点分别为，，直线经过点．特例探究： （1）如图1，当，点与点重合时，证明：； 操作探究： （2）如图2，当，点与点不重合时，判断，和之间的数量关系，并说明理由； 类比探究： （3）如图3，当，点与点不重合时，直接写出、和之间的数量关系． 10．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，已知四边形是正方形，将线段绕点逆时针旋转得到线段，旋转角为，连接，． (1)若，则 ； (2)过点作，交的延长线于点，连接． 如图，若，求的长； 在图中，取的中点，作射线交的延长线于点，连接．请探究线段、、之间的数量关系，并给出证明． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $