专题02 配方法的应用10大题型（期中复习讲义·培优版）九年级数学上学期新教材人教版

专题02 配方法的应用（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一  配方法直接求值 题型二  单式配方比较代数式大小 题型三  双配方构造非负式比较大小 题型四  单变量配方求整式最值 题型五  双变量双配方求多元代数式最值 题型六  双变量先消元再配方求解最值 题型七  利用配方非负性判定三角形形状 题型八  配方法证明代数式恒正 / 恒负恒成立 题型九  配方法结合新定义运算综合题型 题型十  配方法解决几何周长、面积、线段最值应用题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 利用配方法求代数式最值 会对二次三项式配方，能求出代数式的最大值或最小值 中档常考，填空、选择、解答都可出现；易错：分不清有最大值还是最小值 配方法判断代数式取值范围 能通过配方，判断代数式的值恒正、恒负或非负 选择填空高频；易错：忽略平方项≥0 这个前提条件 配方法在证明题中的应用 能借助配方将式子转化为完全平方式，完成简单代数证明 中档偏难题型；易错：配方变形过程计算出错 配方法求参数的值 根据配方后的结果，利用平方的非负性求解参数 期中压轴小题；易错：多个完全平方相加等于 0 时，忘记令每一项都等于 0 知识点01 配方法 1）配方法的理论依据：完全平方公式的逆用； 2）配方的对象：二次三项式知二求一，即将中的二次项，一次项，常数项任取两项，再配一项，使其能成为完全平方式. 3）用配方法解一元二次方程，实际就是由二次项和一次项来配常数项. 4）由配常数项 ①若，则，此时配常数项（即一次项系数一半的平方）即可. ②若，则将二次项系数化为1，再用①的方法来处理. 题型一 配方法直接求值 解｜题｜技｜巧 分组凑完全平方，利用平方非负性，令每一个平方括号内的式子等于 0，联立方程组解出未知数，再整体代入计算目标式子。 【典例1】（26-27九年级上·北京·开学考试）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则___________． 【答案】3 【分析】将原方程通过移项、配方化为的形式，得到和的值，再计算即可． 【详解】解： ， 移项得， 在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， 对比，可得，， 因此． 【变式1】（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）已知多项式，若无论x取何实数，A的值都不是负数，则k的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查配方法的应用，根据配方法可进行求解． 【详解】解：， ∵无论x取何实数，A的值都不是负数，且， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·重庆·期中）若，则的值为_____． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了配方法的应用，求代数式的值． 移项后配方，利用完全平方式的非负性求出x和y的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】（2024八年级下·浙江温州·竞赛）已知，则的值等于_________． 【答案】 【分析】本题考查了裂项法求和、配方法的应用，学会利用配方法求出未知数的值是解题的关键．利用配方法把方程变形为，求出的值，再代入到题目中的式子，利用裂项法求和即可解答． 【详解】解：， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 题型二 单式配方比较代数式大小 解｜题｜技｜巧 A-B构造差值，配方化为平方加常数形式，根据结果正负判断A与B的大小。 【典例2】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知，，则比较代数式A与B的值：A________B．（请用“”、“”、“”表示） 【答案】 【分析】利用作差法比较两个代数式的大小，对作差结果进行配方整理，根据完全平方的非负性判断差的符号，即可得到A与B的大小关系． 【详解】解： ， ，即， ． 【变式1】（23-24九年级上·河南新乡·期中）已知，则比较P，Q的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据配方法的即可求出答案． 【详解】 解： 故选：C． 【点睛】本题考查配方法的应用，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型． 【变式2】（24-25九年级上·江苏徐州·期中）若m为实数，，，则比较P，Q的大小可得：______． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减、完全平方公式，利用作差法和配方法求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（23-24八年级下·江苏南通·期中）已知，． (1)当a为何值时？． (2)对于任意实数a，试比较A与B的大小． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了整式的加减、解一元二次方程、配方法的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）直接根据联立方程求出的数值即可； （2）把两个整式作差，进一步配方，利用非负数的性质判断即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 整理得；， 解得：或； （2）解：， ∵， ∴， ∴． 题型三 双配方构造非负式比较大小 解｜题｜技｜巧 对差值进行两次及以上配方，转化为多个平方相加，直接判定差值≥0 或≤0，完成大小比较。 【典例3】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，，判断，的大小关系． 【答案】 【分析】本题考查了作差法比较大小，配方法，平方的非负性，掌握作差后通过配方转化为完全平方和，利用非负性判断大小关系是解题的关键． 用作差法计算，通过配方将结果化为完全平方的形式，利用平方的非负性判断大小关系． 【详解】解： ． ，， ， ，即． 【变式1】（24-25九年级下·甘肃嘉峪关·开学考试）已知．若，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，利用作差法比较大小是解题的关键．根据配方法把的结果写出平方和的形式，根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】， ， ， 即， 故选：A 【变式2】（25-26八年级上·山东日照·期中）已知，满足，，则，的大小关系为____． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，通过计算与的差值，并利用完全平方公式将差值化为完全平方式之和加常数，根据非负性判断差值恒为正，由此即可得出结果，熟练掌握此知识点是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（2022·江苏泰州·中考真题）已知 用“＜”表示的大小关系为________. 【答案】 【分析】利用作差法及配方法配成完全平方式再与0比较大小即可求解． 【详解】解：由题意可知：， ∵， ∴， ∴； ，当且仅当时取等号，此时与题意矛盾， ∴ ∴； ，同理， 故答案为：． 【点睛】本题考查了两代数式通过作差比较大小，将作差后的结果配成完全平方式，利用完全平方式总是大于等于0的即可与0比较大小． 题型四 单变量配方求整式最值 解｜题｜技｜巧 二次项系数化为 1 后配方，写成形式，依据平方非负性确定顶点k即为最值。 【典例4】（25-26九年级上·全国·课后作业）当__时，多项式有最大值？求出这个最大值是 __ ． 【答案】 5 【分析】本题考查了配方法的应用，先整理得，再分析：因为，所以，即当时，多项式有最大值，且这个最大值为5，进行作答． 【详解】解： ， ∵， ∴， 则， 即当时，多项式有最大值，且这个最大值为5， 故答案为：，5． 【变式1】（22-23九年级上·辽宁丹东·期中）当x取何值时，多项式有_________（填最大值或最小值），其最大值或最小值是_______． 【答案】 最大值 【分析】本题主要考查了配方法的应用，利用配方法得到，再由偶次方的非负性即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴有最大值，最小值为， 故答案为：． 【变式2】（23-24七年级下·浙江金华·期中）在学习了乘法公式“”的应用后，求代数式的最小值．同学们经过探索、合作交流，最后得到如下的解法： 解： ∵ ∴， ∴的最小值是． （1）代数式的最小值为________． （2）若，则的最____值（填大或小）为________． 【答案】 大 【分析】此题考查了运用完全平方公式进行计算，非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． （1）原式仿照题干中的步骤，利用完全平方公式配方后，利用非负数的性质求出最小值即可． （2）原式可化为，仿照题干中的步骤，利用完全平方公式将等号右边配方后，利用非负数的性质求出最大值即可． 【详解】解：（1）根据题中的解法可得， ∵， ∴， ∴的最小值是． （2）根据题中的解法，原式可化为 ， ， ， ， ∵， ∴， ∴的最大值是． 【变式3】（26-27九年级·上海·暑假作业）阅读材料： 配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决一些最值问题，比如：因为，所以就有最小值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为，所以有最大值1，即，只有在时，才能得到这个式子的最大值1． 请解决下列问题： (1)当 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ； (2)当 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ； (3)矩形花园的一面靠墙，另外三面栅栏的总长度16m，求：当花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)、小、 (2)、大、5 (3)花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为时，花园的面积最大，最大面积是 【分析】（1）根据阅读材料即可求解； （2）根据阅读材料即可求解； （3）根据矩形面积公式列出二次函数解析式，再根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）当时，代数式有最小值； （2）代数式 当时，代数式有最大值5． （3）设花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为，花园的面积为．根据题意，得 ，当时，有最大值32， 答：花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为时，花园的面积最大，最大面积是． 题型五 双变量双配方求多元代数式最值 解｜题｜技｜巧 分别对两个字母分组独立配方，化为两个完全平方加常数的结构，直接读出最值。 【典例5】（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）若（x、y为实数），则W的最小值为________． 【答案】3 【分析】本题考查配方法的应用，通过配方法将原式化为完全平方和的形式，利用非负数的性质求最小值即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴，当， 时取等号， 故的最小值为； 故答案为：3． 【变式1】（22-23九年级下·广东深圳·自主招生），则P的最小值为_________． 【答案】2018 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式分解因式、偶次幂的性质等知识点，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键． 利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性即可解答． 【详解】解： ， ∵， ∴． ∴P的最小值是2018． 故答案为：2018． 【变式2】（26-27九年级上·江苏南京·单元测试）阅读与思考：配方法不仅能够帮助我们解一元二次方程，还能用来解决求最值问题．例如：求代数式的最小值，过程如下： 原式 ． ，， ， 的最小值是． 根据材料中的方法，解答下列问题． (1)的最大值为   ； (2)求的最小值． 【答案】(1)3 (2)12 【分析】（1）仿照阅读材料、利用配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答； （2）利用配方法把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】（1）解： ∵ ∴ ∴的最大值为3 ∴的最大值为3； （2）解： ， ∵，， ∴． ∴的最小值是12． 【变式3】（25-26八年级上·四川资阳·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法，它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 我们定义：一个整数能表示成（都是整数）的形式，则称这个数为“和美数”例如，是一个“和美数”，理由是：因为，所以是“和美数”． (1)在三个数中，是“和美数”的有_______； (2)已知（是整数，k是常数），要使为“和美数”，试写出符合条件的一个值，并说明理由； (3)已知实数满足，求的最大值． 【答案】(1) 和 (2) 当时，为“和美数”，理由如下： ， ∵ ∴； (3) 最大值为 【分析】（）根据定义，尝试将目标数拆分为两个整数的平方和，能拆分则为和美数，反之则不是； （）根据为和美数，利用完全平方公式配方，确定出的值即可； （）由已知等式表示出，再代入，然后运用配方后再利用非负数的性质求出最大值即可． 【详解】（1）解：，符合定义，是和美数； 尝试整数平方和， (非平方数)； (非平方数)；(非平方数)，故不是和美数； ，符合定义，是和美数； 故答案为：和； （2）解：略； （3）解：∵， ∴， 即， ∴ ． 当时，最大，最大值为． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用、二次函数求最值等知识点，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 题型六 双变量先消元再配方求解最值 解｜题｜技｜巧 先用已知等式消去一个变量，转化为单变量二次式，再配方求解最值。 【典例6】（2025九年级上·全国·专题练习）已知是一元二次方程的一个根，则的最大值为______；的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，解题时，注意配方法的应用和非负数的性质的运用． 把代入方程计算求出，的取值范围即可得到的最大值，的最小值． 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ， ， ． ， ， 同理，． 综上所述，的最大值是，的最小值是． 故答案为：，． 【变式1】（25-26九年级上·福建厦门·期中）已知两个整数a，b，有，则的最大值是______． 【答案】50 【分析】本题主要考查配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键；由题意易得，则有，进而问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为50； 故答案为50． 【变式2】（20-21九年级·江苏南京·自主招生）已知实数，满足，则的最大值为______． 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用，二次函数的最值，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵， ∴ ∴， ∴． 当且仅当，时等号成立， ∴的最大值为， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级下·山东烟台·期末）已知为实数，满足，那么的最小值为______． 【答案】14 【分析】本题考查解三元一次方程组、配方法的应用．解方程组转化为只含的代数式，利用配方法求最值，是解题的关键．用含的式子表示出，将转化为只含的代数式，利用配方法，求出最值即可． 【详解】解：， ，得，则③， ，得，则④， 把③④代入得， ； ∵， ∴的最小值是14， 故答案为：14． 题型七 利用配方非负性判定三角形形状 解｜题｜技｜巧 对三边关系式整体配方，拆成多个平方和为 0，得出边长之间的等量关系判定形状。 【典例7】（26-27九年级上·江苏南京·单元测试）若a，b，c为的三边长，且满足，则的形状是________三角形． 【答案】等边 【分析】将已知等式利用配方法进行变形，再利用非负数的性质求出，即可判断出的形状． 【详解】解：原式两边都乘2，得． 整理，得， 即． ，，， ，，， ． 故是等边三角形． 【变式1】（22-23八年级上·山东威海·期中）设、、是三角形的三边长，且满足，则此三角形的形状为__________． 【答案】等腰三角形 【分析】本题考查了完全公式公式、平方差公式的应用，等式的性质，先整理，得出，结合、、是三角形的三边长，得出，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 则 ∵、、是三角形的三边长， ∴ ∴ ∴此三角形的形状为等腰三角形， 故答案为：等腰三角形 【变式2】（22-23八年级上·福建泉州·期末）在中，，，，如果a，b满足，那么的形状是 _____． 【答案】直角三角形 【分析】由，推出，根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状． 【详解】解：， ， 即， 是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【变式3】（25-26八年级上·湖南益阳·期末）【问题背景】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等方面都有着广泛的应用． 例1．因式分解：． 解：原式． 例2．若，利用配方法求M的最小值． 解：， ∵，，当时，M有最小值1． 【问题解决】请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用配方法因式分解：． (2)求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的x的值． (3)【策略迁移】已知a，b，c是的三边长，且满足，试判断三角形的形状． 【答案】(1) (2) 代数式的最大值为，此时 (3) 是等腰三角形 【分析】本题主要考查整式的混合运算，理解材料提示方法，掌握整式运算法则是关键． （1）根据材料提示的配方法计算即可； （2）根据材料提示的配方法计算得到，结合不等式的性质即可求解； （3）根据题意，运用配方法得到，结合非负性即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴，， ∴代数式的最大值为，此时； （3）解：是等腰三角形，理由如下， ， 移项得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，符合题意， ∴是等腰三角形． 题型八 配方法证明代数式恒正 / 恒负恒成立 解｜题｜技｜巧 配方转化为平方加常数的固定形式，根据平方非负性直接说明取值范围。 【典例8】（25-26八年级下·广西贺州·期中）阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式的最小值． ，且， ∴当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)求证：无论取何值，代数式的值恒为正数； (2)若代数式的最小值为，求的值： 【答案】(1) 证明： ， ∵， ∴， ∴无论取何值，代数式的值恒为正数； (2) 【分析】（1）仿照题意可得，可证明，据此可证明结论； （2）可证明，则可推出，得到的最小值为，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解： ， ∵， ∴， ∴的最小值为， 又∵代数式的最小值为， ∴， ∴． 【变式1】（22-23八年级下·江苏泰州·期末）已知代数式． (1)当为何值时，代数式A比B的值大2； (2)求证：对于任意的值，代数式的值恒为正数． 【答案】(1)当或时，代数式A比B的值大2； (2) ∵， ∴， ∴对于任意的值，代数式的值恒为正数． 【分析】（1）由题意得，得到，解一元二次方程即可求解； （2）由题意得，即可证明结论成立． 【详解】（1）解：由题意得， 去括号得， 整理得， 解得或， 当或时，代数式A比B的值大2； （2）略 【点睛】本题考查了解一元二次方程，配方法的运用，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【变式2】（20-21八年级上·四川眉山·期中）阅读下列材料： 小丽想求代数式的最小值是多少，通过观察式子的特点，她发现x2﹣6x很接近完全平方式，如果能加上9，它就可以变成，而为了使式子变形前后保持相等，还必须减去9，这种凑成完全平方式的方法数学上叫做添项法．该题的具体解题过程是： 解：． ∵， ∴， 即的最小值为4． 请借鉴小丽的方法解答下列各题． (1)求代数式的最小值是多少？ (2)求证：不论x，y为何有理数，的值恒为正数； (3)代数式有最大值，这个最大值是____． 【答案】(1)2 (2) 证明： ∵，， ∴， ∴不论x，y为何有理数，的值恒为正数． (3) 【分析】（1）参照题干做法，将变形为，即可求解； （2）将变形为两个平方与常数项之和的形式，利用平方的非负性即可证明； （3）将变形为，即可求解． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， 即的最小值为2． （2）略． （3）解：， ∵， ∴， ∴， 即， ∴有最大值，这个最大值是． 【点睛】本考题考查利用完全平方公式求最值，读懂题意，掌握通过添项凑完全平方公式的方法是解题的关键． 【变式3】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）我们知道，和这样的式子可以运用完全平方公式进行因式分解．有些多项式不是完全平方式，我们可以用配方法将多项式进行分解，并解决一些最值问题． 例如：①分解因式：； 解：原式 ； ②求代数式的最小值． 解：原式， ∵，∴， ∴当时，代数式有最小值． 结合以上材料解决下面的问题： (1)分解因式：； (2)当x为何值时，有最小值？最小值为多少？ (3)求证：无论x，y取任何实数，代数式的值恒为正数． 【答案】(1) (2)当时，代数式取最小值 (3) 证明： ∵， ∴ ∴无论x，y取任何实数，代数式的值恒为正数． 【详解】（1）解： ； （2）解： ∵ ∴ 当时，代数式取最小值； （3）略 题型九 配方法结合新定义运算综合题型 解｜题｜技｜巧 严格按照新定义列式，整理后用配方法化简、求值或证明。 【典例9】（25-26八年级上·吉林长春·期中）我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）已知25是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式________； （2）若可配方成（、为常数），则________； 【探究问题】 （3）已知，则________； （4）已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由； 【答案】（1）（2） （3） （4），理由如下： 先对配方， 得到              ， 要让为完美数，可令， 即， 又、是整数， 和也是整数，符合“完美数”的定义， 符合条件的一个值为．（答案不唯一） 【分析】本题考查了配方法，非负数的性质以及对新定义“完美数”的理解与应用．理解新定义“完美数”的定义是解题的关键． （1）根据“完美数”的定义找到两个整数的平方和为即可； （2）对二次三项式用配方法，凑出完全平方形式，对比得出和的值进行计算即可； （3）将原始拆分为两个完全平方的和，利用非负数的性质求出，的值，再计算即可； （4）先对进行配方，整理为两个整数平方和的形式，结合“完美数”的定义，确定常数的值，使剩余项抵消即可． 【详解】解：（1），符合“完美数”的定义． 故答案为（答案不唯一）； （2）对配方， 得到              ， ， ． 故答案为； （3）对式子进行配方                                     ， ， 且， ， ． 故答案为； （4）略 【变式1】（24-25九年级上·四川内江·期中）对于有理数a，b，定义的含义为：当时，；当时，．若，则的值等于________． 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用和非负数的性质．根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键． 根据，得出与40的大小关系，从而确定m，n的值即可得出的值． 【详解】解：∵， ∴； ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·上海·期末）定义：关于的一元二次方程：（，是常数，与（是常数，称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．如果关于的一元二次方程：与（是常数，）是“同族二次方程”．那么代数式的最小值是___________． 【答案】2026 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键． 根据“同族二次方程”的定义，两个方程具有相同的m和n值，通过比较系数求出a和b的值，再将代数式配方即可得到最小值． 【详解】解：由“同族二次方程”定义，方程可写为， 展开得，与比较系数， 得，解得，。 ， ， 最小值为2026． 故答案为：2026． 【变式3】（25-26九年级上·福建·期中）定义：如果关于的一元二次方程有一个根是，那么我们称这个方程为“方程”．已知关于的一元二次方程是“方程”． (1)求的数量关系； (2)求代数式的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的其他应用，新定义，配方法的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，把代入，进行计算化简得； （2）把代入进行计算，然后配方，最后分析当时，代数式有最小值，最小值为，即可作答． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程是“方程” ∴把代入， 得 ∴； （2）解：由（1）得， ∴ ， ∵， ∴当时，代数式有最小值，最小值为． 题型十 配方法解决几何周长、面积、线段最值应用题 解｜题｜技｜巧 根据几何公式列出二次函数表达式，通过配方法求出顶点最值，结合几何实际取舍答案。 【典例10】（23-24九年级上·四川内江·期中）先阅读，再解答：由阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法可以解决一些数学问题．比如运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． 例： 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题： (1)分解因式：； (2)求多项式的最小值； (3)已知是的三边长，且满足，求的周长． 【答案】(1) (2)多项式的最小值为 (3)的周长为12 【分析】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质，理解题意，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． （1）根据阅读材料中的方法分解即可； （2）根据阅读材料中的方法将多项式变形，求出最小值即可； （3）原式配方后，利用非负数的性质求出、、的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ， 的最小值为； （3）解：， ， ， ∴，，， 故的周长为． 【变式1】（25-26八年级下·浙江温州·期中）先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题． 例：求代数式的最小值． 解：． 因为，所以，所以的最小值是2． (1)代数式的最小值为___________． (2)关于的二次多项式（为常数）有最小值为，求常数的值． (3)如图，在等腰中，，点为边上一点（不与点重合），连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点为，连接．若，求的面积的最大值． 【答案】(1)1 (2)或 (3)的面积最大值为 【分析】（1）根据题干的配方法求解即可． （2）根据题干的配方法求解即可． （3）过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点．由等腰三角形的性质进一步得出，设，则，由旋转的性质进一步得出，由全等三角形的性质得出，由三角形面积配方求解即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴ ∴的最小值是1． （2）解： ∵最小值为， ∴， 解得， ∴常数的值为或； （3）解：如图，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点． 是等腰三角形，， ， 在中，， 设，则， ∵线段绕点P顺时针旋转得到， ， ， 又， 又 ， ， ， ∴当时，的面积有最大值为． 【变式2】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）阅读理解并解答： 我们把多项式及叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以来解决代数式值的最大（或最小）值问题． 例如： ∵是非负数，即 ∴ 则这个代数式的最小值是，这时相应的x的值是2． (1)仿照上述方法求代数式的最大（或最小）值，并写出相应的x的值； (2)实践应用：如图，工人师傅要在等腰直角的内部作一个矩形，其中和分别在两直角边上，．如果设矩形的一边， ①请问矩形的面积能否达到？为什么，请说明理由； ②求出当x取何值时，矩形的面积最大，最大值是多少？ 【答案】(1)最大值为59，相应的x的值为 (2) ①不能， 理由：∵为等腰直角三角形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 当矩形的面积达到时，， 整理得：， ， ∴方程没有实数根， ∴矩形的面积不能达到． ②当时，矩形面积最大值为 【分析】（1）将代数式化为，即可求解； （2）①证明为等腰直角三角形，则，得，由即可判定；②，再根据（1）的方法，即可求解． 【详解】（1）解：， ∵是非负数， ∴， ∴， 则代数式的最大值为59，这时相应的x的值为； （2）解：①略 ② ， ∵是非负数， ∴， ∴， ∴当时，矩形面积最大值为． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用，熟练掌握配方法确定最值，一元二次方程根的判别式，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，是解题的关键． 【变式3】（25-26九年级上·广东汕头·期末）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求多项式的最小值． 解：．因为，所以， 因此，当时，有最小值，其最小值为1，即的最小值为1．通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： (1)【理解探究】 已知代数式，则的最小值为_____； (2)【类比应用】 张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由； (3)【拓展应用】 如图，在中，，，，点分别是线段和上的动点，点从点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当为何值时？的面积最大，其最大值为多少？ 【答案】(1) (2) ，理由如下： ，， ； (3)当时，的面积最大，且最大面积为 【分析】本题主要考查了配方法求最值、非负数的性质等知识点，根据阅读材料、理解配方法是解答本题的关键． （1）根据阅读材料提供的方法解答即可； （2）先列出甲乙两块菜地的面积的代数式，然后作差比较即可； （3）先用t表示出，然后表示出的面积，然后用配方法求得面积的最大值即可． 【详解】（1）解： 当时，，因此 有最小值，最小值为， ∴ A的最小值为， 故答案为：； （2）略 （3）解：由题意得：， 当时，的面积最大，且最大面积为． 期中基础通关练（测试时间：5分钟） 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）设，其中a为实数，则M与N的大小关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】作差后配方，利用平方的非负性判断差的符号，比较M与N的大小． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26九年级上·山东聊城·期末）将一元二次方程转化为的形式，则的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】A 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，利用完全平方公式将原方程转化为指定的完全平方形式，确定参数a和b的值后，计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 即， 与对比，得， ∴， 故选：A． 3．（25-26九年级上·四川南充·期末）代数式的值（   ） A．一定是正数 B．可能是负数 C．可能为零 D．不能确定取值范围 【答案】A 【分析】本题考查了配方法的应用，通过完成平方将代数式变形，利用平方的非负性判断其值恒为正数． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴代数式的值一定为正数， 故选：A． 期中重难突破练（测试时间：5分钟） 1．（25-26九年级上·江苏南京·期中）若，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了配方法的应用，由 得 ，代入 得到 ，利用配方法可得，即得，据此即可求解，掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ 可能取值为， 故选：． 2．（24-25九年级上·福建莆田·期中）已知x，y为实数，且满足，设，记的最大值为，最小值为，则（） A． B．8 C． D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查配方法的应用，乘法公式；由已知条件变形得到，再通过配方法求出的取值范围，进而得到u的最值，计算即可． 【详解】解：， 由①得，，代入②中，得 ， 把①的两边同时加，得， 解得， 把①的两边同时减，得 解得， ∴， ， 即， ∴的最大值为，最小值为， ∴， 故选：C． 3．（2026·江苏连云港·中考真题）若a、b、c是三个不为零的实数，且，则的最小值为____． 【答案】/ 【分析】利用已知条件对所求式子进行换元，将原式转化为关于新变量的代数式，再用配方法最小值即可． 【详解】解：，且都不为， ， ， 设则，原式， ， ，当时，原式取得最小值， 即的最小值为． 4．（2023·江苏连云港·中考真题）若（为实数），则的最小值为__________． 【答案】 【分析】运用配方法将变形为，然后根据非负数的性质求出的最小值即可． 【详解】解： = = = ∵为实数， ∴ ∴的最小值为, 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，解题时注意配方的步骤，注意在变形的过程 中不要改变式子的值． 5．（2025·全国·中考真题）已知． (1)求的最小值． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)，，，或，，， 【分析】本题主要考查分式的混合运算，配方法求最小值，掌握分式的混合运算法则，配方法的运用是解题的关键． （1）根据题意得到，则原式化简得，由配方法求最值的计算方法即可求解； （2）根据题意得到，则，，所以，由得到，令，根据，得到，由此即可求解． 【详解】（1）解： ， ， ， ， 的最小值为． （2）解：， ， ， ， ∴， ， ，令， ， ，即， 整理得， 解得， ，，，或，，，． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 配方法的应用（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一  配方法直接求值 题型二  单式配方比较代数式大小 题型三  双配方构造非负式比较大小 题型四  单变量配方求整式最值 题型五  双变量双配方求多元代数式最值 题型六  双变量先消元再配方求解最值 题型七  利用配方非负性判定三角形形状 题型八  配方法证明代数式恒正 / 恒负恒成立 题型九  配方法结合新定义运算综合题型 题型十  配方法解决几何周长、面积、线段最值应用题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 利用配方法求代数式最值 会对二次三项式配方，能求出代数式的最大值或最小值 中档常考，填空、选择、解答都可出现；易错：分不清有最大值还是最小值 配方法判断代数式取值范围 能通过配方，判断代数式的值恒正、恒负或非负 选择填空高频；易错：忽略平方项≥0 这个前提条件 配方法在证明题中的应用 能借助配方将式子转化为完全平方式，完成简单代数证明 中档偏难题型；易错：配方变形过程计算出错 配方法求参数的值 根据配方后的结果，利用平方的非负性求解参数 期中压轴小题；易错：多个完全平方相加等于 0 时，忘记令每一项都等于 0 知识点01 配方法 1）配方法的理论依据：完全平方公式的逆用； 2）配方的对象：二次三项式知二求一，即将中的二次项，一次项，常数项任取两项，再配一项，使其能成为完全平方式. 3）用配方法解一元二次方程，实际就是由二次项和一次项来配常数项. 4）由配常数项 ①若，则，此时配常数项（即一次项系数一半的平方）即可. ②若，则将二次项系数化为1，再用①的方法来处理. 题型一 配方法直接求值 解｜题｜技｜巧 分组凑完全平方，利用平方非负性，令每一个平方括号内的式子等于 0，联立方程组解出未知数，再整体代入计算目标式子。 【典例1】（26-27九年级上·北京·开学考试）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则___________． 【变式1】（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）已知多项式，若无论x取何实数，A的值都不是负数，则k的取值范围是______． 【变式2】（25-26九年级上·重庆·期中）若，则的值为_____． 【变式3】（2024八年级下·浙江温州·竞赛）已知，则的值等于_________． 题型二 单式配方比较代数式大小 解｜题｜技｜巧 A-B构造差值，配方化为平方加常数形式，根据结果正负判断A与B的大小。 【典例2】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知，，则比较代数式A与B的值：A________B．（请用“”、“”、“”表示） 【变式1】（23-24九年级上·河南新乡·期中）已知，则比较P，Q的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏徐州·期中）若m为实数，，，则比较P，Q的大小可得：______． 【变式3】（23-24八年级下·江苏南通·期中）已知，． (1)当a为何值时？． (2)对于任意实数a，试比较A与B的大小． 题型三 双配方构造非负式比较大小 解｜题｜技｜巧 对差值进行两次及以上配方，转化为多个平方相加，直接判定差值≥0 或≤0，完成大小比较。 【典例3】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，，判断，的大小关系． 【变式1】（24-25九年级下·甘肃嘉峪关·开学考试）已知．若，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·山东日照·期中）已知，满足，，则，的大小关系为____． 【变式3】（2022·江苏泰州·中考真题）已知 用“＜”表示的大小关系为________. 题型四 单变量配方求整式最值 解｜题｜技｜巧 二次项系数化为 1 后配方，写成形式，依据平方非负性确定顶点k即为最值。 【典例4】（25-26九年级上·全国·课后作业）当__时，多项式有最大值？求出这个最大值是 __ ． 【变式1】（22-23九年级上·辽宁丹东·期中）当x取何值时，多项式有_________（填最大值或最小值），其最大值或最小值是_______． 【变式2】（23-24七年级下·浙江金华·期中）在学习了乘法公式“”的应用后，求代数式的最小值．同学们经过探索、合作交流，最后得到如下的解法： 解： ∵ ∴， ∴的最小值是． （1）代数式的最小值为________． （2）若，则的最____值（填大或小）为________． 【变式3】（26-27九年级·上海·暑假作业）阅读材料： 配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决一些最值问题，比如：因为，所以就有最小值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为，所以有最大值1，即，只有在时，才能得到这个式子的最大值1． 请解决下列问题： (1)当 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ； (2)当 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ； (3)矩形花园的一面靠墙，另外三面栅栏的总长度16m，求：当花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 题型五 双变量双配方求多元代数式最值 解｜题｜技｜巧 分别对两个字母分组独立配方，化为两个完全平方加常数的结构，直接读出最值。 【典例5】（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）若（x、y为实数），则W的最小值为________． 【变式1】（22-23九年级下·广东深圳·自主招生），则P的最小值为_________． 【变式2】（26-27九年级上·江苏南京·单元测试）阅读与思考：配方法不仅能够帮助我们解一元二次方程，还能用来解决求最值问题．例如：求代数式的最小值，过程如下： 原式 ． ，， ， 的最小值是． 根据材料中的方法，解答下列问题． (1)的最大值为   ； (2)求的最小值． 【变式3】（25-26八年级上·四川资阳·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法，它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 我们定义：一个整数能表示成（都是整数）的形式，则称这个数为“和美数”例如，是一个“和美数”，理由是：因为，所以是“和美数”． (1)在三个数中，是“和美数”的有_______； (2)已知（是整数，k是常数），要使为“和美数”，试写出符合条件的一个值，并说明理由； (3)已知实数满足，求的最大值． 题型六 双变量先消元再配方求解最值 解｜题｜技｜巧 先用已知等式消去一个变量，转化为单变量二次式，再配方求解最值。 【典例6】（2025九年级上·全国·专题练习）已知是一元二次方程的一个根，则的最大值为______；的最小值为______． 【变式1】（25-26九年级上·福建厦门·期中）已知两个整数a，b，有，则的最大值是______． 【变式2】（20-21九年级·江苏南京·自主招生）已知实数，满足，则的最大值为______． 【变式3】（24-25九年级下·山东烟台·期末）已知为实数，满足，那么的最小值为______． 题型七 利用配方非负性判定三角形形状 解｜题｜技｜巧 对三边关系式整体配方，拆成多个平方和为 0，得出边长之间的等量关系判定形状。 【典例7】（26-27九年级上·江苏南京·单元测试）若a，b，c为的三边长，且满足，则的形状是________三角形． 【变式1】（22-23八年级上·山东威海·期中）设、、是三角形的三边长，且满足，则此三角形的形状为__________． 【变式2】（22-23八年级上·福建泉州·期末）在中，，，，如果a，b满足，那么的形状是 _____． 【变式3】（25-26八年级上·湖南益阳·期末）【问题背景】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等方面都有着广泛的应用． 例1．因式分解：． 解：原式． 例2．若，利用配方法求M的最小值． 解：， ∵，，当时，M有最小值1． 【问题解决】请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用配方法因式分解：． (2)求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的x的值． (3)【策略迁移】已知a，b，c是的三边长，且满足，试判断三角形的形状． 题型八 配方法证明代数式恒正 / 恒负恒成立 解｜题｜技｜巧 配方转化为平方加常数的固定形式，根据平方非负性直接说明取值范围。 【典例8】（25-26八年级下·广西贺州·期中）阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式的最小值． ，且， ∴当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)求证：无论取何值，代数式的值恒为正数； (2)若代数式的最小值为，求的值： 【变式1】（22-23八年级下·江苏泰州·期末）已知代数式． (1)当为何值时，代数式A比B的值大2； (2)求证：对于任意的值，代数式的值恒为正数． 【变式2】（20-21八年级上·四川眉山·期中）阅读下列材料： 小丽想求代数式的最小值是多少，通过观察式子的特点，她发现x2﹣6x很接近完全平方式，如果能加上9，它就可以变成，而为了使式子变形前后保持相等，还必须减去9，这种凑成完全平方式的方法数学上叫做添项法．该题的具体解题过程是： 解：． ∵， ∴， 即的最小值为4． 请借鉴小丽的方法解答下列各题． (1)求代数式的最小值是多少？ (2)求证：不论x，y为何有理数，的值恒为正数； (3)代数式有最大值，这个最大值是____． 【变式3】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）我们知道，和这样的式子可以运用完全平方公式进行因式分解．有些多项式不是完全平方式，我们可以用配方法将多项式进行分解，并解决一些最值问题． 例如：①分解因式：； 解：原式 ； ②求代数式的最小值． 解：原式， ∵，∴， ∴当时，代数式有最小值． 结合以上材料解决下面的问题： (1)分解因式：； (2)当x为何值时，有最小值？最小值为多少？ (3)求证：无论x，y取任何实数，代数式的值恒为正数． 题型九 配方法结合新定义运算综合题型 解｜题｜技｜巧 严格按照新定义列式，整理后用配方法化简、求值或证明。 【典例9】（25-26八年级上·吉林长春·期中）我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）已知25是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式________； （2）若可配方成（、为常数），则________； 【探究问题】 （3）已知，则________； （4）已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由； 【变式1】（24-25九年级上·四川内江·期中）对于有理数a，b，定义的含义为：当时，；当时，．若，则的值等于________． 【变式2】（25-26八年级上·上海·期末）定义：关于的一元二次方程：（，是常数，与（是常数，称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．如果关于的一元二次方程：与（是常数，）是“同族二次方程”．那么代数式的最小值是___________． 【变式3】（25-26九年级上·福建·期中）定义：如果关于的一元二次方程有一个根是，那么我们称这个方程为“方程”．已知关于的一元二次方程是“方程”． (1)求的数量关系； (2)求代数式的最小值． 题型十 配方法解决几何周长、面积、线段最值应用题 解｜题｜技｜巧 根据几何公式列出二次函数表达式，通过配方法求出顶点最值，结合几何实际取舍答案。 【典例10】（23-24九年级上·四川内江·期中）先阅读，再解答：由阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法可以解决一些数学问题．比如运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． 例： 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题： (1)分解因式：； (2)求多项式的最小值； (3)已知是的三边长，且满足，求的周长． 【变式1】（25-26八年级下·浙江温州·期中）先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题． 例：求代数式的最小值． 解：． 因为，所以，所以的最小值是2． (1)代数式的最小值为___________． (2)关于的二次多项式（为常数）有最小值为，求常数的值． (3)如图，在等腰中，，点为边上一点（不与点重合），连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点为，连接．若，求的面积的最大值． 【变式2】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）阅读理解并解答： 我们把多项式及叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以来解决代数式值的最大（或最小）值问题． 例如： ∵是非负数，即∴ 则这个代数式的最小值是，这时相应的x的值是2． (1)仿照上述方法求代数式的最大（或最小）值，并写出相应的x的值； (2)实践应用：如图，工人师傅要在等腰直角的内部作一个矩形，其中和分别在两直角边上，．如果设矩形的一边， ①请问矩形的面积能否达到？为什么，请说明理由； ②求出当x取何值时，矩形的面积最大，最大值是多少？ 【变式3】（25-26九年级上·广东汕头·期末）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求多项式的最小值． 解：．因为，所以， 因此，当时，有最小值，其最小值为1，即的最小值为1．通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： (1)【理解探究】已知代数式，则的最小值为_____； (2)【类比应用】张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由； (3)【拓展应用】如图，在中，，，，点分别是线段和上的动点，点从点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当为何值时？的面积最大，其最大值为多少？ 期中基础通关练（测试时间：5分钟） 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）设，其中a为实数，则M与N的大小关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 2．（25-26九年级上·山东聊城·期末）将一元二次方程转化为的形式，则的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 3．（25-26九年级上·四川南充·期末）代数式的值（   ） A．一定是正数 B．可能是负数 C．可能为零 D．不能确定取值范围 期中重难突破练（测试时间：5分钟） 1．（25-26九年级上·江苏南京·期中）若，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·福建莆田·期中）已知x，y为实数，且满足，设，记的最大值为，最小值为，则（） A． B．8 C． D．10 3．（2026·江苏连云港·中考真题）若a、b、c是三个不为零的实数，且，则的最小值为____． 4．（2023·江苏连云港·中考真题）若（为实数），则的最小值为__________． 5．（2025·全国·中考真题）已知． (1)求的最小值． (2)若，求的值． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $