精品解析：湖南长沙市地质中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

九年级上学期第一次随堂练习数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一．单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列交通标志，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在一次数学答题比赛中，五位同学答对题目的个数分别为7，5，3，5，10，这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 5和5 B. 3和5 C. 3和7 D. 3和10 3. 将抛物线向上平移6个单位，再向右平移9个单位，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 关于反比例函数的图象，下列说法中错误的是（ ） A. 点在它的图象上 B. 图象位于第二、四象限 C. y随的增大而增大 D. 图象的两个分支关于原点对称 5. 杨辉是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家．他与秦九韶、李冶、朱世杰并称“宋元数学四大家”他所著《田亩比类乘除算法》（1275年）提出的这样一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）．问阔及长各几步．”若设阔为步，则可列方程（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将绕点顺时针旋转得到．若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，两个班的人数相同，在一次测试中两个班成绩的箱线图如图所示（满分分），则下列说法错误的是（ ） A. 班成绩的中位数比班成绩的下四分位数低 B. 班的最低分比班的最低分低 C. 班成绩的上四分位数与班成绩的中位数相同 D. 班的成绩比班的成绩更集中 8. 如图，在菱形中，，，过菱形的顶点分别作边对角线，的平行线，两两相交于点，，，，则四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 9. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数的图象关于直线对称，与轴交于，两点，若，则下列四个结论：①②③④，正确结论的个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二．填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 分解因式：＝________________________． 12. 在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则的值为________． 13. 已知m，n是一元二次方程的两个根，则_______． 14. 为解决群众看病贵的问题，我市有关部门决定降低药价，对某种原价为300元的药品进行连续两次降价后为243元．设平均每次降价的百分率为x，则x的值为_______． 15. 如图，轴交反比例函数的图象于点，交轴于点，连接，，则的值是______． 16. 如图，在平行四边形中，以点A为圆心长为半径作弧交于点F，分别以点B、F为圆心，大于的长度为半径作弧，交于点G，连接并延长交于点E，若，，则的长为 __ ． 三．解答题 17. 计算：． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点O对称的； （2）画出绕原点O顺时针旋转得到的，并写出点的坐标． 20. 已知二次函数（为常数）的图像与轴有两个交点， （1）求的取值范围； （2）若此二次函数图像与轴的两个交点之间的距离为1，求的值． 21. 某文具店准备购进甲、乙两种圆规，若购进甲种圆规10个，乙种圆规30个，需要340元；若购进甲种圆规30个，乙种圆规50个，需要700元． （1）求购进甲、乙两种圆规的单价各是多少元； （2）文具店购进甲、乙两种圆规共100个，每个甲种圆规的售价为15元，每个乙种圆规的售价为12元，销售这两种圆规的总利润不低于480元，那么这个文具店至少购进甲种圆规多少个？ 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和，与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为． （1）求一次函数和反比例函数的关系式； （2）若点是点关于轴的对称点，求的面积； （3）当函数值时，直接写出的取值范围． 23. 如图，菱形的对角线相交于点，点是中点，延长线段至点，使，连接，，． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，求的长． 24. 定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如，都是“纵三倍点”． （1）下列函数图像上只有一个“纵三倍点”的是 ；（填序号） ①；②；③；④； （2）已知抛物线（m，n均为常数）与直线只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线的解析式； （3）若抛物线（a，b是常数，）的图像上有且只有一个“纵三倍点”，令，是否存在一个常数t，使得当时，w的最小值恰好等于t，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 25. 如图，抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点，直线与抛物线交于点，交轴于点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点为线段上一动点，过点作轴的垂线，分别交抛物线与直线于点，，连接，，，求四边形面积的最大值及此时的值； （3）点为轴右侧抛物线上一动点，过点作直线交直线于点，是否存在点，使以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上学期第一次随堂练习数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一．单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列交通标志，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的识别，解题的关键是掌握两种图形的定义（轴对称图形：沿一条直线折叠后直线两旁的部分能完全重合；中心对称图形：绕某一点旋转后能与自身重合）． 依次分析每个选项的图形，判断是否同时满足轴对称和中心对称的条件． 【详解】A、图形沿中间竖直线折叠后两边能重合，是轴对称图形；绕中心旋转后与自身重合，是中心对称图形，同时满足两个特征； B、图形沿某条直线折叠后不能完全重合，不是轴对称图形；绕中心旋转后与自身不重合，不是中心对称图形； C、图形沿某条直线折叠后不能完全重合，不是轴对称图形；绕中心旋转后与自身不重合，不是中心对称图形； D、图形沿某条直线折叠后不能完全重合，不是轴对称图形；绕中心旋转后与自身不重合，不是中心对称图形． 故选：A． 2. 在一次数学答题比赛中，五位同学答对题目的个数分别为7，5，3，5，10，这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 5和5 B. 3和5 C. 3和7 D. 3和10 【答案】A 【解析】 【详解】解：在数据7，5，3，5，10中，出现次，出现次数最多， ∴众数为； 将数据从小到大排列为3，5，5，7，10， ∵共有个数据，中位数为排序后第个数， ∴中位数为． 3. 将抛物线向上平移6个单位，再向右平移9个单位，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线平移的性质，即可求解． 【详解】解∶∵抛物线的顶点坐标为（0，0）， ∴将抛物线向上平移6个单位，再向右平移9个单位，得到的抛物线的顶点坐标为（9，6）， ∴平移后的抛物线的解析式为． 故选：B 【点睛】本题考查二次函数图象的平移，得到新抛物线的顶点坐标是解题的关键． 4. 关于反比例函数的图象，下列说法中错误的是（ ） A. 点在它的图象上 B. 图象位于第二、四象限 C. y随的增大而增大 D. 图象的两个分支关于原点对称 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，反比例函数的增减性，求反比例函数的函数值，求出当时的函数值即可判断A；根据函数解析式可得函数图象分布的象限以及在每个象限内的增减性，据此可判断B、C；根据反比例函数的对称性可判断D． 【详解】解：A、在中，当时，，则点在反比例函数的图象上，原说法正确，不符合题意； B、∵， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限，原说法正确，不符合题意； C、∵， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限，在每个象限内y随的增大而增大，原说法错误，符合题意； D、由反比例函数的对称性可知，图象的两个分支关于原点对称，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 5. 杨辉是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家．他与秦九韶、李冶、朱世杰并称“宋元数学四大家”他所著《田亩比类乘除算法》（1275年）提出的这样一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）．问阔及长各几步．”若设阔为步，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用；根据宽比长少12步，设阔为步，则长为步，利用矩形面积公式列方程. 【详解】解：由题意可得，长为步， ∴， 故选：A． 6. 如图，将绕点顺时针旋转得到．若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质．根据旋转的性质可得，，证明是等边三角形，即可得的长． 【详解】解：连接，如图所示： 将绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， 则， 故选：A． 7. 已知，两个班的人数相同，在一次测试中两个班成绩的箱线图如图所示（满分分），则下列说法错误的是（ ） A. 班成绩的中位数比班成绩的下四分位数低 B. 班的最低分比班的最低分低 C. 班成绩的上四分位数与班成绩的中位数相同 D. 班的成绩比班的成绩更集中 【答案】D 【解析】 【分析】根据箱线图所展示出的数据的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值，对选项描述逐一进行判断即可． 【详解】解：根据箱线图的上四分位数为箱子上边界对应的值，下四分位数为箱子下边界对应的值，中位数为箱子内部的横线对应的值，最大值、最小值为上下侧虚线的端点对应的值，分析各选项． 选项，根据箱线图，班成绩的中位数比班成绩的下四分位数低，说法正确，不符合题意； 选项，根据箱线图，班的最低分比班的最低分低，说法正确，不符合题意； 选项，根据箱线图，班成绩的上四分位数与班成绩的中位数相同，说法正确，不符合题意； 选项，班的成绩比班的成绩更集中，说法错误，根据箱线图，应是班的成绩比班的成绩更集中，故符合题意． 8. 如图，在菱形中，，，过菱形的顶点分别作边对角线，的平行线，两两相交于点，，，，则四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，30度所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键．先证明四边形、、是平行四边形，得到，，然后利用等腰三角形的性质，求得，在中利用勾股定理求得，，从而得到和，最后算得答案． 【详解】解：连接，，与相交于点，如图所示： ， 四边形、、是平行四边形 四边形是菱形 ，，， ， ， ， 则四边形的周长为: 故选：D 9. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分类讨论，当时，故经过第一、二、四象限，经过第一、三象限，或当时，经过第一、二、三象限，且进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：依题意，当时，则， ∴经过第一、二、四象限， 此时得经过第一、三象限， 故A选项符合题意，B、D选项都不符合题意； 当时，则， ∴经过第一、二、三象限， 故C选项不符合题意； 综上，只有选项A符合题意． 10. 如图，二次函数的图象关于直线对称，与轴交于，两点，若，则下列四个结论：①②③④，正确结论的个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】结合所给函数图象，抛物线的开口方向、对称性及二次函数与一元二次方程之间的关系对所给结论进行依次判断即可． 【详解】解：二次函数的图象关于直线对称，与轴交于，两点， ，两点关于直线对称， ， ， 结论①正确； 直线是二次函数对称轴， ，即， ， 由函数图象可知，该二次函数开口向上，， ， 结论②错误； 该二次函数与轴有两个交点， ， 由图可知，当时，， 即，， ， ， 即， 结论③正确； ，即， ， ， ，即， ， ， ∴不一定正确， 结论④错误； 综上，正确结论为①③，共个． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数图象与性质、二次函数的图象与系数的关系、二次函数与一元二次方程的关系，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与系数的关系． 二．填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 分解因式：＝________________________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再用平方差公式分解得到最终结果． 【详解】解：． 12. 在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标性质，代数式求值等．根据关于原点对称的点的坐标性质，两个点的横坐标和纵坐标分别互为相反数，由此列出方程求解和，再计算的值． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， 解得， ∴． 故答案为：． 13. 已知m，n是一元二次方程的两个根，则_______． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再对代数式变形后代入计算． 先根据根与系数的关系求出和的值，再将展开变形，代入值计算． 【详解】由根与系数的关系，得，， 则． 故答案为：2025． 14. 为解决群众看病贵的问题，我市有关部门决定降低药价，对某种原价为300元的药品进行连续两次降价后为243元．设平均每次降价的百分率为x，则x的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设平均每次降价的百分率为x，根据该种药品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，再求解即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x， 根据题意得：． 解得：（舍去）， 所以平均每次降价的百分率为， 故答案为：． 15. 如图，轴交反比例函数的图象于点，交轴于点，连接，，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的几何意义求解即可． 【详解】解：∵轴交反比例函数的图象于点，交轴于点，， ， ， ∵反比例函数图象在第二象限， ， ， 16. 如图，在平行四边形中，以点A为圆心长为半径作弧交于点F，分别以点B、F为圆心，大于的长度为半径作弧，交于点G，连接并延长交于点E，若，，则的长为 __ ． 【答案】 【解析】 【分析】设与相交于点，由作图知，结合平行四边形的性质可得为等腰三角形，进而根据三线合一得出，勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：设与相交于点， 由作图过程可知，，平分， ∴，，， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴． 三．解答题 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）, （2）, 【解析】 【小问1详解】 解： 或 ， 【小问2详解】 解： 或 ， 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点O对称的； （2）画出绕原点O顺时针旋转得到的，并写出点的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2） 如图，为所求． 【解析】 【分析】本题考查作中心对称图形，作旋转图形，掌握中心对称图形与旋转图形是解题的关键． （1）根据关于原点对称点的坐标变化得到的三个顶点关于原点O的对称点，，的坐标，再在坐标系中描出点，，，依次连接即可得到； （2）根据旋转的性质作出点，，，依次连接即可得到，由平面直角坐标系直接写出点的坐标． 【小问1详解】 解：∵，，，与关于原点O对称， ∴，，． 【小问2详解】 略 20. 已知二次函数（为常数）的图像与轴有两个交点， （1）求的取值范围； （2）若此二次函数图像与轴的两个交点之间的距离为1，求的值． 【答案】（1）且. （2）或. 【解析】 【分析】（1）由是二次函数解析式可得，再由二次函数的图像与轴有两个交点可得，即可求出的取值范围； （2）设二次函数图像与轴的两个交点的横坐标为，（），由和根与系数的关系即可求解． 【小问1详解】 解：∵是二次函数， ∴， ∵二次函数的图像与轴有两个交点， ∴，解得：， 综上：且． 【小问2详解】 解：设二次函数图像与轴的两个交点的横坐标为，（）， ∴，为（）的两个根， ∴，， ∵二次函数图像与轴的两个交点之间的距离为1， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即或， ∴或． 21. 某文具店准备购进甲、乙两种圆规，若购进甲种圆规10个，乙种圆规30个，需要340元；若购进甲种圆规30个，乙种圆规50个，需要700元． （1）求购进甲、乙两种圆规的单价各是多少元； （2）文具店购进甲、乙两种圆规共100个，每个甲种圆规的售价为15元，每个乙种圆规的售价为12元，销售这两种圆规的总利润不低于480元，那么这个文具店至少购进甲种圆规多少个？ 【答案】（1）购进甲圆规每个需要10元，乙圆规每个需要8元 （2）这个文具店至少购进甲种圆规80个 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，解题的关键是： （1）设购进甲圆规每个需要x元，乙圆规每个需要y元，根据“若购进甲种圆规10个，乙种圆规30个，需要340元；若购进甲种圆规30个，乙种圆规50个，需要700元”，可列关于x、y的二元一次方程组，求解即可； （2）设购进甲圆规m个，则购进乙圆规个，根据“销售这两种圆规的总利润不低于480元”列出关于m的不等式，求解即可． 【小问1详解】 解：设购进甲圆规每个需要x元，乙圆规每个需要y元， 根据题意，得， 解得， 答：购进甲圆规每个需要10元，乙圆规每个需要8元； 【小问2详解】 解：设购进甲圆规m个，则购进乙圆规个， 根据题意，得， 解得， 答：这个文具店至少购进甲种圆规80个． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和，与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为． （1）求一次函数和反比例函数的关系式； （2）若点是点关于轴的对称点，求的面积； （3）当函数值时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为， （2）32 （3）或 【解析】 【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数的解析式求出m，再求出点B的坐标，把点A、点B的坐标代入一次函数的解析式中，可得结论； （2）根据（1）一次函数的解析式求得点C的坐标，由轴对称的性质求得点E的坐标，再根据三角形的面积公式求解即可； （3）根据图象求解即可． 【小问1详解】 解：把点代入得：， ∴反比例函数的解析式为， 把点代入得：， ∴点， 把点，代入得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：对于，当时，， ∴点， ∵点是点关于轴的对称点， ∴点， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：观察图象得：当函数值时，的取值范围为或． 23. 如图，菱形的对角线相交于点，点是中点，延长线段至点，使，连接，，． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，． ∵点是中点， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）先运用菱形的性质结合得出，，再通过点是中点、推出四边形是平行四边形，等量代换推出四边形是平行四边形，最后通过证明平行四边形是矩形即可； （2）先通过菱形的性质推出为等边三角形，结合运用三线合一求出的值，再通过菱形的性质和矩形的性质推出的值，最后根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴． ∵， ∴，． 在中，由勾股定理，得， ∴． 由（1）得，四边形是矩形， ∴，． ∵在中，， ∴． 24. 定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如，都是“纵三倍点”． （1）下列函数图像上只有一个“纵三倍点”的是 ；（填序号） ①；②；③；④； （2）已知抛物线（m，n均为常数）与直线只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线的解析式； （3）若抛物线（a，b是常数，）的图像上有且只有一个“纵三倍点”，令，是否存在一个常数t，使得当时，w的最小值恰好等于t，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①③； （2） （3）存在，t的值为1或3 【解析】 【分析】（1）根据“纵三倍点”的定义逐项判断即可； （2）根据定义可得“纵三倍点”为，代入得出①，联立根据题意得出②，联立①②，即可求解； （3）联立，依题意得出得出．分三种情况：当，当时，当时，求解即可． 【小问1详解】 解：①联立，解得：， ∴一次函数的图像上的“纵三倍点”为，故①符合题意； ②联立，即， 解得：，故②不合题意； ③联立，解得：， ∴二次函数的图像上只有一个“纵三倍点”，故③符合题意； ④联立，解得：，故④不合题意； 综上分析可知，正确的是①③． 故答案为：①③． 【小问2详解】 解：联立，解得：， 依题意经过，则①， 联立， ， ∵抛物线均为常数）与直线只有一个交点， ②， 联立①②得， 解得：， ∴抛物线解析式为； 【小问3详解】 解：联立， 即， 依题意，， ， ， 当，即时，在处，有最小值， ∴，解得：（舍去），（舍去）， 当时，即时，有最小值1， ∴存在常数，使得时，的最小值恰好等于，符合题意； 当时，在处，有最小值， ∴，解得：（舍去），， 综上所述：或． 【点睛】本题主要考查了新定义“纵三倍点”、二次函数和一次函数的综合应用、一元二次方程根的判别式等知识，解题的关键是理解“纵三倍点”的定义，任意的一个“纵三倍点”一定在正比例函数的图像上． 25. 如图，抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点，直线与抛物线交于点，交轴于点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点为线段上一动点，过点作轴的垂线，分别交抛物线与直线于点，，连接，，，求四边形面积的最大值及此时的值； （3）点为轴右侧抛物线上一动点，过点作直线交直线于点，是否存在点，使以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）当时，四边形的面积有最大值，最大值为； （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线l的函数表达式为，根据题意可得，则，可求出，据此可得答案； （3）由，可得以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形时，是该平行四边形的一组对边；据此分两种情况：当四边形是平行四边形时，则点A平移到点C的平移方式与点N平移到点M的平移方式相同，当四边形是平行四边形时，则点C平移到点A的平移方式与点N平移到点M的平移方式相同，讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的图象与轴交于，两点， ∴ ， ∴， ∴该抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：设直线l的函数表达式为， 则， ∴， ∴直线l的函数表达式为； ∵轴，， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，的面积有最大值，最大值为； 【小问3详解】 解：设， ∵， ∴以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形时，是该平行四边形的一组对边； 当四边形是平行四边形时，则点A平移到点C的平移方式与点N平移到点M的平移方式相同， 在中，当时，， ∴， ∵， ∴点A向右平移1个单位长度，向下平移3个单位长度得到点C， ∴点N向右平移1个单位长度，向下平移3个单位长度得到点M， ∴点M的坐标为，即， ∴， 解得或， ∴当时，， 当时，，不符合题意； ∴点M的坐标为； 当四边形是平行四边形时，则点C平移到点A的平移方式与点N平移到点M的平移方式相同， ∵点C向左平移1个单位长度，向上平移3个单位长度得到点A， ∴点N向左平移1个单位长度，向上平移3个单位长度得到点M， ∴点M的坐标为，即， ∴， 解得或， ∴当时，， 当时，，不符合题意； ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $