湖南长沙市南雅中学2026-2027学年九年级上学期第一次数学作业检测

2026年下学期第一次作业检测 数学科目 本试卷共3道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟． 一、选择题（本大题10小题，共30分） 1．下列“幼圆字体”汉字中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．2026的相反数是（ ） A． B．2026 C． D． 3．ChatGPT是人工智能研究实验室OpenAI新推出的一种由人工智能技术驱动的处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 4．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 5．下列调查中，最适宜采用全面调查的是（ ） A．对我国中学生视力状况的调查 B．检查某批次手机电池的使用寿命 C．对春节期间居民出行方式的调查 D．旅客乘坐飞机前的安全检查 6．在平面直角坐标系中，函数的图象经过第（ ）象限． A．一、二、三 B．二、三、四 C．一、三、四 D．一、二、四 7．如图，将绕点逆时针旋转得到，若点落在线段的延长线上，则的大小为（ ） A． B． C． D． 8．如图，在中，对角线，相交于点，．若，，则的长为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．为了破除“以药补医”，降低群众医疗费用负担．某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为，根据题意所列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 10．抛物线的对称轴是直线，与轴交于，其图象如图所示．下列结论： ①；②；③若和是抛物线上的两点，则时，；④抛物线的顶点坐标为，则关于的方程无实数根；⑤．其中正确结论的个数是（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 二、填空题（本大题6小题，共18分） 11．因式分解：__________． 12．当__________时，式子有意义． 13．如图，在中，是的中线，，分别是，的中点，连接，已知，则的长为__________． 14．如图，已知反比例函数（为常数，）的图象经过点，过点作轴，垂足为．若的面积为1，则__________． 15．若，是方程的两个实数根，则__________． 16．“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一、图1即洛书，将其圆圈个数按顺序填入正方形方格中，就得到了一个幻方（图2）即满足每一横行、每一竖列、两条斜对角线上的三个数字之和都相等．图3的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个幻方，则__________． 三、解答题（本大题9小题，共72分） 17．（6分）计算：． 18．（6分）先化简，再求值：，其中． 19．（6分）如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，分别以点，为圆心、大于长为半径画弧，两弧相交于点，连接交于点，连接． （1）求证：是等边三角形； （2）若，，求的长． 20．（8分）某校为了增强学生的文化自信，举办了“品经典风韵·展文化自信”书香文化节知识竞赛，赛后随机抽取八、九年级各10名参赛同学的竞赛成绩（单位：分），并对数据进行收集、整理和分析如下： 【数据收集】 八年级：80，80，80，90，70，70，90，100，100，80 九年级：70，90，90，100，80，70，90，90，80，100 【数据整理】 绘制成如下两幅不完整的统计图． 八年级竞赛成绩统计图 九年级竞赛成绩统计图 【数据分析】 年级 众数 中位数 平均数 八年级 a 80 84 九年级 90 90 b 根据上述的收集、整理和分析结果，解答下列问题． （1）扇形图中_________，表中_________，并补全条形统计图； （2）请计算表中b的值（需写出计算过程）； （3）若九年级共有100名同学参加了此次竞赛，请你估计九年级参加竞赛的同学中，共有多少名同学在此次竞赛中拿到了满分（100分）？ 21．（8分）如图，在中，是上一点，是的中点，连接并延长线至点，使得，连接． （1）求证：； （2）若，且平分，求的度数． 22．（9分）橘子洲景区一家文创商店销售一款以“青年毛泽东艺术雕塑”为原型的纪念徽章，每件的进货价为20元．经市场调研：当该纪念品每件的销售价为30元时，每天可销售110件；每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少5件．为维护长沙旅游城市的良好形象，景区管委会规定：这款纪念徽章每件的销售价不得高于35元． （1）当每件的销售价为31元时，该纪念品每天的销售数量为_________件； （2）设每件纪念徽章涨价x元，每天销售该纪念品获得的利润为w元． ①求w与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； ②当每件的销售价为多少元时，销售该纪念品每天获得的利润最大？并求出最大利润． 23．（9分）如图，在中，，是边上的中线．过点作，且，连接． （1）求证：四边形是菱形 （2）连接，若，，求的长． 24．（10分）若关于的一次函数与二次函数同时满足，则称函数与函数互为“联络”函数． 如：一次函数与二次函数互为“联络”函数． 根据该约定，解答下列问题： （1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）； ①一次函数的“联络”函数为．（_____） ②一次函数的“联络”函数的顶点在反比例函数的图象上．（_____） ③关于的一次函数的“联络”函数的图象与x轴一定会有公共点．（_____） （2）若关于的一次函数的“联络”函数为，的图象与轴交于不同的两点、，函数的图象与它的“联络”函数的图象交于不同的两点、，记以，，，为顶点的四边形的面积为． ①当，时，求四边形的面积的值； ②当实数时，令，求的取值范围． 25．（10分）已知抛物线：（，，为常数，）与轴交于、两点，与轴交于点，顶点坐标为． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知点是直线上一动点，将点绕着点顺时针旋转得到点，若点恰好落在二次函数的图象上，请写出点的坐标； （3）将抛物线绕原点旋转得到抛物线，交轴于点，与相交于点和点（点在轴左侧），将抛物线上位于直线上方的图象和抛物线上，两点之间（包含，两点）图象记为，点与点都在函数图象上，当时，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $