精品解析：湖南岳阳市临湘市第六中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026年下学期九年级数学第一次月月清测试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下面几组图形中，相似的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果，那么下列比例式中成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知点是线段的黄金分割点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，，m分别交a，b，c于点A，B，C，n分别交a，b，c于点D，E，F，若，则线段的长为（      ） A. 1 B. 4 C. 7 D. 10 6. 如图，在中，，，，则为（ ） A. B. C. D. 7. 某班某同学要测量学校升旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是，影长是，旗杆的影长是，则旗杆的高度是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，和是位似三角形，，的周长为6，则的周长为（ ）． A. 12 B. 6 C. 16 D. 18 9. 如图，是的边上一点，连接，下列条件中，能使的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点，交于点；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；④过点作射线交于点．若，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 9 二、填空题（本大题6个小题，每小题3分，共18分） 11. 已知四个非零实数a，b，c，d成比例，且，，，则________． 12. 如图，在中，点D、E分别在边、上要使，还需要添加一个条件，你添加的条件是_______（只需写一个条件） 13. 如图是用杠杆撬石头的示意图，动力臂，阻力臂，，则______． 14. 如图，在中，，，点P从点A出发沿边向点B以2的速度移动，点Q从点B出发沿边向点C以4的速度移动，如果P、Q同时出发，经过________秒后和相似？ 15. 《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其大意是：如图，的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形的边长为____________． 16. 如图，已知，且相似比为，那么直线的图象必定经过________象限． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分） 17. 计算： 18. 如图，在中，D，E，F分别是，上的点，且，，，，求和的长． 19. 在中，是斜边上的高． （1）证明：； （2）若，求的长． 20. 如图，在平面直角坐标系中，给出了格点（顶点均在正方形网格的格点上），已知点A的坐标为． （1）以点O为位似中心，在给定的网格中画出，使与位似，并且点的坐标为． （2）与的位似比是______． （3）的面积是______． 21. 如图，在和中，，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 22. 如图，小明为了测量一凉亭的高度（顶端到水平地面的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶等高的台阶（，A，B，C三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得，然后沿直线后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得，小明身高，求凉亭的高度． 23. 如图三角形中，，是边上的高且．P，N分别是，边上的点，Q，M是上的点，连接、，交于 E． （1）如图1，若四边形是正方形，求的长； （2）如图2，若四边形是矩形，且．求、的长． 24. 综合与实践 问题情境：数学活动课上，张老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边之间的数量关系进行探究，下面是他们的探究过程． （1）【数学思考】 如图1，在矩形中，，，，分别是，上的两点，连接，，于点，则________； （2）【深入探究】 如图2，在矩形中，，分别交，于点，，分别交，于点，．求证：； （3）【拓展延伸】 如图3，在中，，点在边上，连接，过点作于点，且的延长线交于点．若，，请求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年下学期九年级数学第一次月月清测试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下面几组图形中，相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】形状相同的两个图形叫做相似图形，据此可得答案． 【详解】解：选项C中的图形是相似图形． 2. 如果，那么下列比例式中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据比例基本性质，内项之积等于外项之积，计算判断即可； 【详解】解：A．由，得，成立，符合要求； B．由，得，不是，不成立，不符合要求； C． 由，得，不是，不成立，不符合要求； D． 由，得，不是，不成立，不符合要求； 3. 已知点是线段的黄金分割点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查黄金分割点的概念，解一元二次方程．根据黄金分割点的定义，结合是较长的部分，满足，结合，设，则，列出方程求解. 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，， ∴， 设，则， 故， 整理得， ，，， 故， ∴， 解得，（舍去）， ∴的长为． 故选：A． 4. 如图，中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定逐项进行分析即可．此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定三角形相似的方法是解题的关键． 【详解】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意； B、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意； C、两三角形的两对应边成比例，但夹角不相等，故两三角形不相似， 故本选项符合题意； D、阴影三角形中，的两边分别为，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意． 故选：C． 5. 如图，，m分别交a，b，c于点A，B，C，n分别交a，b，c于点D，E，F，若，则线段的长为（      ） A. 1 B. 4 C. 7 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， 解得， ∴． 6. 如图，在中，，，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由可得，容易证明，则，因此． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 7. 某班某同学要测量学校升旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是，影长是，旗杆的影长是，则旗杆的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用．利用相似三角形的性质，同一时刻物体高度与影长成正比． 【详解】解：设旗杆高度为米， ∵身高:影长旗杆高:旗杆影长， ∴， ∴， ∴旗杆高 故选：A． 8. 如图，和是位似三角形，，的周长为6，则的周长为（ ）． A. 12 B. 6 C. 16 D. 18 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵和是位似三角形，， ∴， ∵的周长为6， ∴， 解得：， 即的周长为18． 9. 如图，是的边上一点，连接，下列条件中，能使的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】已知两个三角形有一组公共角，若要使两个三角形相似，只需夹这组公共角的两边对应成比例即可． 【详解】解：∵， ∴要证明需要满足， ∴，故C符合题意； A、B、D中的条件结合现有条件无法证明． 10. 如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点，交于点；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；④过点作射线交于点．若，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】由尺规作图的痕迹知，证明，得到，将已知量代入求出，即可求出的长． 【详解】解：由尺规作图的痕迹知． ， ， ． ，， ， ， ． 二、填空题（本大题6个小题，每小题3分，共18分） 11. 已知四个非零实数a，b，c，d成比例，且，，，则________． 【答案】12 【解析】 【分析】四个数按给定顺序成比例，可得比例式，利用比例的基本性质即可求解． 【详解】解：∵四个非零实数，，，成比例， ∴可得比例式， 根据比例的基本性质，交叉相乘得， 代入，，，得：， ∴． 12. 如图，在中，点D、E分别在边、上要使，还需要添加一个条件，你添加的条件是_______（只需写一个条件） 【答案】或或 【解析】 【分析】①有两个角相等的两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似；根据相似三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：答案一：添加， 又∵， ∴； 答案二：添加， 又∵， ∴； 答案三：添加， 又∵， ∴． 13. 如图是用杠杆撬石头的示意图，动力臂，阻力臂，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据两角分别相等得到，然后列出对应边成比例的关系式，再把已知线段长度代入比例式，最后求解得到的长． 【详解】解：，， ， 把，，代入： ． 14. 如图，在中，，，点P从点A出发沿边向点B以2的速度移动，点Q从点B出发沿边向点C以4的速度移动，如果P、Q同时出发，经过________秒后和相似？ 【答案】或2 【解析】 【分析】设经过秒两三角形相似，分别表示出、的长度，再分①与边是对应边，②与边是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可．本题考查了相似三角形对应边成比例的性质，表示出边、的长是解题的关键，需要注意分情况讨论，避免漏解而导致出错． 【详解】解：设经过秒后和相似． 则，， ，， ， ①与边是对应边，则， 即， 解得， ②与边是对应边，则， 即， 解得． 综上所述，经过秒或2秒后和相似． 故答案为：或2． 15. 《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其大意是：如图，的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形的边长为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】先设正方形的边长为x，再表示出，，然后说明∽，并根据对应边成比例得出答案. 【详解】根据题意可知，． 设正方形的边长为x，则，. ∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴∽， ∴， 即， 解得. 所以正方形的边长为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，相似三角形的对应边成比例是求线段长的常用方法． 16. 如图，已知，且相似比为，那么直线的图象必定经过________象限． 【答案】一、三、四 【解析】 【分析】先根据相似三角形的性质得出，然后根据一次函数的性质，进行判断即可． 【详解】解：∵，其相似比为k， ∴， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴直线的图象必定经过一、三、四象限． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】代入特殊角三角函数值，再计算零次幂与乘方，接着逐项化简，最后进行有理数加减运算求得结果． 【详解】解：原式 ． 18. 如图，在中，D，E，F分别是，上的点，且，，，，求和的长． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查平行线分线段成比例，利用得到，求出，，根据得到，由此求出． 【详解】解：∵， ， ∵， ∴，， ∵， ， ∴． 19. 在中，是斜边上的高． （1）证明：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是斜边上的高． ∴， ∴， ∴ 又∵ ∴， （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形高的定义得出，根据等角的余角相等，得出，结合公共角，即可得证； （2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵ ∴， 又 ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，给出了格点（顶点均在正方形网格的格点上），已知点A的坐标为． （1）以点O为位似中心，在给定的网格中画出，使与位似，并且点的坐标为． （2）与的位似比是______． （3）的面积是______． 【答案】（1） 如图所示，为所求． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意画出位似图形，即可求解； （2）根据位似比等于相应线段之比，即可求解； （3）根据三角形的面积公式，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵A的坐标为．点的坐标为， ∴与的位似比是位似比为， 故答案为：． 【小问3详解】 的面积是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了位似变换的作图，根据坐标确定位似比是解答此题的关键． 21. 如图，在和中，，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：， ， 即， 又， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）由，可得出，结合得出，可证出； （2）由，利用相似三角形的性质可得出，结合，可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ． 22. 如图，小明为了测量一凉亭的高度（顶端到水平地面的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶等高的台阶（，A，B，C三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得，然后沿直线后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得，小明身高，求凉亭的高度． 【答案】凉亭的高度约为 【解析】 【分析】根据题意可得：，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质求出的长，再利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∴凉亭的高度约为． 23. 如图三角形中，，是边上的高且．P，N分别是，边上的点，Q，M是上的点，连接、，交于 E． （1）如图1，若四边形是正方形，求的长； （2）如图2，若四边形是矩形，且．求、的长． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】根据相似三角形的对应边上的高的比＝相似比，构建方程即可解决问题； 【小问1详解】 解：∵四边形为正方形，是边上的高， ，， ， ，即， ； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ，， ∴， ， 设则， 即，解得， ，． 24. 综合与实践 问题情境：数学活动课上，张老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边之间的数量关系进行探究，下面是他们的探究过程． （1）【数学思考】 如图1，在矩形中，，，，分别是，上的两点，连接，，于点，则________； （2）【深入探究】 如图2，在矩形中，，分别交，于点，，分别交，于点，．求证：； （3）【拓展延伸】 如图3，在中，，点在边上，连接，过点作于点，且的延长线交于点．若，，请求出的长． 【答案】（1） （2）证明：过点作于点，过点作于点，且交于点． ∵四边形是矩形， ， ． 同理，， ， ∵， ∴， ∵， ． ， ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）通过证明，由相似比即可求解； （2）构造出两个相似三角形，利用相似比及矩形对边相等的性质证明； （3）作平行线构造相似三角形，结合勾股定理解出线段长度，再由相似比即可求出的长． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵在矩形中，，， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点作，延长交于点． 在中，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ∴ 又， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $