山东烟台市开发区第六中学 2026-2027学年八年级第一学期第一次数学学情评估（五四制)

山东烟台市开发区第六中学八年级2026-2027 学年第一学期第一次学情评估（五四制） 一、选择题（共 12 小题，共36分 ） 1．下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．如果把分式中的x，y的值都扩大2倍，那么此分式的值（    ） A．扩大2倍 B．扩大4倍 C．扩大6倍 D．不变 3．给出下列式子：①；②；③；④；⑤其中在实数范围内能用完全平方公式分解因式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．下列式子中： （1）     ；（2）；（3）     ；（4）. 正确的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．若分式的值为0，则代数式的值为（ ） A．0 B．12 C．0或12 D．无法确定 6．下列说法错误的是（   ） A．当时，分式无意义 B．当时，分式的值为正数 C．当分式时， D．分式与的最简公分母是 7．一个三角形的三边长a，b，c满足，则这个三角形的形状一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 8．已知=3，则代数式的值是（　　） A． B． C． D． 9．A，B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（ ） A． B． C．+4=9 D． 10．如果a，b，c是三角形的三边并且满足：，则三角形的面积是（    ） A．24 B．48 C．12 D．6 11．若关于x的方程的解为正数，则m的值可以为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 12．若（且），，，…，，则等于（     ） A．a B． C． D． 二、 填空题 （本大题共6小题，共18 分） 13．分式 、﹣ 、 的最简公分母是________． 14．已知，则代数式的值为_________． 15．若关于的分式方程有增根，则的值为________． 16．已知，则代数式的值为___________． 17．某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场施工，计划用40天时间完成整个工程：当一号施工队工作5天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该田径场举行，要求比原计划提前14天完成整个工程，于是承包单位派遣二号与一号施工队共同完成剩余工程，结果按通知要求如期完成整个工程.若二号施工队单独施工，完成整个工程需要 天。 18．若关于的不等式组有且仅有3个整数解，且关于的分式方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的和是________． 三、解答题（本大题共9小题，共66分） 19．分解因式： (1)； (2)． (3)． (4) 20．解方程： (1) (2) 21．先化简，再求值： (1)已知，求的值． (2)，然后从，，1，2四个数中选择一个合适的数作为的值代入求值． 22．教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：分解因式： 解：原式 再如：求代数式的最小值． 解：原式 又是一个非负数， ． ． 可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：______；（直接写出结果） 当______时，多项式有最小值，这个最小值是______； (2)利用配方法，已知，，为的三条边，，求的周长． 23．如图，有足够多的边长为a的小正方形（A类），宽为a、长为b的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类），发现利用图1中的三类图形可以拼出一些长方形来解释某些等式．    尝试解决： (1)用图1中的若干个图形（三类图形都要用到）拼成一个正方形，使其面积为，画出图形，并根据图形回答______． (2)图2是由图1中的三类图形拼出的一个长方形，根据图2可以得到并解释等式：_________． (3)用图1中的若干个图形（三类图形都要用到）拼成一个长方形，使其面积为，写出你的拼法，并根据你画的图形分解因式：． 24．已知关于x的分式方程． (1)当时，甲同学的解题过程如下： 解：（第一步）去分母，得：， （第二步）去括号，得：， （第三步）合并同类项，得：， （第四步）系数化为1，得：， （第五步）检验：当时，，所以是增根， （第六步）所以原分式方程无解． 甲同学从第__________步开始出现错误，请你写出正确的解法； (2)若该方程去分母后所得的整式方程的解是增根，求m的值． 25．【问题背景】2026年4月23日是第31个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】素材一：有，两种书架可供选择，种书架的单价比种书架单价高； 素材二：用18000元购买种书架的数量比用9000元购买种书架的数量多6个； 素材三：种书架数量不少于种书架数量的，且两种书架都要购买； 【问题解决】(1)求出，两种书架的单价； (2)设购买个种书架，购买总费用为元，求与的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案； (3)实际购买时，商家调整了书架的价格，A种书架每个降价元，B种书架价格不变，若购买A种书架个，求购买总费用最少是多少？（可用含的代数式表示） 26．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ； ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是： （填序号）； ①；    ②；    ③； (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： ； (3)当取什么整数时，“和谐分式”的值为整数？ 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $《山东省烟台市开发区第六中学八年级2026-2027学年第一学期第一次学情评估（五四制）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 答案 A c B 0 D A D 题号 11 12 15 答案 D -1 13.(x-1)2(x+1)2 14.3.5 15.-1 16.7 17.(1)60天：(2)24天. 18.7 19.(1)解：3a2-6ab+3b2 =3d2-2ab+b2） =3(a-b)2 (2)解：(x-以--刘) =a2(x-y)+b2(x-y) =(x-y(d2+b2） (3)解：(x2+4)-16r =(x2+4+4x)x2+4-4x) =(x+2)2(x-2)}2 (4解：（产2--6y2-)+9 =(y2-1-3)月 =(y2-4}2 答案第1页（共2页） =(0y+2)2(y-2)2 20.(1)解：去分母得： (2x-1)-3x=-2 去括号得：2x-1-3x=-2, 移项合并得：x=1, 经检验x=1是原分式方程的解： (2)解：去分母得： 4x-3(x-1)=2(x+1) 去括号得：4x-3x+3=2x+2. 移项合并得：-x=-1, 解得：x=1, 经检验x=1是原分式方程的增根， 所以方程无解. 2y+,x+ 4xy 21.(1)解：x+2y2y-x4y2-x =2y x 4xy x+2yx-2y（x+2y)(x-2y) 2y(x-2y) x(x+2y) 4xy (x+2y)(x-2y)（x+2y)(x-2y)(x+2y)(x-2y) -x2-4xy-4y2 -(x+2y(x-2列 (x+2y) (x+2y)(x-2y) =-x+2y x-2y’ X=3 .y, x=3y, =3y+2y=-5 ∴原式3y-2y 答案第2页（共2页） a2+2a+1. (2)解：a+2 a-2+3 'a+2 _a+「a-2a+2+3] a+2 a+2a+2 _a+l÷。2-1 a+2a+2 =(a+1)2 a+2 a+2(a+1)(a-1) -Q+1 a-1 :a+2≠0，a+1≠0，a-1≠0， .a≠-2且a≠±1， a=2, .当a=2时， 2+1=3 原式=2-1 2.（1)-4x-5=(x+100x-5) x2-4x-5=x2-4x+4-9=(x-22-9 (x-2是一个非负数 (x-2)}≥0 (x-2)}2-9≥-9 可知当x=2时，x2-4x-5有最小值，这个最小值是-9： 故答案为：(+1x-5),29, (2)a,b,c为△ABC的三条边，a2+5b2+c2-4ab-6b-10c+34=0, ∴.a2+4b2-4ab+b2-6b+9+c2-10c+25=0, 答案第3页（共2页） ∴(a-2b}2+(b-3)2+(c-5)=0 a-2b=0 b-3=0 c-5=0' a=6 b=3 c=5' △ABC的周长为6+3+5=14 23.(1)如图1所示： Q b a b 图1 (a+b)(a+b)=(a+b)2 =a2+2ab+b2 即a+b=a2+2ab+b2 故答案为：a2+2ab+b2. (2)解：由图可知，长方形的面积为(a+2b2a+b),还可以写成2a2+5ab+2b2, .(a+2b)(2a+b)=2a2+5ab+2b2 (a+2b)(2a+b)=2a+5ab+2b2 故答案为： (3)解：如图所示： 答案第4页（共2页） bB类 C类 C类 A类 B类 B类 a A类 B类 B类 A类 B类 B类 b b 长方形的长a+2b 宽为30 6,面积为 a+2b)(3a+b)=3a2+7ab+2b2 3a2+7ab+2b2=(a+2b)3a+b) 因式分解的结果为： 24.(1)正确的解法： x+(x-3)=x-2 去分母，得： 去括号，得：x+x-3=x-2, 移项、合并同类项，得：x=1, 检验：当x=1时，x-2≠0， 所以x1是原分式方程的解；(2)解：去分母，得：mx+(-3)=x-2 ,原方程有增根， .x-2=0,即x=2, 把x=2代入整式方程得 2m+(2-3)=2-2 1 解得m= 2 1 .原方程有增根时，m=。 2 1+20%)x=1.2x 25.(1)设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为 元 180009000 根据题意，可列出方程：1.2xx =6,解得x=1000 经检验，x=1000是原分式方程的解，且符合题意， A种书架的单价为1.2x=1.2×1000=1200(元) 答案第5页（共2页） 答：A种书架的单价为1200元，B种书架的单价为1000元. (2)已知购买a个A种书架，则购买 20-a)个B种书架， w=1200a+1000(20-a 可得 ,化简得w=200a+20000 因为A种书架数量不少于B种书架数量的3，且两种书架都要购买， [a≥2(20-a) 3 所以可得不等式组了a>0 20-a>0 解得8≤a<20,且a为整数， 在一次函数w=200a+20000中，k=200>0,所以w随a的增大而增大， 所以当a=8时，w取得最小值，此时20-a=20-8=12(个). 答：w与a的函数关系式为w=200a+20000,费用最少时的购买方案是购买8个A种书架，12个B种书 架。 (3)已知4种书茶每个降价m(0<m<30)元，则此时A种书架的单价为 200-m)元，B种书架价格不 变，仍为1000元，购买A种书架n个，则购买B种书 (20-m个. 所以总费用'=(1200-m)n+1000(20-m)） 化简得y=(200-m)n+2000 当0<m<200时，200-m>0,y随n的增大而增大， 因为8≤n<20,且n为整数， 所以当”=8时，y取得最小值，m=(200-m）x8+2000=1600-8m+2000=21600-8m 当m=200时，200-m=0,此时y=20000,即8≤n<200为整数)时，购买总费用始终为20000元： 当200<m<300时，200-m<0,y随n的增大而减小， 因为8≤n<20,且n为整数， 所以当”=19时，y取得最小值，m=(200-m)×19+20000=3800-19m+2000=2380-19m 答案第6页（共2页） 答：当0<m<200时，购买总费用最少为 2160-8m）元：当m=200时，购买总费用最少为2000元： 当200<m<300时，购买总费用最少为 23800-19m)） 元 Dx+2_+2-1+2 26.(1)解：①x=xx 1 ② ,1 y, 则属于“和谐分式”的是①②③. x2-6x+12 (2)解：x-3 _(r-6x+9）+3 x-3 =（x-3+3 x-3 _x-3+3 x-3x-3 x-3+3 -3· (3)解：.x为整数， ∴x-3也为整数， t-6x+12=x-3+3 由(2)已得：x-3 x-3, x2-6x+12 3 委使“和谐分式”X3的值为整数，则需x3的值为整数， .x-3所有可能的值为-3，-1,1,3， .x所有可能的值为0,2,4,6， 即当整数：的值为0或2或4或6时，“和谐分式”-6x+12； x-3严的值为整数。 答案第7页（共2页）山东烟台市开发区第六中学八年级2026-2027学年第一学期第一次学情评估（五四制） 一、选择题（共12小题，共36分） 1.下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是() A.a(x+y)=ax+ay B.x2-4x+4=x(x-4)+4 C.10x2-5x=5x(2x-1) 2.如果把分式2中的，y的值都扩大2倍，那么此分式的值() x-y A.扩大2倍 B.扩大4倍 C.扩大6倍 D.不变 3.给出下列式子：①-x2-y-y;②ad2-ab+b;③-4b2-a2+46°：④4r2+9y2-12y:⑥3x2+6y+3y.其中在 实数范围内能用完全平方公式分解因式的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.下列式子中： (1) b-a_a-b c-a a-c ，a8》头1：4g拾治 y-x -a-b a+b 正确的个数为() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.若分式-5x+6的值为0，则代数式r+2x-3的值为( x2-4 A.0 B.12 C.0或12 D.无法确定 6.下列说法错误的是() A.当x=2时，分式1无意义 x-2 B.当x>5时，分式1的值为正数 x-5 C.当分式m-9 =0时，m=±3 m+3 D.分式品与的的最前公分母是3心 7.一个三角形的三边长a,b,c满足(a2-c2)2+b2(a2-c2)=0,则这个三角形的形状一定是() A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 8己知上上3，则代数式2中2的指是（） X y 7 A.2 c.2 9.A,B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，己知水流速 度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米时，则可列方程() 4期898照+89c 4wD0+g9 答案第1页 10.如果a,b,c是三角形的三边并且满足：a2+b2+c2-6a-8b-10c+50=0,则三角形的面积是() A.24 B.48 C.12 D.6 11.若关于x的方程2工+m=1的解为正数，则m的值可以为《) "x-2'2-x A.1 B.2 C.3 D.4 12.若x=a+1(a≠0且a≠-1)，- 1 1 ,= -,则x22等于（) 1 A.a B.a+1 C.- D. a+1 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 3 2 13.分式2-2x+1、 1 x2-1、x2+2x+1 的最简公分母是 4.已知2ad-7=2a,则代数式0-。÷g2的值 一的值为 15.若关于x的分式方程m,-1=2有增根，则m的值为」 x-22-x 16.已知a2-3a+1=0,则代数式a2+2的值为 17.某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场施工，计划用40天时间完成整个工程：当 一号施工队工作5天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该田径场举行，要求比原计划提前14天完成整个工程， 于是承包单位派遣二号与一号施工队共同完成剩余工程，结果按通知要求如期完成整个工程若二号施工队单独施工，完成 整个工程需要 天。 3y-1>1 2 18.若关于y的不等式组 有且仅有3个整致解，且关于的分式方程号是高=2的解为华负数，则符合条件 a+5y≤8 3 的所有整数a的和是 三、解答题（本大题共9小题，共66分) 19.分解因式： (1)3a2-6ab+3b2; (2)a2(x-y)-b2(y-x). (3)(x2+4)-16x2. 4(y2-1-6(y2-1)+9 (共4页) 20.解方程： 、13x_1 (①24x-21-2x @2 21.先化简，再求值： 0)已知-3，求2+，x+ 4xy x+2y2y-x+4rx的值. (2)4+2a+1, a+2 ÷a-2+3） 0*2 然后从-2，-1,1,2四个数中选择一个合适的数作为a的值代入求值. 22.教科书中这样写道：“形如a2±2b+b2的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形： 先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法 配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关 的问题或求代数式最大值、最小值等问题， 例如：分解因式：x2+2x-3 解：原式=(x2+2x+1)）-1-3=(x+1)2-4=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-) 再如：求代数式x2+2x-3的最小值. 解：原式=(x2+2x+1-1-3=(x+1)2-4 又(x+1)是一个非负数， .(x+1)2≥0 ∴.(x+1)2-4≥-4. 可知当x=-1时，x2+2x-3有最小值，最小值是-4. 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：x2-4x-5=；（直接写出结果) 当x=时，多项式x2-4x-5有最小值，这个最小值是： (2)利用配方法，已知a,b,c为△ABC的三条边，a2+5b2+c2-4ab-6b-10c+34=0,求△ABC的周长. 答案第2页（共4页） 23.如图，有足够多的边长为α的小正方形(A类)，宽为a、长为b的长方形(B类)以及边长为b的大正方形(C类)， 发现利用图1中的三类图形可以拼出一些长方形来解释某些等式. A类 A类 B类 B类 B类 C类 A类 B类 C类 B类 C类 B类 图1 图2 尝试解决： (1)用图1中的若干个图形（三类图形都要用到）拼成一个正方形，使其面积为(a+b),画出图形，并根据图形回答 (a+b)2=. (2)图2是由图1中的三类图形拼出的一个长方形，根据图2可以得到并解释等式： (3)用图1中的若干个图形（三类图形都要用到）拼成一个长方形，使其面积为3a2+7ab+2b2，写出你的拼法，并根据你 画的图形分解因式：3a2+7ab+2b2. 答案第3页 24.已知关于x的分式方程m2--3=1. x-22-x (1)当m=1时，甲同学的解题过程如下： 解：（第一步）去分母，得：x+(x-3)=1, (第二步)去括号，得：x+x-3=1, (第三步)合并同类项，得：2x=4, (第四步)系数化为1，得：x=2, (第五步)检验：当x=2时，x-2=0,所以x=2是增根， (第六步)所以原分式方程无解. 甲同学从第 步开始出现错误，请你写出正确的解法： (2)若该方程去分母后所得的整式方程的解是增根，求的值. 25.【问题背景】2026年4月23日是第31个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面 积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍。 【素材呈现】素材一：有A,B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高20%： 素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个： 泰材三：A种书架数量不少于B种书疾数量的了，且两种书莱都要期买！ 【问题解决】(1)求出A,B两种书架的单价： (2)设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案： (3)实际购买时，商家调整了书架的价格，A种书架每个降价m(0<m<300)元，B种书架价格不变，若购买A种书架n个， 求购买总费用最少是多少？（可用含m的代数式表示） (共4页) 26.定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为和谐分式”.如 x+1=x-1+2=x-1+2=1+2 x-1x-1x-1x-11tx- d-2a+3_a-2a++2_a-旷+2-a-1+2 a-1 a-1 -1 a-1 则和心2+子都是情分 a-1 (1)下列分式中，属于“和谐分式的是：一（填序号）； @+2 t: ②+2 ③+1 y2 2将和谐分式-6x+12化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： x-3 ③)当x取什么整数时，“和谐分式。-6r+12的值为整数？ x-3 答案第4页（共4页）