精品解析：山东泰安市新泰市宫里镇初级中学（五四制）2026-2027学年八年级上学期第一次测试数学试题

宫里中学八年级上学期第一次阶段检测数学试题 一、单选题 1. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A. B. C. D. 2. 下列结论：①无论a为何实数，都有意义；②当时, 分式的值为0；③若的值为负， 则x的取值范围是； ④若有意义，则x的取值范围是且.其中正确的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 若能用完全平方公式因式分解，则的值为（ ） A. ±6 B. ±12 C. -13或11 D. 13或-11 4. 下列分式是最简分式的是( ) A. B. C. D. 5. 甲、乙两名同学在用提公因式法对多项式进行因式分解的过程中，出现了分歧，请你在下列四个选项中帮他们选出正确的公因式（ ） A. 2 B. C. D. 6. 若a、b的值均扩大为原来的4倍，则下列分式的值保持不变的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 原创题海海有一本密码本，他通过所学知识设置了密码：将“王、滕、岳、阳、阁、序、楼、记”分别对应“”．通过将因式分解就可得到密码，则密码本的密码可能是（ ） A. 滕王阁序 B. 岳阳楼记 C. 滕王阁 D. 岳阳楼 9. 若，则的值为（ ） A. 60 B. 30 C. 15 D. 10. 《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，是宋元数学集大成者，也是我国古代水平最高的一部数学著作．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设6210元购买椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　） A. B. C. D. 二、填空题 11. 因式分解：__________． 12. 已知当时，分式无意义；当时，分式的值为0，则的值是________． 13. 如果可分解为，则__________． 14. 定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”．下列3组分式：①与；②与；③与；其中属于“友好分式组”的有____（只填序号）． 15. 如果记，并且表示当时y的值，即；表示当时y的值，即，那么__．（结果用含n的代数式表示，n为正整数）． 三、解答题 16. 把下列各式因式分解： （1）； （2）． 17. 计算： （1）． （2）． 18. 解分式方程： （1）； （2）． 19. 先化简，再求值：从0，1，2，3中选一个适当的数x，代入求值． 20. 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． （1）观察图2，请用两种不同的方法表示图2中大长方形的面积，并写成因式分解的形式； （2）在图2中，若大长方形的周长为30，且，求阴影部分的面积． 21. 先化简，再求值∶ 其中． 解：原式 …… 解：原式 …… （1）甲同学解法的依据是 ，乙同学解法的依据是 ；(填序号) ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 22. 如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式． 例如：求代数式的最小值． 原式．，当时，有最小值，最小值是2． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：_______________；求代数式的最小值为_______________； （2）若，当_____时，有最_____值（填“大”或“小”），这个值是_____； 23. 定义．根据定义，解答下列问题： （1）________； （2）计算； （3）求方程的解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宫里中学八年级上学期第一次阶段检测数学试题 一、单选题 1. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，因式分解是指将一个多项式转化为几个整式（单项式或多项式）的乘积形式的变形过程．根据因式分解的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是单项式，故不是因式分解，不符合题意； B、中不是整式，故不是因式分解，不符合题意； C、是因式分解，符合题意； D、，等式右边不是整式的乘积，故不是因式分解，不符合题意． 故选：C ． 2. 下列结论：①无论a为何实数，都有意义；②当时, 分式的值为0；③若的值为负， 则x的取值范围是； ④若有意义，则x的取值范围是且.其中正确的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】①根据，得到有意义; ②当时, ，无意义；③若的值为负，则，； ④若有意义，则有意义，三个分母不等于0，,且，． 本题主要考查了分式有意义的条件和分式为0的条件．熟练掌握分式有意义的条件：分母不为0；分式为0的条件：分子为0，分母不为0．是解决问题的关键． 【详解】①∵， ∴， ∴不论a为何值都有意义， 故此结论正确； ②当时，，此时分式无意义， 故此结论不正确； ③若的值为负， ∵， ∴， ∴， 故此结论正确； ④∵有意义， ∴有意义， ∴， 解得，且， 故此结论不正确． 综上所述，其中正确的个数是2． 故选：B． 3. 若能用完全平方公式因式分解，则的值为（ ） A. ±6 B. ±12 C. -13或11 D. 13或-11 【答案】C 【解析】 【分析】先找到平方项是与9，由此得到另一项的值，由此计算得到k的值即可. 【详解】∵能用完全平方公式因式分解， ∴平方项是与9， ∴=， ∴, ∴k= -13或11, 故选：C. 【点睛】此题考查完全平方公式的变形计算，熟练掌握公式的计算方法及特点是解题的关键. 4. 下列分式是最简分式的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 【详解】解：A、该分式符合最简分式的定义，故本选项符合题意； B、该分式的分子、分母中含有公因数3，则它不是最简分式．故本选项不符合题意； C、该分式的分子、分母中含有公因式，则它不是最简分式．故本选项不符合题意； D、该分式的分母为，所以该分式的分子、分母中含有公因式，则它不是最简分式．故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了最简分式的定义，关键是理解最简分式的定义． 5. 甲、乙两名同学在用提公因式法对多项式进行因式分解的过程中，出现了分歧，请你在下列四个选项中帮他们选出正确的公因式（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式． 公因式是多项式中各项都含有的因式，需取系数的最大公因数和形同字母的最低次幂． 【详解】解：∵多项式中，各项系数为2和（绝对值最大公因数为2），字母部分为和（最低次幂为）， ∴公因式为． 故选：D． 6. 若a、b的值均扩大为原来的4倍，则下列分式的值保持不变的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，通过代入扩大后的值并化简，比较是否与原式一致即可，熟练掌握分式的基本性质是解此题的关键． 【详解】解：A、，与原分式相同，即分式的值保持不变，符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故不符合题意； 故选：A． 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，分式的乘除运算，分式的乘方，同分母分式的减法运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 利用合并同类项的法则，分式的乘除运算法则，分式的乘方法则，同分母分式的减法运算法则对各项进行运算即可． 【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意； B．，故选项错误，不符合题意； C．，故选项错误，不符合题意； D．，故选项正确，符合题意； 故选：D． 8. 原创题海海有一本密码本，他通过所学知识设置了密码：将“王、滕、岳、阳、阁、序、楼、记”分别对应“”．通过将因式分解就可得到密码，则密码本的密码可能是（ ） A. 滕王阁序 B. 岳阳楼记 C. 滕王阁 D. 岳阳楼 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，将给定的代数式因式分解，并根据对应关系确定密码. 【详解】解：原式为 提取公因式：，原式可改写为 提取公因式：两项均含 ，提取后得 进一步分解： 可分解为 ，因此原式最终分解为 对应“滕”， 对应“阁”， 对应“王”， 对应“序” 组合后为“滕王阁序”， 故答案为： A. 9. 若，则的值为（ ） A. 60 B. 30 C. 15 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求代数式的值，准确的计算是解决本题的关键． 将代数表达式重组并因式分解，利用完全平方公式和已知条件代入计算即可． 【详解】解： ， 又∵， ∴ ． 故选：A． 10. 《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，是宋元数学集大成者，也是我国古代水平最高的一部数学著作．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设6210元购买椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了从实际问题中抽象出分式方程．设6210元购买椽的数量为x株，根据单价＝总价÷数量，求出一株椽的价钱为，再根据少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可列出分式方程，得到答案． 【详解】解：设6210元购买椽的数量为x株，则一株椽的价钱为， 由题意得：， 故选：C． 二、填空题 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再连续利用平方差公式分解，直到每个因式都不能再分解． 【详解】解： ． 12. 已知当时，分式无意义；当时，分式的值为0，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式无意义时分母为0，分式值为0时分子为0且分母不为0，分别求出和的值，再计算． 【详解】解：∵时，分式无意义， ∴，解得 ． ∵时，分式的值为， ∴， 解得 ． ∴． 13. 如果可分解为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】展开右侧的因式乘积，对比左右多项式对应项系数求解后代入计算． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 14. 定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”．下列3组分式：①与；②与；③与；其中属于“友好分式组”的有____（只填序号）． 【答案】②③ 【解析】 【分析】本题考查了分式的减法运算． 根据“友好分式组”的定义，计算每组分式的差，判断是否等于2． 【详解】解：①； ②； ③． 因此，属于“友好分式组”的有②③． 故答案为：②③． 15. 如果记，并且表示当时y的值，即；表示当时y的值，即，那么__．（结果用含n的代数式表示，n为正整数）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了与分式运算相关的规律探索题．根据题意得到，据此求解即可． 【详解】解：∵， 故 ． 故答案为：． 三、解答题 16. 把下列各式因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握综合运用提取公因式法和公式法因式分解是解题的关键． （1）先提取公因式，再运用完全平方公式分解即可； （2）先凑出公因式，然后提取公因式，再运用平方差公式分解即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键： （1）先计算小括号的异分母分式加法，将除法化为乘法，再计算乘法； （2）将式子中各项因式分解，再计算乘法． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 18. 解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键． （1）方程两边同乘以，转化为整式方程，求解并检验即可； （2）方程两边同乘以，转化为整式方程，求解并检验即可． 【小问1详解】 解：， 方程两边同乘以，得， 解得． 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 【小问2详解】 解：， 方程两边同乘以，得， 解得． 检验：当时，， ∴不是原分式方程的解，原分式方程无解． 19. 先化简，再求值：从0，1，2，3中选一个适当的数x，代入求值． 【答案】，选择代入，值为 【解析】 【分析】先根据分式运算法则、完全平方公式和平方差公式化简原式，再根据分式有意义的条件确定可代入的的值，代入计算得到结果． 【详解】解： ， 根据分式有意义的条件，得，，， ∴只能选取， 将代入得，原式． 20. 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． （1）观察图2，请用两种不同的方法表示图2中大长方形的面积，并写成因式分解的形式； （2）在图2中，若大长方形的周长为30，且，求阴影部分的面积． 【答案】（1）图2面积为，也可以表示为， （2）26 【解析】 【分析】（1）用两种方式表示出大长方形的面积，从而即可得出结果； （2）由大长方形的周长得出，再结合完全平方公式计算得出，即可得出结果． 【小问1详解】 解：由图可知，图2面积为，也可以表示为， ． 【小问2详解】 解：由图可知，大长方形的周长， ． ，， ， ， ∴阴影部分面积． 21. 先化简，再求值∶ 其中． 解：原式 …… 解：原式 …… （1）甲同学解法的依据是 ，乙同学解法的依据是 ；(填序号) ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】（1）②，③ （2） 选择甲同学的解法． 原式 ； 或选择乙同学的解法 原式 当时，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，根据题目的特点，灵活选用合适的解法是解题的关键． （1）甲同学的解法两个分式先通分依据是分式的基本性质，乙同学根据乘法分配律先算乘法，后算加法，这样简化运算，更简便了． （2）选择甲同学的解法，先通分，再约分化简即可；选择乙同学的解法，先因式分解，再约分，最后进行加法运算即可． 【小问1详解】 甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律， 故答案为：②，③； 【小问2详解】 略 22. 如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式． 例如：求代数式的最小值． 原式．，当时，有最小值，最小值是2． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：_______________；求代数式的最小值为_______________； （2）若，当_____时，有最_____值（填“大”或“小”），这个值是_____； 【答案】（1）；3 （2）1，大， 【解析】 【分析】本题题考查了因式分解的应用，配方法的应用以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． （1）先凑出完全平方公式，再用平方差公式进行因式分解；先凑成完全平方加一个数值的形式，再结合非负数的性质即可解答； （2）先凑成完全平方加一个数值的形式，再结合非负数的性质即可解答． 【小问1详解】 解： ． ； ， ∵， 当时，有最小值，最小值是3． 故答案为：；3． 【小问2详解】 解： ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值是． 故答案为：1，大，． 23. 定义．根据定义，解答下列问题： （1）________； （2）计算； （3）求方程的解． 【答案】（1）3 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查有理数的运算，分式的运算，分式方程的解． （1）根据定义列式计算即可； （2）根据定义列式计算即可； （3）根据定义列出分式方程并解方程及检验即可． 【小问1详解】 解： ， 故答案为：3； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 由题意得， 解得 经检验，是分式方程的解 原方程的解为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $