精品解析：山东烟台经济技术开发区第二初级中学2025-2026学年八年级（五四制）上学期数学第一次阶段自测

山东省烟台市开发区第二中学2025-2026学年八年级上学期 第一次月考数学试卷（五四制） 一．选择题（共12小题） 1. 对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（ ） A. 都是因式分解 B. 都是乘法运算 C. ①是因式分解，②是乘法运算 D. ①是乘法运算，②是因式分解 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解的定义进行判断即可； 【详解】①左边多项式，右边整式乘积形式，属于因式分解； ②左边整式乘积，右边多项式，属于整式乘法； 故答案选C． 【点睛】本题主要考查了因式分解的定义理解，准确理解因式分解的定义是解题的关键． 2. 在，，，，，中，分式的个数是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：在，，，，，中， ，，，分母中不含有字母，都不是分式， 分式有，，，共有3个． 故选：B． 3. 下列各式：①；②；③；④；⑤，可以用公式法分解因式的有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握利用公式法进行因式分解是解题的关键．利用公式法进行因式分解，逐一判断即可得出答案． 【详解】解：①不可以因式分解； ②可以用平方差公式进行因式分解； ③不可以因式分解； ④可以用完全平方公式进行因式分解； ⑤可以用完全平方公式进行因式分解． 故选：B． 4. 把多项式分解因式，结果是，则a，b的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了整式乘法，解二元一次方程组，因式分解的定义等知识点，根据多项式乘法将因式展开，然后组成方程组，解方程组即可得解， 熟练掌握整式乘法法则是解决此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：D． 5. 下列计算中，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式的基本性质逐一作出判断． 【详解】解：A. ，故本选项运算错误； B. ，故本选项运算正确； C. ，故本选项运算正确； D. ，故本选项运算正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 6. 下列说法错误的是（ ） A. 当时，分式无意义 B. 当时，分式的值为正数 C. 当分式时， D. 分式与的最简公分母是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件及分式为零的条件，最简公分母的求法，解题的关键是掌握分式值为0，及分子为零，计算后需要验证分母有没有意义．利用分式有意义的条件及分式为零的条件，最简公分母的求法依次判断即可． 【详解】解：A．当时，分母为0，分式无意义，正确，不符合题意； B．当时，分母大于0，与分子同号，故分式的值为正数，正确，不符合题意； C．当分式时，即，解得，当时，分母无意义，故错误，符合题意； D．分式与的最简公分母是，正确，不符合题意； 故选：C． 7. 若把分式中都扩大3倍，那么分式的值（） A. 扩大3倍 B. 缩小3倍 C. 不变 D. 缩小6倍 【答案】A 【解析】 【分析】把原分式中的x换成3x，把y换成3y进行计算，再与原分式比较即可． 【详解】解：把原分式中的x换成3x，把y换成3y， 则有，即扩大3倍， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是整体代入计算得出结果． 8. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用分式乘、加减运算法则，通过约分、通分计算各选项，判断等式是否成立． 【详解】解：A、，运算错误，不符合题意； B、，运算错误，不符合题意； C、，运算错误，不符合题意； D、，运算正确，符合题意． 9. 已知，则M等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题解析： 故选A. 10. A、B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意，先把逆流速度和顺流速度表达出来，再根据共用去9小时，列出方程解答即可． 【详解】根据题意，得， 故选A． 11. 已知分式方程的解为，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 7 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】将代入分式方程，得到关于a的方程，即可求解． 【详解】解：将代入分式方程，得： ， 解得． 12. 已知二元一次方程组，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组，平方差公式，代数式求值，将化简成，再整体代入即可． 【详解】解：， ， 故选：B． 二．填空题（共5小题） 13. 多项式提公因式后的另一个因式为___________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了提公因式法因式分解，熟练掌握提因式分解的常用方法是解题关键．根据提公因式法分解因式进而即可求解． 【详解】解：， 所以，多项式提公因式后的另一个因式为． 故答案为：． 14. 通过计算几何图形的面积，可得到一些代数恒等式，如图所示，我们可以得到恒等式: _________________．  【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了十字相乘法分解因式，利用面积相等得出等式是解题关键．根据图形中的正方形和长方形的面积之和，与整体图形的面积相等，进而得出等式即可得解． 【详解】解：由面积相等可得：， 故答案为：． 15. 利用因式分解计算__ ． 【答案】1024 【解析】 【分析】观察式子可知两项都含有公因式，提取公因式后即可简化计算得到结果． 【详解】解： 16. 若关于x的分式方程 有增根， 则k的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，先把原方程去分母后解方程得到，再根据分式方程有增根得到，则． 【详解】解： 去分母得：， 解得， ∵关于x的分式方程 有增根， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 若为实数，分式不是最简分式，则______. 【答案】0或－4 【解析】 【分析】由分式不是最简分式可得x或x+2是x2+m的一个因式，分含x和x+2两种情况，根据多项式乘以多项式的运算法则求出m的值即可. 【详解】∵分式不是最简分式， ∴x或x+2是x2+m的一个因式， 当x是x2+m的一个因式x时，设另一个因式为x+a， 则有x（x+a）=x2+ax=x2+m， ∴m=0， 当x+2是x2+m的一个因式时，设另一个因式为x+a， 则有(x+2)(x+a)=x2+(a+2)x+2a=x2+m， ∴， 解得：， 故答案为：0或-4. 【点睛】本题考查最简分式的定义及多项式乘以多项式，根据题意得出x或x+2是x2+m的一个因式是解题关键. 三．解答题（共9小题） 18. 已知，则___． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则，正确将已知变形进而化简是解题关键．将变形得到，代入分式化简即可得解． 【详解】解： ， ， ， ， 故答案为：1． 19. 分解因式： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 按要求完成下列小题： （1）因式分解：； （2）化简：； （3）计算：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接用平方差公式分解； （2）先算乘方，再将除法化为乘法，约分即可； （3）先将因式分解，通分后合并分子，再约去公因式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 21. 解下列分式方程： （1）； （2）； 【答案】（1） （2）原方程无解 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的步骤是解题的关键，注意解分式方程最后一定要检验． （1）先把分式方程化为整式方程，然后解方程，最后检验即可得到答案； （2）先把分式方程化为整式方程，然后解方程，最后检验即可可得到答案． 【小问1详解】 解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解； 【小问2详解】 解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； 检验，当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 22. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是整式的加减运算中的化简求值，先去括号，再合并同类项，得到化简的结果，再把代入化简的代数式计算即可． 【详解】解： ； 当时， 原式． 23. 先化简，然后从﹣2，﹣1，1，2四个数中选择一个合适的数作为a的值代入求值． 【答案】，3． 【解析】 【分析】先进行分式的混合运算，根据分式有意义的条件，把a=2代入计算即可． 【详解】原式===， 当a=2时，原式==3． 考点：分式的化简求值． 24. 已知关于x的分式方程， （1）若方程的增根为x=1，求m的值 （2）若方程有增根，求m的值 （3）若方程无解，求m的值． 【答案】（1）m=-6； （2）当x=﹣2时，m=1.5；当x=1时，m=﹣6； （3）m的值为﹣1或﹣6或1.5 【解析】 【分析】（1）方程两边同时乘以最简公分母（x-1）(x+2)，化为整式方程；把方程的增根x=1代入整式方程，解方程即可得； （2）若方程有增根，则最简公分母为0，从而求得x的值，然后代入整式方程即可得； （3）方程无解，有两种情况，一种是原方程有增根，一种是所得整式方程无解，分别求解即可得． 【小问1详解】 解：方程两边同时乘以（x+2）（x﹣1），得 2（x+2）+mx=x-1， 整理得（m+1）x=﹣5， ∵x=1是分式方程的增根， ∴1+m=﹣5， 解得：m=﹣6； 【小问2详解】 解：∵原分式方程有增根， ∴（x+2）（x﹣1）=0， 解得：x=﹣2或x=1， 当x=﹣2时，m=1.5；当x=1时，m=﹣6； 【小问3详解】 解：当m+1=0时，该方程无解，此时m=﹣1； 当m+1≠0时，要使原方程无解，由（2）得：m=﹣6或m=1.5， 综上，m的值为﹣1或﹣6或1.5． 【点睛】本题考查了分式方程无解的问题，正确的将分式方程转化为整式方程，明确方程产生无解的原因，能正确地根据产生的原因进行解答是关键． 25. 阅读下列材料： 材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成，如： 材料2：因式分解： 解：将“”看成一个整体，令，则原式 再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法． 材料3：因式分解：，将前两项结合，后两项结合，即． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 请你结合上述材料解答下列问题： （1）根据材料1，把分解因式． （2）结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． （3）结合材料3分解因式． 【答案】（1） （2）①；② （3） 【解析】 【分析】（1）仿照材料1例题求解即可； （2）①令，即可求解；②令，仿照材料1、材料2例题分解，将“”还原后再根据完全平方公式及材料1继续分解； （3）前三项先用完全平方公式分解，再整体用平方差公式分解． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：①将“”看成一个整体， 令， 则原式， 再将“”还原得， 原式； ②原式， 将“”看成一个整体， 令， 则原式， 再将“”还原得， 原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ． 26. 为提升城市生活垃圾处理能力，某市计划为部分小区安装新型智能垃圾分类设备．已知甲、乙两个厂家都可提供设备，乙厂家的设备单价比甲厂家便宜0.2万元．当购买甲厂家设备的费用和乙厂家设备的费用均为12万元时，购买甲厂家设备的数量是购买乙厂家设备数量的． （1）求甲、乙两个厂家设备的单价分别是多少万元？ （2）该城市计划购买设备的总费用不能超过20万元，并且要保证安装智能垃圾分类设备的小区数量为40个（每个小区安装一台设备）．则购买甲厂家的设备最多多少台？ 【答案】（1）甲厂家设备的单价为0.6万元，则乙厂家设备的单价0.4万元 （2）购买甲厂家的设备最多20台 【解析】 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设甲厂家设备的单价为万元，则乙厂家设备的单价万元，根据“甲厂家设备的数量是购买乙厂家设备数量的”建立分式方程求解； （2）设购买甲厂家的设备台，则购买乙厂家设备台，根据“总费用不能超过20万元”建立不等式求解． 【小问1详解】 解：设甲厂家设备的单价为万元，则乙厂家设备的单价万元， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 则乙厂家设备的单价为万元， 答：甲厂家设备的单价为0.6万元，则乙厂家设备的单价0.4万元； 【小问2详解】 解：设购买甲厂家的设备台，则购买乙厂家设备台， 由题意得：， 解得：， 答：购买甲厂家的设备最多20台． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省烟台市开发区第二中学2025-2026学年八年级上学期 第一次月考数学试卷（五四制） 一．选择题（共12小题） 1. 对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（ ） A. 都是因式分解 B. 都是乘法运算 C. ①是因式分解，②是乘法运算 D. ①是乘法运算，②是因式分解 2. 在，，，，，中，分式的个数是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 下列各式：①；②；③；④；⑤，可以用公式法分解因式的有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 4. 把多项式分解因式，结果是，则a，b的值为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算中，错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法错误的是（ ） A. 当时，分式无意义 B. 当时，分式的值为正数 C. 当分式时， D. 分式与的最简公分母是 7. 若把分式中都扩大3倍，那么分式的值（） A. 扩大3倍 B. 缩小3倍 C. 不变 D. 缩小6倍 8. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知，则M等于（ ） A. B. C. D. 10. A、B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（ ） A. B. C. D. 11. 已知分式方程的解为，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 7 D. 12 12. 已知二元一次方程组，则的值是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共5小题） 13. 多项式提公因式后的另一个因式为___________________． 14. 通过计算几何图形的面积，可得到一些代数恒等式，如图所示，我们可以得到恒等式: _________________．  15. 利用因式分解计算__ ． 16. 若关于x的分式方程 有增根， 则k的值为____________． 17. 若为实数，分式不是最简分式，则______. 三．解答题（共9小题） 18. 已知，则___． 19. 分解因式： （1） （2） 20. 按要求完成下列小题： （1）因式分解：； （2）化简：； （3）计算：． 21. 解下列分式方程： （1）； （2）； 22. 先化简，再求值：，其中． 23. 先化简，然后从﹣2，﹣1，1，2四个数中选择一个合适的数作为a的值代入求值． 24. 已知关于x的分式方程， （1）若方程的增根为x=1，求m的值 （2）若方程有增根，求m的值 （3）若方程无解，求m的值． 25. 阅读下列材料： 材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成，如： 材料2：因式分解： 解：将“”看成一个整体，令，则原式 再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法． 材料3：因式分解：，将前两项结合，后两项结合，即． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 请你结合上述材料解答下列问题： （1）根据材料1，把分解因式． （2）结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． （3）结合材料3分解因式． 26. 为提升城市生活垃圾处理能力，某市计划为部分小区安装新型智能垃圾分类设备．已知甲、乙两个厂家都可提供设备，乙厂家的设备单价比甲厂家便宜0.2万元．当购买甲厂家设备的费用和乙厂家设备的费用均为12万元时，购买甲厂家设备的数量是购买乙厂家设备数量的． （1）求甲、乙两个厂家设备的单价分别是多少万元？ （2）该城市计划购买设备的总费用不能超过20万元，并且要保证安装智能垃圾分类设备的小区数量为40个（每个小区安装一台设备）．则购买甲厂家的设备最多多少台？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $