黑龙江省佳木斯市第十一中学2026-2027学年高二上学期第1次月考考试数学试题

2025-2026学年度高二上学期第1次月考考试 高二数学试题 一、单选题(共40分，8小题，每小题5分) 1．直线 的倾斜角为 （    ） A． B． C． D． 2．已知直线，则与的位置关系为（    ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 3．直线恒过定点（   ） A．-1，2 B．（1，2） C．2，-1 D．（2，1） 4．如图，已知平行六面体，则（   ） A． B． C． D． 5．已知直线，则直线在轴上的截距为（    ） A． B．5 C． D．2 6．若直线的方向向量，平面的一个法向量，若，则实数（    ） A．3 B．15 C． D． 7．如图，在正方体中，M，N分别为AB，B1C的中点，若AB＝a，则MN的长为（    ） A．a B．a C．a D．a 8．圆上到直线的距离为2的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题(共18分，3小题，每小题6分) 9．已知圆，下列说法正确的是（    ） A．圆心的坐标为 B．半径 C．圆被直线截得弦长为 D．直线与圆相切 10．关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小； B．若对空间中任意一点，有，则四点共面； C．若空间向量满足，则与夹角为钝角； D．若已知空间向量和，则在上的投影向量为. 11．如图，在正方体中，点E为棱的中点，则下列说法正确的是（    ）    A． B．平面 C．与AD所成角的正弦值为 D．直线与平面所成角的正切值为 三、填空题(共15分，3小题，每小题5分) 12．两条平行直线与间的距离为_______． 13．求以直线和的交点为圆心，半径为4的圆的标准方程______ 14．已知A，B是平面上的两定点，，动点M满足，动点N在直线上，则距离的最小值为___________． 四、解答题(共77分，5道题) 15．已知点，直线的斜率为3． (1)若直线经过点，求直线在轴上的截距； (2)求经过，两点的直线的方程（结果化为方程的一般式）； (3)求经过点且与直线垂直的直线的方程（结果化为方程的一般式）． 16．已知直线l经过点，且与直线平行． (1)求直线l的方程； (2)已知圆C与y轴相切，直线l被圆C截得的弦长为，圆心在直线上，求圆C的方程． 17．已知圆. (1)判断圆与圆的位置关系,并说明理由; (2)若过点的直线l与圆相切,求直线的方程. 五、解答题-证明题 18．如图， 在长方体中，.    (1)求平面的法向量. (2)线段中点为点，求证平面. （3）求点到平面的距离． 19．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，，，. (1)求证：平面PAD； (2)求直线PD与平面PCE所成角的正弦值； (3)在棱AB上是否存在一点F，使得平面EPC和平面FPC所成角为60°？如果存在，确定点F的位置；如果不存在，说明理由. 第1页（共2页） 第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 《2025-2026学年度高二上学期第1次月考考试》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B C C C A C BC ABD 题号 11 答案 ACD 1．D 【分析】由直线方程求直线的斜率，再由斜率与倾斜角的关系求倾斜角. 【详解】 即 ， 所以斜率为 ， 设直线的倾斜角为，则 又， 所以 ， 即 ． 故选：D. 2．B 3．B 4．C 【分析】根据空间向量的加减运算进行求解即可. 【详解】因为平行六面体， 所以，， 所以. 故选：C. 5．C 【分析】利用截距式及截距的定义即可得出． 【详解】直线的方程为，即， 故直线在轴上的截距为． 故选：C. 6．C 【分析】根据，可知的方向向量与平面的法向量共线，从而得到的值. 【详解】, 的方向向量与平面的法向量共线. ，即，解得， 故选：C. 7．A 【分析】根据空间向量的基本定理，用，，表示，将线段长度问题转换为向量模长问题. 【详解】设，，，则构成空间的一个正交基底. ， 故，所以MN＝a. 故选：A 8．C 【分析】由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，结合圆的半径大小确定圆上到直线距离为2的点的个数. 【详解】圆的圆心为，半径，所以圆心到直线的距离，所以圆上到直线的距离为2的点有3个，故选：C． 9．BC 【分析】根据圆的知识、直线和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】圆的圆心为，半径， 所以A选项错误，B选项正确. 到直线的距离为， 所以圆被直线截得弦长为， 所以C选项正确. 到直线的距离为， 所以直线与圆相交，D选项错误. 故选：BC. 10．ABD 【分析】A项，由空间向量的模为实数可知；B项，由系数和为即可判断；C项，由两向量共线且反向情况可判断；D项，由单位向量与投影向量的定义可得. 【详解】A项，空间向量不能比较大小，而空间向量的模是非负实数，可以比较大小，故A正确； B项，由，可得，故四点共面，故B正确； C项，若与为两非零向量，共线且反向时，， 此时两向量的夹角为，不为钝角，故C错误； D项，与方向相同的单位向量为 ，由投影向量的定义，则在上的投影向量为，故D正确. 故选：ABD. 11．ACD 【分析】由线面垂直的判定定理证得平面，即可得出可判断A；由线面平行的性质定理可判断B；由异面直线所成角可判断C；由线面角可判断D. 【详解】如图，连接，由题易得，，又， 平面，所以平面. 又平面，所以，A正确； 若平面，平面， 因为平面平面，所以，与题意不符，B错误； 因为，所以为与AD所成的角（或其补角）， 连接，设正方体的棱长为2，易得平面，平面， 所以.因为，，， ，所以，C正确； 因为为在平面上的射影， 所以为直线与平面所成的角，所以，D正确. 故选：ACD.    12． 【分析】根据两平行直线间的距离公式求得正确答案. 【详解】依题意可知，两直线的距离为. 故答案为： 13． 【分析】先求直线和的交点，进而求圆的标准方程. 【详解】由题意有：， 所以圆的圆心为,半径为4， 所以圆的标准方程为：， 14． 【分析】以为原点建立平面直角坐标系，根据定义可得点的轨迹是以为圆心， 为半径的圆，则MN距离的最小值为圆心到直线的距离减去半径. 【详解】如图，以为原点，为轴建立平面直角坐标系，则， 设动点，则由可得，整理可得， 故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 易得直线的方程为， 则由图可知MN距离的最小值为圆心到直线的距离减去半径， 则圆心到直线的距离为， 所以MN距离的最小值为. 故选：C. 15．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，结合直线的点斜式方程，即可求解； （2）根据题意，利用斜率公式，求得，结合直线的点斜式方程，即可求解； （3）根据题意，得到所求直线的斜率为，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】（1）若直线经过点且直线的斜率为3， 则直线的方程为，即， 令，可得，所以直线在轴上的截距为． （2）因为点，可得， 所以所求直线的方程为，即． （3）因为直线的斜率为3，则与直线垂直的直线的斜率为， 又由，则所求直线的方程为，即． 16．(1) (2)． 【分析】（1）由两直线平行可求得斜率为，再利用直线的点斜式方程即可求得结果； （2）设出圆C的标准方程，由弦长即圆心位置等即可解出圆的标准方程为. 【详解】（1）因为直线l与直线平行，所以直线l的斜率为， 则直线l的方程为， 化简可得． 即直线l的方程为 （2）设圆C的方程为，则， 因为圆C与y轴相切，所以， 又圆心C到l的距离，所以， 即， 解得，． 故圆C的方程为． 17．（1）见解析（2）直线的方程为或. 【详解】试题分析：（1）先求出两圆圆心距，进而判断两圆的位置关系；（2）分类讨论：当斜率不存在时方程为，符合题意；当直线 的斜率存在时,设直线 的方程为，再利用圆心到切线的距离等于半径建立方程，从而求出 ，进而求得直线方程. 试题解析：∵圆的标准方程是， ∴圆的圆心坐标为,半径长为. 又∵圆的圆心坐标为,半径长为  ， ∴两圆的圆心距为， 两圆的半径之和为 , ∴圆与圆外切.   (2)当直线 的斜率不存在时,直线 的方程为，符合题意； 当直线 的斜率存在时,设直线的方程为  ， 即. ∵直线与圆相切， ∴圆心到直线的距离，即,解得， ∴直线的方程为，即. 综上可知,直线的方程为或. 18．(1) (2) 证明：，则， 故， 因为， 所以， 又平面， 所以平面. （3） 【分析】（1）以点为原点建立空间直角坐标系，根据法向量与平面垂直即可求出法向量； （2）证明直线的方向向量与平面的法向量垂直即可得证. 【详解】（1）如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 故， 设平面的法向量为， 则有，令，则， 所以， 所以平面的法向量为； （2） 略 （3）由于线段被平面所平分，则、到平面的距离相等，由（2）知点到平面的距离等于 19．(1)证明见解析 (2) (3)为的中点 【分析】（1）取中点，通过证明四边形是平行四边形得出，故而平面； （2）建立了空间坐标系，求出平面的法向量，计算和的夹角即可求出线面角的正弦值； （3）设，求出平面的法向量，令计算，根据计算结果得出结论． 【详解】（1）证明：取中点，连接，， ，， 四边形是平行四边形， ，， 四边形是正方形，，， ，， 四边形是平行四边形，， 又平面，平面， 平面； （2）以为原点建立空间直角坐标系，如图所示： 则，0，，，0，，，4，，，4，， ，4，，，0，，，4，， 设平面的法向量为，，，则，即， 令可得，1，， ，， 直线与平面所成角的正弦值为； （3）设，0，，则，0，，，4，， 设平面的法向量为，，，则，即， 令可得，，， 故，令，解得， 当为的中点时，平面EPC和平面FPC所成角为60°． 【点睛】 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $