学易金卷：九年级数学上学期期中模拟卷（江苏泰州专用，新教材苏科版九上第1～5章：一元二次方程+反比例函数+圆+概率统计）

2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 1 2 3 4 5 6 C C C B B B 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 7．2030 8．200（1+x）2＝800 9． 10．60πcm2 11． 12．92 13．x＝2021 14．3.5 15．12 16．﹣20 三、解答题：本题共10小题，共102分。 17．（10分） 解：（1）方程x2﹣6x+4＝0中，a＝1，b＝﹣6，c＝4， ∴Δ＝（﹣6）2﹣4×1×4＝20， ∴， 解得：，；····························5分 （2）原方程移项得（x﹣4）2﹣（x﹣4）＝0， （x﹣4）（x﹣4﹣1）＝0， ∴x﹣4＝0或x﹣5＝0， 解得：x1＝4，x2＝5．·································10分 18．（10分） （1）证明：当m＝0时，方程为﹣2x+2＝0，x＝1； 当m≠0时， ∵Δ＝[﹣（2m+2）]2﹣4×m×（m+2） ＝4m2+8m+4﹣4m2﹣8m ＝4＞0， ∴无论m取任何实数时，方程恒有实数根；························4分 （2）解：当m＝0时，方程为﹣2x+2＝0，x＝1；·····················6分 当m≠0时，原方程整理可得：（mx﹣m﹣2）（x﹣1）＝0， x1，x2＝1， ∵方程的两个根均为正整数，m为整数， ∴当m＝1时，x1＝3，x2＝1；······························8分 当m＝2时，x1＝2，x2＝1． 故整数m的值为0或1或2．······························10分 19．（8分） 解：（1）样本中甲学生10场篮板的次数出现最多的是5次，共出现5次，因此甲学生篮板的众数是5次， 将乙学生10场篮板的次数从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为 ＝5次，即乙学生篮板的中位数是5次， 故答案为：5，5；··································4分 （2）甲学生的平均数为5，乙学生篮板的平均数为5， ∴s甲[（3﹣5）2+（4﹣5）2+（5﹣5）2×5+（6﹣5）2×3]＝0.8， s乙[（2﹣5）2+（3﹣5）2×2+（4﹣5）2+（5﹣5）2×2+（6﹣5）2+（7﹣5）2×2+（8﹣5）2]＝1.8， ∴甲学生的比较稳定， 故答案为：甲；···································6分 （3）甲的综合得分为x+1.5y+2z＝21.5+1.5×5+1.2×2＝31.4，乙的综合得分为x+1.5y+2z＝18.9+1.5×5+3×2＝32.4， 所以乙学生的综合表现更好， 故答案为：乙．···································8分 20．（10分） 解：（1）∵袋子种没有黄球， ∴摸到黄球是不可能事件， 故答案为：不可能事件；·······························2分 （2）设盒中黑球的个数为x个，则 解得 x＝7． 答：盒中黑球个数为7．·······························5分 （3）设往盒中再加入y个红球，则 解得 y＝4． 答：往盒中再加入4个红球．······························10分 21．（10分） 解：（1）当x＝1时，y＝1+1＝2， ∴A（1，2）， ∴k＝1×2＝2；·····································2分 （2）由条件可知：， 整理得x2+x﹣2＝0， 解得x1＝﹣2，x2＝1， ∵点A的横坐标为1， ∴点B的横坐标为﹣2， 则由图可知，不等式的解集为x＞1或﹣2＜x＜0； 故答案为：x＞1或﹣2＜x＜0；·····························6分 （3）如图，直线AB交y轴于点C， 当x＝0时，y＝0+1＝1， 则C（0，1）， 设P（0，n），则CP＝|n﹣1|， ∵点A的横坐标为1，点B的横坐标为﹣2， ∴， ∵S△ABP＝6， ∴，则n﹣1＝4或n﹣1＝﹣4， 解得n＝5或n＝﹣3， 则P（0，5）或（0，﹣3）．······························10分 22．（10分） （1）证明：∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°， ∴∠A＝90°﹣∠ACB． ∵BE⊥AC， ∴∠CEB＝90°， ∴∠EBC＝90°﹣∠ACB， ∴∠EBC＝∠A． ∵B为的中点， ∴， ∴∠DCB＝∠A，‘ ∴∠EBC＝∠DCB， ∴BF＝CF；·····································5分 （2）解：∵B为的中点，BD＝2， ∴， ∴BC＝BD＝2． ∵AB＝4，由（1）知∠ABC＝90°， ∴． 在Rt△ABC中，由等面积法得， ∴， ∴AB＝4，BD＝2，则．···························10分 23．（10分） 解：（1）将B（1，a）代入一次函数得a＝1+2＝3，即B（1，3）， ∴将B（1，3）代入反比例函数得， 解得k＝3， ∴反比例函数解析式为．······························4分 （2）令x＝0，得y＝2，即点D（0，2），OD＝2； 令y＝0，得x＝﹣2，即点C（﹣2，0），OC＝2． ∵B（1，3），即B到y轴距离为1， ∴， ∴S△OCP＝4S△OBD＝4． 设点P（x，y）在反比例函数图象上，以OC为底，则高为|y|， ∴，即y＝4或y＝﹣4． 当y＝4时，由得，此时；当y＝﹣4时，由得，此时． 故存在满足条件的点P，坐标为或．·················10分 24．（10分） 解：（1）当该玩偶的售价定为40元时，每个玩偶的销售利润为40﹣30＝10（元）， 商店每天卖出该玩偶的数量是100+10×（50﹣40）＝200（个）， 每天的利润为10×200＝2000（元）． 故答案为：200，2000；································2分 （2）设该玩偶的售价为x元，则每个玩偶的销售利润为（x﹣30）元，每天可卖出100+10（50﹣x）＝（600﹣10x）个， 根据题意得：（x﹣30）（600﹣10x）＝2240， 整理得：x2﹣90x+2024＝0， 解得：x1＝44，x2＝46． 答：该玩偶的售价为44元或46元；··························6分 （3）商店每天销售该玩偶的利润不能达到2500元，理由如下： 假设商店每天销售该玩偶的利润能达到2500元，设该玩偶的售价为y元，则每个玩偶的销售利润为（y﹣30）元，每天可卖出（600﹣10y）个， 根据题意得：（y﹣30）（600﹣10y）＝2500， 整理得：y2﹣90y+2050＝0， ∵Δ＝（﹣90）2﹣4×1×2050＝﹣100＜0， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立， 即商店每天销售该玩偶的利润不能达到2500元．·····················10分 25．（12分） （1）证明：∵a+2m＝0， ∴a＝﹣2m， ∵点A（a，b）在反比例函数的图象上， ∴k＝ab＝﹣2mb， ∵B（m，n）在反比例函数的图象上， ∴k＝mn， ∴﹣2mb＝mn， ∴2b+n＝0；······································3分 （2）解：①∵B（m，n）在反比例函数的图象上， ∴k＝mn， ∵k＝am， ∴mn＝am， ∴a＝n， ∵m＝a+2， ∴B（a+2，a）， ∴k＝a（a+2）， ∵点A（a，b）在反比例函数的图象上， ∴k＝ab， ∴ab＝a（a+2）， ∴b＝a+2， ∴A（a，a+2）， ∴点B（a+2，a）可以看作点A（a，a+2）向右平移两个单位，再向下平移两个单位所得， ∵过点A作直线平行于x轴、过点B作直线平行于y轴，两直线交于点H， ∴AH＝2，BH＝2， ∴AH+BH＝4， 即AH+BH的值为4；··································6分 ②如图，∵m＝a+2， ∴B（a+2，n）， ∵A（a，b），k＞0， ∴点B可以看作是点A向右平移2个单位，再向下平移（b﹣n）（b﹣n＞0）个单位所得， ∴AH＝2，BH＝b﹣n， ∵BC⊥AB，AB＝BC，△ABC的面积为8， ∴S△ABCAB•BCAB2＝8， ∴AB2＝16， 在Rt△AHB中， 根据勾股定理得，AH2+BH2＝AB2， ∴22+（b﹣n）2＝16， ∴b﹣n＝2， ∴b＝n+2， ∴A（a，n+2）， ∴k＝ab＝a（n+2），k＝mn＝（a+2）n， ∴a（n+2）＝（a+2）n， ∴na， ∴b＝n+2a+2， ∴A（a，a+2），B（a+2，a）， 过点C作CM⊥BH于M， ∵过点A作直线平行于x轴、过点B作直线平行于y轴，两直线交于点H， ∴AH⊥BH， ∴∠AHB＝∠BMC＝90°， ∴∠BAH+∠ABH＝90°， ∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， ∴∠ABH+∠CBM＝90°， ∴∠BAH＝∠CBM， ∵AB＝BC， ∴△AHB≌△BMC（AAS）， ∴CM＝BH＝2，BM＝AH＝2， ∴点C（a+2﹣2，a﹣2）， ∵点C、A在反比例函数的图象上， ∴k＝（a+2﹣2）×（a﹣2），k＝a×（a+2）， ∴（a+2﹣2）×（a﹣2）＝a×（a+2）， ∴a， ∴B（，）， ∴k， 即k的值为．····································12分 26．（12分） （1）解：①∵∠AOB+∠C＝135°，∠AOB＝2∠C， ∴3∠C＝135°， ∴∠C＝45°；······································2分 ②连接AB，过A作AD⊥BC，垂足为M，如图①， ∵∠C＝45°，AC＝8， ∴△ACM是等腰直角三角形，且， ∵∠AOB＝2∠C＝90°，OA＝OB， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∴， 在直角三角形ABM中，， ∴．··························4分 （2）证明：延长AP交圆于点N，则∠C＝∠N，如图②， ∵∠APB＝2∠C， ∴∠APB＝2∠N， ∵∠APB＝∠N+∠PBN， ∴∠N＝∠PBN， ∴PN＝PB， ∵PA＝PB， ∴PA＝PB＝PN， ∴P为该圆的圆心；···································8分 （3）证明：过B作BC的垂线交CA的延长线于点E，连接AB，延长AP交圆于点F，连接CF，FB，如图③， ∵∠APB＝90°， ∴∠C＝45°， ∴△BCE是等腰直角三角形， ∴BE＝BC， ∵BP⊥AF，PA＝PF， ∴BA＝BF， ∵AF是直径， ∴∠ABF＝90°， ∴∠EBC＝∠ABF＝90°， ∴∠EBA＝∠CBF， ∴△EBA≌△CBF（SAS）， ∴AE＝CF， ∵， ∴CD＝CF， ∴必有一个点D的位置始终不变，点F即为所求．·····················12分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ■▣。■■。。■▣。。■。=。■==。■■▣。▣=。■■■■■▣▣。■■▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ✉ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[][][/] 一、单项选择题： 本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.MA][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 4A][B][C][D] 5.[A][B][CI[D] 6.[A][B][C][D] 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 9 10. 11. 12 13 15 16. 三、解答题：本题共10小题，共102分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 17.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(10分) 19.(10分) (1) ； (2) (3) 20.(10分) (1) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(10分) (2) 22.(10分) ⊙ D F E 23.(10分) y B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(10分) (1) 25.(12分) 26.(12分) c A A P y D B B B 图① 图② 图③ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材苏科版九年级上册第1~5章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A．y+1＝0 B． C．x2﹣2x+1＝0 D．2x3﹣1＝3 2．已知反比例函数，下列结论中，不正确的是（　　） A．图象必经过点（2，1） B．图象在第一、三象限内 C．在图象的每个象限内，y随x的增大而增大 D．若x＞1，则0＜y＜2 3．若关于x的方程x2﹣4x﹣m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（　　） A．m≤4 B．m＜4 C．m≥﹣4 D．m＞﹣4 4．若样本x1+1，x2+1，…，xn+1的平均数为10，方差为6，则对于样本x1+3，x2+3，…，xn+3，下列结论正确的是（　　） A．平均数为10，方差为6 B．平均数为12，方差为6 C．平均数为12，方差为8 D．平均数为13，方差为9 5．不透明的袋子中有5张卡片，上面分别写着数字1，2，3，4，5，除数字外五张卡片无其它差别，从袋子中随机摸出一张卡片，其数字为偶数的概率是（　　） A． B． C． D． 6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是直径，连结BD，若BD＝CD，AB＝8，BC＝6，则AD的长为（　　） A．3 B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 7．设α，β是方程x2﹣x﹣2026＝0的两个实数根，则α2+3α+4β的值为_________ ． 8．某校办工厂生产的某种产品，今年产量为200件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，使得第三年的产量达到800件．若设这个百分数为x，则可列方程__________________ ． 9．小明同学上学途中要经过一个有交通信号灯的路口，该路口交通信号灯红灯时间为30秒，绿灯时间为25秒，黄灯时间为5秒，则小明过该路口时恰好遇到绿灯的概率为___________________ ． 10．已知圆锥的底面半径为5cm，母线长为12cm，则这个圆锥的侧面积是___________ ． 11．如图，点C在直径AB的延长线上，CD与半圆O相切于点D，∠C＝30°，OC＝4，则弧的长度为___________________ ．（结果保留π） 12．小丽在本学期的数学成绩分别为：平时测验成绩为90分，期中考试成绩为90分，期末考试成绩为95分，将平时测验成绩、期中考试成绩、期末考试成绩分别按30%、30%、40%计入学期总评成绩，则小丽本学期的总评成绩是 _______ 分． 13．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的其中一根为x＝2023，则关于x的方程a（x+2）2+bx+2b+c＝0的根为 ___________ ． 14．如图，点A，B分别是反比例函数和部分图象上的点，AB∥x轴，点C是x轴上一点，则△ABC的面积为________ ． 15．如图，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F为切点．若AD＝1，BC＝5，则△ABC的周长为_______ ． 16．如图，反比例函数y（x＜0），△OAB和△BCD均为等腰直角三角形，点D在反比例函数图象上，若S△OAB﹣S△BCD＝10，则k＝________ ． 三、解答题：本题共10小题，共102分。 17．（10分）解方程： （1）x2﹣6x+4＝0； （2）（x﹣4）2＝x﹣4． 18．（10分）已知关于x的方程mx2﹣（2m+2）x+m+2＝0． （1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根． （2）若关于x的方程mx2﹣（2m+2）x+m+2＝0根为正整数，求整数m的值． 19．（8分）某学校组织八年级的学生进行篮球联赛．下面是甲、乙两名学生在10场比赛中的得分（单位：分）、篮板（单位：个）和助攻（单位：个）的数据． a．甲、乙两名学生10场比赛的篮板数据： 甲 6 4 5 6 5 3 5 5 6 5 乙 2 8 7 5 3 5 7 6 4 3 b．甲、乙两名学生10场比赛的得分、篮板和助攻的平均数： 得分平均数 篮板平均数 助攻平均数 甲 21.5 5.0 1.2 乙 18.9 5.0 3.0 根据以上信息，回答下列问题： （1）10场比赛中，甲学生篮板的众数是_____ ，乙学生篮板的中位数是_____ ； （2）10场比赛中，篮板更稳定的是_____ 学生（填“甲”或“乙”）； （3）记某学生的得分为x分，篮板为y个，助攻为z个．若x+1.5y+2z的值越大，则认为该名学生的综合表现越好．根据以上信息，学生_____ 在这10场比赛中的综合表现更好（填“甲”或“乙”）． 20．（10分）盒子中装有8个红球，9个白球和若干个黑球，除颜色以外这些球无任何差别．随机从盒中摸一个球，已知摸到红球的概率为． （1）摸到黄球是 __________ （从“随机事件”，“必然事件”，和“不可能事件”中选一个填空）； （2）求盒中黑球的个数； （3）若往盒中再加入若干个红球，使摸到黑球的概率为，求加入的红球个数． 21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数为常数，k≠0）的图象交于A、B两点，点A的横坐标为1． （1）求k的值； （2）关于x的不等式的解集为_______________ ； （3）若点P在y轴上，且△ABP的面积为6，直接写出点P的坐标． 22．（10分）如图，以△ABC的边AC为直径作⊙O，点B在⊙O上，点D为⊙O上一点，连接BD，且B为的中点，BE⊥AC于点E，连接CD交BE于点F． （1）求证：BF＝CF； （2）若AB＝4，BD＝2，求BE的长． 23．（10分）如图，一次函数y＝x+2的图象与反比例函数（k为常数，且k≠0）的图象交于点A，B（1，a），且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D． （1）求反比例函数的解析式； （2）连结OB，在反比例函数图象上是否存在点P，使得S△OCP＝4S△OBD，若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由． 24．（10分）综合与实践 【项目背景】研究玩偶的销售利润与售价之间的关系． 【素材呈现】素材1：世界杯期间，某商店以每个30元的成本价新进一批玩偶． 素材2：在销售过程中发现，该玩偶的售价定为50元时，每天可卖出100个，在此基础上，售价每降低1元，该玩偶每天可多卖出10个． 素材3：商店准备采用降价销售的方式尽快清空库存，获取合理的利润． 【问题解决】 （1）若该玩偶的售价定为40元，商店每天卖出该玩偶的数量是________ 个，每天的利润为_________ 元； （2）已知商店每天销售该玩偶的利润是2240元，求该玩偶的售价； （3）商店每天销售该玩偶的利润能否达到2500元？若能，求出该玩偶的售价；若不能，请说明理由． 25．（12分）在平面直角坐标系中，点A（a，b），B（m，n）在反比例函数的图象上． （1）若a+2m＝0，求证：2b+n＝0； （2）若m＝a+2，a＞0，过点A作直线平行于x轴、过点B作直线平行于y轴，两直线交于点H， ①当k＝am时，求AH+BH的值； ②连接AB，过点B作BC⊥AB交反比例函数图象于另一点C，当AB＝BC时，△ABC的面积为8，求k的值． 26．（12分）已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，∠C为所对的圆周角． 【知识回顾】 （1）如图①，⊙O中，B、C位于直线AO异侧，∠AOB+∠C＝135°． ①求∠C的度数； ②若⊙O的半径为5，AC＝8，求BC的长； 【逆向思考】 （2）如图②，若P为圆内一点，且∠APB＜120°，PA＝PB，∠APB＝2∠C．求证：P为该圆的圆心； 【拓展应用】 （3）如图③，在（2）的条件下，若∠APB＝90°，点C在⊙P位于直线AP上方部分的圆弧上运动．点D在⊙P上，满足的所有点D中，必有一个点的位置始终不变．请证明． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材苏科版九年级上册第1~5章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A．y+1＝0 B． C．x2﹣2x+1＝0 D．2x3﹣1＝3 2．已知反比例函数，下列结论中，不正确的是（　　） A．图象必经过点（2，1） B．图象在第一、三象限内 C．在图象的每个象限内，y随x的增大而增大 D．若x＞1，则0＜y＜2 3．若关于x的方程x2﹣4x﹣m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（　　） A．m≤4 B．m＜4 C．m≥﹣4 D．m＞﹣4 4．若样本x1+1，x2+1，…，xn+1的平均数为10，方差为6，则对于样本x1+3，x2+3，…，xn+3，下列结论正确的是（　　） A．平均数为10，方差为6 B．平均数为12，方差为6 C．平均数为12，方差为8 D．平均数为13，方差为9 5．不透明的袋子中有5张卡片，上面分别写着数字1，2，3，4，5，除数字外五张卡片无其它差别，从袋子中随机摸出一张卡片，其数字为偶数的概率是（　　） A． B． C． D． 6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是直径，连结BD，若BD＝CD，AB＝8，BC＝6，则AD的长为（　　） A．3 B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 7．设α，β是方程x2﹣x﹣2026＝0的两个实数根，则α2+3α+4β的值为_________ ． 8．某校办工厂生产的某种产品，今年产量为200件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，使得第三年的产量达到800件．若设这个百分数为x，则可列方程__________________ ． 9．小明同学上学途中要经过一个有交通信号灯的路口，该路口交通信号灯红灯时间为30秒，绿灯时间为25秒，黄灯时间为5秒，则小明过该路口时恰好遇到绿灯的概率为___________________ ． 10．已知圆锥的底面半径为5cm，母线长为12cm，则这个圆锥的侧面积是___________ ． 11．如图，点C在直径AB的延长线上，CD与半圆O相切于点D，∠C＝30°，OC＝4，则弧的长度为___________________ ．（结果保留π） 12．小丽在本学期的数学成绩分别为：平时测验成绩为90分，期中考试成绩为90分，期末考试成绩为95分，将平时测验成绩、期中考试成绩、期末考试成绩分别按30%、30%、40%计入学期总评成绩，则小丽本学期的总评成绩是 _______ 分． 13．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的其中一根为x＝2023，则关于x的方程a（x+2）2+bx+2b+c＝0的根为 ___________ ． 14．如图，点A，B分别是反比例函数和部分图象上的点，AB∥x轴，点C是x轴上一点，则△ABC的面积为________ ． 15．如图，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F为切点．若AD＝1，BC＝5，则△ABC的周长为_______ ． 16．如图，反比例函数y（x＜0），△OAB和△BCD均为等腰直角三角形，点D在反比例函数图象上，若S△OAB﹣S△BCD＝10，则k＝________ ． 三、解答题：本题共10小题，共102分。 17．（10分）解方程： （1）x2﹣6x+4＝0； （2）（x﹣4）2＝x﹣4． 18．（10分）已知关于x的方程mx2﹣（2m+2）x+m+2＝0． （1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根． （2）若关于x的方程mx2﹣（2m+2）x+m+2＝0根为正整数，求整数m的值． 19．（8分）某学校组织八年级的学生进行篮球联赛．下面是甲、乙两名学生在10场比赛中的得分（单位：分）、篮板（单位：个）和助攻（单位：个）的数据． a．甲、乙两名学生10场比赛的篮板数据： 甲 6 4 5 6 5 3 5 5 6 5 乙 2 8 7 5 3 5 7 6 4 3 b．甲、乙两名学生10场比赛的得分、篮板和助攻的平均数： 得分平均数 篮板平均数 助攻平均数 甲 21.5 5.0 1.2 乙 18.9 5.0 3.0 根据以上信息，回答下列问题： （1）10场比赛中，甲学生篮板的众数是_____ ，乙学生篮板的中位数是_____ ； （2）10场比赛中，篮板更稳定的是_____ 学生（填“甲”或“乙”）； （3）记某学生的得分为x分，篮板为y个，助攻为z个．若x+1.5y+2z的值越大，则认为该名学生的综合表现越好．根据以上信息，学生_____ 在这10场比赛中的综合表现更好（填“甲”或“乙”）． 20．（10分）盒子中装有8个红球，9个白球和若干个黑球，除颜色以外这些球无任何差别．随机从盒中摸一个球，已知摸到红球的概率为． （1）摸到黄球是 __________ （从“随机事件”，“必然事件”，和“不可能事件”中选一个填空）； （2）求盒中黑球的个数； （3）若往盒中再加入若干个红球，使摸到黑球的概率为，求加入的红球个数． 21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数为常数，k≠0）的图象交于A、B两点，点A的横坐标为1． （1）求k的值； （2）关于x的不等式的解集为_______________ ； （3）若点P在y轴上，且△ABP的面积为6，直接写出点P的坐标． 22．（10分）如图，以△ABC的边AC为直径作⊙O，点B在⊙O上，点D为⊙O上一点，连接BD，且B为的中点，BE⊥AC于点E，连接CD交BE于点F． （1）求证：BF＝CF； （2）若AB＝4，BD＝2，求BE的长． 23．（10分）如图，一次函数y＝x+2的图象与反比例函数（k为常数，且k≠0）的图象交于点A，B（1，a），且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D． （1）求反比例函数的解析式； （2）连结OB，在反比例函数图象上是否存在点P，使得S△OCP＝4S△OBD，若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由． 24．（10分）综合与实践 【项目背景】研究玩偶的销售利润与售价之间的关系． 【素材呈现】素材1：世界杯期间，某商店以每个30元的成本价新进一批玩偶． 素材2：在销售过程中发现，该玩偶的售价定为50元时，每天可卖出100个，在此基础上，售价每降低1元，该玩偶每天可多卖出10个． 素材3：商店准备采用降价销售的方式尽快清空库存，获取合理的利润． 【问题解决】 （1）若该玩偶的售价定为40元，商店每天卖出该玩偶的数量是________ 个，每天的利润为_________ 元； （2）已知商店每天销售该玩偶的利润是2240元，求该玩偶的售价； （3）商店每天销售该玩偶的利润能否达到2500元？若能，求出该玩偶的售价；若不能，请说明理由． 25．（12分）在平面直角坐标系中，点A（a，b），B（m，n）在反比例函数的图象上． （1）若a+2m＝0，求证：2b+n＝0； （2）若m＝a+2，a＞0，过点A作直线平行于x轴、过点B作直线平行于y轴，两直线交于点H， ①当k＝am时，求AH+BH的值； ②连接AB，过点B作BC⊥AB交反比例函数图象于另一点C，当AB＝BC时，△ABC的面积为8，求k的值． 26．（12分）已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，∠C为所对的圆周角． 【知识回顾】 （1）如图①，⊙O中，B、C位于直线AO异侧，∠AOB+∠C＝135°． ①求∠C的度数； ②若⊙O的半径为5，AC＝8，求BC的长； 【逆向思考】 （2）如图②，若P为圆内一点，且∠APB＜120°，PA＝PB，∠APB＝2∠C．求证：P为该圆的圆心； 【拓展应用】 （3）如图③，在（2）的条件下，若∠APB＝90°，点C在⊙P位于直线AP上方部分的圆弧上运动．点D在⊙P上，满足的所有点D中，必有一个点的位置始终不变．请证明． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 7._______________ 11. ______________ 15. ______________ 8. _______________ 12. ______________ 16. ______________ 9. ________________ 13.________________ 10. ________________ 14. ________________ 三、解答题：本题共10小题，共102分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（10分） 19．（10分） （1）_____________；_____________； （2）_____________； （3）_____________； 20．（10分） （1）________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（10分） （2）________________ 22．（10分） 23．（10分） （2） ； 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（10分） （1） ； ； 25．（12分） 26．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材苏科版九年级上册第1~5章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A．y+1＝0 B． C．x2﹣2x+1＝0 D．2x3﹣1＝3 【分析】根据一元二次方程的定义，对各选项进行分析判断即可． 【解答】解：A．y+1＝0是含有一个未知数的整式方程，属于一元一次方程，故选项A不符合题意； B．该方程不是整式方程，即它不是一元二次方程，故选项B不符合题意； C．该方程符合一元二次方程的定义，故选项C符合题意； D．该方程中未知数的最高次数是3，它不是一元二次方程，故选项D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 2．已知反比例函数，下列结论中，不正确的是（　　） A．图象必经过点（2，1） B．图象在第一、三象限内 C．在图象的每个象限内，y随x的增大而增大 D．若x＞1，则0＜y＜2 【分析】根据反比例函数的性质对选项进行逐一分析即可． 【解答】解：A、∵2×1＝2， ∴图象必经过点（2，1），正确，不符合题意； B、∵k＝2＞0， ∴图象在第一、三象限内，正确，不符合题意； C、∵k＝2＞0， ∴图象在第一、三象限内，在每一象限内y随x的增大而减小，原说法错误，符合题意； D、∵当x＞1时，y＝2， ∴0＜y＜2，正确，不符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键． 3．若关于x的方程x2﹣4x﹣m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（　　） A．m≤4 B．m＜4 C．m≥﹣4 D．m＞﹣4 【分析】对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），判别式Δ＝b2﹣4ac，当Δ≥0时，方程有实数根，据此代入数值计算，即可作答． 【解答】解：∵关于x的方程x2﹣4x﹣m＝0有实数根， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）＝16+4m≥0， 解得m≥﹣4． 故选：C． 【点评】本题考查了根据一元二次方程的根情况求参数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 4．若样本x1+1，x2+1，…，xn+1的平均数为10，方差为6，则对于样本x1+3，x2+3，…，xn+3，下列结论正确的是（　　） A．平均数为10，方差为6 B．平均数为12，方差为6 C．平均数为12，方差为8 D．平均数为13，方差为9 【分析】根据平均数、方差的公式分析即可． 【解答】解：∵样本x1+1，x2+1，…，xn+1的平均数为10，方差为6， ∴样本x1+3，x2+3，…，xn+3的平均数为：10+2＝12，方差为6． 故选：B． 【点评】本题考查了算术平均数以及方差，解题的关键是掌握当数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，即数据的波动情况不变，平均数也加或减这个数；当乘以一个数时，方差变成这个数的平方倍，平均数也乘以这个数． 5．不透明的袋子中有5张卡片，上面分别写着数字1，2，3，4，5，除数字外五张卡片无其它差别，从袋子中随机摸出一张卡片，其数字为偶数的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据概率的求法，找准两点： ①全部情况的总数； ②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．依此即可求解． 【解答】解：∵数字1，2，3，4，5中，偶数有2个， ∴从袋子中随机摸出一张卡片，其数字为偶数的概率是2÷5． 故选：B． 【点评】此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）． 6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是直径，连结BD，若BD＝CD，AB＝8，BC＝6，则AD的长为（　　） A．3 B． C． D． 【分析】过点D作DH⊥BC于点H，连接OB，由AC是直径，得到∠ABC＝∠ADC＝90°，由勾股定理可得AC＝10，由三线合一定理得到BH＝3，证明O、D、H三点共线，求出DH的长，进而求出BD的长即可得到答案． 【解答】解：如图所示，过点D作DH⊥BC于点H，连接OB， ∵AC是直径， ∴∠ABC＝∠ADC＝90°， ∵AB＝8，BC＝6， ∴， ∴； ∵BD＝CD，DH⊥BC， ∴，∠DHB＝90°＝∠ADC； 又∵OB＝OC， ∴OH⊥BC， ∴O、D、H三点共线， ， 又∵， ∴DH＝OH+OD＝9， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点评】本题考查圆周角定理，正确进行计算是解题关键． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 7．设α，β是方程x2﹣x﹣2026＝0的两个实数根，则α2+3α+4β的值为　2030　 ． 【分析】利用一元二次方程解的定义得到α2的表达式，结合根与系数的关系得到两根之和，将所求式子变形后代入计算即可． 【解答】解：由条件可知α2﹣α﹣2026＝0， ∴α2＝α+2026， 根据根与系数的关系可得α+β＝1， ∴α2+3α+4β ＝α+2026+3α+4β ＝4（α+β）+2026 ＝4×1+2026 ＝2030． 故答案为：2030． 【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 8．某校办工厂生产的某种产品，今年产量为200件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，使得第三年的产量达到800件．若设这个百分数为x，则可列方程　200（1+x）2＝800　 ． 【分析】根据题意可知明年产量为200（1+x）件，第三年产量为200（1+x）（1+x）＝200（1+x）2件，据此列出方程即可． 【解答】解：根据题意可得：200（1+x）2＝800． 故答案为：200（1+x）2＝800． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意是关键． 9．小明同学上学途中要经过一个有交通信号灯的路口，该路口交通信号灯红灯时间为30秒，绿灯时间为25秒，黄灯时间为5秒，则小明过该路口时恰好遇到绿灯的概率为　　 ． 【分析】直接利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：∵每次红灯时间为30秒，绿灯时间为25秒，黄灯时间为5秒， ∴小明过该路口时恰好遇到绿灯的概率为． 故答案为：． 【点评】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键． 10．已知圆锥的底面半径为5cm，母线长为12cm，则这个圆锥的侧面积是　60πcm2 ． 【分析】直接运用圆锥的侧面积公式求解即可． 【解答】解：． 故答案为：60πcm2． 【点评】本题主要考查了圆锥的计算，掌握圆锥的侧面积公式S侧＝πrl是解题的关键． 11．如图，点C在直径AB的延长线上，CD与半圆O相切于点D，∠C＝30°，OC＝4，则弧的长度为　　 ．（结果保留π） 【分析】由切线的性质得到∠ODC＝90°，从而得到∠COD＝60°，根据直角三角形的性质得到OD＝2，再利用弧长公式即可求解． 【解答】解：连接OD，如图： ∵CD与半圆O相切， ∴∠ODC＝90°， ∵∠C＝30°，OC＝4， ∴，∠BOD＝90°﹣∠C＝60°， ∴的长度， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，垂径定理，弧长的计算，掌握其相关知识点是解题的关键． 12．小丽在本学期的数学成绩分别为：平时测验成绩为90分，期中考试成绩为90分，期末考试成绩为95分，将平时测验成绩、期中考试成绩、期末考试成绩分别按30%、30%、40%计入学期总评成绩，则小丽本学期的总评成绩是 　92　 分． 【分析】根据加权平均数的计算公式计算可得． 【解答】解；小丽本学期的总评成绩是90×30%+90×30%+95×40%＝92（分）． 故答案为：92． 【点评】此题考查了加权平均数，用到的知识点是加权平均数的计算公式，关键是根据公式列出算式． 13．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的其中一根为x＝2023，则关于x的方程a（x+2）2+bx+2b+c＝0的根为 x＝2021　 ． 【分析】结合已知条件得到x+2＝2023，求得x即可． 【解答】解：a（x+2）2+bx+2b+c＝0整理得a（x+2）2+b（x+2）+c＝0， ∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的其中一根为x＝2023， ∴关于x的方程a（x+2）2+b（x+2）+c＝0，其中一根为x+2＝2023， 解得x＝2021． 故答案为：x＝2021． 【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义，根据题意得到x+2＝2023是解题的难点． 14．如图，点A，B分别是反比例函数和部分图象上的点，AB∥x轴，点C是x轴上一点，则△ABC的面积为　3.5　 ． 【分析】利用反比例函数的比例系数k的几何意义得到，进一步求解即可． 【解答】解：如图，连接AO，BO，记AB与x轴的交点为F， 由条件可知AB⊥y轴， ∴， ∴S△ABC＝3.5， 故答案为：3.5． 【点评】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 15．如图，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F为切点．若AD＝1，BC＝5，则△ABC的周长为　12　 ． 【分析】由⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F为切点，根据切线长定理得BD＝BF，CE＝CF，AD＝AE＝1，则BD+CE＝BF+CF＝BC＝5，求得AB+AC＝AD+BD+CE+AE＝7，所以AB+AC+BC＝12，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F为切点，AD＝1，BC＝5， ∴BD＝BF，CE＝CF，AD＝AE＝1， ∴BD+CE＝BF+CF＝BC＝5， ∴AB+AC＝AD+BD+CE+AE＝1+5+1＝7， ∴AB+AC+BC＝7+5＝12， ∴△ABC的周长为12， 故答案为：12． 【点评】此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线长定理等知识，AD＝AE＝1，BD+CE＝BC＝5是解题的关键． 16．如图，反比例函数y（x＜0），△OAB和△BCD均为等腰直角三角形，点D在反比例函数图象上，若S△OAB﹣S△BCD＝10，则k＝　﹣20　 ． 【分析】根据题意列式表示出D点的坐标，然后再根据k的几何意义即可求出答案． 【解答】解：设AO＝a，CD＝b， ∵△OAB和△BCD均为等腰直角三角形， ∴AO＝AB＝a，BOa， CD＝BC＝b，DBb， ∴D（﹣a﹣b，a﹣b）， ∵点D在反比例函数图象上， ∴（﹣a﹣b）（a﹣b）＝k，即b2﹣a2＝k， 又∵S△OAB﹣S△BCD＝10，即， ∴﹣k＝20， ∴k＝﹣20． 【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，属于基础题． 三、解答题：本题共10小题，共102分。 17．（10分）解方程： （1）x2﹣6x+4＝0； （2）（x﹣4）2＝x﹣4． 【分析】（1）确定一元二次方程的系数，计算判别式后用公式法求解； （2）移项后提取公因式因式分解，转化为一元一次方程求解． 【解答】解：（1）方程x2﹣6x+4＝0中，a＝1，b＝﹣6，c＝4， ∴Δ＝（﹣6）2﹣4×1×4＝20， ∴， 解得：，； （2）原方程移项得（x﹣4）2﹣（x﹣4）＝0， （x﹣4）（x﹣4﹣1）＝0， ∴x﹣4＝0或x﹣5＝0， 解得：x1＝4，x2＝5． 【点评】本题考查，解一元二次方程﹣因式分解法，解一元二次方程﹣配方法，正确进行计算是解题关键． 18．（10分）已知关于x的方程mx2﹣（2m+2）x+m+2＝0． （1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根． （2）若关于x的方程mx2﹣（2m+2）x+m+2＝0根为正整数，求整数m的值． 【分析】（1）分两种情况：当m＝0时；当m≠0时，由根的判别式Δ＝4＞0，可证出无论m取任何实数时，方程恒有实数根； （2）当m＝0时，方程为﹣2x+2＝0，x＝1；当m≠0时，解方程得两个根为x1，x2＝1，根据根为正整数且m为整数求解即可． 【解答】（1）证明：当m＝0时，方程为﹣2x+2＝0，x＝1； 当m≠0时， ∵Δ＝[﹣（2m+2）]2﹣4×m×（m+2） ＝4m2+8m+4﹣4m2﹣8m ＝4＞0， ∴无论m取任何实数时，方程恒有实数根； （2）解：当m＝0时，方程为﹣2x+2＝0，x＝1； 当m≠0时，原方程整理可得：（mx﹣m﹣2）（x﹣1）＝0， x1，x2＝1， ∵方程的两个根均为正整数，m为整数， ∴当m＝1时，x1＝3，x2＝1； 当m＝2时，x1＝2，x2＝1． 故整数m的值为0或1或2． 【点评】本题考查了根的判别式、一元二次方程的解、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法，求出原方程的实数根． 19．（8分）某学校组织八年级的学生进行篮球联赛．下面是甲、乙两名学生在10场比赛中的得分（单位：分）、篮板（单位：个）和助攻（单位：个）的数据． a．甲、乙两名学生10场比赛的篮板数据： 甲 6 4 5 6 5 3 5 5 6 5 乙 2 8 7 5 3 5 7 6 4 3 b．甲、乙两名学生10场比赛的得分、篮板和助攻的平均数： 得分平均数 篮板平均数 助攻平均数 甲 21.5 5.0 1.2 乙 18.9 5.0 3.0 根据以上信息，回答下列问题： （1）10场比赛中，甲学生篮板的众数是　5　 ，乙学生篮板的中位数是　5　 ； （2）10场比赛中，篮板更稳定的是　甲　 学生（填“甲”或“乙”）； （3）记某学生的得分为x分，篮板为y个，助攻为z个．若x+1.5y+2z的值越大，则认为该名学生的综合表现越好．根据以上信息，学生　乙　 在这10场比赛中的综合表现更好（填“甲”或“乙”）． 【分析】（1）根据中位数、众数的定义进行计算即可； （2）求出甲、乙学生篮板的方差即可得出答案； （3）计算甲、乙学生的综合表现得分，再进行比较得出答案． 【解答】解：（1）样本中甲学生10场篮板的次数出现最多的是5次，共出现5次，因此甲学生篮板的众数是5次， 将乙学生10场篮板的次数从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为 ＝5次，即乙学生篮板的中位数是5次， 故答案为：5，5； （2）甲学生的平均数为5，乙学生篮板的平均数为5， ∴s甲[（3﹣5）2+（4﹣5）2+（5﹣5）2×5+（6﹣5）2×3]＝0.8， s乙[（2﹣5）2+（3﹣5）2×2+（4﹣5）2+（5﹣5）2×2+（6﹣5）2+（7﹣5）2×2+（8﹣5）2]＝1.8， ∴甲学生的比较稳定， 故答案为：甲； （3）甲的综合得分为x+1.5y+2z＝21.5+1.5×5+1.2×2＝31.4，乙的综合得分为x+1.5y+2z＝18.9+1.5×5+3×2＝32.4， 所以乙学生的综合表现更好， 故答案为：乙． 【点评】本题考查中位数、众数、平均数以及方差，理解中位数、众数、平均数以及方差的定义，掌握中位数、众数、平均数以及方差的计算方法是正确解答的关键． 20．（10分）盒子中装有8个红球，9个白球和若干个黑球，除颜色以外这些球无任何差别．随机从盒中摸一个球，已知摸到红球的概率为． （1）摸到黄球是 　不可能事件　 （从“随机事件”，“必然事件”，和“不可能事件”中选一个填空）； （2）求盒中黑球的个数； （3）若往盒中再加入若干个红球，使摸到黑球的概率为，求加入的红球个数． 【分析】（1）根据球的数量对事件的性质进行判断即可； （2）设盒中黑球的个数为x1，根据求得概率及数量进行列式求解即可； （3）根据概率公式列式求解即可． 【解答】解：（1）∵袋子种没有黄球， ∴摸到黄球是不可能事件， 故答案为：不可能事件； （2）设盒中黑球的个数为x个，则 解得 x＝7． 答：盒中黑球个数为7． （3）设往盒中再加入y个红球，则 解得 y＝4． 答：往盒中再加入4个红球． 【点评】本题主要考查了概率公式的知识，解题的关键是了解概率的求法，难度不大． 21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数为常数，k≠0）的图象交于A、B两点，点A的横坐标为1． （1）求k的值； （2）关于x的不等式的解集为x＞1或﹣2＜x＜0　 ； （3）若点P在y轴上，且△ABP的面积为6，直接写出点P的坐标． 【分析】（1）先求出点A的坐标，再代入反比例函数的解析式，即可求解； （2）联立方程，求出点B的横坐标，再结合图象，求出直线在双曲线上方时对应的自变量的取值范围即可； （3）直线AB交y轴于点C，先求出C（0，1），设P（0，n），则CP＝|n﹣1|，根据S△ABP＝S△ACP+S△BCP，列出方程，求解即可． 【解答】解：（1）当x＝1时，y＝1+1＝2， ∴A（1，2）， ∴k＝1×2＝2； （2）由条件可知：， 整理得x2+x﹣2＝0， 解得x1＝﹣2，x2＝1， ∵点A的横坐标为1， ∴点B的横坐标为﹣2， 则由图可知，不等式的解集为x＞1或﹣2＜x＜0； 故答案为：x＞1或﹣2＜x＜0； （3）如图，直线AB交y轴于点C， 当x＝0时，y＝0+1＝1， 则C（0，1）， 设P（0，n），则CP＝|n﹣1|， ∵点A的横坐标为1，点B的横坐标为﹣2， ∴， ∵S△ABP＝6， ∴，则n﹣1＝4或n﹣1＝﹣4， 解得n＝5或n＝﹣3， 则P（0，5）或（0，﹣3）． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键． 22．（10分）如图，以△ABC的边AC为直径作⊙O，点B在⊙O上，点D为⊙O上一点，连接BD，且B为的中点，BE⊥AC于点E，连接CD交BE于点F． （1）求证：BF＝CF； （2）若AB＝4，BD＝2，求BE的长． 【分析】（1）由垂直关系得出∠EBC＝∠A，再由B为的中点得出∠DCB＝∠A，从而∠EBC＝∠DCB，故BF＝CF； （2）由结合AB＝4，BD＝2可得出BE的长． 【解答】（1）证明：∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°， ∴∠A＝90°﹣∠ACB． ∵BE⊥AC， ∴∠CEB＝90°， ∴∠EBC＝90°﹣∠ACB， ∴∠EBC＝∠A． ∵B为的中点， ∴， ∴∠DCB＝∠A，‘ ∴∠EBC＝∠DCB， ∴BF＝CF； （2）解：∵B为的中点，BD＝2， ∴， ∴BC＝BD＝2． ∵AB＝4，由（1）知∠ABC＝90°， ∴． 在Rt△ABC中，由等面积法得， ∴， ∴AB＝4，BD＝2，则． 【点评】本题考查垂径定理、圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握相关性质定理、数形结合的思想方法的运用是解题的关键． 23．（10分）如图，一次函数y＝x+2的图象与反比例函数（k为常数，且k≠0）的图象交于点A，B（1，a），且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D． （1）求反比例函数的解析式； （2）连结OB，在反比例函数图象上是否存在点P，使得S△OCP＝4S△OBD，若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）首先将点B（1，a）代入一次函数y＝x+2中，得到点B坐标，然后将点B代入反比例函数中，求出k的值，即可得到反比例函数解析式； （2）首先求一次函数与坐标轴的交点，得到点C、D坐标，求出OC、OD的长，结合点B坐标即可求出△OBD的面积，从而根据面积倍数关系得到S△OCP；△OCP以OC为底，高为点P纵坐标绝对值|yP|，根据面积公式即可反推出yP；再结合点P在反比例函数上得出点P横坐标即可． 【解答】解：（1）将B（1，a）代入一次函数得a＝1+2＝3，即B（1，3）， ∴将B（1，3）代入反比例函数得， 解得k＝3， ∴反比例函数解析式为． （2）令x＝0，得y＝2，即点D（0，2），OD＝2； 令y＝0，得x＝﹣2，即点C（﹣2，0），OC＝2． ∵B（1，3），即B到y轴距离为1， ∴， ∴S△OCP＝4S△OBD＝4． 设点P（x，y）在反比例函数图象上，以OC为底，则高为|y|， ∴，即y＝4或y＝﹣4． 当y＝4时，由得，此时；当y＝﹣4时，由得，此时． 故存在满足条件的点P，坐标为或． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键． 24．（10分）综合与实践 【项目背景】研究玩偶的销售利润与售价之间的关系． 【素材呈现】素材1：世界杯期间，某商店以每个30元的成本价新进一批玩偶． 素材2：在销售过程中发现，该玩偶的售价定为50元时，每天可卖出100个，在此基础上，售价每降低1元，该玩偶每天可多卖出10个． 素材3：商店准备采用降价销售的方式尽快清空库存，获取合理的利润． 【问题解决】 （1）若该玩偶的售价定为40元，商店每天卖出该玩偶的数量是　200　 个，每天的利润为　2000　 元； （2）已知商店每天销售该玩偶的利润是2240元，求该玩偶的售价； （3）商店每天销售该玩偶的利润能否达到2500元？若能，求出该玩偶的售价；若不能，请说明理由． 【分析】（1）利用商店每天卖出该玩偶的数量＝100+10×（50﹣该玩偶的售价），可求出商店每天卖出该玩偶的数量，利用每天的利润＝每个玩偶的销售利润×商店每天卖出该玩偶的数量，即可求出每天的利润； （2）设该玩偶的售价为x元，则每个玩偶的销售利润为（x﹣30）元，每天可卖出（600﹣10x）个，利用每天的利润＝每个玩偶的销售利润×商店每天卖出该玩偶的数量，可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论； （3）假设商店每天销售该玩偶的利润能达到2500元，设该玩偶的售价为y元，则每个玩偶的销售利润为（y﹣30）元，每天可卖出（600﹣10y）个，利用每天的利润＝每个玩偶的销售利润×商店每天卖出该玩偶的数量，可列出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣100＜0，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即商店每天销售该玩偶的利润不能达到2500元． 【解答】解：（1）当该玩偶的售价定为40元时，每个玩偶的销售利润为40﹣30＝10（元）， 商店每天卖出该玩偶的数量是100+10×（50﹣40）＝200（个）， 每天的利润为10×200＝2000（元）． 故答案为：200，2000； （2）设该玩偶的售价为x元，则每个玩偶的销售利润为（x﹣30）元，每天可卖出100+10（50﹣x）＝（600﹣10x）个， 根据题意得：（x﹣30）（600﹣10x）＝2240， 整理得：x2﹣90x+2024＝0， 解得：x1＝44，x2＝46． 答：该玩偶的售价为44元或46元； （3）商店每天销售该玩偶的利润不能达到2500元，理由如下： 假设商店每天销售该玩偶的利润能达到2500元，设该玩偶的售价为y元，则每个玩偶的销售利润为（y﹣30）元，每天可卖出（600﹣10y）个， 根据题意得：（y﹣30）（600﹣10y）＝2500， 整理得：y2﹣90y+2050＝0， ∵Δ＝（﹣90）2﹣4×1×2050＝﹣100＜0， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立， 即商店每天销售该玩偶的利润不能达到2500元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用、根的判别式以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）牢记“当Δ＜0时，原方程没有实数根”． 25．（12分）在平面直角坐标系中，点A（a，b），B（m，n）在反比例函数的图象上． （1）若a+2m＝0，求证：2b+n＝0； （2）若m＝a+2，a＞0，过点A作直线平行于x轴、过点B作直线平行于y轴，两直线交于点H， ①当k＝am时，求AH+BH的值； ②连接AB，过点B作BC⊥AB交反比例函数图象于另一点C，当AB＝BC时，△ABC的面积为8，求k的值． 【分析】（1）先判断出a＝﹣2m，进而得出k＝ab＝﹣2mb，再由k＝mn，进而得出﹣2mb＝mn，即可得出结论； （2）①先判断出a＝n，进而得出k＝a（a+2），再判断出b＝a+2，得出A（a，a+2），即可得出AH＝2，BH＝2，即可得出答案； ②先得出B（a+2，n），进而得出AH＝2，BH＝b﹣n，再由△ABC的面积为8得出AB2＝16，根据勾股定理得出b＝n+2，进而得出na，ba+2，再构造出△AHB≌△BMC（AAS），CM＝BH＝2，BM＝AH＝2， 进而确定出点C（a+2﹣2，a﹣2），即可求出答案． 【解答】（1）证明：∵a+2m＝0， ∴a＝﹣2m， ∵点A（a，b）在反比例函数的图象上， ∴k＝ab＝﹣2mb， ∵B（m，n）在反比例函数的图象上， ∴k＝mn， ∴﹣2mb＝mn， ∴2b+n＝0； （2）解：①∵B（m，n）在反比例函数的图象上， ∴k＝mn， ∵k＝am， ∴mn＝am， ∴a＝n， ∵m＝a+2， ∴B（a+2，a）， ∴k＝a（a+2）， ∵点A（a，b）在反比例函数的图象上， ∴k＝ab， ∴ab＝a（a+2）， ∴b＝a+2， ∴A（a，a+2）， ∴点B（a+2，a）可以看作点A（a，a+2）向右平移两个单位，再向下平移两个单位所得， ∵过点A作直线平行于x轴、过点B作直线平行于y轴，两直线交于点H， ∴AH＝2，BH＝2， ∴AH+BH＝4， 即AH+BH的值为4； ②如图，∵m＝a+2， ∴B（a+2，n）， ∵A（a，b），k＞0， ∴点B可以看作是点A向右平移2个单位，再向下平移（b﹣n）（b﹣n＞0）个单位所得， ∴AH＝2，BH＝b﹣n， ∵BC⊥AB，AB＝BC，△ABC的面积为8， ∴S△ABCAB•BCAB2＝8， ∴AB2＝16， 在Rt△AHB中， 根据勾股定理得，AH2+BH2＝AB2， ∴22+（b﹣n）2＝16， ∴b﹣n＝2， ∴b＝n+2， ∴A（a，n+2）， ∴k＝ab＝a（n+2），k＝mn＝（a+2）n， ∴a（n+2）＝（a+2）n， ∴na， ∴b＝n+2a+2， ∴A（a，a+2），B（a+2，a）， 过点C作CM⊥BH于M， ∵过点A作直线平行于x轴、过点B作直线平行于y轴，两直线交于点H， ∴AH⊥BH， ∴∠AHB＝∠BMC＝90°， ∴∠BAH+∠ABH＝90°， ∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， ∴∠ABH+∠CBM＝90°， ∴∠BAH＝∠CBM， ∵AB＝BC， ∴△AHB≌△BMC（AAS）， ∴CM＝BH＝2，BM＝AH＝2， ∴点C（a+2﹣2，a﹣2）， ∵点C、A在反比例函数的图象上， ∴k＝（a+2﹣2）×（a﹣2），k＝a×（a+2）， ∴（a+2﹣2）×（a﹣2）＝a×（a+2）， ∴a， ∴B（，）， ∴k， 即k的值为． 【点评】此题主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，平移的性质，勾股定理，作出辅助线表示出点C的坐标是解本题的关键． 26．（12分）已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，∠C为所对的圆周角． 【知识回顾】 （1）如图①，⊙O中，B、C位于直线AO异侧，∠AOB+∠C＝135°． ①求∠C的度数； ②若⊙O的半径为5，AC＝8，求BC的长； 【逆向思考】 （2）如图②，若P为圆内一点，且∠APB＜120°，PA＝PB，∠APB＝2∠C．求证：P为该圆的圆心； 【拓展应用】 （3）如图③，在（2）的条件下，若∠APB＝90°，点C在⊙P位于直线AP上方部分的圆弧上运动．点D在⊙P上，满足的所有点D中，必有一个点的位置始终不变．请证明． 【分析】（1）①根据∠AOB+∠C＝135°，结合圆周角定理求∠C的度数；②构造直角三角形； （2）只要说明点P到圆上A、B和另一点的距离相等即可； （3）根据，构造一条线段等于，利用三角形全等来说明此线段和CD相等． 【解答】（1）解：①∵∠AOB+∠C＝135°，∠AOB＝2∠C， ∴3∠C＝135°， ∴∠C＝45°； ②连接AB，过A作AD⊥BC，垂足为M，如图①， ∵∠C＝45°，AC＝8， ∴△ACM是等腰直角三角形，且， ∵∠AOB＝2∠C＝90°，OA＝OB， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∴， 在直角三角形ABM中，， ∴． （2）证明：延长AP交圆于点N，则∠C＝∠N，如图②， ∵∠APB＝2∠C， ∴∠APB＝2∠N， ∵∠APB＝∠N+∠PBN， ∴∠N＝∠PBN， ∴PN＝PB， ∵PA＝PB， ∴PA＝PB＝PN， ∴P为该圆的圆心； （3）证明：过B作BC的垂线交CA的延长线于点E，连接AB，延长AP交圆于点F，连接CF，FB，如图③， ∵∠APB＝90°， ∴∠C＝45°， ∴△BCE是等腰直角三角形， ∴BE＝BC， ∵BP⊥AF，PA＝PF， ∴BA＝BF， ∵AF是直径， ∴∠ABF＝90°， ∴∠EBC＝∠ABF＝90°， ∴∠EBA＝∠CBF， ∴△EBA≌△CBF（SAS）， ∴AE＝CF， ∵， ∴CD＝CF， ∴必有一个点D的位置始终不变，点F即为所求． 【点评】本题考查了圆周角定理，还考查了勾股定理和三角形全等的知识，对于（3）构造一条线段等于是解答本题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $