专题12 折叠、垂直平分线、镜面对称经典题型（重难点培优讲义）2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题12 折叠、垂直平分线、镜面对称经典题型 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型01 根据成轴对称图形的特征进行求解 题型02 台球桌面上的轴对称问题 题型03 轴对称中的光线反射问题 题型04 折叠问题 题型05 线段垂直平分线的性质 题型06 线段垂直平分线的判定 题型07 作已知线段的垂直平分线 题型08 作垂线(尺规作图） 题型09 车牌号码的镜面对称 题型10 钟表的镜面对称 题型11 电子钟的镜面对称 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点一：轴对称及其性质 ⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴. 对称的性质： ①两个图形关于某一条直线对称，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点连线段的垂直平分线. ②关于某直线对称的两个图形是全等形. 【针对训练】 1．如图，是一个简易的飞机模型示意图，机翼△ABC和△DEF关于机身l对称，CF交l于点H，已知CF＝8．下列说法中，不正确的是（　　） A．AB＝DE B．AC＝10 C．CH＝4 D．∠ACB＝∠DFE 【答案】B 【解答】解：∵机翼△ABC和△DEF关于机身l对称， ∴AB＝DE，∠ACB＝∠DFE，CH＝FH，△ABC≌△DEF， ∴AB＝DE，故A项正确，不符合题意． ∵CF＝8， ∴． 题目中未给出关于AC长度的任何条件，无法得出AC＝10，故B项错误，符合题意， CH＝4，故C项正确，不符合题意， ∠ACB＝∠DFE，故D项正确，不符合题意． 故选：B． 2．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任一点（A、P、A′不共线），下列结论中，错误的是（　　） A．△AA′P是等腰三角形 B．MN垂直平分AA′、CC′ C．△ABC与△A′B′C′面积相等 D．直线AB，A′B′的交点不一定在直线MN上 【答案】D 【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任意一点， ∴△AA′P是等腰三角形，MN垂直平分AA′，CC′，这两个三角形的面积相等，故A、B、C选项正确， 直线AB，A′B′关于直线MN对称，因此交点一定在MN上，故D错误， 故选：D． 3．如图，在四边形ABCD中，∠D＝90°，连接AC，点B1在CD边上，连接AB1，△ABC 与△AB1C关于直线AC对称，若∠ABC＝115°，则∠DAB1的度数为（　　） A．25° B．35° C．30° D．45° 【答案】A 【解答】∵△ABC 与△AB1C关于直线AC对称， ∴∠AB1C＝∠ABC＝115°， ∵∠AB1C是△AB1D的外角， ∴∠DAB1＝∠AB1C﹣∠D＝25°． 故选：A． 知识点二：线段的垂直平分线 1. 线段垂直平分线的定义： 过线段的中点且与线段垂直的直线是这条线段的垂直平分线。如图，若点C是AB的中点且MN⊥AB，则MN是线段AB的垂直平分线。 2. 线段垂直平分线的性质： ①线段垂直平分线垂直且平分线段。∠PCA＝∠PCB＝90°，AC＝BC。 ②垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等。 PA＝PB；△PAB是等腰三角形；∠A＝∠B；∠APC＝∠BPC。 3. 线段垂直平分线的判定 方法①：根据定义证明一条直线经过线段的中点且与线段垂直。 方法②：到线段两端点距离相等的点一定在这条线段的垂直平分线上。证明一个点到线段的两个端点的距离相等。 注意：证明线段的垂直的平分线必须证明两个点到线段的端点距离相等。若只证明一个点，则只能说明在个点在垂直平分线上，不能得到垂直平分线。 4. 作已知线段的垂直平分线： 具体步骤： ①以线段两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于M、N。如图① ②连接MN，过MN的直线即为线段的垂直平分线。如图② 【针对训练】 1．元旦联欢会上，3名同学分别站在△ABC三个顶点的位置上．游戏时，要求在他们中间放一个凳子，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在△ABC的（　　） A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边中线的交点 D．三边上高的交点 【答案】A 【解答】解：∵△ABC的垂直平分线的交点到△ABC三个顶点的距离相等， ∴凳子应放置的最适当的位置时在△ABC的三边垂直平分线的交点， 故选：A． 2．如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线l1，l2相交于点O，若∠BAC＝80°，则∠OBC的度数是（　　） A．15° B．20° C．10° D．25° 【答案】C 【解答】解：如图所示，连接OA， ∵∠BAC＝80°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣80°＝100°， ∵AB、AC的垂直平分线交于点O， ∴OB＝OA，OC＝OA， ∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB， ∴∠OBA+∠OCA＝∠OAB+∠OAC＝∠BAC， ∴∠OBC+∠OCB＝100°﹣（∠OBA+∠OCA）＝100°﹣∠BAC＝100°﹣80°＝20°， ∴∠OCB＝∠OBC＝10°， 所以∠OBC的度数为10°， 故选：C． 3．如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，直线MN与AC、BC分别相交于点E和点D，连接AD，若AE＝3cm，△ABC的周长为15cm，则△ABD的周长是（　　） A．6cm B．7.5cm C．9cm D．12cm 【答案】C 【解答】解：由题意得：DE垂直平分AC， ∴AD＝CD，AE＝CE＝3cm， ∴AC＝AE+CE＝6cm， ∵△ABC的周长为15cm， ∴AB+BC+AC＝15cm， ∴AB+BC＝9cm， ∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝9cm， 故选：C． 典例精析 题型1：根据成轴对称图形的特征进行求解 1．如图，已知点是内的一点，、分别是点关于、的对称点，连接与、分别相交于点、，已知． (1)求的周长； (2)连接、，若，求的度数． 【答案】(1)10 (2) 【思路引导】本题考查的是轴对称的性质，熟记轴对称的性质是解本题的关键； （1）根据轴对称的性质可得，再结合三角形的周长公式可得答案； （2）根据轴对称的性质可得，再结合角的和差运算可得答案； 【规范解答】（1）解： 、分别是点关于、的对称点，且、分别在、上， ，， 又， ． （2）解：连接， 、分别是点关于、的对称点， ，， 又， ， ， 又， ． 2．（1）如图①，、两点在直线的两侧，请你在直线上找到点，使得的长度最小，简述画法，并说明理由； （2）如图②，、两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直．） 将这个实际问题抽象出来，即：如图③，直线，点、分别位于直线、的两侧，请你在直线上找到点，使得垂直于直线，垂足为，且的长度最小．在图③中画出点、，并简要说明点、的位置是如何找到的（不要求证明）． （3）如图④，在（II）的条件中，如果将“一条河”的条件变化为“两条河”，那么两座桥分别建在何处才能使得从地到达地的路程最短呢？在图④中画出两座桥的位置，并简要说明这四个点的位置是如何找到的（不要求证明）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【思路引导】本题考查轴对称作图，线段的性质，熟练掌握轴对称的性质，两点之间线段最短，是解题的关键： （1）根据两点之间线段最短，直接连接，与的交点即为点； （2）在直线上任取一点，过点作于点，画，且，连接交直线于点，作于点，点即为所求． （3）在直线上任取一点，过点作于点，作，且，在直线上任取一点，过点作于点，作，且，连接交直线于点，交直线于点，作于点，作于点，点、、、即为所求． 【规范解答】解：（I）如图，连接，与交于点，点即为所求； 理由：两点之间，线段最短． （II）在直线上任取一点，过点作于点，画，且，连接交直线于点，作于点，点即为所求． （Ⅲ）在直线上任取一点，过点作于点，作，且，在直线上任取一点，过点作于点，作，且，连接交直线于点，交直线于点，作于点，作于点，点、、、即为所求． 题型2：台球桌面上的轴对称问题 3．【问题初探】数学课上，老师和学生做数学书39页的做一做的内容 如图，打台球时，选择适当的方向击打白球，白球反弹后击打红球，红球会直接入袋，此时，． （1）若，则； （2）的余角是_________； 【学科融合】 物理学中把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角（如图①）．由此可以归纳出如下的规律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧：反射角等于入射角．这就是光的反射定律（rfectionlaw）． 【数学推理】 （3）如图1，有两块平面镜，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．由以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得他们的余角也相等，即：．在这样的条件下，求证：． 【尝试探究】 （4）两块平面镜，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．如图2，光线与相交于点，则_________；（用含有字母的式子表示） 【答案】（1）30；（2）的余角是：；（3）见解析（4）； 【思路引导】（1）根据轴对称性质求解即可； （2）根据余角的定义求解即可； （3）根据反射定律得，，又，得出，由平行线的判定即可得出结论； （4）根据，，，得出，根据，证得，根据三角形内角和定理求解即可． 【规范解答】解：（1）由题意得：，， ∴， ∴． （2）证明：∵ ∴，， ∵ ∴ ∴的余角是，． （3）， ∴， ∴， 由反射定律得：，， ∴， ∵， ∴， ∴； （4），，， ， ， ， ， ． 【考点剖析】本题考查了余角的定义，平行线的判定，轴对称的性质，反射定律，三角形内角和定理，熟练掌握余角的定义：两角的和等于90度，这两角互为余角，平行线的判定定理是解题的关键． 4．画图探究： （1）如图1，点和点位于直线两侧，是直线上一点，点使的值最小．请你通过画图，在图1中找出点； （2）如图2，点和点位于直线同侧，是直线上一点，点使的值最小．请你通过画图，在图2中找出点； 实践应用： （3）如图3，在四边形中，，，点在边上，点在边上，点、点使的周长的值最小．请你通过画图，在图3中找出点和点并求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析， 【思路引导】（1）根据两点之间线段最短，连接，与直线相交点即是点； （2）作点关于直线的对称点，则，连接与直线相交点即是点； （3）分别作出点关于，的对称点，，连接分别交、于点、，根据垂直平分线的定义即可求解． 【规范解答】解：（1）根据两点之间线段最短，连接与直线相交点， 此时最小； （2）作点关于直线的对称点，则 ， 连接与直线相交点即是点，此时最小，即最小； （3）如图3，分别作出点关于，的对称点，， 连接分别交、于点、，此时周长最小； ∵，， ∴，∴， ∴． ∴． 【考点剖析】此题考查了两点之间线段最短，轴对称的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 题型3：轴对称中的光线反射问题 5．我们知道光的反射是一种常见的物理现象.如图，某 V 型路口放置如图所示的两个平面镜，，两个平面镜所成的夹角为，位于点 D 处的甲同学在平面镜 中看到位于点A处的乙同学的像，其中光的路径为入射光线 经过平面镜反射后，又沿射向平面镜，在点 C 处再次反射，反射光线为，已知入射光线，反射光线 ，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了光的反射定律，平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由光的反射定律以及平行线的性质，推出，再结合三角形内角和，推出的度数． 【规范解答】如图所示，由光的反射定律，可以知道， ， ， 故选：C ． 6．根据光学中平面镜光线反射原理，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等．如图，是两面互相平行的平面镜，一束光线m通过镜面反射后的光线为n，再通过镜面β反射后的光线为k．光线m与镜面的夹角的度数为，光线n与光线k的夹角的度数为．则x与y之间的数量关系是 ． 【答案】 【思路引导】根据平面镜光线反射原理和平行线性质即可求得． 【规范解答】解：∵入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等， ∴反射后的光线n 与镜面夹角度数为， ∵是两面互相平行的平面镜， ∴反射后的光线n 与镜面夹角度数也为， 又由入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等， ∴反射后的光线k与镜面的夹角度数也为， ， ． 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了平面镜光线反射原理和平行线性质，掌握反射光线与平面镜所夹的角相等以及两直线平行内错角相等是解题的关键． 题型4：折叠问题 7．如图，在长方形纸片中，点在边上，点在边上，四边形沿翻折得到四边形且点恰好落在边上，将沿折叠得到且点恰好落在边上． (1)若则 ； (2)若，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【思路引导】本题考查了折叠的性质，熟练用折叠的性质进行角度的转换是解题的关键． （1 ）根据折叠的性质可得，设，则可得，根据列方程，即可解答； （2 ）根据可求得，再求出和，利用折叠的性质即可得到，即可解答． 【规范解答】（1）解：∵四边形沿翻折得到四边形且点恰好落在边上， ∴， 设，则可得， 根据可得， 解得， 故答案为：； （2）解：在中， ∵， ∴， ∵点恰好落在边上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质，知， ∴． 8．如图，在中，，，D是的中点，点E是边上一个动点，将沿翻折，使点A落在点处，当时，的度数为 ． 【答案】或 【思路引导】本题考查了图形翻折的轴对称性、三角形的内角和等知识点，解题的关键是画出图形，分两种情况讨论．根据点在直线的上方与下方，分两种情况分别讨论．先计算，再根据翻折的对称性可求得，再由求得，再由翻折对称性求得，即可求出． 【规范解答】分两种情况讨论： ①点位于直线的下方，如图．    由， ， 由沿翻折为， ∴， ∴ 由得， ∴． ∴． ②点位于直线的上方，如图．      由得， 由得． ∴． 综合①②可知，或 故答案为：或． 题型5：线段垂直平分线的性质 9．如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键． （1）由垂直平分线的性质可得，，即可得到结论； （2）由题意可得，再结合，求解即可． 【规范解答】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ ． 10．如图，某电信部门要在公路m、n之间修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个村庄A、B的距离相等，到公路m、n的距离也相等，问：发射塔应建在什么位置？请用尺规作图法，在图中用点P表示出发射塔应建的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【思路引导】此题考查了应用设计与作图，由条件可知发射塔要在两条高速公路的夹角的角平分线和线段的中垂线的交点上，分别作出夹角的角平分线和线段的中垂线，找到其交点就是发射塔修建位置． 【规范解答】解：分别作出公路夹角的角平分线和线段的中垂线，他们的交点为P，则P点就是修建发射塔的位置． 题型6：线段垂直平分线的判定 11．风筝起源于中国东周春秋时期，至今已有2000多年的历史．传统风筝的技艺概括起来四个字：扎、糊、绘、放，简称“四艺”． 风筝骨架模型图 数据说明                    制作时，骨架可根据实际情况等比例放大    (1)从图1所示的风筝中可以抽象出几何图形，如图2，在四边形中，，求证：； (2)李明根据图纸如表扎制风筝骨架．当他根据图纸要求截取6根竹条时发现：竹条、的长度之和恰好与竹条长度相等．请你用所学的数学知识解释说明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）根据线段垂直平分线的性质解答即可； （2）在上截取，连接，利用证明和全等，进而解答即可． 此题考查全等三角形的应用，关键是利用证明和全等解答． 【规范解答】（1）证明：， 点A在的垂直平分线上， ， 点C在的垂直平分线上， 是的垂直平分线， ； （2）解：在上截取，连接， ，， ， 同理可得， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，，， ， 是的外角， ， 即， ， ． 12．【问题探究】 （1）如图1，在中，点是上一点，点是的中点，连接并延长到点，过点作交于点，连接，求证：； 【问题解决】 （2）如图2，四边形是一个工业区，点是一个入口，是两个仓库，点分别是粗加工厂和精密加工厂，点分别在上，是两条小路，是两条运输公路，为方便从粗加工厂运输到精密加工厂，现要沿修建一个运输轨道，为了估计成本，现管理人员需要知道运输轨道与运输公路之间的数量关系．已知，．请你帮助管理人员探索线段之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）见解析；（2），见解析 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，线段垂直平分线的判定以及性质以及三角形三边关系的应用．构造全等三角形是解题的关键． （1）先证明，由全等三角形的性质得出，再根据线段垂直平分线的判定以及性质得出，根据三角形三边关系可得出 ，等量代换可得出． （2）延长至点，使，连接，先证明，再证明，由全等三角形的性质以及线段的和差等量代换可证明． 【规范解答】证明：（1）点是的中点， ， ， ， ． ， 垂直平分 ， ， 在 中， ， ． （2）， 证明如下： 如图，延长至点，使 ，连接 ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 题型7：作已知线段的垂直平分线 13．如图，海丰县有两所初级中学和两条交叉的公路．图中点，表示初级中学，，表示公路，现计划修建一所青少年综合实践活动基地--耕艺馆，希望耕艺馆到两所初级中学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出这间耕艺馆P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【思路引导】本题了作图-应用与设计作图：首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．分别作的垂直平分线和（或的邻补角）的平分线，它们的交点即为点． 【规范解答】解：如图，点、点为所作． 14．“西气东输”是造福子孙后代的创世纪工程．现有两条高速公路和A，B两个城镇（如图），准备建立一个燃气中心站P，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇距离相等． (1)请你画出中心站P的位置（不写做法，保留作图痕迹）． (2)请你运用所学知识，简要说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了尺规作图，角平分线的判定和线段垂直平分线的判定，正确理解题意是解题的关键． （1）作出两条公路相交形成夹角的平分线与线段的垂直平分线，交点即为点； （2）点到两条公路距离相等，说明点在两条公路相交形成夹角的平分线上，两个城镇距离相等，则点在线段的垂直平分线上，那么交点即为点的位置． 【规范解答】（1）解：如图所示，点P即为所求： （2）解：由题意得，点到两条公路距离相等，说明点在两条公路相交形成夹角的平分线上，两个城镇距离相等，则点在线段的垂直平分线上，那么交点即为点的位置． 题型8：作垂线(尺规作图） 15．如图，在四边形中，，． (1)若点是边上一点，请你用直尺（没有刻度）和圆规过点作，交于点． (2)在（1）的作图下，若，平分，求的度数．解答过程如下，请你补充完整． 解：∵（已知）， ∴（_____①______） ∵平分（已知） ∴， ∴______②_____（等量代换） ∵，， ∴ ∴ ∵（已知），（作图）， ∴_____③_______（同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等） 【答案】(1)图见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查尺规作图—作垂线，平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定方法和性质，是解题的关键： （1）以为圆心，任意长为半径画弧，交于两点，以这两点为圆心，以大于两点形成的线段的长为半径画弧，交与一点，连接该点与点形成的直线即为所求； （2）根据平行线的判定和性质，角平分线的定义，等量代换，进行作答即可． 【规范解答】（1）解：由题意，作图如下： （2）解：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等） ∵平分（已知） ∴， ∴（等量代换） ∵，， ∴ ∴ ∵（已知），（作图）， ∴（同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等） 16．如图，在中，． (1)尺规作图：作的平分线，交于点；作线段的垂直平分线交于点，交于点；连接，（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）； (2)在（1）的条件下，证明：．请完成下列证明的推理过程： 证明：是的垂直平分线， ，， 是的平分线， ①_____， ②_____， ， 在和中， ， ， ④_____， ． 【答案】(1)见解析 (2)①；②，③；④ 【思路引导】此题考查了复杂作图，角平分线和垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质． （1）按照角平分线和垂直平分线的尺规作图方法，求解即可； （2）根据全等三角形的判定与性质，求证即可． 【规范解答】（1）解：如图所示： （2）解：∵是的垂直平分线， ∴，， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：①；②，③；④． 题型9：车牌号码的镜面对称 17．小强用火柴棒在桌上摆了一个不正确的等式，如图所示，你有没有什么办法，在不移动火柴棒的情况下，使桌面出现一个正确的等式？    【答案】见解析 【思路引导】根据镜面对称的性质即可解答. 【规范解答】沿着镜面反射即可，如图所示．    【考点剖析】本题考查镜面对称，熟练掌握镜面对称的性质是解题关键. 18．某公路急转弯处设立了一面大镜子，从镜子中看到汽车的车辆的号码如图所示，则该汽车的号码是 ． 【答案】B46E58 【规范解答】利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．题中所显示的图片中的数字与“B46E58”成轴对称，则该汽车的号码是B46E58． 故答案为B46E58. 点睛：本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧． 题型10：钟表的镜面对称 19．小明在所面对的平面镜内看到他背后墙上时钟所成的像如图所示，则此时的实际时刻应是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，且关于镜面对称，分析并作答． 【规范解答】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的时刻与成轴对称，所以此时实际时刻为， 故选． 【考点剖析】本题考查镜面对称的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧． 20．如图所示，一平面镜以与水平面成角固定在水平面上，一个小球以的速度沿水平面向点O匀速滚去，则小球在平面镜中的像是（    ）． A．以的速度，做竖直向上运动 B．以的速度，做竖直向下运动 C．以的速度运动，且运动路线与地面成角 D．以的速度，做竖直向下运动 【答案】B 【思路引导】利用镜面对称的性质求解，镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【规范解答】根据镜面对称的性质，在平面镜中的顺序与现实中的恰好相反，且关于镜面对称， 则小球在平面镜中的像是以1m/s的速度，做竖直向下运动. 故选B. 【考点剖析】本题主要考查镜面对称，解题关键是熟练掌握镜面对称的性质. 题型11：电子钟的镜面对称 21．如图是某天下午小明在镜中看到身后墙上的时钟情况，则实际时间大约是 ．    【答案】8：05． 【思路引导】根据镜面对称的性质，在平面镜中的钟面上的时针、分针的位置和实物应关于过12时、6时的直线成轴对称. 【规范解答】解：根据平面镜成像原理可知，镜中的像与原图象之间实际上只是进行了左右对换，故此时的实际时刻是8：05， 故答案为8：05. 【考点剖析】此题考查了镜面对称，这是一道开放性试题，解决此类题注意技巧；注意镜面反射的原理与性质. 22．如图小明从平面镜里看到镜子对面电子钟显示的时间如图所示，这时的实际时刻应该是（    ） A．21∶10 B．10∶21 C．10∶51 D．12∶01 【答案】D 【规范解答】根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与12：01成轴对称，所以此时实际时刻为12：01， 1．如图，折叠一张长方形纸片，已知，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴． 2．如图，中，为上一点，沿折叠，使点恰好落在边上的点处，，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由折叠的性质可知， ∵， ∴． 3．将一张长方形纸片折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，为折痕，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由折叠得，然后利用平行线的性质求解． 【详解】解：∵ ∴ 由折叠得， ∵ ∴． 4．小华在镜中看到身后墙上的钟，你认为实际时间最接近8点的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查镜面对称，根据镜面对称的性质，在平面镜中的钟面上的时针、分针的位置和实物应关于过12时、6时的直线成轴对称． 【详解】解：实际时间为8点的时针关于过12时、6时的直线的对称点是4点， 那么8点的时钟在镜子中看来应该是4点的样子， 所以应该是A或D答案之一，这两个答案中更接近八点的应该是第四个图形． 故选：D． 5．在“制作万花筒”的综合与实践课中，将“镜子门”垂直放在所给的平面图形上，调整“镜子门”位置和角度，使镜子前的图形与镜子中的像共同组成如下图形．下列“镜子门”摆放的位置和角度错误的是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了镜面对称，平面镜成像中，实物与其像成镜面对称，那么实物与其像的连线与镜面垂直，据此可得答案． 【详解】解：∵平面镜成像中，实物与其像成镜面对称， ∴实物与其像的连线与镜面垂直， ∴四个选项中只有D选项中的图形不是镜面对称图形， 故选：D． 6．如图，已知线段，利用尺规作的垂直平分线，步骤如下：①分别以点和点为圆心、相同长度为半径作弧，两弧分别相交于点和点；②作直线．则直线就是线段的垂直平分线．下列各数中，的值可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本作图得到，从而可对各选项进行判断． 【详解】解：根据题意得，， 即， 故选项D符合题意． 7．小明发现站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间与电子钟的实际时间成对称如图1，若从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间为如图2所示，则电子钟的实际时间应该是______． 【答案】15∶01 【分析】本题镜面对称的知识；得到相应的对称轴是解决本题的关键；难点是作出相应的对称图形；注意2，5的关于竖直的一条直线的轴对称图形是5，2． 实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称，画出相关图形可得实际时间． 【详解】解：实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称， 电子钟的实际时间应该是， 故答案为：． 8．如图，下面是一位同学的折纸示意图，则是的______． 【答案】角平分线 【分析】根据折叠的性质可得，再根据角平分线的定义解答即可． 【详解】解：由折叠的性质可知，，即， 则是的角平分线． 9．如图，在中，，，垂直平分，交边于点D，交边于点E，在线段上有一动点P，连接，，则的周长最小值为_________． 【答案】14 【分析】连接，根据垂直平分线的性质得到，然后等量代换求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∴的周长 ∴当点B，P，C三点共线时，的周长取得最小值，最小值为14． 10．如图，在中，作的角平分线，边的垂直平分线，与相交于点P．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】解：如图所示即为所作， 【分析】根据角平分线和垂直平分线的作图方法作图即可． 【详解】略 11．“镜中月”，小王同学在中秋参加学校活动中剪出来一个明月，当他放到折叠镜的中间时，请问此时小王同学能在镜中最多看见（     ）个明月，已知此时折叠镜的夹角为． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：根据初中数学/物理的平面镜成像规律， 当两面镜子的夹角为时，物体在镜中成的虚像个数为2个． 所以，小王同学能在镜中最多看见2个明月． 12．如图，某同学在“做·中·学”课上，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则一定是的一条角平分线的为（     ） A．B．C． D． 【答案】C 【详解】解：A、由折叠可知是的中线，而不是角平分线，故A不符合题意； B、由折叠可知不是的角平分线，故B不符合题意； C、由折叠可知是的角平分线，故C符合题意； D、由折叠可知是的高线，故D不符合题意． 13．如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据折叠的性质，得到，，从而求出的度数，再根据三角形内角和是，分别求出、度数，最后计算即可求解． 【详解】解：由折叠可得，，， ， ，即 ， ，， ， ， ， ． 14．如图，等腰的腰长为8，底边的长为5，腰的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，则的周长为（     ） A．13 B．12 C．11 D．16 【答案】A 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，所以的周长可表示为，即可求解． 【详解】解：垂直平分， ， 的周长为． 15．如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点D，E，连接，，若的周长为，则的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线的性质，即可求得，，又由的周长为，即可求得的值，继而求得的周长． 【详解】解：中，边的垂直平分线分别交、于点、，， ，， 的周长为， ， 的周长为：． 16．如图，在中，平分，的垂直平分线交于点E，交于点，，，则______． 【答案】 【分析】根据垂直平分线的性质和等边对等角，可得：，根据角平分线的定义可知，根据三角形的内角和定理可以求出的度数． 【详解】解：是的垂直平分线， ， ， ， ， 平分， ， ， ， . 17．如图，在中，边的垂直平分线交于点，交于点，连接．若的周长为，，则的周长为________． 【答案】22 【分析】根据垂直平分，得，，然后，根据三角形周长的定义求解即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，． ∵的周长为12，， ∴． ∴的周长为． 18．将一个长方形纸条折叠两次，第一次将长方形纸条向上翻折，记点，的对应点分别为，，折痕为，且交于点(如图1)；第二次将四边形沿向下翻折，记，的对应点分别为， (如图2) ． 若， 则_______． 【答案】/124度 【分析】先由长方形，利用内错角相等、同旁内角互补求出与，再用第一次折叠得到，减去得到，由第二次折叠得． 【详解】解：∵四边形为长方形， ∴， ∴，， ∵， ∴，， 根据折叠的性质，， ∴， 根据折叠的性质得． 19．如图，在中，是上的一点，，是上的两点，将和分别沿，折叠后，得到四边形． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：由题意，得，，， ， ． (2)． 【分析】（1）根据折叠可知，，，由此即可证明； （2）根据折叠可知，，根据对应角相等及三角形外角即可解答． 【详解】（1）略； （2）解：由题意，得，， ，，， ， ， ． 20．把长方形纸片沿折叠后再次沿折叠成如图所示，且的对应线段恰好落在上，设，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据折叠的性质得到、，，再利用长方形的性质求出，进而求出的度数，利用求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质得：、，， 在长方形中，， ， ， ， ， ． 21．如图，将长方形纸片沿着折叠后得到图1，，将图1的图形再次沿着折叠得到图2，若折叠后，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质和折叠的性质，进行求解即可. 【详解】解：∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 22．如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点，若为边上的动点，为线段上一动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先连接，作底边上的高，再利用线段垂直平分线的性质得出，进一步得出，根据两点之间线段最短及垂线段最短可知，当、、三点共线，且与重合时，的值最小，即的值最小，此时最小值为的长，最后利用三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：如图，连接，作底边上的高， ∵垂直平分， ∴， ∴， 故当、、三点共线，且与重合时，的值最小，即的值最小，此时最小值为的长． ∵等腰三角形底边的长为，面积是， ∴， ∴， ∴的最小值是． 23．如图，在中，，，．①以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点；作射线交边于点；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，；作直线交于点．则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，过点作于点，于点．首先证明，求出的面积，可得结论． 【详解】解：如图，过点作于点，于点，设边上的高为h． 由作图可知平分， ， ， ， ， 由作图可知垂直平分线段， ， ． 24．已知中，，，边上的高，点G是边的垂直平分线上任一点，H是边上一动点，那么的最小值是___________． 【答案】 【分析】根据垂直平分线的性质，可得，过点C作于点H，交的垂直平分线于点G，此时，即的最小值为的长度，最后再根据面积法求解即可． 【详解】解：点G在的垂直平分线上， ， ∴， 过点C作于点H，交的垂直平分线于点G，此时，如图： ∴的最小值为的长度． ∵的面积为， 又∵三角形面积为， ∴， 解得， ∴的最小值为． 25．如图，在中，，，两点关于直线对称，，的周长是16，若点在直线上，则的最大值为________． 【答案】6 【分析】由对称得直线垂直平分，由垂直平分线的性质得，进而求出，则，当，B，C三点共线时等号成立． 【详解】解：，两点关于直线对称， 直线垂直平分， ， 的周长是16，， ， ， 点在直线上， ， ，当，B，C三点共线时等号成立，如图： 的最大值为6． 26．如图，在中，点D，E，F分别是边上的点，将沿折叠得，交于点H，将沿折叠恰好得到，且，．若设，则可表示为______（用含x的代数式表示）． 【答案】 【分析】先根据折叠的性质得，再根据三角形内角和定理得，然后根据三角形外角的性质求出，接下来根据，可得，最后整理可得，则此题可解． 【详解】解：由折叠的性质得， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 27．如图，在中，，，M是边中点，N是边上任意一点，将沿直线翻折，使点A关于直线的对称点D落在直线上，则的度数为______． 【答案】或 【分析】分点A关于直线的对称点D与点B重合和点A关于直线的对称点D在的延长线上两种情况，分别根据折叠的性质、轴对称的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质求解即可． 【详解】解： ①如图：点A关于直线的对称点D与点B重合，则， ∵，， ∴， ∴； ②如图，点A关于直线的对称点D在的延长线上，则，， ∵， ∴， ∴． 综上，的度数为或． 28．已知，在长方形中，，，，点E在线段上，点F在线段上，将长方形沿折叠后，点D的对应点是M，点C的对应点是N． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，将四边形沿继续折叠，点N的对应点为G，探索与的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，P是直线和线段的交点，将四边形沿折叠，点A的对应点是O，点B的对应点是Q．请探索和的数量关系．并证明你的结论． 【答案】(1) (2)解：，理由如下： 过点作，如图所示： ， ， ，， ， ， 根据折叠可知：， ， ， ； (3)解：，理由如下： 根据折叠可知：，，，， ，，， 设，， 则， 又， 即， ， ， ， ， ， 即， ． 在中，， 设， ， ， 在四边形中，， 即， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 【分析】(1)根 据 折 叠 得 出，根 据 平 行 线 的 性 质 得 出 ； (2)过点M作，证明，再证明 ，得出； (3)根据折叠可知：，，， ，，，，设，，由折叠的性质，三角形的内角和定理，四边形的内角和为360°及角度的和差关系，得出 ，，即可得出，整理求出结果即可． 【详解】（1）解：， ， 根据折叠可知：， ， ； （2）略 （3）略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 折叠、垂直平分线、镜面对称经典题型 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型01 根据成轴对称图形的特征进行求解 题型02 台球桌面上的轴对称问题 题型03 轴对称中的光线反射问题 题型04 折叠问题 题型05 线段垂直平分线的性质 题型06 线段垂直平分线的判定 题型07 作已知线段的垂直平分线 题型08 作垂线(尺规作图） 题型09 车牌号码的镜面对称 题型10 钟表的镜面对称 题型11 电子钟的镜面对称 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点一：轴对称及其性质 ⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴. 对称的性质： ①两个图形关于某一条直线对称，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点连线段的垂直平分线. ②关于某直线对称的两个图形是全等形. 【针对训练】 1．如图，是一个简易的飞机模型示意图，机翼△ABC和△DEF关于机身l对称，CF交l于点H，已知CF＝8．下列说法中，不正确的是（　　） A．AB＝DE B．AC＝10 C．CH＝4 D．∠ACB＝∠DFE 2．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任一点（A、P、A′不共线），下列结论中，错误的是（　　） A．△AA′P是等腰三角形 B．MN垂直平分AA′、CC′ C．△ABC与△A′B′C′面积相等 D．直线AB，A′B′的交点不一定在直线MN上 3．如图，在四边形ABCD中，∠D＝90°，连接AC，点B1在CD边上，连接AB1，△ABC 与△AB1C关于直线AC对称，若∠ABC＝115°，则∠DAB1的度数为（　　） A．25° B．35° C．30° D．45° 知识点二：线段的垂直平分线 1. 线段垂直平分线的定义： 过线段的中点且与线段垂直的直线是这条线段的垂直平分线。如图，若点C是AB的中点且MN⊥AB，则MN是线段AB的垂直平分线。 2. 线段垂直平分线的性质： ①线段垂直平分线垂直且平分线段。∠PCA＝∠PCB＝90°，AC＝BC。 ②垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等。 PA＝PB；△PAB是等腰三角形；∠A＝∠B；∠APC＝∠BPC。 3. 线段垂直平分线的判定 方法①：根据定义证明一条直线经过线段的中点且与线段垂直。 方法②：到线段两端点距离相等的点一定在这条线段的垂直平分线上。证明一个点到线段的两个端点的距离相等。 注意：证明线段的垂直的平分线必须证明两个点到线段的端点距离相等。若只证明一个点，则只能说明在个点在垂直平分线上，不能得到垂直平分线。 4. 作已知线段的垂直平分线： 具体步骤： ①以线段两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于M、N。如图① ②连接MN，过MN的直线即为线段的垂直平分线。如图② 【针对训练】 1．元旦联欢会上，3名同学分别站在△ABC三个顶点的位置上．游戏时，要求在他们中间放一个凳子，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在△ABC的（　　） A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边中线的交点 D．三边上高的交点 2．如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线l1，l2相交于点O，若∠BAC＝80°，则∠OBC的度数是（　　） A．15° B．20° C．10° D．25° 3．如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，直线MN与AC、BC分别相交于点E和点D，连接AD，若AE＝3cm，△ABC的周长为15cm，则△ABD的周长是（　　） A．6cm B．7.5cm C．9cm D．12cm 典例精析 题型1：根据成轴对称图形的特征进行求解 1．如图，已知点是内的一点，、分别是点关于、的对称点，连接与、分别相交于点、，已知． (1)求的周长； (2)连接、，若，求的度数． 2．（1）如图①，、两点在直线的两侧，请你在直线上找到点，使得的长度最小，简述画法，并说明理由； （2）如图②，、两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直．） 将这个实际问题抽象出来，即：如图③，直线，点、分别位于直线、的两侧，请你在直线上找到点，使得垂直于直线，垂足为，且的长度最小．在图③中画出点、，并简要说明点、的位置是如何找到的（不要求证明）． （3）如图④，在（II）的条件中，如果将“一条河”的条件变化为“两条河”，那么两座桥分别建在何处才能使得从地到达地的路程最短呢？在图④中画出两座桥的位置，并简要说明这四个点的位置是如何找到的（不要求证明）． 题型2：台球桌面上的轴对称问题 3．【问题初探】数学课上，老师和学生做数学书39页的做一做的内容 如图，打台球时，选择适当的方向击打白球，白球反弹后击打红球，红球会直接入袋，此时，． （1）若，则； （2）的余角是_________； 【学科融合】 物理学中把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角（如图①）．由此可以归纳出如下的规律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧：反射角等于入射角．这就是光的反射定律（rfectionlaw）． 【数学推理】 （3）如图1，有两块平面镜，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．由以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得他们的余角也相等，即：．在这样的条件下，求证：． 【尝试探究】 （4）两块平面镜，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．如图2，光线与相交于点，则_________；（用含有字母的式子表示） 4．画图探究： （1）如图1，点和点位于直线两侧，是直线上一点，点使的值最小．请你通过画图，在图1中找出点； （2）如图2，点和点位于直线同侧，是直线上一点，点使的值最小．请你通过画图，在图2中找出点； 实践应用： （3）如图3，在四边形中，，，点在边上，点在边上，点、点使的周长的值最小．请你通过画图，在图3中找出点和点并求的度数． 题型3：轴对称中的光线反射问题 5．我们知道光的反射是一种常见的物理现象.如图，某 V 型路口放置如图所示的两个平面镜，，两个平面镜所成的夹角为，位于点 D 处的甲同学在平面镜 中看到位于点A处的乙同学的像，其中光的路径为入射光线 经过平面镜反射后，又沿射向平面镜，在点 C 处再次反射，反射光线为，已知入射光线，反射光线 ，则等于（    ） A． B． C． D． 6．根据光学中平面镜光线反射原理，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等．如图，是两面互相平行的平面镜，一束光线m通过镜面反射后的光线为n，再通过镜面β反射后的光线为k．光线m与镜面的夹角的度数为，光线n与光线k的夹角的度数为．则x与y之间的数量关系是 ． 题型4：折叠问题 7．如图，在长方形纸片中，点在边上，点在边上，四边形沿翻折得到四边形且点恰好落在边上，将沿折叠得到且点恰好落在边上． (1)若则 ； (2)若，求的度数． 8．如图，在中，，，D是的中点，点E是边上一个动点，将沿翻折，使点A落在点处，当时，的度数为 ． 题型5：线段垂直平分线的性质 9．如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 10．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，某电信部门要在公路m、n之间修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个村庄A、B的距离相等，到公路m、n的距离也相等，问：发射塔应建在什么位置？请用尺规作图法，在图中用点P表示出发射塔应建的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 题型6：线段垂直平分线的判定 11．风筝起源于中国东周春秋时期，至今已有2000多年的历史．传统风筝的技艺概括起来四个字：扎、糊、绘、放，简称“四艺”． 风筝骨架模型图 数据说明                    制作时，骨架可根据实际情况等比例放大    (1)从图1所示的风筝中可以抽象出几何图形，如图2，在四边形中，，求证：； (2)李明根据图纸如表扎制风筝骨架．当他根据图纸要求截取6根竹条时发现：竹条、的长度之和恰好与竹条长度相等．请你用所学的数学知识解释说明． 12．【问题探究】 （1）如图1，在中，点是上一点，点是的中点，连接并延长到点，过点作交于点，连接，求证：； 【问题解决】 （2）如图2，四边形是一个工业区，点是一个入口，是两个仓库，点分别是粗加工厂和精密加工厂，点分别在上，是两条小路，是两条运输公路，为方便从粗加工厂运输到精密加工厂，现要沿修建一个运输轨道，为了估计成本，现管理人员需要知道运输轨道与运输公路之间的数量关系．已知，．请你帮助管理人员探索线段之间的数量关系，并加以证明． 题型7：作已知线段的垂直平分线 13．如图，海丰县有两所初级中学和两条交叉的公路．图中点，表示初级中学，，表示公路，现计划修建一所青少年综合实践活动基地--耕艺馆，希望耕艺馆到两所初级中学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出这间耕艺馆P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 14．“西气东输”是造福子孙后代的创世纪工程．现有两条高速公路和A，B两个城镇（如图），准备建立一个燃气中心站P，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇距离相等． (1)请你画出中心站P的位置（不写做法，保留作图痕迹）． (2)请你运用所学知识，简要说明理由． 题型8：作垂线(尺规作图） 15．如图，在四边形中，，． (1)若点是边上一点，请你用直尺（没有刻度）和圆规过点作，交于点． (2)在（1）的作图下，若，平分，求的度数．解答过程如下，请你补充完整． 解：∵（已知）， ∴（_____①______） ∵平分（已知） ∴， ∴______②_____（等量代换） ∵，， ∴ ∴ ∵（已知），（作图）， ∴_____③_______（同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等） 16．如图，在中，． (1)尺规作图：作的平分线，交于点；作线段的垂直平分线交于点，交于点；连接，（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）； (2)在（1）的条件下，证明：．请完成下列证明的推理过程： 证明：是的垂直平分线， ，， 是的平分线， ①_____， ②_____， ， 在和中， ， ， ④_____， ． 题型9：车牌号码的镜面对称 17．小强用火柴棒在桌上摆了一个不正确的等式，如图所示，你有没有什么办法，在不移动火柴棒的情况下，使桌面出现一个正确的等式？    18．某公路急转弯处设立了一面大镜子，从镜子中看到汽车的车辆的号码如图所示，则该汽车的号码是 ． 题型10：钟表的镜面对称 19．小明在所面对的平面镜内看到他背后墙上时钟所成的像如图所示，则此时的实际时刻应是( ) A． B． C． D． 20．如图所示，一平面镜以与水平面成角固定在水平面上，一个小球以的速度沿水平面向点O匀速滚去，则小球在平面镜中的像是（    ）． A．以的速度，做竖直向上运动 B．以的速度，做竖直向下运动 C．以的速度运动，且运动路线与地面成角 D．以的速度，做竖直向下运动 题型11：电子钟的镜面对称 21．如图是某天下午小明在镜中看到身后墙上的时钟情况，则实际时间大约是 ．    22．如图小明从平面镜里看到镜子对面电子钟显示的时间如图所示，这时的实际时刻应该是（    ） A．21∶10 B．10∶21 C．10∶51 D．12∶01 1．如图，折叠一张长方形纸片，已知，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．如图，中，为上一点，沿折叠，使点恰好落在边上的点处，，，则等于（     ） A． B． C． D． 3．将一张长方形纸片折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，为折痕，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．小华在镜中看到身后墙上的钟，你认为实际时间最接近8点的是（　　） A． B． C． D． 5．在“制作万花筒”的综合与实践课中，将“镜子门”垂直放在所给的平面图形上，调整“镜子门”位置和角度，使镜子前的图形与镜子中的像共同组成如下图形．下列“镜子门”摆放的位置和角度错误的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，已知线段，利用尺规作的垂直平分线，步骤如下：①分别以点和点为圆心、相同长度为半径作弧，两弧分别相交于点和点；②作直线．则直线就是线段的垂直平分线．下列各数中，的值可能是（     ） A． B． C． D． 7．小明发现站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间与电子钟的实际时间成对称如图1，若从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间为如图2所示，则电子钟的实际时间应该是______． 8．如图，下面是一位同学的折纸示意图，则是的______． 9．如图，在中，，，垂直平分，交边于点D，交边于点E，在线段上有一动点P，连接，，则的周长最小值为_________． 10．如图，在中，作的角平分线，边的垂直平分线，与相交于点P．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 11．“镜中月”，小王同学在中秋参加学校活动中剪出来一个明月，当他放到折叠镜的中间时，请问此时小王同学能在镜中最多看见（     ）个明月，已知此时折叠镜的夹角为． A．1 B．2 C．3 D．4 12．如图，某同学在“做·中·学”课上，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则一定是的一条角平分线的为（     ） A． B．C．D． 13．如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 14．如图，等腰的腰长为8，底边的长为5，腰的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，则的周长为（     ） A．13 B．12 C．11 D．16 15．如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点D，E，连接，，若的周长为，则的周长是（     ） A． B． C． D． 16．如图，在中，平分，的垂直平分线交于点E，交于点，，，则______． 17．如图，在中，边的垂直平分线交于点，交于点，连接．若的周长为，，则的周长为________． 18．将一个长方形纸条折叠两次，第一次将长方形纸条向上翻折，记点，的对应点分别为，，折痕为，且交于点(如图1)；第二次将四边形沿向下翻折，记，的对应点分别为， (如图2) ． 若， 则_______． 19．如图，在中，是上的一点，，是上的两点，将和分别沿，折叠后，得到四边形． (1)求证：； (2)若，求的度数． 20．把长方形纸片沿折叠后再次沿折叠成如图所示，且的对应线段恰好落在上，设，则的度数为（     ） A． B． C． D． 21．如图，将长方形纸片沿着折叠后得到图1，，将图1的图形再次沿着折叠得到图2，若折叠后，则的度数为（     ） A． B． C． D． 22．如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点，若为边上的动点，为线段上一动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 23．如图，在中，，，．①以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点；作射线交边于点；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，；作直线交于点．则的面积为（     ） A． B． C． D． 24．已知中，，，边上的高，点G是边的垂直平分线上任一点，H是边上一动点，那么的最小值是___________． 25．如图，在中，，，两点关于直线对称，，的周长是16，若点在直线上，则的最大值为________． 26．如图，在中，点D，E，F分别是边上的点，将沿折叠得，交于点H，将沿折叠恰好得到，且，．若设，则可表示为______（用含x的代数式表示）． 27．如图，在中，，，M是边中点，N是边上任意一点，将沿直线翻折，使点A关于直线的对称点D落在直线上，则的度数为______． 28．已知，在长方形中，，，，点E在线段上，点F在线段上，将长方形沿折叠后，点D的对应点是M，点C的对应点是N． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，将四边形沿继续折叠，点N的对应点为G，探索与的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，P是直线和线段的交点，将四边形沿折叠，点A的对应点是O，点B的对应点是Q．请探索和的数量关系．并证明你的结论． 试卷第1页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $