第30章《直线与圆的位置关系》质量检测试卷 2026-2027学年人教版九年级数学上册

人教版九年级上册数学第30章《直线与圆的位置关系》 质量检测试卷 （满分：150分 时间：120分钟） 姓名：___________班级：___________得分：___________ 1、 选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．已知的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 2．三角形的内心是（   ） A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高的交点 3．如图，四边形内接于，与相切于点，连接，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，为的内切圆，且半径为，若的面积为，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 5．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正八边形作近似估计，可得的估计值为（   ） A． B． C．3 D． 6．如图，，为上一点，且．以点为圆心，2为半径的与的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 7．若一个正多边形的中心角为，则这个正多边形的边数为（   ） A．七 B．八 C．九 D．十 8．如图，正六边形内接于，G是上的一点，连接．则的度数为（    ）    A． B． C． D． 9．在直角坐标系中，点的坐标是，圆的半径为，下列说法正确的是（　　） A．与轴、轴都有两个公共点 B．与轴、轴都没有公共点 C．与轴有一个公共点，与轴有两个公共点 D．与轴有两个公共点，与轴有一个公共点 10．如图，，与分别相切于点A，B．如果，，那么的长度是（　　） A．2 B．3 C． D． 11．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，以点A为圆心，以任意长为半径画弧交射线AB，AC于两点，分别以这两点为圆心，以适当的定长为半径画弧，两弧交于点E，作射线AE，交BD于点I，连接CI，以下说法错误的是（　　） A．I到AB，AC边的距离相等 B．CI平分∠ACB C．I是△ABC的内心 D．I到A，B，C三点的距离相等 12．如图，已知是的直径，是的切线，连接交于点，连接．若，，则的长是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．若一个正多边形的内角和比它的外角和多，则这个正多边形的中心角度数为_____． 14．如图所示，在平面直角坐标系中，的圆心坐标为，半径为2．如果与轴相交，那么的取值范围是___________． 15．如图，线段与相切于点，连接，，若，，则的半径为 __． 16．如图，在中，，，点是的内心，则的度数为__________．    三、解答题（本大题共9小题，共98分） 17．（10分）如图，在△ABC中做一个圆，使它与这个三角形的三边都相切． 18．（12分）如图，在中，，，，于点，以点为圆心作圆． (1)若以4为半径，判断，两点与的位置关系． (2)若以3为半径，判断，两点与的位置关系． (3)若以2.4为半径，判断，两点与的位置关系． 19．（10分）如图，正六边形内接于，半径，求这个正六边形的边长和边心距的长． 20．（10分）如图，在中，的半径为3．请判断直线与的位置关系，并说明理由．    21．（10分）如图，多边形为圆内接正五边形，与圆相切于点A，求的度数． 22．（10分）如图，中，，以为圆心画圆． (1)当的半径为时，点与有怎样的位置关系； (2)当与直线相交时，求的半径． 23．（12分）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． (1)求的长． (2)已知，求的长． 24．（12分）如图，已知是的直径，是的切线，交于． (1)求证：； (2)若，，求． 25．（12分）如图1，在中，，是的外接圆，过点C作交于点D，连接交于点E，延长至点F，使，连接． (1)求证：； (2)求证：是的切线； (3)如图2，若点G是的内心，，求的长． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A D B C B C D A 题号 11 12 答案 D B 1．C 【分析】设的半径为，圆心到直线的距离为，直线与圆的位置关系：①当时，直线与相交；②当时，直线与相切；③当时，直线与相离；据此解答即可． 【详解】解：∵的半径为，圆心到直线的距离为，且， ∴直线与的位置关系是相交． 2．B 【分析】本题考查了三角形的内心，根据三角形的内心的定义，它是三条角平分线的交点． 【详解】解：∵三角形的内心是三角形内切圆的圆心，且内切圆与三边相切， ∴内心到三边的距离相等，这要求它是三条角平分线的交点． ∴三角形的内心是三条角平分线的交点． 故选：B． 3．A 【分析】连接OB、OC，利用圆内接四边形的性质，利用∠D可求出∠ABC，则在△ABC中，求出∠CAB，因为BE与⊙O相切，则可证得∠CBE=∠BAC，即可得解． 【详解】连接OB、OC，如图， ∵四边形ABCD内接于⊙O，∠D=120°， ∴∠D+∠ABC=180°， ∴∠ABC=180°-120°=60°， ∵∠ACB=40°， ∴在△ABC中，∠CAB=180°-∠ACB-∠ABC=80°， ∵BE与⊙O相切， ∴∠CBE+∠OBC=90°， ∵OC=OB， ∴∠OBC=∠OCB， ∵根据圆周角定理有∠COB=2∠BAC， 又∵∠OBC+∠OCB+∠COB=180°， ∴2∠OBC+2∠BAC=180°， ∴∠OBC+∠BAC=90°， 又已证得∠CBE+∠OBC=90°， ∴∠CBE=∠BAC=80°， 故选：A． 【点睛】本题考查的是圆周角定理、三角形内角和定理、圆内接四边形的性质以及圆的切线等知识，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 4．D 【分析】本题考查了切线的性质，过分别作、、，分别交、、于、、，连接、、，由切线的性质得，由三角形的面积求解即可． 【详解】解：过分别作、、，分别交、、于、、，连接、、， 是的内切圆，且半径为， ， ， ， 解得， 故选：D． 5．B 【分析】本题考查了正多边形与圆，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．作于C，利用等腰直角三角形的性质求出的面积，从而得出正八边形的面积，进而解决问题． 【详解】解：如图，作于C， ∵用半径为1的圆的内接正八边形面积作近似估计， ∴，， ∵ ∴， 则， ∴的面积为， ∴正八边形面积为 ∴的估计值为． 故选：B． 6．C 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，掌握通过作垂线求圆心到直线的距离，结合半径判断位置关系是解题的关键． 作点到的垂线，求出垂线段的长度，再与圆的半径比较，判断圆与直线的位置关系． 【详解】解：过点作于点． 在中，，则， 的半径为2，且等于半径， 与相切． 故选：C． 7．B 【分析】本题主要考查了正多边形的性质，掌握正多边形的中心角相等以及计算公式成为解题的关键． 根据正多边形的中心角计算公式为：中心角边数，求解即可． 【详解】解：设正多边形的边数为． 由题意可得：，解得：． 故选B． 8．C 【分析】本题考查圆内接正多边形和圆周角定理，解此题的关键是熟练掌握圆内接正多边形中心角计算和圆周角定理角度计算．利用圆内接正多边形中心角及同弧所对的圆周角是圆心角一半定理即可． 【详解】解：如图，连接、，        ∵正六边形是的内接正六边形， ， ， 故选：C． 9．D 【分析】本题主要考查了直线和圆的位置关系，一般是利用圆心到直线的距离与半径比较来判断．若圆心到直线的距离是d，半径是r，则①，直线和圆相离，没有交点；②，直线和圆相切，有一个交点；③，直线和圆相交，有两个交点．根据点P到x轴的距离是，到y轴的距离为3，的半径是3，可判断圆P与x轴相交，与y轴相切，从而确定答案即可． 【详解】解：，的半径为， 点P到x轴的距离是，到y轴的距离为3， 以为圆心，以为半径的圆与轴的位置关系是相交，与轴的位置关系是相切， 该圆与轴的交点有个，与轴的交点有个． 故选：D． 10．A 【分析】本题考查的是切线的性质，掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，证明为等边三角形，根据等边三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵，与分别相切于点A，B， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， 故选：A． 11．D 【分析】根据作图先判断AE平分∠BAC，再由三角形内心的性质解答即可． 【详解】解：A.由作图可知，AE是∠BAC的平分线， ∴I到AB，AC边的距离相等，故选项正确，不符合题意； B.∵BD平分∠ABC，三角形三条角平分线交于一点， ∴CI平分∠ACB，故选项正确，不符合题意； C.由上可知，I是△ABC的内心，故选项正确，不符合题意， D.∵I是△ABC的内心， ∴I到AB，AC，BC的距离相等，不是到A，B，C三点的距离相等，故选项错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查尺规作图，涉及三角形内心的性质，解题的关键是掌握基本的尺规作图和三角形内心的性质． 12．B 【分析】本题主要考查了勾股定理、切线的定义、圆周角定理，根据切线的定义可知，利用勾股定理求出，根据直径所对的圆周角是直角可知，利用三角形的面积公式即可求出的长度． 【详解】解：是的切线， ， ，， ， 是的直径， ， ， ， ， ． 故选：B． 13．/40度 【分析】本题考查多边形内角和定理，多边形外角和性质以及正多边形中心角的计算，掌握多边形内角和定理是解题的关键． 根据题意设正多边形的边数为，利用内角和与外角和的关系列方程求出边数，再计算正多边形的中心角度数即可． 【详解】解：设这个正多边形的边数为，任意多边形的外角和为， 根据题意，得， 解得， 正多边形的中心角和为，因此这个正多边形的中心角度数为． 14． 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，知道直线和圆相交时，圆心到直线的距离小于圆的半径是解题的关键． 根据直线和圆相交时，圆心到直线的距离小于圆的半径即可得到结论． 【详解】解：∵与轴相交，且的圆心坐标为，半径为， ∴的取值范围是； 故答案为：． 15．6 【分析】根据切线的性质得到OC⊥AB，根据等腰三角形的性质求出AC，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：与相切于点， ， 又， ， 在中，， 的半径为． 故答案为：6． 【点睛】本题考查的是切线的性质、等腰三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 16．/117.5度 【分析】由点是的内心，可得分别为，的角平分线，由，，可得，，由三角形的内角和可求出答案． 【详解】解：点是的内心， ，分别为，的角平分线， ，， ，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内心，三角形的内角和定理，熟练掌握相关知识是解题关键． 17．如下图所示： 【分析】分别作，的平分线和，交点为I，再过I作的垂线，垂足为D，再以I为圆心，以的长为半径作即可．本题考查三角形的内切圆，熟练掌握作三角形内切圆的方法是解题关键． 【详解】解：分别作，的平分线和，交点为I，再过I作的垂线，垂足为D，再以I为圆心，以的长为半径作． 18．(1)点在上，点在内 (2)点在外，点在上 (3)点在外，点在上 【分析】本题考查了点与圆的位置关系、勾股定理、等面积法，牢记点与圆的位置关系是解题关键． （1）将和分别与做比较，即可判断两点与的位置关系； （2）将和分别与做比较，即可判断两点与的位置关系； （3）利用勾股定理可求，再根据等面积法求，将和分别与做比较，即可判断两点与的位置关系． 【详解】（1）解：， 点在上． ， 点在内． （2）解：， 点在外． ， 点在上． （3）解：，，， ． ， ， ． ， 点在外． ， 点在上． 19．正六边形的边长为4，边心距的长为． 【分析】连结，证出为等边三角形，利用锐角三角函数的定义求即可． 【详解】解：如图，连结， ∵正六边形内接于， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴． 答：正六边形的边长为4，边心距的长为． 【点睛】本题考查圆内接正六边形的边心距问题，掌握正多边形的性质，会求中心角，会利用边心距和半径构成直角三角形，会用锐角三角函数求解是关键． 20． 直线与相切．理由如下： 过点作于点．   ， ． 在中，． 的半径为3， 为的半径． 是的切线． 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握直线与圆的位置关系的判断方法． 过点作于点，先由勾股定理出圆心到直线的距离，再与半径比较即可． 【详解】略 21．36° 【分析】连接OA、OB，先求出∠BOA=72°，再求出∠OAB=54°，根据切线的性质求出∠OAP=90°，问题得解． 【详解】解：如图， 连接OA、OB， ∵多边形为圆内接正五边形， ∴∠BOA=， ∵OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA=， ∵PA为圆O的切线， ∴OA⊥AP， ∴∠OAP=90°， ∴∠PAB=90°-∠OAB=36°． 【点睛】本题考查了正多边形和圆的相关知识，切线的性质等，根据题意添加辅助线，求出∠OAB是解题关键． 22．(1)点在外， 理由如下： 在中，， ∴， ∵，即到圆心的距离大于的半径， ∴点在外； (2) 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，勾股定理，三角形的面积公式，熟练掌握直线与圆的位置关系和点与圆的位置关系是解决问题的关键． （1）先根据勾股定理求出B到圆心C的距离，再根据点与圆的位置关系即可求出结论 （2）过作于，先根据三角形面积公式求出到的距离，再根据直线与圆的位置关系即可求出结论． 【详解】（1）略 （2）解：作于， ∵， ∴， 当与直线相交时，． 23．(1) (2) 【分析】本题主要考查的是三角形内切圆的有关问题以及切线长定理的应用，根据切线长定理列出方程是解题的关键． （1）由切线长定理可知：，，，设，则，，根据，列方程求解即可； （2）先计算三角形的半周长s，再利用，代入三角形面积与半周长即可求出内切圆半径，即可求解出的长． 【详解】（1）解：∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ，，， 设， 则，， 根据题意得： 解得： ，，， 则的长为； （2）解：，，， ∴半周长， 又， ， ， 则的长为． 24．(1) 证明：是的直径，是的切线 ， ， ； (2) 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，切线的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据切线的性质和直径所对的圆周角是直角得到，，从而推出 ，得证； （2）由（1）可知，，然后利用勾股定理得到，最后利用面积法，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知， ， ，即 25．(1) 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴． (2) 证明：连接，如图1， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线． (3)5 【分析】（1）利用等角对等边证明． （2）连接，证明即可得证． （3）先证明，再利用内心，等角对等边解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图2，连接， ∴， ∵点G为内心， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理的推论，切线的判定，三角形相似的判定和性质，等角对等边，等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，垂径定理，切线的判定是解题的关键． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $